2017-2018学年河北省黄骅中学高二上学期期中考试数学（理）试题

2017-2018学年河北省黄骅中学高二上学期期中考试数学（理）试题

黄骅中学2017－2018年度高中二年级第一学期期中考试 ‎ 数学试卷（理科）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷第1至2页, 第Ⅱ卷第3至4页,共150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（客观题 共 60分）‎ 注意事项：答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、学号、班级及准考证号等分别写在试卷相应位置和涂在答题卡上；不能将题直接答在试卷上。‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.某学院A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用 分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取的学生人数为(　 　)‎ A．30 B．‎40 C．50 D．60‎ ‎2.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从中 任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于(　 　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.如果在一次实验中，测得(x,y)的四组数值分别是A(1, 3),B(2, 3.8),C(3, 5.2),D(4, ‎ ‎6),则y与x之间的回归直线方程是(　 　)‎ A. ＝x＋1.9 B. ＝1.04x＋1.9 ‎ C. ＝0.95x＋1.04 D. ＝1.05x－0.9‎ ‎5.已知平面的法向量是（2,3，-1），平面的法向量是 ‎，若，则的值是（ ） ‎ A. B．‎6 C． D．‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.“”是 “”的( ) ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，,，‎ 则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎9.在棱长为2的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)‎ A. B．1－ C. D．1－ ‎10.设分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在一点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为（　　）‎ A.60° B. 45° C. 90° D.以上都不对 ‎12. 有关下列命题，其中正确命题的个数是（ ）‎ ‎（1）命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ ‎（2）“”是“”的必要不充分条件 ‎（3）若是假命题，则都是假命题 ‎ ‎（4）命题“若且，则”的等价命题是“若， 则 ‎” A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎13. 把下列各进制的数，，按从小到大的顺序排列________．‎ ‎14. 已知命题，，则的否定为______．‎ ‎15.欧阳修《卖油翁》中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为________．‎ ‎16.已知椭圆,过点作直线与椭圆交于 两点,点是线段 ‎ ‎ 的中点,则直线的斜率为　　　　　.‎ 三、解答题（共70分，写出必要的解题步骤、文字说明）‎ ‎17.(本小题10分)对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽门功课，得到的观测值如下：‎ ‎ ‎ 问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？‎ ‎18.(本小题12分)已知点M(3，－6)在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直 线l：y=2x+1与抛物线C相交于A，B两点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;(2)求线段AB的长.‎ ‎19.(本小题12分)如图是某地某公司1000名员工的 ‎ 月收入后的直方图．根据直方图估计：‎ ‎(1)该公司员工月收入的众数；‎ ‎(2)该公司月收入在1000元至1500 元之间的人 ‎ ‎ 数；‎ ‎(3)该公司员工的月平均收入；‎ ‎(4)该公司员工月收入的中位数．‎ ‎20.(本小题12分)已知c>0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx在R上单调递减；命题q：‎ ‎ 函数f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，若命题p∧q为假，命题p∨q为真，‎ ‎ 求实数c的取值范围．‎ ‎21.(本小题12分)如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，‎ 平面平面，，为的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ ‎22.(本小题12分)已知椭圆的两个焦点分别为,‎ ‎ F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2。‎ ‎（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．‎ 四、附加题（共两个题，20分）‎ ‎23.(本小题5分) (2017·东营模拟)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(1,1)， ‎ ‎ C(0,1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点 ‎ ‎ P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P′的 ‎ ‎ 轨迹是(　　)‎ ‎24.(本小题15分) 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，‎ ‎ 焦距为2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点．过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.求直线AB的斜率的最小值．‎ 黄骅中学2017－2018年度高中二年级第一学期期中考试 数学试卷（理科）参考答案 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1-6 BCABCD 　7-12 BADBCC 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13. 14. , 15. 16. ‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17. (本小题10分)‎ 解： --------2分 ‎ --------4分 ‎ ‎ ‎ ----8分 ‎ ∵ ‎ ‎ ∴ 甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡---------10分 ‎18. (本小题12分)‎ 解：（1）, ---------6分 ‎ （2）---------12分 ‎19. (本小题12分)解:（1）2500元 ---2分 ‎ (2)[1-（0.0004+0.0005+0.0005+0.0003+0.0001）×500]×1000=100人---4分 （3）0.1×1250+0.2×1750+0.25×2250+0.25×2750+0.15×3250+0.05×3750=2400元--8分 （4）中位数为2400元（面积分为相等的两部分）-----12分 ‎20. (本小题12分)‎ 解：因为函数y＝cx在R上单调递减，所以00且c≠1，所以p：c>1. ------2分 又因为f(x)＝x2－2cx＋1在上为增函数，所以c≤.即q：00且c≠1，‎ 所以q：c>且c≠1. ------4分 又因为“p或q”为真，“p且q”为假，‎ 所以p真q假或p假q真．‎ ‎①当p真，q假时，{c|01}∩＝∅. ------10分 综上所述，实数c的取值范围是. ------12分 ‎21. (本小题12分)‎ 解：（1）证明：取的中点，连接 因为，，所以且.‎ 因为平面平面，平面平面，所以平面 所以. ‎ 如右图所示，建立空间直角坐标系 则 所以 因为 所以 ------4分 ‎（2）由（1）得，所以 设为平面的一个法向量，则 ‎，取，则 所以---7分 又因为为平面的一个法向量，所以 所以二面角的余弦值为.--------9分 ‎（3）由（1）（2）可得，为平面的一个法向量.‎ 所以点到平面的距离. ------12分 ‎22．(本题满分12分)‎ 解：（1）根据题意, 故可设椭圆 ‎：.将代入得，故椭圆的方程为. ----4分 ‎（2）当直线的斜率不存在时,其方程为,经验证，不符合题意；----6分 当直线的斜率存在时,设直线的方程为. 由 可得 . ‎ 设,则 ‎ ‎ ‎ 因为,所以,即 ‎ ‎ ‎ ‎ -----------------10分 解得,即.‎ 故直线的方程为或.-----12分 四、附加题(共20分)：‎ ‎23. (本小题5分) [答案]　D ‎ [解析]　当P沿AB运动时，x＝1，设P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，∴y′＝1－(0≤x′≤2，0≤y′≤1)．‎ 当P沿BC运动时，y＝1，则(0≤x≤1)，∴y′＝－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，由此可知P′的轨迹如D所示，故选D.‎ ‎24．(本小题15分)解:(1)设椭圆的半焦距为c.‎ 由题意知‎2a＝4,‎2c＝2，所以a＝2，b＝＝.‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1. -------2分 ‎(2)①设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)．‎ 由M(0，m)，可得P(x0,‎2m)，Q(x0，－‎2m)．‎ 所以直线PM的斜率k＝＝，直线QM的斜率k′＝＝－.此时＝－3.所以为定值－3. --------4分 ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 直线PA的方程为y＝kx＋m，直线QB的方程为y＝－3kx＋m，‎ 联立 整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋‎2m2‎－4＝0.‎ 由x1x0＝，可得x1＝，‎ 所以y1＝kx1＋m＝＋m，‎ 同理x2＝，y2＝＋m.‎ 所以x2－x1＝－ ‎＝，‎ y2－y1＝＋m－－m ‎＝. ---------10分 所以kAB＝＝＝.‎ 由m>0，x0>0，可知k>0，所以6k＋≥2，‎ 等号当且仅当k＝时取得．此时＝，即m＝，符合题意．‎ 所以直线AB的斜率的最小值为. ----------15分