2017-2018学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期中考试数学试题

2017-2018学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期中考试数学试题

兰州一中2017-2018-1学期高二年级期中考试试题 数 学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.中，若，则的面积为 A. B. C. 1 D. ‎ ‎2.设数列是等差数列, 若 则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.若且, 则下列不等式一定成立的是 ‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4.设满足约束条件,则的最大值为 ‎ A. 5    B. 3     C. 7     D. -8‎ ‎5.在中,,则此三角形解的情况是 ‎ ‎ A. 一解 B. 两解 C. 解的个数不确定 D. 无解 ‎6.设且恒成立，则的最大值是 ‎ A． B．‎2 C． D．4 ‎ ‎7.下列结论正确的是 A．当时，的最小值为 B．当时， ‎ C．当无最大值 D．当且时，‎ ‎8.在等比数列中,，,则等于 A. B. C. D. 或 ‎9.在中,角所对的边分别为,若则 ‎ A. B. ‎ C. D. 与的大小关系不确定 ‎10.设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝‎5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为 A. 5 B. ‎6 ‎ C. 5或6 D. 11‎ ‎11.已知是等比数列，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.若某学生要作一个三角形，要求它的三条高长度分别为 则此学生将 ‎ A. 不能作出满足要求的三角形 B. 作出一个锐角三角形 ‎ C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.[]‎ ‎13.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为_________.‎ ‎14.在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝_____________.‎ ‎15.在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈N*)的个位数，则a2 017＝_______.‎ ‎16.若实数满足 则的最大值为________________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 在中，角所对的边分别为, 且成等差数列，‎ 成等比数列. 求证：为等边三角形.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔 底在同一水平面内的两个测点与．测得 米，并 在点测得塔顶的仰角为,求塔高．‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知等差数列满足：的前项和为．‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知中内角的对边分别为，向量m，‎ n，且m∥n．‎ ‎（1）求锐角B的大小；‎ ‎（2）在（1）的条件下，如果，求的最大值．‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元．该公司第年需要付出设备的维修和工人工资等费用的信息如下图．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）引进这种设备后，从第几年开始该公司能够获利？‎ ‎（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 设数列前项和为, 满足 ．[]‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令 求数列的前项和；‎ ‎（3）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．‎ 兰州一中2017-2018-1学期高二年级期中试题答案 数 学 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C D C B D B D A C B[]‎ D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13． 14． 15． 16. ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．解：由题意，知 又因为,所以 ……………2分 ‎ 又由余弦定理，知 ‎ 且由题意，知 ‎ ‎ 故有 ‎ ‎ 即 所以 ……………8分 ‎ 从而，，又 故 ‎ 所以为等边三角形. ……………10分 ‎18．解：在中，‎ 由正弦定理得．‎ 所以．        ……………6分 在中，‎ ‎（m） ……………12分 答: 塔高15m. ‎ ‎19．解：（1）设等差数列的首项为，公差为，‎ 解得 ‎ ‎ ……………6分 ‎（2），‎ ‎，，‎ 故 ‎=，‎ 数列的前项和 ……………12分 ‎20.解：（1）∵m∥n，‎ ‎∴2sin B＝－cos 2B，‎ ‎∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－.‎ 又∵B为锐角，∴2B∈(0，π)，∴2B＝，∴B＝. ……………6分[]‎ ‎（2）∵B＝，b＝2，‎ 由余弦定理cos B＝，‎ 得a2＋c2－ac－4＝0.‎ 又a2＋c2≥‎2ac，代入上式，得ac≤4，‎ 当且仅当a＝c＝2时等号成立.‎ 故S△ABC＝acsin B＝ac≤，‎ 当且仅当a＝c＝2时等号成立，‎ 即S△ABC的最大值为. ……………12分 ‎21.（1）解：由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：‎ ‎ ……………2分 ‎（2）设纯收入与年数n的关系为f(n),则：‎ ‎ ‎ 由f(n)>0得n2-20n+25<0 解得 ‎ 又因为n,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 ……7分 ‎ ‎（3）年平均收入为=20- ‎ 当且仅当n=5时，年平均收益最大.‎ 所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大. ……………12分 ‎ ‎ ‎22.解：（1） ‎ 两式相减，得 .‎ 所以，‎ 又，即 是首项为，公比是的等比数列.‎ 所以 . ……………4分 ‎（2）‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ① ‎- ②,得 ‎ ‎ 故 ……………8分 ‎（3）由题意，再结合（2），知 ‎ 即 .‎ 从而 设 ，‎ ‎ ……………12分 ‎ ‎ ‎ ‎