安徽省淮北市濉溪县2020届高三上学期第一次教学质量检测数学（文）试题

安徽省淮北市濉溪县2020届高三上学期第一次教学质量检测数学（文）试题

濉溪县2020届高三第一次教学质量检测 数学试卷(文科)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知集合，集合，则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，正确求解集合，再根据集合的交集运算，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，集合，集合，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中根据对数函数的性质，以及一元二次不等式的解法，正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2.下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的定义以及常见函数的单调性判断即可.‎ ‎【详解】对A, 因为为奇函数,当时,故.故不为增函数.故A错误.‎ 对B, 当时,当时,故不是增函数.故B正确.‎ 对C, ,则为奇函数.又为增函数,为奇函数.故为增函数.‎ 对D, ,则为偶函数.故D错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型.‎ ‎3.设，则“周期为”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分与必要条件的判定判断即可.‎ ‎【详解】当时周期为成立.当周期为时,若也满足.故“周期为”是“”的必要不充分条件.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了必要充分条件的判定,属于基础题型.‎ ‎4.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理求解即可.‎ ‎【详解】根据正弦定理有,又,且 ,‎ 故.故或.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了利用正弦定理求三角形中角度的问题,属于基础题型.‎ ‎5.已知偶函数在上单调递增，，若，则x的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用偶函数的单调性列自变量绝对值的关系式求解即可.‎ ‎【详解】由题即.又偶函数在上单调递增,故，‎ 解得 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了利用偶函数性质求解不等式的问题.属于基础题型.‎ ‎6.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式化简,再根据终边经过点求角α的三角函数值即可.‎ ‎【详解】,又,故.‎ 故 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了诱导公式以及根据角终边上的点求三角函数值的方法，属于基础题型.‎ ‎7.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）‎ A. 函数有极大值和极小值 B. 函数有极大值和极小值 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像分段讨论的正负再分析即可.‎ ‎【详解】由图可知,当时, ；当时, ；‎ 当时, ；当时, .‎ 故当时,函数单调递减, 故当时,函数单调递增,‎ 当时,函数单调递减.‎ 故函数有极大值和极小值.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了根据图像求导函数的正负进而求得原函数的单调性与极值等,所以基础题型.‎ ‎8.函数的图象可能是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间时，判断选项.‎ ‎【详解】是偶函数，是奇函数，是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B ‎ ，当时，，‎ ‎，排除C.‎ 故选D .‎ ‎【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项.‎ ‎9.若实数a满足，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两种情况进行讨论即可.‎ 详解】当时, ,故 当时, ,故 故a的取值范围是.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了根据对数函数的单调性解不等式的方法,属于基础题型.‎ ‎10.设，函数单调递增，且对任意实数x，有 (其中e为自然对数的底数)，则（ ）‎ A. B. 3 C. D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,可设,再利用单调性判断分析可得的解析式,再代入求即可.‎ ‎【详解】由,设,且.‎ 又,令有,故,显然为其中一根.‎ 又为增函数.故为唯一解.故.故.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解,主要根据函数的单调性与特殊根的方法等.属于中等题型.‎ ‎11.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的解析式,再根据的单调递增区间为与的最大负零点在区间上求得关于的表达式再求解范围即可.‎ ‎【详解】由题,又函数在区间上单调递增,‎ 此时.又余弦函数在上单调递增.‎ 故,又,故.‎ 又的最大负零点为,故即.‎ 综上有.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了余弦函数的图像运用,需要根据单调区间与零点求得关于的表达式再求不等式即可.属于中等题型.‎ ‎12.已知函数在R上的增函数，且在关于对称，，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据关于对称可知为奇函数,再分析的奇偶性与单调性再判断a，b，c的大小关系即可.‎ ‎【详解】由关于对称可知关于对称.故为奇函数,又故.故为偶函数.又.‎ 因为,函数在R上的增函数,故当时 故.故为偶函数且在上单调递增.‎ 又,且.‎ 故.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性与单调性求函数值大小的问题,需要根据题意判断函数在上的单调性,再将自变量转换到上进行比较,所以中等题型.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡中的横线上 ‎13.函数的图像可以由函数的图像至少向右移________个单位长度得到．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数，再根据函数的图象变换规律，可得结论．‎ ‎【详解】解：，其图像可由的图像至少向右移个单位长度得到，即，‎ 故答案为 ‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎14.已知函数，，则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分情况求的值,再计算即可.‎ ‎【详解】当时, 有不成立.‎ 当时,满足.‎ 故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的值的求解,需要根据题意分情况讨论计算的值,属于基础题型.‎ ‎15.已知函数，则函数的零点个数是______‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出中或,再画出函数图像讨论 或的零点个数即可.‎ 详解】令有,故或.‎ 画出的图像,故或一共有5个零点.‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图像求零点个数的问题,需要根据题意求得或,再结合图像求解或的零点个数即可.属于中等题型.‎ ‎16.已知锐角外接圆的半径为2，，则周长的取值范围为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理求得,再根据正弦定理进行边化角求周长的取值范围即可.‎ ‎【详解】由题.又锐角故.‎ 故周长 ‎ 又锐角中,故.所以,故.‎ 故.‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题主要考查了解三角形中的边化角以及利用正弦定理求周长的范围问题,需要注意利用正弦定理将边长化成角度的关系,再根据角度的范围求函数范围,属于中等题型.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答 ‎17.已知命题p：关于x的不等式；命题q：不等式组.‎ ‎（1）当时，若“”为假，“”为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别求解命题p命题q中的范围,再根据“”为假，“”为真可知p,q一真一假,从而分两种情况进行讨论即可.‎ ‎(2) 若p是q的必要不充分条件则的范围包含的范围,再对区间端点列不等式求解即可.‎ ‎【详解】由，得，．‎ 由解得即，所以；‎ ‎（1）当时，，‎ 因为“”为假，“”为真，所以一真一假，‎ 当p真q假时，，或，此时实数的取值范围是； ‎ 当p假q真时，或，，此时无解. ‎ 综上，实数的取值范围是. ‎ ‎（2）因为是的必要不充分条件，所以所以，故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据命题的真假判断集合的关系进行求解的方法等,‎ 重点是根据不等式之间的关系列出区间端点对应的不等式求范围,属于中等题型.‎ ‎18.淮北市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前淮北市的空气质量位列全省前列，吸引了大量的外地游客。某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了淮北市国家湿地公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数，其中x为每天的时刻，若凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6.‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）求近期每天时段空气质量指数最高的时刻.(参考数值：)‎ ‎【答案】（1）；（2）最高的时刻为12时 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 由,代入函数表达式求解即可.‎ ‎(2)对求导, 令再列表分析函数单调性进行最大值的求解即可.‎ ‎【详解】（1）由，代入，解得；‎ ‎（2）由已知函数求导，得．令，得.‎ 列表得 x ‎12‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 所以函数在时取极大值也是最大值，即每天时段空气质量指数最高的时刻为12时.‎ ‎【点睛】本题主要考查了实际问题的函数模型运用,需要根据题意求解对应的参数值,再分析 ‎19.已知函数，‎ ‎（1）若曲线与在处相切，求表达式；‎ ‎（2）若在内是减函数，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分别对与求导,利用导数的几何意义列出斜率的关系求解即可.‎ ‎(2)由题知在内恒成立,再参变分离构造函数求最值即可.‎ ‎【详解】（1），.‎ 又曲线与在处相切，（2），即 又，即，，.‎ ‎（2）在内是减函数，‎ 在内恒成立，‎ ‎，∴只需在内恒成立，，.‎ ‎，当且仅当时取等号，，即.‎ 故实数m的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性与恒成立的问题,属于中等题型.‎ ‎20.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）设，N是所在平面上的一点，且与A点分别位于直线的两侧，如图，若，，求四边形面积的最大值。‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据正弦定理边化角后再利用辅助角公式求解即可.‎ ‎(2) 四边形面积中为等腰直角三角形,利用余弦定理,用角表示出四边形面积,再根据角度的范围求关于角的三角函数的值域即可.‎ ‎【详解】（1）由题意知 由正弦定理得. ‎ 即．∴，‎ 即 ‎ ‎∵，∴．∴，即．‎ ‎（2）在中，由余弦定理得，∵‎ ‎∴，‎ 由（1）和，得是等腰直角三角形，于是，‎ ‎∴四边形的面积 ‎∴当时，取最大值，即四边形的面积的最大值是 ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用以及建立关于角度的函数式求最值的方法等,需要根据题意列出正余弦定理化简边角关系,再求三角函数范围与最值.属于中等题型.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数求导后由几何意义求出函数在点处的切线方程 ‎(2)由导数可知存在极小值点，即最小值，下证 ‎【详解】（1），，‎ 又由题意得，，所以，‎ 即切线方程为.‎ ‎（2）证明：由（1）知，易知在区间单调递增，‎ ‎，且，所以，使得，即有唯一的根，‎ 记为，则，‎ 对两边取对数，得整理得，‎ 因为时，，，函数单调递减，‎ 时，，，函数单调递增，‎ 所以.‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 因，所以，即.‎ ‎【点睛】本题考查了运用几何意义求函数的切线方程，在求解不等式时要求出函数的最小值，由导数求得极值点，代入化简运用不等式求出结果，属于中档题 ‎(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答 ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）试判断曲线与是否存在两个交点，若存在，则求出两交点间的距离；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）: ，；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程．‎ ‎（2）先判断两圆的位置关系，再两圆作差得交点所在的直线方程，直线恰好过圆心即可得两交点间的距离.‎ ‎【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），化为普通方程为： ，曲线的极坐标方程为，化为直角坐标方程为： ‎ ‎（2）因为 ， ， ，相交 ，设与的交点为，两圆的方程作差得 ，又恰过， .‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程，极坐标和直角坐标方程的转化，也考查了两圆的位置关系，属于中档题.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集为R，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；‎ ‎（2）由绝对值三角不等式可得，从而得或，进而可得解.‎ ‎【详解】（1）当时，原不等式可化为 ‎ 解得 所以不等式的解集为 ‎ ‎（2）由题意可得, 当时取等号. ‎ 或， 即或 ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及绝对值三角不等式求最值，属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎