高三数学知识点

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上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 1页（共 22页） 高中数学知识点汇总（高三） 高中数学知识点汇总（高三）..................................................................................................................... 1 十四、空间直线与平面................................................................................................................................. 2 十五、简单几何体....................................................................................................................................... 10 十六：排列组合与二项式定理................................................................................................................... 16 （一）排列组合........................................................................................................................................... 16 （二）二项式定理....................................................................................................................................... 18 十七：概率论初步....................................................................................................................................... 19 十八、基本统计方法................................................................................................................................... 21 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 2页（共 22页） 十四、空间直线与平面 1、平面及其基本性质： （1）平面的定义： 平面概念是现实中平面形象抽象的结果，无厚度，无边界，在空间延伸至无限． 一般地，平面用一个大写的英文字母或小写的希腊字母表示，如平面 M 、平面 N 或平面 、 平面  ，也可以用平面上的三个（或三个以上）点的字母表示． （2）点与直线的关系： 点 A 在直线l 上， 或直线l 经过点 A ． A l 点 B 不在直线l 上． B l （3）点与平面的关系： 点 A 在平面 上， 或平面 经过点 A ． A  点 B 不在平面 上． B  （4）直线与平面的关系： 直线l 在平面 上 或平面 经过直线l ． l  直线l 与平面 相交于点 A ， 或称 A 是直线l 与平面 的交 点． l A  直线l 与平面 平行， 或直线l 与平面 没有公共点． l    或l ∥ 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 3页（共 22页） （5）平面与平面的关系： 平面 与平面  相交     平面 与平面  平行     或 ∥ （6）公理 1： 如果直线 l 上有两个点在平面  上，那么直线l 在平面 上． 若 A l ，B l ，且 A  ，B  ，则l  ． （7）公理 2： 如果不同的两个平面 、  有一个公共点 A ，那么 、  的交集是过点 A 的直线l ． 对于不同的两个平面  、  ，若存在 A    ，则 l   ，其中l 是直线，且 A l ． （8）公理 3 及其推论： 公理 3 不在同一直线上的三点确定一个平面（这里 “确定一个平面”的含义是“有且只有一个 平面”）． 推论 1 一条直线和直线外的一点确定一个平面． 推论 2 两条相交的直线确定一个平面． 推论 3 两条平行的直线确定一个平面． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 4页（共 22页） 2、空间直线与直线的位置关系： （1）空间两条直线的位置关系：      相交直线共面直线 平行直线 异面直线 （2）公理 4： 平行于同一直线的两条直线相互平行． （3）定理 1： 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． （4）异面直线的定义：如果空间的两条直线 1l 、 2l 既不平行，也不相交，这时不可能存在一个平面， 使它既经过直线 1l ，又经过直线 2l ，我们把不能置于同一平面的两条直线 1l 、 2l 叫做异面直线． （5）异面直线所成的角： 对于异面直线a 和b ，在空间任取一点 P ，过 P 分别作 a 和b 的平行线 a 和b，我们把 a 与b 所成的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．取值范围是(0, ]2  ． （6）异面直线的性质： 过两条异面直线中的一条且平行于另一条的平面是唯一的． 3、空间直线与平面的位置关系： （1）直线与平面垂直： 一般地，如果一条直线l 与平面 上的任何直线都垂直，那么我们就说直线l 与平面 垂直， 记作l ⊥ ，直线l 叫做平面 的垂线，l 与 的交点叫做垂足． ①判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． a b⊥ ， a c⊥ ，b  ，c  ，b c A  a ⊥ ． ②性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行． a ⊥ ，b ⊥ ， a b    a b∥ ． （2）直线与平面平行： ①判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． a  ，b  ，且 a b∥  a ∥ ． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 5页（共 22页） ②性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． a ∥ ， a  ， b    a b∥ ． （4）直线与平面所成的角： ①当直线l 与平面 相交且不垂直时，叫做直线l 与平面 斜交，直线l 叫做平面 的斜线． 设直线l 与平面 斜交于点 M ，过l 上任意点 A ，作平面 的垂线，垂足为O ，我们把点O 叫做点 A 在平面 上的射影，直线OM 叫做直线l 在平面 上的射影，并规定直线l 与其在平面  上的射影OM 所成的锐角叫做直线l 和平面 所成的角． ②当直线l 与平面 垂直时，它们所成的角等于90 ；当直线l 与平面 平行或直线l 在平面 上时，它们所成的角为0．直线与平面所成的角的取值范围是[0, ]2  ． ③最小角定理：已知 的斜线l 与 所成的角为 ，l 与 内的一条直线所成的角为  ，则  ， 此为最小角定理． 已知OA 是平面 的斜线，OB 是OA在 内的射影，OM  ， 1AOB   ， 2BOM   ，则 1 2cos cos cos    ． （5）三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和 这条斜线垂直． 三垂线定理逆定理： 如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内 的射影． 4、空间平面与平面的位置关系： （1）空间平面与平面平行： 判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． a  ，b  ， a b P ， a ∥ ，b ∥   ∥ ． 性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．  ∥ ， a   ， b   ，求证 a b∥ ． （2）空间平面与平面垂直： ①判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． a  ， a ⊥   ⊥ ． ②性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．  ⊥ ， l   ， m l⊥ ， m   m ⊥ ． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 6页（共 22页） （3）二面角： 设两个平面 、  相交于直线 AB ， AB 将 、  分别分割成两个半平面，由 、  的半平面 及其交线 AB 所组成的空间图形叫做二面角，记作 AB   ．交线 AB 叫做二面角的棱，两个半 平面 、  叫做二面角的面．如果半平面 上有点Q ，半平面  上有点 P ，那么该二面角也可记 作 P AB Q  ． （4）二面角的平面角： 在二面角的棱 AB 上任取一点O ，过O 分别在面 和  上作棱 AB 的垂线OM 和ON ，射线OM 和ON 所成的角叫做二面角 AB   的平面角．二面角的大小就用它的平面角来度量，当二面 角的平面角是 时，就说这个二面角是 （0    ）． 特别地，当 2   时，称平面 与平面  垂直，记作 ⊥ ． （5）二面角的平面角大小的求解方法： ①定义法：在二面角 AB   的交线 AB 上找到一点O ，然后分别在这两个面内作 AB 的垂 线OM 、ON ，然后求解 MON 即可； ②射影法：cos S S   射影的面积 原几何图形的面积 ，其中 为二面角的平面角的大小． 注意：当射影在二面角的外面时，射影的面积取负值． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 7页（共 22页） 5、空间图形中的有关距离： 点 M 和平面 的距 离 设 M 是平面 外一点，过点 M 作平面 的 垂线，垂足为 N ，我们把点 M 到垂足 N 之 间的距离叫做点 M 和平面 的距离． 直线l 和平面 的距 离 设直线l 平行于平面 ，在直线l 上任取一 点 M ，我们把点 M 到平面 的距离叫做直 线l 和平面 的距离． 平面 和平面  的距 离 设平面 平行于平面  ，在平面 上任取一 点 M ，我们把点 M 到平面  的距离叫做平 面 和平面  的距离． 异面直线 a 、b 的距 离 设直线a 与直线b 是异面直线，当点 M 、N 分别在a 、b 上，且直线 MN 既垂直于直线 a ，又垂直于直线b 时，我们把直线 MN 叫 做异面直线a 、b 的公垂线，垂足 M 、N 之 间的距离叫做异面直线a 和b 的距离． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 8页（共 22页） 6、立体向量的相关问题： （1）中点坐标公式： 已知 1 1 1( , , )A x y z ， 2 2 2( , , )B x y z ，若 ( , , )M x y z 是线段 AB 的中点，则有 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x xx y yy z zz         ． （2）异面直线所成的角： 已知直线 m 的方向向量为 1 1 1( , , )a x y z ，直线 n 的方向向量为 2 2 2( , , )b x y z ，则 直线 m 与直线 n 所成的角 满足： 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos x x y y z za b a b x y z x y z                  ． （3）平面的法向量： 已知平面 的两个方向向量为 1 1 1 1( , , )d x y z 、 2 2 2 2( , , )d x y z ，法向量为 ( , , )n x y z ，则 1 2 0 0 d n d n          ，即 1 1 1 2 2 2 0 0 x x y y z z x x y y z z        ，得到 : :x y z 即可． （4）直线与平面所成的角： 已知直线 AP 的方向向量为 1 1 1( , , )d x y z ，平面 的法向量为 2 2 2( , , )n x y z ，则 直线 AP 与平面 所成的角 满足： 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 sin x x y y z zd n d n x y z x y z                  ． （5）二面角（平面与平面所成的角）： 基向量法： 二面角 A BD C  中， AE BD ，CF BD ， AC 、 EF 、 AE 、CF 长度已知，则由 2 2( )AC AE EF FC      ，可求出cos ,AE FC   ，从而求得 ,AE FC   ， 则二面角 A BD C  的大小为 ,AE FC     ． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 9页（共 22页） 法向量法： 已知平面 的法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z ，平面  的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z ，则 平面 与平面  所成的二面角 满足： 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 cos n n x x y y z z n n x y z x y z                     ． 其中  号，可以结合具体情形加以判断，或者令 1n  与 2n  对于二面角的朝向相反． （6）点到平面的距离： 已知点 P ，平面 的法向量为 1 1 1( , , )n x y z ，则任取平面 上的点 M ，于是 点 P 到平面 的距离为 n PM n    ． （7）异面直线间的距离： 设异面直线 AB 、CD 间的距离为 d ，则 BC n BD n AC n AD n d n n n n                     ． 其中，n  满足 0n AB   ，且 0n CD   ． 注意：异面直线间的距离问题在新课标中有所淡化，此公式仅作了解即可．要注意体会点到平面的 距离公式与该公式的联系，从而体会点面之距、异面直线之距间的相互转化． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 10页（共 22页） 十五、简单几何体 1、多面体： （1）多面体的相关定义： 概念 定义 多面体 由平面多边形（或三角形）围成的封闭体． 多面体的面( )F 构成多面体的各平面多边形（或三角形）． 多面体的棱( )E 多面体相邻多边形（或三角形）的公共边． 多面体的顶点( )V 棱与棱的交点． 凸多面体欧拉公式 2V F E   （2）棱柱及其性质、棱锥及其性质： 棱柱 棱锥 定 义 1、有两个面互相平行，其余每相邻两个面的公共 边都互相平行的多面体叫做棱柱； 其中，棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底 面，其他的面叫做棱柱的侧面，棱柱的侧面都是 平行四边形．不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱， 两个底面间的距离叫做棱柱的高． 2、底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体； 3、侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱； 4、底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱； 5、底面是矩形的直棱柱叫做长方体； 6、所有棱长都相等的长方体叫做正方体． 1、有一个面是多边形，其余各面是有一个公 共顶点的三角形的多面体叫做棱锥； 其中，棱锥的多边形的面叫做棱锥的底面， 其他的面叫做棱锥的侧面，棱锥的侧面都是三 角形．不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱，侧棱 的公共点叫做棱锥的顶点，顶点与底面之间的 距离叫做棱锥的高． 2、底面是正多边形，且顶点在底面的射影是 底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥． 性 质 1、一般棱柱 （1）侧棱平行且相等； （2）侧面是平行四边形； （3）两底面及平行于底面的截面是全等多边形； （4）对角面是平行四边形． 2、直棱柱 （1）侧棱长等于高； （2）侧面和对角面是矩形． 3、正棱柱 （1）侧面是全等的矩形； （2）两底中心连线垂直于底面． 1、一般棱锥 棱锥被平行于底面的平面所截，那么侧棱 和高被这个平面分成比例线段；所得截面与底 面相似，其面积比等于截得棱锥的高与已知棱 锥高的平方比． 2、正棱锥 （1）各侧棱相等； （2）各侧面是全等的等腰三角形； （3）各条高都相等； （4）侧棱和底面所成的角相等； （5）侧面与底面所成二面角相等； （6）相邻两个侧面所成二面角相等． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 11页（共 22页） （3）立体图形图示： 三棱柱 ABC A B C   四棱柱 ABCD A B C D    六棱柱 ABCDEF A B C D E F      平行六面体 ABCD A B C D    长方体 ABCD A B C D    正方体 ABCD A B C D    直三棱柱 ABC A B C   直四棱柱 ABCD A B C D    直五棱柱 ABCDE A B C D E     正三棱柱 ABC A B C   正四棱柱 ABCD A B C D    正六棱柱 ABCDEF A B C D E F      三棱锥 P ABC 四棱锥 P ABCD 五棱锥 P ABCDE 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 12页（共 22页） 正三棱锥 P ABC 正四棱锥 P ABCD 正六棱锥 P ABCDE （4）“斜二测”画图法的定义： ①规定按图所示的位置和夹角作三条轴分别表示铅垂方向、左右方向以及前后方向的轴，依 次把它们叫做 z 轴、 y 轴和 x 轴； ②规定在 z 轴和 y 轴方向上线段的长度与其表示的真实长度相等，而在 x 轴方向上，线段的长 度是其表示的真实长度的二分之一． 用这种方法画的空间图形的直观图叫做斜二轴测图，这样的画图方法简称“斜二测”画图法． （5）“斜二测”画图法有两条重要性质： ①平行直线的斜二测图仍是平行直线； ②线段及其线段上定比分点的斜二测图保持原比例不变． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 13页（共 22页） 2、旋转体： 旋转体的定义：平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几 何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴． 分类 定义及其性质 图形 圆柱 将矩形 ABCD （及其内部）绕其一条边 AB 所在直线 旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱； AB 所在直线叫做圆柱的轴，线段 AD 和 BC 旋转而成 的圆面叫做圆柱的底面，线段CD 旋转而成的曲面叫做圆 柱的侧面，CD 叫做圆柱的一条母线，圆柱的两个底面间 的距离（即 AB 的长度）叫做圆柱的高． 圆锥 将直角三角形 ABC （及其内部）绕其一条直角边 AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥； AB 所在直线叫做圆锥的轴，点 A 叫做圆锥的顶点， 直角边 BC 旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边 AC 旋转 而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边 AC 叫做圆锥的一条母 线，圆锥的顶点到底面间的距离（即 AB 的长度）叫做圆 锥的高． 易知，圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥 的顶点，每条母线与轴的夹角都相等． 球 将圆心为O 的半圆（及其内部）绕其直径 AB 所在的 直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球O ； 半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面．易知，点O 到球 面上任意点的距离都相等，把点O 称为球心，把原半圆的 半径和直径分别称为球的半径和球的直径． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 14页（共 22页） 3、几何体的表面积： （1）直柱体的表面积： ①直棱柱的侧面积： S ch侧 ，其中h 和c 分别是直棱柱的高和底面周长； ②直棱柱的表面积： 2S ch  全 底面面积 ，其中 h 和c 分别是直棱柱的高和底面周长； ③圆柱的侧面积： 2S rh侧 ，其中 r 和 h 是圆柱底面的半径和圆柱的高； ④圆柱的表面积： 2=2 2S rh r 全 ，其中 r 和h 是圆柱底面的半径和圆柱的高． （2）椎体的表面积： ①正棱锥的侧面积： 1 2S ch侧 ，其中c 和 h 是正棱锥底面的周长和正棱锥侧面等腰三角形的高（也称斜高）； ②正棱锥的表面积： 1= 2S ch全 底面面积 ，其中c 和 h 是正棱锥底面的周长和侧面等腰三角形的高（也称斜高）； ③圆锥的侧面（扇形）积： =S rh 侧 ，其中 r 、 h 分别是圆锥底面半径和母线长； ※扇形的半径是圆锥的母线； ※扇形的弧长是圆锥的底面圆的周长； ④圆锥的表面积： 2S rh r  全 ，其中 r 、 h 分别是圆锥底面半径和母线长； 注意： ①直棱柱、圆柱的侧面积公式统一为 S ch柱 ； ②正棱锥、圆锥的侧面积公式统一为 1= 2S ch锥 ． （3）球的表面积： 24S r ，其中 r 是球的半径． 4、几何体的体积： （1）柱体的体积： ①祖暅原理：约在公元前 5 世纪，我国数学家祖暅在研究“开立圆术”中指出“夫叠棊成立 积，缘幂势既同，则积不容异”．其意思是：体积可看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截 两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两空间图形的体积必然相等．这一 论述被后人称为祖暅原理． ②棱柱的体积公式： V Sh棱柱 ，其中V棱柱 、 S 和 h 分别表示棱柱的体积、底面面积和高． ③圆柱的体积公式： 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 15页（共 22页） 2V r h 圆柱 ，其中 r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高． （2）椎体的体积： ①等底等高的棱锥的体积相等； ②棱锥的体积公式： 1= 3V Sh棱锥 ，其中V棱锥 、 S 和 h 分别表示棱锥的体积、底面面积和高． ③圆锥的体积公式： 21 3V r h圆锥 ，其中 r 为圆锥底面的半径， h 为圆锥的高． （3）球的体积公式： 34 3V r球 ，其中 r 为球的半径． 5、球面距离： （1）球面距离：在联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是 这两点的球面距离． 球面距离公式： AB R ，其中 A 、 B 为球O 上的两点，且 AOB   ， R 为球O 的半径． （2）纬度：某点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角，其数值在 0 至 90°之间．位于赤 道以北的点的纬度叫北纬，记为 N ；位于赤道以南的点的纬度称南纬，记为 S ． （3）经度：过地球上某点与南北极的大圆的半圆与本初子午线所在平面所形成的面面角．按国际 规定英国首都伦敦格林尼治天文台原址的那一条经线定为 0°经线，然后向左右延伸．而各地的 时区也由此划分，每 15 个经度便相差一个小时． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 16页（共 22页） 十六：排列组合与二项式定理 （一）排列组合 1、计数原理 I—乘法原理： 如果完成一件事需要n 个步骤，第 1 步有 1m 种不同的方法，第 2 步有 2m 种不同的方法，……，第n 步有 nm 种不同的方法，那么完成这件事共有 1 2 nN m m m  种不同的方法． 2、排列： （1）一般地，从n 个不同元素中取出 ( )m m n 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的一个排列． （2）从n 个不同元素中取出 ( )m m n 个元素的所有排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的排列数，用符号 Pm n 表示． （3）排列数公式：   !P ( 1)( 2) ( 1) ! m n nn n n n m n m        特别地，当n m 时， P !n n n ． （4）n 的阶乘： ! ( 1) ( 2) 3 2 1n n n n        ． 易得1! 1 ， 2! 2 ，3! 6 ， 4! 24 ，5! 120 ，6! 720 ． 3、计数原理 II—加法原理： 如果完成一件事有n 类办法，在第 1 类办法中有 1m 种不同的方法，在第 2 类办法中有 2m 种不同 的方法，……，在第 n 类办法中有 nm 种不同的方法，那么完成这件事共有 1 2 nN m m m    种不同的 方法． 4、组合： （1）一般地，从n 个不同元素中取出 ( )m m n 个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个组合． （2）从n 个不同元素中取出 ( )m m n 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的组合数，用符号Cm n 表示． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 17页（共 22页） （3）组合数公式： 一般地，对于从n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 Pm n ，可看作由以下 2 个步骤得到的： 第 1 步，先求出从这n 个不同元素中取出 m 个元素的组合，共有Cm n 种； 第 2 步，求每一个组合中 m 个元素的全排列数 Pm m ． 根据乘法原理，得到 P C Pm m m n n m  ．于是，有以下组合式公式： P ( 1)( 2) ( 1) !C P ! !( )! m m n n m n n n n n m n m m n m         ． （4）组合数Cm n 的性质： ①C Cm n m n n  ； ② 1 1C C Cm m m n n n    ． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 18页（共 22页） （二）二项式定理 1、一般地，对于任意正整数n 有 0 1 1 1 *( ) C C C C ( )n n n r n r r n n n n n na b a a b a b b n N          ． ①这个公式所表示的定理叫做二项式定理； ②右边的多项式叫做( )na b 的二项展开式，它一共有 1n  项； ③其中各项的系数C ( 0,1,2, , )r n r n  叫做二项式系数；注意：二项式系数与系数是不同的； 辨析：二项式系数之和为2n ；各项系数之和为( )na b 中的参变量都等于 1 的值． ④二项展开式的通项： 1 Cr n r r r nT a b   ． 2、二项式系数表： 0( )a b ……………………………………………………1 1( )a b …………………………………………………1 1 2( )a b ……………………………………………1 2 1 3( )a b …………………………………………1 3 3 1 4( )a b ……………………………………1 4 6 4 1 5( )a b ………………………………1 5 10 10 5 1 3、二项式系数的性质： ①( )na b 的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； ②( )na b 的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ． 将 1a b  分别代入( )na b 和它的二项展开式中，即有 0 1 22 C C +C + +C + +Cn r n n n n n n    ． ③( )na b 的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 将 1, 1a b   代入( )na b 和它的二项展开式中，即有 0 2 2 1 3 2 1C +C + +C + C +C + +C + ( 0,1,2, )r r n n n n n n r      ． ④( )na b 的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数 2C n n 取得最大值；当n 为奇数时， 中间两项的二项式系数 1 2C n n  、 1 2C n n  相等，且同时取得最大值． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 19页（共 22页） 十七：概率论初步 1、古典概型： （1）概率论是研究随机现象数量规律的数学分支． （2）把一次试验可能出现的结果叫做基本事件． ①一次试验所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等． 具有这两个特点的概率模型叫做古典概型．对于在一定条件下可能出现也可能不出现，具有 统计规律性的现象叫做随机现象．在概率论中，掷骰子、转硬币……都叫做试验，试验的结果叫 做随机事件，简称事件，用大写字母 A 、 B 等来表示．基本事件本身也是随机事件． 随机事件 A 出现的概率记作 ( )P A ． 在古典概型中，事件 A 出现的概率定义为 ( ) AP A  事件 所包含的基本事件数 试验中所有的基本事件数 ． 用集合语言表示，设 1 ， 2 ，……， n 表示所有的基本事件，基本事件的集合记为 1 2{ , , , }n     ． 随机事件 A 看作是 的某个子集，则 ( ) AP A    所包含的 的个数 中元素 的总个数 ． （3）必然事件、不可能事件、随机事件： ①把试验后必定出现的事件叫做必然事件，记作 ； ②把不可能出现的事件叫做不可能事件，记作 ． I、不可能事件的概率为零，即 ( ) 0P   ； II、必然事件的概率为 1，即 ( ) 1P   ； III、对任意随机事件 E ，有0 ( ) 1P E  ； IV、若 1 2{ , , , }n     ，则 1 2( ) ( ) ( ) 1nP P P      ． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 20页（共 22页） （4）对立事件： 设 E 和 F 是两个随机事件，把满足下列条件的 E 和 F 叫做对立事件： ① E F   ； ② E F   ． 在任何一次试验中，事件 A 要么出现，要么不出现，如果把事件 A 不出现记作事件 A ，那么 事件 A 与事件 A 互为对立事件，易知 ( ) ( ) 1P A P A  ． 事件 A 的对立事件 A 的集合语言表示为 { , }A x A C A      ． 2、几何概率模型： ( ) EP E  出现区域或区间的几何度量 所考察整个区域或区间的几何度量 ，其中几何度量指区间长度或图形面积． 3、频率与概率： （1）频率： 对于随机事件 E ，如果在n 次试验中出现了 m 次(0 )m n  ，那么 m 称为事件 E 出现的频数， m n 称为事件 E 出现的频率． 实践证明：事件出现的频率常在该事件的概率（固定常数）附近摆动，这种规律性叫做频率 稳定性或随机现象的统计规律性． 频率稳定性的含义： ①在大量试验中，事件出现的频率与其概率很接近； ②当试验次数无限增大时，事件出现的频率与概率相差较大的可能性趋近于 0． 注意：在学习频率稳定性时，不能把概率作为当试验次数无限增大时频率的极限（在通常意 义上）来理解．这是概率论发展史上，有人曾经犯过的错误之一． （2）大数定律： 在掷一枚硬币时，既可能出现正面，也可能出现反面，预先作出确定性判断是不可能的，但 是假如硬币均匀，当试验次数增大时，频率值越来越稳定于 1 2 ．频率的这一性质叫做大数定律． 大数定律可以解释成：频率在大数次试验中稳定于某一常数（概率）．频率也叫做经验概率， 计算频率通常是为了估计概率． 上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 21页（共 22页） 十八、基本统计方法 1、总体和样本： （1）总体和个体： 在统计问题中，把研究对象的全体叫做总体，总体中的每一个对象叫做个体． （2）总体分布： 人口年龄的分布可以用频率直方图表示，从中看出各年龄段在总体中所占的比例（百分比），即总体 分布． （3）总体的分类：    有限总体 无限总体 （4）有限总体的平均状态： 如果总体有 N 个个体，它们的值分别为 1x 、 2x 、……、 Nx ，那么 1 2 1 ( )Nx x xN      叫做总体均值． （5）总体的中位数： 把总体中的各个个体 1x 、 2x 、……、 Nx ，依由小到大的顺序排列，当 N 为奇数时，位于该数 列正中位置的数叫做总体的中位数，记作 m ．当 N 为偶数时，位于该数列正中位置的两个数的平 均数叫做总体的中位数． 注意：平均数表示总体中各个个体的平均大小，中位数是这些数值的中间值． （6）总体方差和总体标准差： 设总体有 N 个个体，它们分别为 1x 、 2x 、……、 Nx ，那么各个个体与总体平均数  的差的平 方分别是 2 1( )x  、 2 2( )x  、…、 2( )Nx  ，把它们的平均数叫做总体方差，记作 2 ，即 2 2 2 2 1 2( ) ( ) ( )Nx x x N           ． 该公式经简化后，可得 2 2 2 2 2 1 2 Nx x x N N       或 2 2 2 2 21 2 Nx x x N      ． 总体方差反映了各个个体偏离平均数  的程度． ① 2 越大，总体中各个个体之间的差别越大； ② 2 越小，总体中各个个体之间的差别越小． 叫做总体标准差． （7）关于一组数据的均值与方差的常用结论： 数据 ix ix m itx itx m 均值  m  t t m  方差 2 2 2 2t  2 2t  上海数学培优孟老师联系电话（微信，QQ）：17521075874. 第 22页（共 22页） 2、抽样技术： （1）样本与抽样： 从总体中抽出的一部分个体所组成的集合叫做样本（也叫做子样），样本中所含个体的个数叫 做样本容量，抽取样本的过程叫做抽样． （2）抽样方法的分类 ①随机抽样： 如果在抽样过程中能使总体中的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，那么这种抽样 叫做随机抽样．所得的样本称为随机子样． I、抽签法； II、利用随机数表或计算机产生的随机数进行抽样． ②系统抽样： 把总体中的每一个个体编上号，按某种相等的间隔抽取样本的方法，叫做系统抽样． 如果总体中个体的总数为 N ，样本的容量为 n ，那么间隔 Nk n  ． ③分层抽样的概念： 把总体分成若干个部分，然后在每个部分进行随机抽样的方法，叫做分层抽样． 分层抽样的方法： 先将总体个数 N 按要求分成 k 层，每层的个体数分别记作 1N 、 2N 、…、 kN ； 在每层中分别随机抽取 1n 、 2n 、…、 kn 个个体组成容量为 n 的样本，使得 1 2 1 2 1 2 1 2 k k k k N N N N nn n N N N n n n n                   ． 3、统计估计： （1）概率估计： 由于频率稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． （2）参数估计： 如果样本为 1x 、 2x 、……、 nx ，样本的容量为 n ，那么可以用样本的平均值 1 2 nx x xx n     作为总体均值的点估计值；用样本的标准差 2 2 2 1 2( ) ( ) ( ) 1 nx x x x x xs n         作为总体标准差的点估计值． 注意： s 是样本标准差．上式中除以 1n  是为了消除系统性偏差．