江苏省南通市基地学校2020届高三第二次大联考数学试题（含答案）

江苏省南通市基地学校2020届高三第二次大联考数学试题（含答案）

1 / 17 江苏省南通市 2020 届高三基地学校第二次大联考 数学试题 第 I卷（必做题，共 160分） 一、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．） 1．已知集合 A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则集合 A B中元素的个数为 个．  2．复数 （i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于实轴上，则实数 a 的值 i 1 i az    为 ． 3．一组数据 3，6，x，5，7，6的平均数为 6，则该组数据的方差为 ． 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的 i的值为 ． 5．若 a，b {﹣1，1，2}， 则函数 有零点的概  2( ) 2f x ax x b   率为 ． 6．在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线 (a＞0，b＞0) 2 2 2 2 1x y a b   的右焦点为 F，过点 F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为 E． 若 EF＝2OE，则双曲线的离心率为 ． 第 4题 7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 4，面积为 4π 的扇形，则该圆锥的高 为 ． 8．若将函数 (0＜ ＜4) 的图象向左平移 个单位后，所得图象关于 y轴对( ) sinf x x  3  称，则实数 的值为 ．  9．已知函数 的图象在点 P( ，n) 处的切线与直线 x﹣y＝0平行，则 n(cos 3)y m x  5 6  的值为 ． 10．设 为等差数列 的前 n 项和，若 ， ， 则 的值nS  na 2 8 4a a  2 2 7 3 32a a  10S 为 ． 11．已知函数 ，则不等式 的解集为 ． 2 2 2 0 ( ) ( ) 0 x x x f x f x x          ， ， ( ) 1f x  12．已知 ， ， ，则 的最大值为 ． 1a  1b  4ab  2 2 2 log log log (2 ) a b a  13．如图，在矩形 ABCD中，AB＝4， BC＝6，E，F分别是 BC和 CD 的中点，若 P是矩形 ABCD内一点（含边界），满足 AP AE     2 / 17 ，且 ， 则 的最小值为 ． 第 13题 AF  4 8 3   PE PF   14．在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C：x2＋y2＝1，点 A(﹣1，0)，过圆 C外一点 P(a，b) 作圆 C 的切线，切点为 T．若 PA≥ PT，则 的取值范围2 2 8 2a b a b    是 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分 14分） 如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1中，侧面 ABB1A1⊥底面 ABC，AB⊥AC，E，F 分别是棱 AB， BC的中点．求证： （1）A1C1∥平面 B1EF； （2）AC⊥B1E． 16．（本小题满分 14分） 在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．已知 a，b，c成等差数列，且 3asinC ﹣4csinB＝0． （1）求 cos A的值； （2）求 sin(2A＋ )． 3  3 / 17 17．（本小题满分 14分） 如图，要利用一半径为 5cm 的圆形纸片制作三棱锥形包装盒．已知该纸片的圆心为 O， 先以 O 为中心作边长为 2x（单位：cm）的等边三角形 ABC，再分别在圆 O 上取三个点 D，E， F，使△DBC，△ECA，△FAB分别是以 BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分 别以 BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D，E，F重合于点 P，即可得到正 三棱锥 P—ABC． （1）若三棱锥 P—ABC是正四面体，求 x的值； （2）求三棱锥 P—ABC的体积 V的最大值，并指出相应 x的值． 18．（本小题满分 16分） 如图，在平面直角坐标系 xOy中，己知 F是椭圆 C： (a＞0)的右焦点，P是 2 2 2 1x y a   椭圆 C上位于 x轴上方的任意一点，过 F作垂直于 PF的直线交其右准线 l：x＝2于点 Q． （1）求椭圆 C的方程； （2）若 ，求证：直线 PQ与椭圆 C相切； 9PQ PF 8     （3）在椭圆 C上是否存在点 R，使四边形 OQPR是平行四边形？若存在，求出所有符合 条件的点 R的坐标：若不存在，请说明理由． 4 / 17 19．（本小题满分 16分） 已知数列 满足 ， ．  na 1 6a  2 3a   （1）若 (n )．①设 ，求证：数列 是等比数列；②1 22n n na a a   N 1n n nb a a   nb 若数列 的前 n项和 满足 (n )，求实数 m的最小值：  na nS nS m N （ 2）若数列 的奇数项与偶数项分别成等差数列，且 (n )， na 1n na a  N ，求数列 的通项公式． 3 4 33a a    na 20．（本小题满分 16分） 己知函数 ， (a R)， 是 的导函数． ln( ) xf x x  1 2 1( ) 2 2 ag x x a x      ( )f x ( )f x （1）若 ，求 a的值； (1) (2)f g  5 / 17 （2）设 ．①若函数 在定义域上单调递增，求 a 的取值范围；②( ) ( ) ( )h x f x g x  ( )h x 若函数 在定义域上不单调，试判定 的零点个数，并给出证明过程． ( )h x ( )h x 第 II卷（附加题，共 40分） 21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 点 P(2，1)经矩阵 M＝ 变换后得到点 P′在直线 l：2x﹣y﹣2＝0 上，且矩阵 M 1 4 a b       不存在逆矩阵，求实数 a，b的值． B．选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆 C 的方程为 (m≠0)，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴2 cosm  正半轴建立平面直角坐标系．设直线 l的参数方程为 （t为参数），若直线 l 1 2 3 3 2 x t y t       与圆 C恒有公共点，求 m的取值范围． 6 / 17 C．选修 4—5：不等式选讲 已知不等式 的解集为 ，求实数 的值． 2 2x x      3 2 x x       【必做题】第 22题、第 23题，每题 10分，共计 20分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤． 22．（本小题满分 10分） 一个均匀的正四面体的四个面分别涂有 1，2，3，4 四个数字，现随机投掷两次，正四 面体底面上的数字分别为 ， ，记 ． 1x 2x 2 2 1 2( 3) ( 3)X x x    （1）记 X取得最大值时的概率； （2）求 X的概率分布及数学期望 E(X)． 23．（本小题满分 10分） 如图，已知抛物线 (p＞0)，在 x 轴正半轴上有一点 M(t，0)(t＞0)，过点 M 2 2y px 作直线 l1，l2分别交抛物线于点 A，B，C，D，过点 M 作 l3垂直于 x 轴分别交 AD，BC 于点 P，Q．当 t＝ p，直线 l1的斜率为 1时，AB＝4． 1 2 （1）求抛物线的方程； 7 / 17 （2）判断 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由． MP MQ 8 / 17 9 / 17 10 / 17 11 / 17 12 / 17 13 / 17 14 / 17 15 / 17 16 / 17 17 / 17