2019-2020学年高中数学课时作业5三元平均值不等式北师大版选修4-5

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2019-2020学年高中数学课时作业5三元平均值不等式北师大版选修4-5

课时作业(五)‎ ‎1.设a,b,c∈R,下列各不等式中成立的是(  )‎ A.a2+b2≥2|ab|      B.a+b≥2 C.a3+b3+c3≥3abc D.≥ 答案 A 解析 B,C,D中a,b,c均为正数时不等式才成立,故选A.‎ ‎2.已知a>0,b>0,c>0,且abc=1,则a+b+c的最小值为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 答案 C 解析 ∵a>0,b>0,c>0,‎ ‎∴a+b+c≥3=3,故选C.‎ ‎3.设x>0,则y=x+的最小值为(  )‎ A.2 B.2 C.3 D.3‎ 答案 D 解析 y=x+=++≥3·=3.当且仅当=取“=”号.‎ ‎4.设x,y,z>0且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值为(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 答案 A 解析 ∵6=3y+x+4z=++y+y+y+4z≥6·.当且仅当=y=4z时取“=”号.‎ ‎5.若实数x,y满足xy>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 答案 C 解析 xy+x2=xy+xy+x2≥3=‎ ‎3=3·=3.‎ ‎6.设x,y,z∈R+且x+y+z=6,则lgx+lgy+lgz的取值范围是(  )‎ 6‎ A.(-∞,lg6] B.(-∞,3lg2]‎ C.[lg6,+∞) D.[3lg2,+∞)‎ 答案 B 解析 ∵x,y,z∈R+,∴6=x+y+z≥3,∴xyz≤23.‎ ‎∴lgx+lgy+lgz=lg(xyz)≤lg23=3lg2,故选B.‎ ‎7.函数y=x2·(1-5x)(0≤x≤)的最大值为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A ‎8.设a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,则++的最小值为(  )‎ A.9 B.12‎ C.6-2 D.6+4 答案 D ‎9.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为V,则下列总成立的是(  )‎ A.V≥π B.V≤π C.V≥π D.V≤π 答案 B 解析 设圆柱底面半径为r,高为h,则有2r+h=3.‎ ‎∴V=πr2·h≤π·()3=π·()3=π,故选B.‎ ‎10.已知x∈R+,有不等式:x+≥2=2,x+=++≥3=3,….启发我们可以推广结论为:x+≥n+1(n∈N*),则a的值为(  )‎ A.nn B.2n C.n2 D.2n+1‎ 答案 A ‎11.函数f(x)=5x+(x>0)的最小值为________.‎ 答案 15‎ 解析 f(x)=x+x+≥3=15,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,∴f(x)的最小值为15.‎ 6‎ ‎12.已知a,b,c∈R+,且满足a+2b+‎3c=1,则++的最小值为________.‎ 答案 9‎ 解析 因为a,b,c∈R+,且满足a+2b+‎3c=1,‎ 所以++=(a+2b+‎3c)·(++)≥3·3=9,当且仅当a=2b=‎3c=时取等号.因此++的最小值为9.‎ ‎13.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点,则P到这三角形三边距离乘积的最大值是________.‎ 答案  解析 设P点到三角形三边的距离分别为h1,h2,h3.(如图)‎ 根据面积相等,可得3h1+4h2+5h3=12.‎ ‎∴h1·h2·h3=·3h1·4h2·5h3≤()3=.‎ 当且仅当3h1=4h2=5h3时,等号成立,即h1=,h2=1,h3=时,等号成立.‎ ‎14.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,对于下列不等式:①abc≤;②≥27;③a2+b2+c2≥;‎ ‎④ab+bc+ca≤.‎ 其中正确不等式的序号是________.‎ 答案 ①②③④‎ ‎15.设a,b,c为正实数,求证:+++abc≥2.‎ 证明 因为a,b,c为正实数,由平均不等式,可得 ++≥3,‎ 即++≥(当且仅当a=b=c时,等号成立).‎ 所以+++abc≥+abc.‎ 6‎ 而+abc≥2 =2(当且仅当a2b‎2c2=3时,等号成立),‎ 所以+++abc≥2(当且仅当a=b=c=时,等号成立).‎ ‎16.如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器的容积最大值.‎ 解析 设正六棱柱容器底面边长为x(x>0),高为h,‎ 由图(3)可有2h+x=,‎ ‎∴h=(1-x).‎ V=S底·h=6×x2·h ‎=x2··(1-x)‎ ‎=2××××(1-x)‎ ‎≤9×()3=.‎ 当且仅当==1-x,即x=时,等号成立.‎ 所以当底面边长为时,正六棱柱容器体积最大,为.‎ ‎1.已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R,且为常数)和g(x)=2x+的定义域均为[,2].如果当自变量取同一值时,函数f(x)与g(x)有相同的最小值,那么函数f(x)在[,2]上的最大值是(  )‎ 6‎ A. B. C.4 D.8‎ 答案 C 解析 g(x)=x+x+≥ 3=3,‎ 当且仅当x=,即x=1∈[,2]时等号成立.‎ 根据题意-=1,∴b=-2.‎ ‎∴f(1)=12-2×1+c=3,∴c=4.‎ ‎∴f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3.‎ ‎∵x∈[,2],∴当x=2时,f(x)max=f(2)=4.‎ ‎2.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为________.‎ 答案  解析 设底面边长为x,高为h,则 x2·h=V,所以h=,‎ 又S表=2·x2+3xh ‎=x2+3x·=x2+ ‎=(x2+)=(x2++)≥·3 ‎=3·.‎ 当且仅当x2=,即x=时,S表最小.‎ ‎3.(1)求函数y=x2+(x>0)的最小值;‎ ‎(2)求函数y=x2(a-x)(x>0,a为大于x的常数)的最大值.‎ 解析 (1)∵x>0,=+>0,‎ 且x2··=(定值),‎ ‎∴y=x2+=x2++ 6‎ ‎≥3 ‎=3=.‎ 当x2=,即x=时,等号成立,∴y最小值=.‎ ‎(2)∵x>0,a>x且++(a-x)=a(常数),‎ ‎∴y=x2(a-x)=4·[··(a-x)]‎ ‎≤4·[]3=4×=a3.‎ 当=a-x,即x=a时等号成立.‎ ‎∴y最大值=a3.‎ ‎4.设正实数x,y,z满足x+2y+z=1,求+的最小值.‎ 解析 因为正实数x,y,z满足x+2y+z=1,‎ 所以+=+=1++≥1+2=7,当且仅当=,即x+y=,y+z=时,取等号.所以+的最小值为7.‎ 6‎
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