2019届二轮复习　三角函数与平面向量学案（全国通用）

2019届二轮复习　三角函数与平面向量学案（全国通用）

回扣3　三角函数与平面向量 ‎1.准确记忆六组诱导公式 对于“±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限.‎ ‎2.三角函数恒等变换“四大策略”‎ ‎(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等.‎ ‎(2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.‎ ‎(3)弦、切互化：一般是切化弦.‎ ‎(4)灵活运用辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).‎ ‎3.三种三角函数的性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调性 在(k∈Z)上单调递增；‎ 在(k∈Z)上单调递减 在(k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在 (k∈Z)上单调递增 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ (k∈Z)‎ 对称中心：(k∈Z)；‎ 对称轴：x＝kπ(k∈Z)‎ 对称中心： (k∈Z)‎ ‎4.函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，A＞0)的图象 ‎(1)“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得.‎ ‎(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口.‎ ‎(3)图象变换 y＝sin xy＝sin(x＋φ)‎ y＝sin(ωx＋φ)‎ y＝Asin(ωx＋φ).‎ ‎5.正弦定理及其变形 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径).‎ 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.‎ sin A＝，sin B＝，sin C＝.‎ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.‎ ‎6.余弦定理及其推论、变形 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，‎ c2＝a2＋b2－2abcos C.‎ 推论：cos A＝，cos B＝，‎ cos C＝.‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，‎ a2＋b2－c2＝2abcos C.‎ ‎7.面积公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.‎ ‎8.平面向量的数量积 ‎(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.‎ ‎(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎9.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎10.利用数量积求长度 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎||＝.‎ ‎11.利用数量积求夹角 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，‎ 则cos θ＝＝ .‎ ‎12.三角形“四心”向量形式的充要条件 设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则 ‎(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.‎ ‎(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.‎ ‎(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.‎ ‎(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.‎ ‎1.利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号.‎ ‎2.在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围.‎ ‎3.求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解.‎ ‎4.三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得y＝sin(ωx＋φ)时，平移量为，而不是φ.‎ ‎5.在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.‎ ‎6.要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.‎ ‎7.a·b＞0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；‎ a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件.‎ ‎1.2sin 45°cos 15°－sin 30°＝________.‎ 答案　 解析　2sin 45°cos 15°－sin 30°＝2sin 45°cos 15°－sin(45°－15°)＝2sin 45°cos 15°－(sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°)＝sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝.‎ ‎2.(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是________.‎ 答案　2‎ 解析　由题意得tan(18°＋27°)＝，‎ 即＝1，‎ 所以tan 18°＋tan 27°＝1－tan 18°tan 27°，‎ 所以(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝2.‎ ‎3.向量a＝(cos 10°，sin 10°)，b＝(cos 70°，sin 70°)，|a－2b|＝________.‎ 答案　 解析　a·b＝cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°＝cos 60°＝，|a|＝|b|＝1，所以|a－2b|＝＝＝.‎ ‎4.设函数f(x)＝sin2x－cos xcos，则函数f(x)在区间上的单调增区间为________.‎ 答案　 解析　f(x)＝＋cos xsin x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋.‎ 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，－≤x≤，‎ 故f(x)在上的单调增区间是.‎ ‎5.已知sin α＝3sin，则tan＝________.‎ 答案　2－4‎ 解析　方法一　由题意可得sin＝3sin，即sincos －cossin ＝3sincos ＋3cossin ，‎ 所以tan＝－2tan ＝－2tan ‎＝－＝2－4.‎ 方法二　tan ＝tan＝＝2－.因为sin α＝3sin αcos ＋3cos αsin ，即sin α＝sin α＋cos α，即tan α＝，所以tan＝＝＝＝2－4.‎ ‎6.已知a，b为同一平面内的两个向量，且a＝(1,2)，|b|＝|a|，若a＋2b与2a－b垂直，则a与b的夹角为________.‎ 答案　π 解析　|b|＝|a|＝，而(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2－2b2＋3a·b＝0，所以a·b＝－，从而cos〈a，b〉＝＝－1，所以〈a，b〉＝π.‎ ‎7.若函数f(x)＝sin(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0∈，则x0＝________.‎ 答案　 解析　两条相邻的对称轴之间的距离为＝，所以T＝π.而T＝，得ω＝2.因为f(x)的图象关于点(x0,0)成中心对称，所以sin＝0.又因为x0∈，所以2x0＋∈，所以2x0＋＝π，即x0＝.‎ ‎8.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为__________.‎ 答案　 解析　方法一　在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋(λ>0)，‎ ‎∴·＝(＋λ)·＝·＋·＋λ·＋λ·＝2×1×cos 60°＋2×1×＋λ×1×1×cos 60°＋λ××1×1×cos 120°＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值为.‎ 方法二　以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则B(2,0)，C，D.‎ 又＝λ，＝，‎ 则E，F，λ＞0，‎ ‎∴·＝＋λ＝＋＋λ≥＋2＝，当且仅当＝λ，‎ 即λ＝时取等号，‎ 故·的最小值为.‎ ‎9.已知函数f(x)＝sin－sin.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；‎ ‎(2)当x∈时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x的值.‎ 解　(1)由题意知，‎ f(x)＝－sin 2x＋cos 2x＝2sin， ‎ 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π. ‎ 当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)时，f(x)单调递增，解得x∈(k∈Z)，‎ 所以f(x)的单调增区间为(k∈Z).‎ ‎(2)因为x∈，所以≤2x＋≤，‎ 当2x＋＝，即x＝－时，f(x)取得最大值2，‎ 当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－.‎ ‎10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若a＝2，b＝， 求△ABC的面积.‎ 解　(1)由已知得 ‎－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，‎ 即sin Asin B－sin Acos B＝0, 因为sin A≠0，‎ 所以sin B－cos B＝0，又cos B≠0，所以tan B＝，‎ 又0＜B＜π，所以B＝. ‎ ‎(2)因为sin B＝，cos B＝，‎ 所以＝＝＝，‎ 又a＝2，‎ 所以sin A＝＝，‎ 因为a＜b，‎ 所以cos A＝.‎ 所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，‎ 所以S△ABC＝absin C＝.‎