2019-2020学年四川省遂宁市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省遂宁市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省遂宁市第二中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合M={x∈N|x2-1=0}，则有（　　）‎ A． B．‎ C． D．0，‎ ‎【答案】D ‎【解析】求出集合M，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：由集合，知： ‎ 在A中，，故A错误； ‎ 在B中，，故B错误； ‎ 在C中，，故C错误； ‎ 在D中，，故D正确． ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．已知函数f（x）=2x的反函数为y=g（x），则g（）的值为（　　）‎ A． B．1 C．12 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知函数解析式求得，再把与互换可得原函数的反函数，取得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵由，得 ‎∴原函数的反函数为， ‎ 则．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的反函数的求法，是基础题．‎ ‎3．设，下列从到的对应法则不是映射的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】按照映射的定义逐项验证.‎ ‎【详解】‎ 选项A:，集合 中的任一元素在集合中都有唯一元素对应，是映射；‎ 选项B: ，集合 中的元素6，在集合中不存在元素与之对应，不是映射；‎ 选项C: ,集合 中的任一元素在集合中都有唯一元素对应，是映射；‎ 选项D: 集合 中的任一元素在集合中都有唯一元素对应，是映射；‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查映射的定义，判断对应是否为映射，属于基础题.‎ ‎4．若函数=(2-3+3)x 是指数函数，则（ ）‎ A ＞1且≠1 B ＝‎1 ‎ C ＝1或＝2 D ＝2‎ ‎【答案】D ‎【解析】略 ‎5．下列函数中，在其定义域内既为奇函数且又为增函数的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数奇偶性和单调性逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对A：在其定义域内不是单调函数，不符合题意；‎ 对B：，则，是奇函数，且在定义域内为增函数，符合题意；‎ 对C：，则，是偶函数，不符合题意；‎ 对D：，则，是偶函数，不符合题意.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单函数的奇偶性与单调性，是基础题.‎ ‎6．设a=2，b=，c=（）0.3，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由指数和对数函数的性质判断a、c、b的范围，然后比较大小即可.‎ ‎【详解】‎ 解：a=2＜=0，‎ b=＞=1，‎ ‎0＜c=（）0.3＜（）0=1，‎ 所以a＜c＜b．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数和对数函数的性质，属于基础题.‎ ‎7．若3a=5b=225，则+=（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】先化对数式，再由换底公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 解： ‎ 则 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数的换底公式的简单应用，属于基础试题 ‎8．函数的值域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析： ， ，值域为： 故选D.‎ ‎【考点】1、指数函数图像；2、函数的单调性.3、值域的求解。‎ ‎9．函数的图像可能是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，‎ 当时，∴，所以排除B，‎ 当时，∴，所以排除C，故选D.‎ ‎【考点】函数图象的平移.‎ ‎10．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知中函数的解析式，讨论对称轴与区间的位置关系求出结果 ‎【详解】‎ 函数的图象是开口方向朝上，以直线为对称轴的抛物线 又函数在区间上是减函数，‎ 故 解得 则实数的取值范围是 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数的性质，由单调性来判断对称轴的位置，数形结合有助于解题 ‎11．设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】由对x＞0或x＜0进行讨论，把不等式转化为f（x）＞0或f（x）＜0的问题解决，根据f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣2）＝0，把函数值不等式转化为自变量不等式，求得结果．‎ ‎【详解】‎ 解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，‎ ‎∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，‎ 又∵f（﹣2）＝0，‎ ‎∴f（2）＝0，‎ ‎∴当x∈（﹣∞，﹣2）∪（0，2）时，f（x）＜0；‎ 当x∈（﹣2，0）∪（2，+∞）时，f（x）＞0；‎ ‎∴的解集是{x|﹣2＜x＜0或0＜x＜2}．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性和单调性解不等式，体现了分类讨论的思想方法，属基础题．‎ ‎12．已知函数.若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由分段函数首先讨论或的取值范围，代入对应解析式，求出的取值范围；再讨论的范围，代入对应解析式，解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 当时，由，，‎ 则，解得，‎ 当时， 可得，‎ 解得，‎ 此时可得；‎ 当时，可得，‎ 即，解得，‎ 此时可得； ‎ 当时，可得，‎ 解得或，所以，‎ 当时，可得，此时无解；‎ 当时，可得，‎ 解得或，‎ 此时可得；‎ 综上所述，实数的取值范围是 ‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了由分段函数的特征，解绝对值不等式、一元二次不等式，考查了分类讨论的思想运用，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．若函数f(x)的定义域是[－1,3]，则函数f(2x－1)的定义域是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意函数的定义域为，则对于函数中，令，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意函数的定义域为，则对于函数中，令，‎ 解得，即函数的定义域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抽象函数的定义域的求解问题，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎14．函数 (其中，且)的图象一定经过定点____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由过定点，令，即可求得定点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 且,‎ 当,即时，,‎ 函数且的图象过定点，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.‎ ‎15．已知幂函数在上为减函数，则实数 ．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】利用幂函数的定义列出方程求出m的值，将m的值代入函数解析式检验函数的单调性．‎ ‎【详解】‎ ‎∵y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1是幂函数 ‎∴m2﹣5m﹣5=1解得m=6或m=﹣1‎ 当m=6时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x13不满足在（0，+∞）上为减函数 当m=﹣1时，y=（m2﹣5m﹣5）x2m+1=x﹣1满足在（0，+∞）上为减函数 故答案为m=﹣1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数的定义：形如y=xα（其中α为常数）、考查幂函数的单调性与幂指数的正负有关．‎ ‎16．设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f(a＋1)＜f(3－a)，a的取值范围_______‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据偶函数在对称区间上的单调性相反得到函数在[0，+∞)上单调递减，因而得到f(a＋1)＜f(3－a)，故.‎ ‎【详解】‎ 设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增,则在[0，+∞)上单调递减，故自变量离轴越远函数值越小，因为f(a＋1)＜f(3－a)，故 ‎ 化简得到a>1.‎ 故答案为：a>1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。‎ 三、解答题 ‎17．计算：（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由指数幂的运算性质即可求解.‎ ‎（2）利用对数的运算性质即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，（1）原式；‎ ‎（2）原式.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数幂、对数的运算性质，需熟记运算性质，属于基础题.‎ ‎18．已知，．‎ ‎（1）求；（2）若，若，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； (2).‎ ‎【解析】（1）求出集合A、B，由此可求解；‎ ‎（2）由集合列出不等式注，由此能求出m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为 ‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎（2）因为且，‎ 当C=时，1-m>1+m得m<0‎ 所以，解得,综上：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合中交集的运算，即集合之间的关系的应用，其中正确求解集合A、B和准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．设，求函数的最大值和最小值.‎ ‎【答案】最小值为；最大值为.‎ ‎【解析】采用换元法，令，将函数转化为二次函数的形式，根据二次函数的图像与性质即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设，则.‎ ‎∵上述关于的二次函数在上递减，在上递增，‎ ‎∴当，取最小值；‎ 当时，即时，取最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了与指数有关的复合函数的最值，解答此题可采用换元法，转化为基本初等函数，此题属于中档题.‎ ‎20．已知二次函数满足条件，及.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）在区间上，函数的图象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）采用待定系数法，设出函数表达式，代入对应系数相等，列方程组即可求解.‎ ‎（2）由题意将问题化为不等式恒成立，然后采用分离参数法转化为求函数 最值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，∵，∴.‎ 又，得：，‎ ‎∴，∴，‎ 所以.‎ ‎（2）由题知：在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 令，‎ 所以原不等式，‎ 又，，‎ 所以，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查待定系数法求函数表达式、不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎21．已知函数是定义在上的奇函数，且.‎ ‎(1)确定函数的解析式；‎ ‎(2)用定义证明函数在区间上是增函数；‎ ‎(3)解不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1）由奇函数得，求得，再由已知，得到方程，解出，即可得到解析式；‎ ‎（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；‎ ‎（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式即为，‎ 得到不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：函数是定义在上的奇函数，‎ 则，即有，‎ 且，则，解得，，‎ 则函数的解析式：；满足奇函数 ‎（2）证明：设，则 ‎，由于，则，，即，‎ ‎，则有，‎ 则在上是增函数；‎ ‎（3）解：由于奇函数在上是增函数，‎ 则不等式即为，‎ 即有，解得，‎ 则有，‎ 即解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎22．已知函数的定义域为，且满足下列条件：‎ ‎（）．（）对于任意的，，总有．‎ ‎（）对于任意的，，，．则 ‎（Ⅰ）求及的值．‎ ‎（Ⅱ）求证：函数为奇函数．‎ ‎（Ⅲ）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）见解析； （3）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意，对于任意，都有，∴令，即可求解的值；‎ ‎（Ⅱ）令，得，再令 ，则，进而得到 ，即可得到结论.‎ ‎（Ⅲ）∵对于任意的，可得为单调增函数，利用单调性把不等式转化为，得∴，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵对于任意，都有，‎ ‎∴令，得 ，∴．‎ 令，则，∴．‎ ‎（Ⅱ）令，则有，∴，‎ 令 ，则，‎ ‎∴ ，即： ．‎ 故为奇函数．‎ ‎（Ⅲ）∵对于任意的，∴为单调增函数，‎ ‎∵ ‎ 则 且 ，∴，∴， ‎ ‎∴，即： ，解得或 ．‎ 故实数的取值范围是 ．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抽象函数的性质的判定与证明，以及利用函数的单调性求解不等式问题，其中解答中合理赋值，正确利用奇偶性的定义判定，以及利用函数的单调性转化不等式是解答的关键，着重考查了转化思想与赋值思想的应用，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎