【数学】2020届一轮复习（文）人教B版1-2命题与量词、基本逻辑联结词学案
第 2 节 命题与量词、基本逻辑联结词
最新考纲 1.理解命题的概念，了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；
2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知 识 梳 理
1.简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
(2)命题 p∧q，p∨q，綈 p 的真假判断
P Q p∧q p∨q 綈 p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全
称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述
事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
3.全称命题和存在性命题
名称
形式 全称命题 存在性命题
结构 对 M 中的所有 x，有 p(x)成
立
存在集合 M 中的元素 x0，使
p(x0)成立
简记 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0)
否定 ∃x0∈M，綈 p(x0) ∀x∈M，綈 p(x)
[微点提醒]
1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p
与綈 p→真假相反.
2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
3.“p∨q”的否定是“(綈 p)∧(綈 q)”，“p∧q”的否定是“(綈 p)∨(綈 q)”.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )
(2)命题“5>6 或 5>2”是假命题.( )
(3)命题綈(p∧q)是假命题，则命题 p，q 中至少有一个是真命题.( )
(4)“长方形的对角线相等”是存在性命题.( )
(5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈 p(x)的真假性相反.( )
解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
(2)错误.命题 p∨q 中，p，q 有一真则真.
(3)错误.p∧q 是真命题，则 p，q 都是真命题.
(4)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.(选修 1－1P15 例 2（1）改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是( )
A.∃x0∈R，x20＋x0≤0 B.∃x0∈R，x20＋x0<0
C.∀x∈R，x2＋x≤0 D.∀x∈R，x2＋x<0
解析 由全称命题的否定是存在性命题知命题 B 正确.
答案 B
3.(选修 1－1P17A1(1)改编)已知 p：2 是偶数，q：2 是质数，则命题綈 p，綈 q，
p∨q，p∧q 中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 p 和 q 显然都是真命题，所以綈 p，綈 q 都是假命题，p∨q，p∧q 都是真
命题.
答案 B
4.(2019·沈阳育才中学模拟)下列命题中的假命题是( )
A.∃x0∈R，lg x0＝1 B.∃x0∈R，sin x0＝0
C.∀x∈R，x3＞0 D.∀x∈R，2x＞0
解析 当 x＝10 时，lg 10＝1，则 A 为真命题；当 x＝0 时，sin 0＝0，则 B 为真
命题；当 x＜0 时，x3＜0，则 C 为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞
0，则 D 为真命题.
答案 C
5.(2018·辽河油田中学)已知命题 p，q，“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由綈 p 为真知，p 为假，可得 p∧q 为假；反之，若 p∧q 为假，则可能是
p 真 q 假，从而綈 p 为假，故“綈 p 为真”是“p∧q 为假”的充分不必要条件.
答案 A
6.(2019·豫南五校联考)若“∀x∈[－π
4
，π
3]，m≤tan x＋2”为真命题，则实数 m 的
最大值为________.
解析 由 x∈[－π
4
，π
3]，∴1≤tan x＋2≤2＋ 3.
∵“∀x∈[－π
4
，π
3]，m≤tan x＋2”为真命题，则 m≤1.
∴实数 m 的最大值为 1.
答案 1
考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
【例 1】 (1)设 a，b，c 是非零向量.已知命题 p: 若 a·b＝0，b·c＝0，则 a·c＝0；
命题 q：若 a∥b，b∥c，则 a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p∨q B.p∧q
C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∧(綈 q)
(2)(2018·太原模拟)已知命题 p：∃x 0∈R，x 20－x0＋1≥0；命题 q：若 a
1
b
，则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧(綈 q)
C.(綈 p)∧q D.(綈 p)∧(綈 q)
解析 (1)取 a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然 a·b＝0，b·c＝0，但 a·c＝1≠0，∴p
是假命题.
又 a，b，c 是非零向量，
由 a∥b 知 a＝xb(x∈R)，由 b∥c 知 b＝yc(y∈R)，
∴a＝xyc，∴a∥c，∴q 是真命题.
综上知 p∨q 是真命题，p∧q 是假命题.
綈 p 为真命题，綈 q 为假命题.
∴(綈 p)∧(綈 q)，p∧(綈 q)都是假命题.
(2)∵x2－x＋1＝(x－1
2)2
＋3
4
≥3
4>0，所以∃x0∈R，使 x20－x0＋1≥0 成立，故 p 为
真命题，綈 p 为假命题.又易知命题 q 为假命题，所以綈 q 为真命题，所以 p∧
(綈 q)为真命题.
答案 (1)A (2)B
规律方法 1.“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联
结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；
(2)判断其中命题 p，q 的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈 p”形式命题的真
假.
2.p∧q 形式是“一假必假，全真才真”，p∨q 形式是“一真必真，全假才假”，
綈 p 则是“与 p 的真假相反”.
【训练 1】 (1)(2019·普兰店模拟)若命题“p∨q”与命题“綈 p”都是真命题，
则( )
A.命题 p 与命题 q 都是真命题
B.命题 p 与命题 q 都是假命题
C.命题 p 是真命题，命题 q 是假命题
D.命题 p 是假命题，命题 q 是真命题
(2)(2017·山东卷)已知命题 p：∃x∈R，x 2－x＋1≥0；命题 q：若 a20
恒成立，
∴p 是真命题，綈 p 为假命题.
∵当 a＝－1，b＝－2 时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，
∴q 为假命题，綈 q 为真命题.
∴p∧綈 q 为真命题，p∧q，綈 p∧q，綈 p∧綈 q 为假命题.
答案 (1)D (2)B
考点二 全称量词与存在量词 多维探究
角度 1 含有量词命题的否定
【例 2－1】 命题“∀n∈N+，f(n)∈N+且 f(n)≤n”的否定形式是( )
A.∀n∈N+，f(n)∉N+且 f(n)＞n
B.∀n∈N+，f(n)∉N+或 f(n)＞n
C.∃n0∈N+，f(n0)∉N+且 f(n0)＞n0
D.∃n0∈N+，f(n0)∉N+或 f(n0)＞n0
解析 全称命题的否定为存在性命题，
∴命题的否定是：∃n0∈N+，f(n0)∉N+或 f(n0)>n0.
答案 D
角度 2 全称(存在性)命题的真假判断
【例 2－2】 (1)(2019·江西师大附中月考)已知定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数，
则下列命题一定为真命题的是( )
A.∀x∈R，f(－x)≠f(x)
B.∀x∈R，f(－x)≠－f(x)
C.∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D.∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)
(2)(2018·昆明一中质检)已知命题 p：∀x∈R，x＋1
x
≥2；命题 q：∃x0∈(0，＋∞)，
x20＞x30，则下列命题中为真命题的是( )
A.(綈 p)∧q B.p∧(綈 q)
C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∧q
解析 (1)∵定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，
∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题.
(2)对于 p：当 x＝－1 时，x＋1
x
＝－2，∴p 为假命题.取 x0∈(0，1)，此时 x20＞x30，
∴q 为真命题.
从而綈 p 为真命题，(綈 p)∧q 为真命题.
答案 (1)C (2)A
规律方法 1.全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全
称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词
改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.
2.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中的每一个元素 x，
证明 p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个 x＝
x0，使 p(x0)成立.
【训练 2】 (1)(2019·河北“五个一”名校联考)命题“∃x0∈R，12
D.∀x∈R，f(x)≤1 或 f(x)>2
(2)已知命题 p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0；命题 q：∀x∈(0，π
2)，sin x2”.
(2)因为当 x<0 时，(2
3 )x
>1，即 2x>3x，所以命题 p 为假命题，从而綈 p 为真命
题；因为当 x∈(0，π
2)时，x>sin x，所以命题 q 为真命题，所以(綈 p)∧q 为真命
题.
答案 (1)D (2)C
考点三 由命题的真假求参数的取值范围
【例 3】 (1)(2018·沈阳铁路实验中学模拟)已知命题 p：∀x∈R，log2(x2＋x＋a)>0
恒成立，命题 q：∃x0∈[－2，2]，2a≤2x0，若命题 p∧q 为真命题，则实数 a 的
取值范围为________.
(2)已知 f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝(1
2 )x
－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得
f(x1)≥g(x2)，则实数 m 的取值范围是________.
解析 (1)由题知，命题 p：∀x∈R，log2(x2＋x＋a)>0 恒成立，即 x2＋x＋a－1>0
恒成立，所以 Δ＝1－4(a－1)<0，解得 a> 5
4
；命题 q：∃x 0∈[－2，2]，使得
2a≤2x0，则 a≤2.当 p∧q 为真命题时，须满足{a >
5
4
，
a ≤ 2，
故实数 a 的取值范围为
(5
4
，2].
(2)当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝1
4
－m，对∀x1
∈[0，3]，∃x2∈[1，2]使得 f(x1)≥g(x2)等价于 f(x)min≥g(x)min，得 0≥1
4
－m，所以
m≥1
4.
答案 (1)(5
4
，2] (2)[1
4
，＋∞)
规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
2.全称命题可转化为恒成立问题.
含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.
【训练 3】 本例(2)中，若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，
则实数 m 的取值范围是____________.
解析 当 x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝1
2
－m，对∀x1∈[0，3]，∀x2∈[1，2]使得
f(x1)≥g(x2)等价于 f(x)min≥g(x)max，得 0≥1
2
－m，∴m≥1
2.
答案 [1
2
，＋∞)
[思维升华]
1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非”字
眼，要结合语句的含义理解.
2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结
构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”.
[易错防范]
1.正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，
它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“綈 p”，只是否定命题 p
的结论.命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真.
2.几点注意：
(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再
进行否定；
(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.
逻辑推理、数学运算——突破双变量“存在性或任意性”问题
逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存
在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为
两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻
辑推理素养和良好的数学思维品质.
类型 1 形如“对任意 x1∈A，都存在 x2∈B，使得 g(x2)＝f(x1)成立”
【例 1】 已知函数 f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝19
6 x－1
3
，若对任意 x1∈
[－1，1]，总存在 x2∈[0，2]，使得 f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数 a 的取值范
围.
解 由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为[－1
3
，6].
令 h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，则 h′(x)＝6x＋2，由 h′(x)＝0 得 x＝－1
3.
当 x∈[－1，－1
3)时，h′(x)<0；当 x∈(－1
3
，1]时，h′(x)>0，所以[h(x)]min＝h(－1
3 )
＝－a2－2a－1
3.
又由题意可知，h(x)的值域是[－1
3
，6]的子集，所以{h（－1） ≤ 6，
－a2－2a－1
3 ≥ －1
3
，
h（1） ≤ 6，
解得实数 a 的取值范围是[－2，0].
评析 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略
是“等价转化”，即“函数 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构
建关于 a 的不等式组，求得参数的取值范围.
类型 2 形如“存在 x1∈A 及 x2∈B，使得 f(x1)＝g(x2)成立”
【例 2】 已知函数 f(x)＝ 函数 g(x)＝ksinπx
6
－2k＋2(k>0)，若存在 x1∈[0，1]及
x2∈[0，1]，使得 f(x1)＝g(x2)成立，求实数 k 的取值范围.
解 由题意，易得函数 f(x)的值域为[0，1]，g(x)的值域为[2－2k，2－3k
2 ]，并且
两个值域有公共部分.
先求没有公共部分的情况，即 2－2k>1 或 2－3
2k<0，解得 k<1
2
或 k>4
3
，所以，要
使两个值域有公共部分，k 的取值范围是[1
2
，4
3].
评析 本类问题的实质是“两函数 f(x)与 g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法
的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任
意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和 g(x)的值域相等”来求解参数的
取值范围.
类型 3 形如“对任意 x1∈A，都存在 x2∈B，使得 f(x1)0”是真命题.
则 Δ＝(a－2)2－4×4×1
4
＝a2－4a<0，解得 00，得 3x＋1>1，所以 0< 1
3x＋1<1，
所以函数 y＝ 1
3x＋1
的值域为(0，1)，故命题 q 为真命题.
所以 p∧q 为假命题，p∨q 为真命题，p∧(綈 q)为假命题，綈 q 为假命题.
答案 B
5.已知命题 p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题 q：“∃x0∈R，x20＋4x0＋a＝0”.若
命题“p∧q”是真命题，则实数 a 的取值范围是( )
A.(4，＋∞) B.[1，4] C.[e，4] D.(－∞，－1)
解析 由题意知 p 与 q 均为真命题，由 p 为真，可知 a≥e，由 q 为真，知 x2＋4x
＋a＝0 有解，则 Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知 e≤a≤4.
答案 C
6.(2019·淮北模拟)命题 p：若向量 a·b<0，则 a 与 b 的夹角为钝角；命题 q：若 cos
α·cos β＝1，则 sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )
A.p B.綈 q C.p∧q D.p∨q
解析 当 a，b 方向相反时，a·b<0，但夹角是 180°，不是钝角，命题 p 是假命题；
若 cos αcos β＝1，则 cos α＝cos β＝1 或 cos α＝cos β＝－1，所以 sin α＝sin β＝
0，从而 sin(α＋β)＝0，命题 q 是真命题，所以 p∨q 是真命题.
答案 D
7.已知命题 p：∀x∈R，2x<3x，命题 q：∃x∈R，x2＝2－x，若命题(綈 p)∧q 为真
命题，则 x 的值为( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
解析 要使(綈 p)∧q 为真，所以綈 p 与 q 同时为真，而綈 p：∃x∈R，2x≥3x，
由 2x≥3x 得(2
3 )x
≥1，所以 x≤0.
由 x2＝2－x 得 x2＋x－2＝0，所以 x＝1 或 x＝－2.
又 x≤0，所以 x＝－2.
答案 D
8.已知函数 f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数 a
的取值范围是( )
A.(1
2
，1) B.(1，＋∞)
C.(1
2
，＋∞) D.(1
2
，1)∪(1，＋∞)
解析 ∵函数 f(x)＝a2x－2a＋1，
命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，
∴原命题的否定是：“∃x0∈(0，1)，使 f(x0)＝0”是真命题，
∴f(1)f(0)<0，即(a2－2a＋1)(－2a＋1)<0，
∴(a－1)2(2a－1)>0，解得 a>1
2
，且 a≠1，
∴实数 a 的取值范围是(1
2
，1)∪(1，＋∞).
答案 D
二、填空题
9.若“∀x∈[0，π
4]，tan x≤m”是真命题，则实数 m 的最小值为________.
解析 ∵函数 y＝tan x 在 [0，π
4]上是增函数，∴ymax＝tan π
4
＝1，依题意，
m≥ymax，即 m≥1.∴m 的最小值为 1.
答案 1
10.已知命题 p： 1
x2－x－2>0，则綈 p 对应的集合为__________.
解析 由 p： 1
x2－x－2>0，得 p：x>2 或 x<－1，所以綈 p 对应的集合为{x|－
1≤x≤2}.
答案 {x|－1≤x≤2}
11.下列结论：
①若命题 p：∃x0∈R，tan x0＝1；命题 q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧
(綈 q)”是假命题；
②已知直线 l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则 l1⊥l2 的充要条件是a
b
＝－3；
③命题“若 x 2－3x＋2＝0，则 x＝1”的逆否命题是“若 x≠1，则 x 2－3x＋
2≠0”.
其中正确结论的序号为________.
解析 ①中命题 p 为真命题，命题 q 为真命题，
所以 p∧(綈 q)为假命题，故①正确；
②当 b＝a＝0 时，有 l1⊥l2，故②不正确；
③正确，所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③
12.已知命题 p：∃x0∈R，(m＋1)(x20＋1)≤0，命题 q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0 恒成
立.若 p∧q 为假命题，则实数 m 的取值范围为________.
解析 由命题 p：∃x0∈R，(m＋1)(x20＋1)≤0 可得 m≤－1；由命题 q：∀x∈R，x2
＋mx＋1>0 恒成立，即 Δ＝m2－4<0，可得－2－1.
答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)
能力提升题组
(建议用时：15 分钟)
13.命题“∀x∈R，∃n∈N+，使得 n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R，∃n∈N+，使得 n0，2x－a>0.若“綈 p”和“p∧q”都是假命题，则实数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，－2)∪(1，＋∞) B.(－2，1]
C.(1，2) D.(1，＋∞)
解析 方程 x2＋ax＋1＝0 没有实根等价于 Δ＝a2－4<0，即－20，2x－
a>0 等价于 a<2x 在(0，＋∞)上恒成立，即 a≤1.
因“綈 p”是假命题，则 p 是真命题，又因“p∧q”是假命题，则 q 是假命题.
∴{－2 < a < 2，
a > 1， 解得 10，当 m<0 时，m－x2<0，
所以命题 p 为假命题；
当 m＝1
9
时，因为 f(－1)＝3－1＝1
3
，
所以 f[f(－1)]＝f(1
3 )＝1
9
－(1
3 )2
＝0，
所以命题 q 为真命题，
逐项检验可知，只有(綈 p)∧q 为真命题.
答案 ②
16.(2019·深圳质检)设 p：实数 x 满足 x2－4ax＋3a2<0，q：实数 x 满足|x－3|<1.
(1)若 a＝1，且 p∧q 为真，求实数 x 的取值范围；
(2)若 a>0 且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.
解 (1)由 x2－4ax＋3a2<0 得(x－3a)(x－a)<0，
当 a＝1 时，10，所以 a
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