2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题十三《圆锥曲线与方程》

2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题十三《圆锥曲线与方程》

‎2019届高三复习理科数学专题卷 专题十三 圆锥曲线与方程 考点40：椭圆及其性质(1-5题，13,14题)‎ 考点41：双曲线及其性质（6-10题，15题）‎ 考点42：抛物线及其性质（11,12题）‎ 考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题）‎ 考点44：圆锥曲线的综合问题（16题，17-22题）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点40 易 椭圆的焦点在轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．【2017课标3，理10】 考点40 易 已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．【来源】重庆市第一中学2017-2018学年高二月考 考点40 中难 已知椭圆的两个焦点是， 是直线与椭圆的一个公共点，当取得最小值时椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟 考点40 难 如图， 为椭圆长轴的左、右端点， 为坐标原点， 为椭圆上不同于的三点，直线围成一个平行四边形，则 ‎（ ）‎ A. 14 B. 12 C. 9 D. 7‎ ‎5．【来源】山西省三区八校2017届高三第二次模拟考试 考点40 难 已知椭圆的左焦点为，有一小球从处以速度开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．【来源】河北省五个一联盟2017届高三上学期第一次模拟考试 考点41 易 设椭圆，双曲线，（其中）的离心率分别为 ，则（ ）‎ A. B. C. D. 与1大小不确定 ‎7．【来源】湖北省六校联合体2017届高三4月联考 考点41 易 已知双曲线上有一点到右焦点的距离为18，则点到左焦点的距离是（ ）‎ A. 8 B. 28 C. 12 D. 8或28‎ 8． ‎【2017课标II，理9】 考点41 易 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎9．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点41 中难 ‎、分别是双曲线的左顶点和右焦点， 、‎ 在双曲线的一条渐近线上的射影分别为、， 为坐标原点， 与的面积之比为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎10．【来源】江西南昌十所省重点中学2017届高三第二次模拟 考点41 难 已知是双曲线的左、右焦点，设双曲线的离心率为．若在双曲线的右支上存在点，满足，且，则该双曲线的离心率等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．【2017课标1，理10】 考点42 中难 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）‎ A．16 B．14 C．12 D．10‎ ‎12．【来源】河北省石家庄市高三一模考试 考点42 难 已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于, 两点,且,抛物线的准线与轴交于点, 于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）‎ ‎13．【来源】2017-2018学年辽宁大连二十高级中高二上期中 考点40 中难 设、分别是椭圆的左，右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则| |＋||的最大值为_______‎ ‎14．【来源】2017届湖南长沙长郡中学高三上第三次月考 考点40 难 分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则 .‎ 15． ‎【2017课标1，理】 考点41 中难 已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.‎ 15． ‎【2017课标II，理16】 考点42 难 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分。）‎ ‎17．（本题满分10分）【来源】江西省2017届高三下学期调研考试 考点43 考点44 中难 已知为坐标原点， 为椭圆的左、右焦点，其离心率， 为椭圆上的动点， 的周长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知椭圆的右顶点为，点（在第一象限）都在椭圆上，若，且，求实数的值.‎ ‎18．（本题满分12分）‎ ‎【来源】山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟考试 考点43 考点44中难 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为， ， 是椭圆的长轴的两个端点（位于右侧），是椭圆在轴正半轴上的顶点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同两点和，使得向量与共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.‎ ‎19．（本题满分12分）‎ ‎【来源】湖北省六校联合体2017届高三4月联考 考点43 考点44 中难 如图，已知圆经过椭圆的左右焦点，与椭圆在第一象限的交点为，且， ， 三点共线.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设与直线（为原点）平行的直线交椭圆于两点，当的面积取最大值时，求直线的方程.‎ 20． ‎（本题满分12分）【2017课标1，理20】考点43 考点44 中难 已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎21．（本题满分12分）‎ ‎【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点43 考点44 中难 已知过的动圆恒与轴相切，设切点为是该圆的直径．‎ ‎（Ⅰ）求点轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）当不在y轴上时，设直线与曲线交于另一点，该曲线在处的切线与直线 交于点．求证: 恒为直角三角形．‎ ‎22．（本题满分12分）‎ ‎【来源】福建省2017届高三4月单科质量检测 考点43 考点44 难 已知点，直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点，过且与轴不垂直的直线交于两点，直线分别交于点，求证：以为直径的圆必过定点.‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】由条件可知 ， ，所以椭圆方程为 ，故选C.‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】‎ ‎3．D ‎【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得： ，‎ 满足题意时： ，‎ 当 时，椭圆的离心率取得最小值 .‎ ‎4．A ‎【解析】设， 斜率分别为，则的斜率为，且，所以，同理，因此 ‎.故选A．‎ ‎5．D ‎【解析】因为左焦点到左顶点的距离最近，到右顶点的距离最大，所以由题设可得，即，应选答案D 。‎ ‎6．B ‎【解析】在椭圆中， ，∴，‎ 在双曲线中， ，∴，‎ ‎∴，故选B.‎ ‎7．D ‎【解析】根据双曲线的定义可知点 到两焦点的距离的差的绝对值为，即又则 .故选 D.‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】‎ ‎9．D ‎【解析】 ，所以 ，所以椭圆的离心率 ，故选D.‎ ‎10．B ‎【解析】依题设， ， ‎ ‎∵， ∴，‎ ‎∴等腰三角形底边上的高为， ∴底边的长为，‎ 由双曲线的定义可得，∴，‎ ‎∴，即， ∴，解得.‎ ‎11．【答案】A ‎12．A ‎【解析】由题意，知，直线的方程为．设，则， ．由，得，即 ①．设直线的方程为，代入抛物线方程消去，得，所以 ②．联立①②，得或（舍去），所以．因为＝，将的值代入解得，所以直线的方程为，故选A．‎ ‎13．15‎ ‎【解析】由椭圆方程可知，两焦点坐标，由椭圆定义可得，结合三角形三边关系可知，所以，最大值为15‎ ‎14．‎ ‎【解析】由椭圆方程,得,由椭圆定义可得,因为,所以为的中点,,所以为中点,因为为中点,所以,所以.‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎16．【答案】6‎ ‎【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，‎ ‎17．（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）因为的周长为，‎ 所以，①，‎ 由题意②，‎ 联立①②解得，∴，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）设直线的斜率为，则直线方程为，‎ 代入椭圆方程并整理得，‎ ‎∴，所以，‎ 由知A（2,0），因为，所以 所以直线的方程为，‎ 代入椭圆方程并整理得，‎ ‎∵，∴，‎ 因为，所以，‎ 所以，因为在第一象限，所以，∴，‎ 因为，‎ ‎，‎ 由，得，‎ ‎∵，∴.‎ ‎18．（1）（2）不存在 ‎【解析】（1）设椭圆的方程为，‎ ‎.依题意得解得， .‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）假设存在过点且斜率为的直线适合题意，则因为直线的方程为： ‎ ‎，于是联立方程， .‎ 由直线与椭圆交于不同两点和知，‎ ‎ ， .‎ 令， ， ，‎ ‎， ，‎ ‎ ，‎ 由题知， ， .‎ 从而，根据向量与共线，可得， ，这与矛盾.‎ 故不存在符合题意的直线.‎ ‎19．(1) ;(2) .‎ ‎【解析】 (1)∵， ， 三点共线，∴为圆的直径，且，‎ ‎∴.由，得，∴，∵， ∴， ∴， .‎ ‎∵，∴，∴椭圆的方程为. (2)由（1）知，点的坐标为，∴直线的斜率为，故设直线的方程为，将方程代入消去得： ， 设 ∴， ， ，∴‎ ‎， ‎ 又=，∵点到直线的距离， ∴ ，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 此时直线的方程为.‎ ‎20．解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C的方程为.‎ ‎21．(1) ；(2) 证明见解析．‎ ‎【解析】(Ⅰ) 设点坐标为，则点坐标为．‎ 因为是直径，所以，或、均在坐标原点．‎ 因此 ,而 ， ， ‎ 故有，即， ‎ 另一方面，设是曲线上一点，‎ 则有，‎ 中点纵坐标为，‎ 故以为直径的圆与 轴相切．‎ 综上可知点轨迹的方程为． ‎ ‎(Ⅱ)设直线的方程为，‎ 由得： ‎ 设 ，则有． ‎ 由对求导知，‎ 从而曲线E在P处的切线斜率，‎ 直线的斜率， ‎ 于是 ．‎ 因此 ．‎ 所以恒为直角三角形．‎ ‎22．（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）依题意得，即到直线的距离与到点的距离相等，‎ 所以点的轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线.‎ 设抛物线方程为，则，即点的轨迹的方程是.‎ ‎（2）‎ 由题意可设直线，代入，得，‎ 设，则；‎ 又，设直线的斜率分别为，‎ 则，‎ 设，‎ 令，得，‎ 同理，得，‎ 从而；‎ ‎.‎ 又以为直径的圆的方程为： ，‎ 即，即，‎ 令，解得或，‎ 从而以为直径的圆恒过定点和.‎