2018-2019学年四川省棠湖中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年四川省棠湖中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 四川省棠湖中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．抛物线的准线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：因为抛物线方程为，则2p=1,其准线方程为，选B ‎2．若直线过圆的圆心，则的值为（ ）‎ A．-1 B．1 C．3 D．-3‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．‎ 解答：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2），‎ 代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，‎ 故选 C。‎ 点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围 视频 ‎3．已知直线， ，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若“”，‎ 则m(m+1)+(m+1)(m+4)=0，解得：m=−1，或m=−2‎ 故“”是“”的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎4．过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．‎ ‎【详解】‎ 由函数，得f′（x）=x2﹣2x，‎ 设函数图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），‎ 则f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，‎ ‎∴tanα≥﹣1，‎ ‎∴0≤α＜或≤α＜π．‎ ‎∴过函数图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，）∪[，π）．‎ 故答案为：B ‎【点睛】‎ ‎（1）本题考查导数的几何意义，考查直线倾斜角和斜率的关系，关键是熟练掌握正切函数的单调性．（2）函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是 ‎5．（5分）（2011•重庆）曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为（ ）‎ A．y=3x﹣1 B．y=﹣3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．‎ 解：∵y=﹣x3+3x2∴y'=﹣3x2+6x，‎ ‎∴y'|x=1=（﹣3x2+6x）|x=1=3，‎ ‎∴曲线y=﹣x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y﹣2=3（x﹣1），‎ 即y=3x﹣1，‎ 故选A．‎ 点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．‎ 视频 ‎6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为(　　)‎ A．4 B．－4 C．－ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的倍列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，所以，即，也即.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题.‎ ‎7．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)‎ A．1 B．2 C．0 D．－1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的导数，令求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，令得，解得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查导数的运算，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎8．若函数的定义域和值域都是，则　　‎ A． B． C．0 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定义域和值域都是，结合判断函数的单调性，由解得，再代入原式即可得结果．‎ ‎【详解】‎ 由指数函数的单调性可得，‎ 是单调递增函数或者是单调递减函数，‎ 因为，所以为上的递减函数，‎ 所以，解得，‎ ‎  ，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义域、值域，函数的单调性以及对数的运算法则，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属中档题．‎ ‎9．若正实数满足，则的最小值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将变成，可得，展开后利用基本不等式求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，，‎ ‎ ‎ 当且仅当，取等号，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎10．已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先根据函数为偶函数得对称轴，再根据函数单调性解不等式.‎ 详解：因为函数为偶函数得，所以关于对称，‎ 因为在上单调递增，所以在上单调递减，‎ 因为，所以，‎ 因此由得或，解得或，‎ 选A.‎ 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.‎ ‎11．已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为（ ）‎ A．3 B．1 C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由离心率公式，可得a=b，求得渐近线方程，以及圆的圆心和半径，求得圆心到直线的距离，由弦长公式，解方程可得所求值．‎ 详解：由题可得：c=，即有a=b，渐近线方程为y=±x，圆（x-m）2+y2=4（m＞0）的圆心为（m，0），半径为2，可得圆心到直线的距离为d=，则直线被圆截得的弦长为，解得m=2（-2舍去），故选：D．‎ 点睛：本题考查双曲线的性质：渐近线方程和离心率，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由于,函数为增函数,且,函数为奇函数,故,即在上存在.画出的图象如下图所示,由图可知,,故选.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数的单调性与奇偶性,考查利用导数研究函数的单调性,考查恒成立问题的解题思路.给定一个函数的解析式,首先要分析这个函数的定义域,单调性与奇偶性等等性质,这些对于解有关函数题目可以有个方向,‎ 根据基本初等函数的单调性要熟记.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知函数（e为自然对数的底数），那么曲线在点（0，1）处的切线方程为___________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求得切线的斜率，再利用点斜式求得切线方程.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以，故切线方程为，即.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查导数的运算，考查切线方程的求法，属于基础题.‎ ‎14．已知BC是圆x2＋y2＝25的动弦且|BC|＝6，则BC的中点的轨迹方程是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：设圆心（0，0）到BC的距离为d，则由弦长公式可得 d==4，即BC的中点到圆心（0，0）的距离等于4，BC的中点的轨迹是以原点为圆心，以4为半径的圆，‎ 故BC的中点的轨迹方程是x2+y2=16，‎ 故答案为x2+y2=16‎ ‎15．已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点， ，当周长最小时，该三角形的面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，‎ ‎∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+，‎ 由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、‎ 共线，‎ ‎∵，（－3,0），∴直线的方程为，即代入整理得，‎ 解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，‎ ‎∴==.‎ 视频 ‎16．若关于的方程只有一个实数解，则实数的值为______．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数与的对称性和交点个数得出交点坐标，从而得出的值．‎ ‎【详解】‎ 由可得，‎ 函数与的函数图象只有一个交点．‎ 又两函数的对称轴均为直线，‎ 两函数的交点必在对称轴上，‎ 因为时，，‎ 所以也在的图象上，，‎ 即，故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点与函数图象的关系，以及函数对称轴的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知 “直线与圆相交”； “有一正根和一负根”，若为真， 为真，求的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出命题p，q的等价条件，然后利用若p∨q为真，非p为真，求实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线x+y﹣m＝0与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，则1，‎ ‎∴1m＜1，即p：1m＜1．‎ ‎∵mx2﹣x+m﹣4＝0有一正根和一负根，‎ ‎∴设f（x）＝mx2﹣x+m﹣4，‎ 若m＞0，则满足f（0）＜0，即，解得0＜m＜4．‎ 若m＜0，则满足f（0）＞0，即，此时无解 综上0＜m＜4．即q：0＜m＜4．‎ 又∵p∨q为真，非p为真，‎ ‎∴p假，q真，即，即．‎ ‎∴m∈[1，4）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题的与简单命题的真假应用，将命题进行等价化简是解决此类问题的关键．‎ ‎18．已知函数，当时，的极大值为；当时，有极小值。求：‎ ‎（1）的值；‎ ‎（2）函数的极小值。‎ ‎【答案】（1）a =-3，b =-9，c=2‎ ‎（2）-25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数f（x）在x=x0取得极值的充要条件f′（x0）=0且f′（x）在x=x0的左右附近符号相反即可得出a，b的值，再利用极大值即可得到c，从而得出答案．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵f(x) = x3+ ax2+bx + c ,∴f′ (x) = 3x2+2ax +b ‎ ‎∵当x =- 1 时函数取得极大值7，当x = 3时取得极小值 ‎∴x =- 1 和x = 3是方程f′ (x)=0的两根，有 ‎∴， ∴f(x) = x3-3x2-9x+c.‎ ‎(2)∵当x = -1时，函数取极大值7，∴(-1)3–3(-1)2–9(-1)+c= 7,∴c=2.‎ 此时函数f(x)的极小值为：f（3）= 33-3×32-9×3×2=-25.‎ ‎【点睛】‎ 熟练掌握函数f（x）在x=x0取得极值的充要条件是解题的关键．‎ ‎19．省环保厅对、、三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：‎ 城 城 城 优（个）‎ ‎28‎ 良（个）‎ ‎32‎ ‎30‎ 已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录城市空气质量为优的数据的概率为0.2.‎ ‎（I）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在城中应抽取的数据的个数；‎ ‎（II）已知，，求在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】(1)由计算出,再由总数计算出,按比例计算得应抽人数.(2) 由（1）知，且，，利用列举法和古典概型计算公式计算得相应的概率.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由题意得，即.‎ ‎∴，‎ ‎∴在城中应抽取的数据个数为.‎ ‎（2）由（1）知，且，，‎ ‎∴满足条件的数对可能的结果有，，，，，，，共8种.‎ 其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有，，共3种.‎ ‎∴在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为.‎ ‎20．如图，已知中心在原点O，焦点在x轴的椭圆C的离心率为，点A,B分别是椭圆C的长轴，短轴的端点，点O到直线AB的距离为.‎ ‎（1）求椭圆C的方程。‎ ‎（2）已知点,设点P,Q是椭圆C上的两动点，满足EPEQ,求的最小值。‎ ‎【答案】（1）；（2）6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率、点到直线的距离以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆的方程.（2）利用向量运算，将转化为，设出 点的坐标，代入并化简为二次函数的形式，利用配方法求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设椭圆的方程为，不妨设直线的方程为，即，点到直线的距离为，故：‎ ‎ ‎ 解得 椭圆的方程为 . ‎ ‎（2）‎ 设，则 又 当时，的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆标准方程的求解方法，考查直线方程的形式，考查点到直线的距离公式，考查向量的数量积运算，考查二次函数求最值的方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎21．已知函数 ‎（1）求函数的极大值点和极小值点；‎ ‎（2）若恰好有三个零点，求实数取值范围.‎ ‎【答案】（1）极大值点为，极小值点为（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先分析函数的单调性 得；‎ 然后可得在和上为增函数；在上为减函数函数的极大值点为，极小值点为（2）根据函数单调性（画出草图）可知若恰好有三个零点，则 试题解析：‎ ‎（1） 得；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在和上为增函数；在上为减函数 ‎（也可由的图像得单调性） ‎ 函数的极大值点为，极小值点为 ‎ ‎（2）若恰好有三个零点，则 又得 点睛：求函数的极值要先求其单调性，极值点为图形的拐点处，山峰位置为极大值点，山谷位置为极小值点，函数零点问题要借助于函数单调性结合数形结合看如何保证图形有三个交点写出对应不等式求解即可 ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求导数，再讨论符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于，所以1得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得且，即得的取值范围.‎ 试题解析：解：（1），‎ 当时，，∴在上单调递减.‎ 当时，令，得；令，得.‎ ‎∴的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ 当时，令，得；令，得.‎ ‎∴的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）当时，在上单调递减，∴，不合题意.‎ 当时，，不合题意.‎ 当时，，在上单调递增，‎ ‎∴，故满足题意.‎ 当时，在上单调递减，在单调递增，‎ ‎∴，故不满足题意.‎ 综上，的取值范围为.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.‎