数学理卷·2018届湖南省岳阳县一中高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届湖南省岳阳县一中高二下学期期中考试（2017-04）

‎2017岳阳县一中高二下期段考试卷 数学(理科)‎ 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合， ，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．命题的否定为 （ ）‎ A. ， B. ‎ C. ， D. ‎ ‎3．若函数在上既是奇函数，又是增函数，则 的图象是 （ ）‎ ‎4．设、是两个不同的平面，是一条直线，以下命题：①若，，‎ 则；②若，，则； ③若，，则；④若，‎ ‎，则；其中正确命题的个数是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5．设为实数，直线，，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6．在区间上任取一数，则的概率是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7．已知点在不等式组所表示的平面区域上，点在曲线 上，那么的最小值是 （ ）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎8．若下列程序框图中输入n＝6，m＝4，那么输出的p等于 ( )‎ A.720 B.360 C.240 D.120‎ ‎9．从2006名学生中选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从 ‎2006名学生中剔除6名，再从2000名学生随机抽取50名，则其中学生甲被剔除和被选取 的概率分别是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数，（其中）‎ 的部分图象如图所示．设点是图象上轴右侧的 第一个最高点，，则的面积是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11．在△ABC中，已知D是BC延长线上一点，若，‎ 点E为线段AD的中点，，则λ=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，把函数的零点按从小 到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若，则函数的最大值是 ‎ ‎3‎ 正视图 ‎4‎ 俯视图 ‎14．在中，，，‎ ‎，则的长度为_ _‎ ‎15．一个正三棱柱的正视图和俯视图如图 所示，则这个三棱柱的左视图的面积为 ‎ ‎16．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，‎ 当，且时，都有给出下列命题：‎ ‎①；②直线是函数的图象的一条对称轴；‎ ‎③函数在上为增函数； ④函数)在上有四个零点．‎ 其中所有正确命题的序号为______________(把所有正确命题的序号都填上)‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．(本小题满分10分)已知实数满足，其中；‎ 实数满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）已知函数 的最大值为．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程＝在∈‎ 上有解，求实数的取值范围．‎ ‎19．（本小题满分12分）已知公比不为1的等比数列的前5项积为243，且为和的等 差中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足（且），且，求数列的前项和．‎ P A B C D F E ‎20．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，、分别为棱、的中点.‎ ‎⑴求证：∥平面；‎ ‎⑵求三棱锥的体积；‎ ‎⑶求二面角的正切值。‎ ‎21．（本小题满分12分）某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人。为了 研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计 了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成5组：‎ ‎ 分别加以统计，得到如图所示的频率 分布直方图。‎ ‎（I）从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰为一男一女的概率；‎ ‎（II）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2‎ 列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”? 附表：‎ ‎,其中为样本容量 ‎22．（本小题满分12分）已知函数满足以下条件：①定义在正实数集上；‎ ‎②；③对任意实数，都有。‎ ‎（1）求,的值；‎ ‎（2）求证：对于任意，都有;‎ ‎（3）若不等式,对恒成立，‎ 求实数的取值范围。‎ 参考答案 ‎1．A 2．D 3．D 4．B 5．A 6．C 7．B 8．D 9．C 10．C 11．B 12．C ‎13．5 14． 15． 16．①②④‎ ‎17．（1）；（2）．‎ 解析：（1）对由得，因为，‎ 所以 当时，解得，即为真时，实数的取值范围是．‎ 又为真时实数的取值范围是 若为真，则真且真，‎ 所以实数的取值范围是 ‎（2）是的必要不充分条件 ，即，且，‎ 设，则 又；‎ 所以有解得，所以实数的取值范围是 ‎18．（1）（2）-3≤m≤ ‎ 解析：（1）‎ ‎，‎ 由，解得，‎ 所以函数的单调递增区间 ‎（3）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，‎ ‎（ 或写成）‎ 当时，即时,‎ ‎，取最大值; 当时，‎ 即时,，取最小值-3．‎ 方程＝在∈上有解，即 . ‎ ‎19．（1） （2）‎ 解析：（1）由前5项积为243得：，设等比数列的公比为，‎ 由为和的等差中项得：，由公比不为1，‎ 解得：，所以．‎ ‎（2）由，得 ‎，所以所以数列，‎ 所以它的前项和 P A B C D F E G O M 所以．‎ ‎20．解析：(1)略 (2) (3) ‎ ‎⑴取中点，连结、‎ ‎ ∵为的中位线，‎ ‎∴∥且 又∥且，∴∥且，‎ ‎∴是平行四边形，∴∥又，，‎ ‎∴∥面 ‎ ⑵取中点，连结 ‎∵，为正三角形，∴，且 又为面斜线，为中点，∴到面距离，‎ 故 ‎ ⑶连交于，易证得≌‎ ‎ ∴，∴，∴‎ ‎ 连，由三垂线定理可知，是二面角的平面角，‎ ‎ 在中，，∴，‎ ‎ ∴，即二面角的正切值为 ‎21．(1),（Ⅱ）见解析.‎ 解析：(1)由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于 ‎110分的学生中，男生有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；‎ 女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2； ………………2分 从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：‎ ‎（A1，A2），（A1， A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），‎ ‎（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；‎ 其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：‎ ‎（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），‎ ‎（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）； 故所求的概率为P=． ‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可知，‎ 在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…7分 据此可得2×2列联表如下：‎ 数学尖子生 非数学尖子生 合计 男生 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ 女生 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎（9分）所以得 ；‎ 因为1.79＜2.706，‎ 所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关” ‎ ‎22．解析：（1）令，得：‎ ‎,,,‎ ‎（2）证明：设，均为正数 ,则存在使得，[来源]‎ ‎（3）先证在正实数集上单调递减：‎ 设，且,令：，（），，，‎ ‎ 则由（2）知 ‎-==，则函数在上是减函数.再求取值范围：‎ 因为且，又，在区间上有定义 ‎ 定义在正实数集上 可得：‎ ‎，对恒成立，‎ ‎……（1）‎ ‎,对恒成立，恒成立（2）由（2）中令 ,得：，，则原不等式 可整理为： ‎ 上单调递减 直线在 左侧，令在上为减函数，‎ 需要最大值为，即，‎ ‎ （3）,有上面（1）（2）（3）得：的取值范围是