河南省豫南市级示范性高中2019-2020学年高二上学期联考语文试题
课时作业(二)
1．下列四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n})上的函数．
②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点．
③数列的项数是无限的．
④数列的通项公式是唯一的．
其中正确的是( )
A．①② B．①②③
C．②③ D．①②③④
答案 A
解析 数列的项数可以是有限的也可以是无限的．数列的通项公式可以不唯一．例如数列1，0，－1，0，1，0，－1，0…的通项可以是an＝sin，也可以是an＝cos等．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，那么这个数列是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
答案 A
解析 an＝＝1－，随着n的增大而增大．
3．若函数f(x)满足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，则f(n)是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
答案 A
解析 ∵f(n＋1)－f(n)＝3(n∈N*)，
∴f(2)>f(1)，f(3)>f(2)，f(4)>f(3)，…，
f(n＋1)>f(n)，…，∴f(n)是递增数列．
4．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )
A．103 B．108
C．103 D．108
答案 D
5．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
答案 B
解析 由a1>0，且an＋1＝an，
则an>0，又＝<1，∴an＋1
an＋1
D．an与an＋1的大小关系和n有关
答案 B
解析 ∵an＝＝＝1＋，
∴an－an＋1＝－＝.
当c－1>0时，an>an＋1；当c－1<0时，anan(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图像是( )
答案 A
解析 据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即函数y＝f(x)的图像上任一点(x，y)都满足y>x，结合图像，只有A满足，故选A.
9．已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，则该数列中最大的项为第________项．
答案 5
解析 ∵f(n)＝－2n2＋21n
＝－2(n－)2＋(n∈N*)，
∴n＝5或6时an最大．
∵a5＝55，a6＝54，∴最大项为第5项．
10．已知数列{an}的通项公式是an＝
则它的前4项为________．
答案 ，，，
11．已知数列{an}满足a1>0，＝2，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．
答案 递增
解析 由已知a1>0，＝2，得an>0.又an＋1－an＝2an－an>0，所以{an}是递增数列．
12．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是第________项和第________项．
答案 10 9
13．已知an＝a()n(a为常数且a≠0)，试判断{an}的单调性．下面是一学生的解法，这种解法对吗？如果不对给出你的结论．
∵an－an－1＝a()n－a()n－1＝－a()n<0，
∴{an}是递减数列．
解析 这种解法误认为a>0，所以不对，对于非零实数a应讨论a>0和a<0两种情况．
∵an－an－1＝－a()n(n≥2)，
∴当a>0时，an－an－1<0.
∴an0，
∴an>an－1.∴{an}是递增数列．
14．已知数列{an}为，－，，－，…
(1)写出数列的通项公式；
(2)计算a10，a15，a2n＋1；
(3)证明：数列{|an|} 是递增数列．
解析 (1)原数列变形为：，－，，－，…，分别考查数列的分子，分母与项数n的关系以及符号相间出现，第一项为正，所以数列的通项公式为an＝(－1)n＋1.
(2)当n＝10，则a10＝－＝－；
当n＝15时，则a15＝；
将an中n换成2n＋1时，得a2n＋1＝(－1)2n＋2·.
(3)令bn＝|an|(n∈N*)，
则bn＝|(－1)n＋1|＝.
∵bn＋1－bn＝－＝>0.
∴bn＋1>bn.即对一切正整数n，恒有|an＋1|>|an|成立．因此数列{|an|}
为递增数列．
讲评 本题求解时，若与函数的定义，函数相关的性质联系容易理解，an＝f(n)即为函数的解析式；a10＝f(10)，即是函数在n＝10的函数值；a2n＋1＝f(2n＋1)即为函数代换，将函数中的变量n换成了2n＋1；当|an＋1|>|an|时，则数列在n∈N*时为递增数列，这与函数单调递增定义一样，即对一切正整数n当n＋1>n，都有|an＋1|>|an|，说明数列中每一项大于前一项，即为递增数列．
15．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)求数列{an}中有多少项是负数？
(2)当n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解析 (1)令an＝n2－5n＋4<0，解得11)．
【例1】 已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．
【解析】 ∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，
∴a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；
a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；
a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；
a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.
故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2.
【例2】 数列{an}满足a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an.
(1)写出此数列的前8项；
(2)求a2 015.
【解析】 a3＝a2－a1＝3；
a4＝a3－a2＝－3；
a5＝a4－a3＝－6；
a6＝a5－a4＝－3；
a7＝a6－a5＝3；
a8＝6；
……
∴此数列为6项一循环(即此数列具有周期性)．
∴a2 015＝a5＝－6.
【例3】 已知数列{an}，a1＝2，an＝2an－1(n≥2)，求数列的通项公式an.
【解析】 ∵a1＝2，an＝2an－1，∴＝2.
∴an＝··…···a1
＝2×2×…×2×2×2n个＝2n.
【例4】 已知a1＝1，an＋1＝，求通项公式an.
【解析】 ∵a1＝1，an＋1＝，
∴a2＝＝，a3＝＝，
a4＝＝，a5＝＝.
∴它的前5项依次是1，，，，.
它的前5项又可写成，，，，.
故它的一个通项公式为an＝.
【练习1】 已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 a1＝1＝，∵an＋1＝an，∴a2＝＝.
同理a3＝＝.猜想an＝.
【答案】 B
【练习2】 函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 015＝________．
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
1
4
3
2
【解析】 由题意可得x1，x2，x3，x4，x5，…的值分别为2，1，5，2，1，…，故数列{xn}是周期为3的周期数列．∴x2 015＝x3×671＋2＝x2＝1.
【答案】 1
【练习3】 在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项，并猜想数列的通项公式．
【解析】 a1＝2，a2＝3，
a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，
a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，
a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，
a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.
可猜想an＝2n－1＋1.
【练习4】 根据下列5个图形及相应的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．
【解析】 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；……；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
