沐彬中学2019届文科数学综合测试（四）

沐彬中学2019届文科数学综合测试（四）

沐彬中学2019届文科数学综合测试（四）‎ 一选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的)‎ ‎1．已知集合，，则集合=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设，都是不等于1的正数，则“”是“”成立的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．执行如图所示的程序框图，则输出的的值等于（ ）‎ A．3 B．21 C． D．‎ ‎5.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为‎(‎　　‎‎)‎ A. ‎1‎‎10‎ B. ‎1‎‎6‎ C. ‎1‎‎5‎ D. ‎‎5‎‎6‎ ‎6．已知的内角，，所对边分别为，，，且满足，则（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎7.在‎△ABC中，‎|BC|=4‎，‎(AB+AC)⋅BC=0‎，则BA‎⋅BC=(‎　　‎‎)‎ A. 4 B. ‎-4‎ C. ‎-8‎ D. 8‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．已知三点A（1，0），B（0，‎3‎），C（2，‎3‎）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（　　）‎ A．‎5‎‎3‎ B．‎21‎‎3‎ C．‎2‎‎5‎‎3‎ D．‎‎4‎‎3‎ ‎10．如图所示，过抛物线的焦点的直线，‎ 交抛物线于点，．交其准线于点，若，且，‎ 则此抛物线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数的图像大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知函数，若函数恰有两个零点，‎ 则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设，满足约束条件，则的最大值为____．‎ ‎14．已知函数f（x）＝cos（2x+）﹣cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：‎ ‎①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；②函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝；‎ ‎③函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）；‎ ‎④函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．其中正确的结论序号　 　 ‎ ‎15．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝，则a＝　 　．‎ ‎16．已知f（x）是R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x3+2x，则不等式f（x﹣2）＜3的解集　 　．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，17至20每题12分，22题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知数列{an}中，a‎1‎‎=1，an=2an-1‎+1(n≥2，n∈N‎*‎)‎．‎ ‎（1）记bn＝log2（an+1），判断{bn}是否为等差数列，并说明理由：‎ ‎（2）在（1）的条件下，设cn‎=‎bnan‎+1‎，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎18．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AD＝PD，E、F分别是CD、PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）设AB‎=‎‎3‎BC＝3，求三棱锥P﹣AEF的体积．‎ ‎19．A药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂．‎ ‎（1）根据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？（不必说明理由）‎ ‎（2）若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如表：‎ 每件中药材的质量n（单位：克）‎ 购买价格（单位：元/件）‎ n＜15‎ ‎50‎ ‎15≤n≤20‎ a n＞20‎ ‎100‎ ‎（ⅰ）估计A药店所购买的100件中药材的总质量；‎ ‎（ⅱ）若A药店所购买的100件中药材的总费用不超过7000元，求a的最大值．‎ ‎20．已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a＞b＞0)‎经过A(1，‎2‎‎2‎)，B(‎2‎‎2‎，-‎3‎‎2‎)‎两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，且与圆O：x2+y2＝3相交于M，N两点，试问直线OM与ON的斜率之积kOM•kON是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．‎ ‎21．设函数f(x)=ex-ax+‎a‎2‎，a＞0．‎ ‎（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；‎ ‎（Ⅱ）当x＜1时，函数f（x）的图象恒在x轴上方，求a的最大值．‎ ‎22．已知直线l的参数方程为x=1+2ty=‎1‎‎2‎-t，曲线C的参数方程为x=2cosθy=sinθ，‎ 设直线l与曲线C交于两点A，B．‎ ‎（1）求|AB|；‎ ‎（2）设P为曲线C上的一点，当△ABP的面积取最大值时，求点P的坐标．‎ ‎23．设函数f（x）＝|ax+1|+|x﹣a|（a＞0），g（x）＝x2﹣x．‎ ‎（Ⅰ）当a＝1时，求不等式g（x）≥f（x）的解集；‎ ‎（Ⅱ）已知f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．‎ 沐彬中学文科数学综合测试（四）参考答案 ‎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2019-4‎ 一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分60分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B D C B A D C B A A C 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．‎ ‎13. 5 　 　14. ②③④　　 15. 16, （1，3）‎ ‎10.如图，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，‎ 过作垂直于抛物线的准线，垂足为，为准线与轴的交点，‎ 由抛物线的定义，，，‎ 因为，所以，所以，‎ ‎，所以，即，‎ ‎11. 【解析】，‎ 即，故为奇函数，排除C，D选项，排除B选项，故选A．‎ ‎12【解析】作出函数的图象，‎ 函数恰有两个零点，即为的图象和直线有两个交点，‎ 当直线与相切，可得有两个相等实根，‎ 可得，即，由图象可得当时，的图象和直线有两个交点，‎ ‎15.【解：由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，‎ 如图所示：设AF＝x，BF＝y，CF＝z，‎ 则，又，‎ 可得x＝y＝2，∴a＝．故答案为：．‎ ‎【解答】解：∵x≥0时，f（x）＝x3+2x；‎ ‎∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（1）＝3；又f（x）是R上的偶函数；‎ ‎∴由f（x﹣2）＜3得，f（|x﹣2|）＜f（1）；∴|x﹣2|＜1；解得1＜x＜3；∴原不等式的解集为（1，3）．‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分，要求写出必要的演算、推理、证明过程）‎ ‎18解：（1）根据题意，bn＝log2（an+1），‎ 当n＝1时，有b1＝log2（a1+1）＝log22＝1；‎ 当n≥2时，bn‎-bn-1‎=log‎2‎(an+1)-log‎2‎(an-1‎+1)=log‎2‎an‎+1‎an-1‎‎+1‎=log‎2‎‎2an-1‎+2‎an-1‎‎+1‎=log‎2‎2=1‎；‎ 所以数列{bn}是以1为首项、公差为1的等差数列．‎ ‎（2）由（1）的结论，数列{bn}是以1为首项、公差为1的等差数列，则bn＝2+（n﹣1）＝n，‎ 则an‎+1=‎‎2‎n，于是cn‎=‎n‎2‎n，‎ Tn‎=1×‎1‎‎2‎+2×(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+3×(‎1‎‎2‎‎)‎‎3‎+⋯+(n-1)×(‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎+n×(‎‎1‎‎2‎‎)‎n‎，①‎ ‎1‎‎2‎Tn‎=1×(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+2×(‎1‎‎2‎‎)‎‎3‎+⋯+(n-1)×(‎1‎‎2‎‎)‎n+n×(‎‎1‎‎2‎‎)‎n+1‎‎，②‎ ‎①﹣②可得：‎1‎‎2‎Tn‎=‎1‎‎2‎+(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+(‎1‎‎2‎‎)‎‎3‎+⋯+(‎1‎‎2‎‎)‎n-n×(‎‎1‎‎2‎‎)‎n+1‎，‎ ‎=‎1‎‎2‎‎-‎‎(‎1‎‎2‎)‎n+1‎‎1-‎‎1‎‎2‎-n×(‎1‎‎2‎‎)‎n+1‎=1-‎1‎‎2‎n-‎n‎2‎n+1‎‎，所以Tn‎=2-‎‎2+n‎2‎n．‎ ‎19解（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，‎ 又平面PAD∩平面ABCD＝AD，底面ABCD是矩形，BA⊥AD，‎ ‎∴BA⊥平面PAD，则平面PBA⊥平面PAD，‎ ‎∵AD＝PD，取PA的中点G，连接FG，DG，则DG⊥PA，‎ ‎∴DG⊥平面PAB．‎ 又E、F分别是CD、PB的中点，G是PA的中点，底面ABCD是矩形，‎ ‎∴四边形EFGD为矩形，则DG∥EF，‎ ‎∴EF⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）解：由AB‎=‎‎3‎BC＝3，得BC‎=‎‎3‎，AB＝3，AD＝AP‎=‎‎3‎，且F是PB的中点．‎ ‎∴VP﹣AEF＝VB﹣AEF＝VF﹣ABE‎=‎1‎‎2‎VP-ABE=‎1‎‎2‎⋅‎1‎‎3‎S‎△ABE⋅PD=‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×3×‎3‎×‎3‎=‎‎3‎‎4‎．‎ ‎20解：（1）根据样本数据知，A药店应选择乙药厂购买中药材；‎ ‎（2）（ⅰ）从乙药厂所抽取的每件中药材的质量平均数为 x‎=‎1‎‎10‎×‎‎（7+9+11+12+12+17+18+21+21+22）＝15；‎ 估计A药店所购买的100件中药材的总质量为100×15＝1500克；‎ ‎（ⅱ）乙药厂所提供的每件中药材的质量n＜15的概率为‎5‎‎10‎‎=‎0.5，‎ ‎15≤n≤20的概率为‎2‎‎10‎‎=‎0.2，n＞20的概率为‎3‎‎10‎‎=‎0.3，‎ 则A药店所购买的100件中药材的总费用为100×（50×0.5+0.2a+100×0.3）；‎ 依题意得100×（50×0.5+0.2a+100×0.3）≤7000，解得a≤75，∴a的最大值为75．‎ ‎21. 解：（1）依题意，‎1‎a‎2‎‎+‎1‎‎2‎b‎2‎=1‎‎1‎‎2‎a‎2‎‎+‎3‎‎4‎b‎2‎=1‎，解得a‎2‎‎=2‎b‎2‎‎=1‎，∴椭圆方程为x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1‎；‎ ‎（2）当直线l的斜率存在时，可设直线l：y＝kx+m，‎ 与椭圆方程联立可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，由相切可得△＝8（2k2﹣m2+1）＝0，即m2＝2k2+1，‎ 联立y=kx+mx‎2‎‎+y‎2‎=3‎，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则‎4(3k‎2‎+3-m‎2‎)＞0‎x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎2km‎1+‎k‎2‎x‎1‎x‎2‎‎=‎m‎2‎‎-3‎‎1+‎k‎2‎，∴y‎1‎y‎2‎‎=(kx‎1‎+m)(kx‎2‎+m)=k‎2‎x‎1‎x‎2‎+km(x‎1‎+x‎2‎)+m‎2‎=‎m‎2‎‎-3‎k‎2‎‎1+‎k‎2‎，‎ 进而kOM‎⋅kON=y‎1‎y‎2‎x‎1‎x‎2‎=‎m‎2‎‎-3‎k‎2‎m‎2‎‎-3‎，将m2＝2k2+1代入4（3k2+3﹣m2）＞0恒成立，‎ ‎∴kOM‎⋅kON=y‎1‎y‎2‎x‎1‎x‎2‎=m‎2‎‎-3‎k‎2‎m‎2‎‎-3‎=‎2k‎2‎+1-3‎k‎2‎‎2k‎2‎+1-3‎=‎1-‎k‎2‎‎2k‎2‎-2‎=-‎‎1‎‎2‎，故kOM•kON是定值且定值为‎-‎‎1‎‎2‎．‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x‎=±‎‎2‎．‎ 若直线l的方程为x‎=‎‎2‎，则M，N的坐标为（‎2‎‎，-1‎），（‎2‎‎，1‎），此时满足kOM•kON‎=-‎‎1‎‎2‎．‎ 若直线l的方程为x‎=-‎‎2‎，则M，N的坐标为（‎-‎‎2‎，﹣1），（‎-‎‎2‎，1），此时也满足足kOM•kON‎=-‎‎1‎‎2‎．‎ 综上，kOM•kON为定值且定值为‎-‎‎1‎‎2‎．‎ ‎22. 解：（Ⅰ）∵f(x)=ex-ax+‎a‎2‎，∴f'（x）＝ex﹣a，∴f'（1）＝e﹣a，‎ 由题设知∴f'（1）＝0，即e﹣a＝0，解得a＝e．经验证a＝e满足题意．‎ ‎（Ⅱ）令f'（x）＝0，即ex＝a，则x＝lna，（1）当lna＜1时，即0＜a＜e 对于任意x∈（﹣∞，lna）有f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，lna）单调递减；‎ 对于任意x∈（lna，1）有f'（x）＞0，故f（x）在（lna，1）单调递增，‎ 因此当x＝lna时，f（x）有最小值为a-alna+a‎2‎=a(‎3‎‎2‎-lna)＞0‎成立．‎ ‎（2）当lna≥1时，即a≥e 对于任意x∈（﹣∞，1）有f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，1）单调递减，‎ 所以f（x）＞f（1）．因为f（x）的图象恒在x轴上方，所以f（1）≥0，‎ 因为f（x）＞0，所以f（1）≥0，即a≤2e，综上，a的最大值为2e．‎ ‎22.解：（1）直线l的参数方程为x=1+2ty=‎1‎‎2‎-t可化为x+2y＝2，‎ 曲线C的参数方程为x=2cosθy=sinθ，可化为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎ 两方程联立，可得y2﹣y＝0，∴y＝0或1，∴A（2，0），B（0，1），∴|AB|‎=‎‎5‎；‎ ‎（2）设P（2cosθ，sinθ），则 P到AB的距离为‎|2cosθ+2sinθ-2|‎‎5‎‎=‎‎|2‎2‎sin(θ+π‎4‎)-2|‎‎5‎ ‎∴sin(θ+π‎4‎)=‎1，即θ‎=‎‎5π‎4‎时d最大，即△ABP的面积取最大值，点P的坐标为（‎-‎‎2‎，‎-‎‎2‎‎2‎）．‎ ‎23.解：（1）当a＝1时，g（x）≥f（x）⇔x≤-1‎x‎2‎‎-x≥-x-1-x+1‎或‎-1＜x＜1‎x‎2‎‎-x≥2‎或x≥1‎x‎2‎‎-x≥x+1+x-1‎，‎ 解得x≤﹣1或x≥3，‎ 所以原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}‎ ‎（2）f（x）‎=‎‎-(a+1)x-1+a，‎x≤-‎‎1‎a‎(a-1)x+1+a，‎‎-‎1‎a＜x＜a‎(a+1)x+1-a，‎x≥a，‎ 当0＜a≤1时，f（x）min＝f（a）＝a2+1≥2，a＝1；‎ 当a＞1时，f（x）max＝f（‎-‎‎1‎a）＝a‎+‎1‎a≥‎2，a＞1，‎ 综上：a∈[1，+∞）‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布