2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题07 数列（测）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题07 数列（测）（解析版）

专题07 数列(测)‎ ‎【满分：100分 时间：90分钟】‎ 一、选择题(12*5=60分)‎ ‎1．等比数列，…的第四项等于(     )‎ A．-24 B．0 C．12 D．24‎ ‎【答案】A ‎【解析】由x，3x+3，6x+6成等比数列得 ‎2．已知等比数列满足，，则( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得，所以 ，故 ，选C.‎ ‎3．记数列的前n项和为，若，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，当时，，所以，选:D ‎4．已知数列中，，若对任意的，，则( )‎ A．12 B．16 C．8 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意，，，两式相加可得，则，故周期为6，又，故．故选:C ‎5．《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第题为：今有女善织，日益功疾(注：从第天起每天比前一天多织相同量的布)，第一天织尺布，现在一月(按天计)，共织尺布，则第天织的布的尺数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设公差为d，由题意可得：前30项和=420=30×5+d，解得d=.∴第2天织的布的尺数 ‎=5+d=.故选A.‎ ‎6．在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为( )‎ A．12 B．10 C．8 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以原式，选B ‎7．在数列中，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 故选A.‎ ‎8．已知等差数列的前n项和为，若，，则最小时n的值为( )‎ A．10 B．11 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得，由，得，‎ 所以时，，时，，所以最小时，故选:C．‎ ‎9．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等比数列的公比为.因为数列也是等比数列，所以，解得，所以.选A.‎ ‎10、设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则( )‎ A．8 B． C．1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为成等比数列，所以，即，解得：。‎ ‎11．已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列的连续三项，则的值为( )‎ A． B．4 C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，∴=a1•a7，可得=a1(a1+6d)，化为：a1=2d≠0．∴公比q====2．则==．故选：A．‎ ‎12．在数列{an}中，对任意，都有(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”. 下面对“等差比数列”的判断： ①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为( )‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于①，若k＝0，则分母必为0，故k≠0，故①正确；当等差数列为常数列时，分母为0，不满足题设的条件，故②不正确；当等比数列为常数列时，不满足题设，故③不正确；对于④，把an＝a•bn+c代入结果为b，为常数，故④正确；故选D．‎ 二、填空题(4*5=20分)‎ ‎13．已知等差数列是递增数列，是的前n项和，若是方程的两个根，则的值为_________‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】因为是方程的两个根且是递增数列，所以解得，所以，，，故填.‎ ‎14．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.记此数列为，则___________________ ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】将所给的数列分组，第1组为：，第2组为：，第3组为：，，则数列的前n组共有项，由于，故数列的前63组共有2016项，数列的第2017项为，数列的第2018项为.‎ ‎15．正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等比数列的公比为.由，，成等差数列可得，则，所以，解得(舍去)或.因为，所以.‎ 所以.所以.所以，当时，取得最小值，取得最小值.故答案为：.‎ ‎16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是 有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系 统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为a，在线段上取两个 点，，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段 ‎，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为，现给出有关数列的四个命题：‎ ‎①数列是等比数列；②数列是递增数列；‎ ‎③存在最小的正数，使得对任意的正整数 ，都有 ；‎ ‎④存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有．‎ 其中真命题的序号是________________(请写出所有真命题的序号).‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】由题意，得图1中线段为，即；图2中正六边形边长为，则；‎ 图3中的最小正六边形边长为，则；图4中的最小正六边形边长为，则；由此类推，，所以为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确；因为 ‎，即存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有，即④正确；③错误，综上可知正确的由②④。‎ 二、解答题(6*12=70分)‎ ‎17．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为．若，，．‎ ‎(I)求数列与的通项公式；‎ ‎(II)求数列的前项和．‎ ‎【答案】(I)；(II).‎ ‎【解析】(I)由，，则，设等差数列的公差为，则，所以.所以.设等比数列的公比为，由题，即，所以.所以；‎ ‎(II)，所以的前项和为 ‎.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记通项公式、前项和公式即可，属于常考题型.‎ ‎18．【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列满足，且是的等比中项.‎ ‎(I)求数列的通项公式；‎ ‎(II)设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值 ‎【答案】(I).(II)8.‎ ‎【解析】(I)设等差数列的公差为，，即，‎ ‎，，，是，的等比中项， ‎ ‎，即，解得.‎ 数列的通项公式为.‎ ‎(II)由(I)得.‎ ‎，‎ 由，得.使得成立的最大正整数的值为.‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列通项公式以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎19．【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列满足：，，数列中，，且，，成等比数列.‎ ‎(I)求证：数列是等差数列；‎ ‎(II)若是数列的前项和，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(I)见解析；(II).‎ ‎【解析】(I)，‎ ‎∴数列是公差为1的等差数列；‎ ‎(II)由题意可得，即，所以，所以，‎ ‎∴，∴，‎ ‎.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20．设是等差数列，是等比数列．已知．‎ ‎(Ⅰ)求和的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设数列满足其中．‎ ‎(i)求数列的通项公式；(ii)求．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)(ii)‎ ‎【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得 故．‎ 所以的通项公式为的通项公式为．‎ ‎(Ⅱ)(i)．‎ 所以，数列的通项公式为．‎ ‎(ii)‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．‎ ‎21、已知数列 的前n项和 满足.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)证明：对任意的整数，都有 ‎【答案】(1)；(2)见证明 ‎【解析】(1)由得：，当且时，有 ‎，则，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，经验证也满足上式 ‎(2)证明：由通项公式得，当且为奇数时，‎ 有 所以，当且为偶数时，‎ 有 当且为奇数时，‎ 所以对任意整数时，都有 ‎【点睛】本题考查利用递推关系求解数列的通项公式、与数列有关的不等式的证明问题，难点在于进行不等式证明时，对原有数列通项进行适当放缩，从而可转化为等比数列求和的形式，进而再次放缩证得结果，属于难题.‎ ‎22、设等差数列的前n项和为，，，数列满足：对每个 成等比数列．‎ ‎(I)求数列的通项公式； (II)记 证明：‎ ‎【答案】(I)，；(II)证明见解析.‎ ‎【解析】(I)设数列的公差为d，由题意得，解得．‎ 从而．所以，由成等比数列得 ‎．解得．所以．‎ ‎(II)．‎ 我们用数学归纳法证明．‎ ‎(i)当n=1时，c1=0<2，不等式成立；‎ ‎(ii)假设时不等式成立，即．那么，当时，‎ ‎．即当时不等式也成立．‎ 根据(i)和(ii)，不等式对任意成立．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力. ‎