四川省绵阳市高中2017级第二次诊断性考试 理科数学试题（扫描版含答案）

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理科数学答案 第1页（共 5 页） 绵阳市高中 2017 级第二次诊断性考试 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． DCABB ADBCD AD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．2 14．3.12 15． 2 3  16．8 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17．解：（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为 0.04×5＋0.06×5=0.5． 所以阅读时间的中位数 m=10．………………………………………………4 分 （2）由题意得，男生人数为 45 人，因此女生人数为 55 人，阅读时长大于等 于 m 的人数为 100×0.5=50 人， 故列联表为如右图： ………………………8 分 K2 的观测值 k= 2100 (25 30 25 20) 100 50 50 45 55 99   −  =   ≈1.01<2.706， 所以不能在犯错误的概率不超过 0.1 的前提下认为阅读与性别有关．……12 分 18．解：（1）设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q． 由题意，得 1 1 20 656 24.2 ad ad += += ， 解得 1 1 2. a d =−  = ， ∴ 23nan=−．…………………………………………………………………4 分 ∵ 等比数列{bn}的各项均为正数， 由 11 2 1 6 8. b b q bq += = ， 解得 1 1 2 2. b q =  = ， 或 1 2 18 2.3 b q = =− ， (舍) ∴ 12 2 2nn nb −=  = ．……………………………………………………………7 分 （2）由（1）得， 21 1 2 -11+ + + =1+2+2 2 =2 1nn nb b b −+ + + − ． ………………9 分 1 1 2=1+(1+ )+(1+ + )+nT b b b … 12+(1+ + +bb … -1 )nb+ 231 (2 1) (2 1)= + − + − + … (2 1)n+− 1 2 3(2 1) (2 1) (2 1)= − + − + − + … (2 1)n+− 2(1 2 )= 12 n n− −− 1=2 2n n+ −−． ………………………………………………12 分 男 女 总计 t≥m 25 25 50 t0)． ………………………………2 分 令 2)( 2 +−= axxxg ，则 82 −= a ． ① 当 a≤0 或△≤0，即 a≤ 22时，得 ()fx ≥0 恒成立， ∴ )(xf 在 ( )0 +， 上单调递增． ………………………………………………3 分 ②当 0 0 a   ， ， 即 22a 时， 由 0)(  xf ，得 2 80 2 −− aax 或 2 82 ++ aax ； 由 0)(  xf ，得 2 8 2 8 22 −+−− aaxaa ． ∴ 函数 在 2 8(0 )2 aa−−， 和 2 8()2 aa+++， 上单调递增， 在 2288()22 a a a a− − + −， 上单调递减． ………………………………………5 分 理科数学答案 第4页（共 5 页） 综上所述，当 a≤ 22时， )(xf 在 ( )0 +， 上单调递增；当 22a 时， 在 2 8(0 )2 aa−−， 和 2 8()2 aa+++， 上单 调 递 增 ，在 2288()22 a a a a− − + −， 上单 调递减． ………………………………………………………………………6 分 （2）由（1）知，当 时， 有两极值点 12xx， (其中 12 xx  )， 由（1）得 12xx， 为 02)( 2 =+−= axxxg 的两根， 于是 axx =+ 21 ， 221 =xx ． ∴ )()(2 1ln2)()( 12 2 1 2 2 1 2 12 xxaxxx xxfxf −−−+=− 2ln2 2 1 2 2 1 2 xx x x −−= 21 2 1 2 2 1 2ln2 xx xx x x −−= 2 1 1 2 1 2ln2 x x x x x x +−= ． ……………………………………………7 分 令 1 2 x xt = （ 1t ），则 )()()( 12 thxfxf =− ttt 1ln2 +−= ． ∵ 22 2 2 2 2 1 2 1 ( 1)( ) 1 0t t tht t t t t − + − − − = − − = =  ， ∴ )(th 在 (1 )+， 上单调递减．…………………………………………………9 分 由已知 )()()( 12 xfxfth −= 的最大值为 2 32ln2 − ， 而 2 32ln22 122ln2)2( −=+−=h ． ∴ t=2．…………………………………………………………………………10 分 设 t 的取值集合为 T，则只要满足 T  [2 )+， 且 T 中的最小元素为 2 的 T 集合 均符合题意． 又 21 2 21 2 )( 2 xx xxa += 21 ++= tt (t∈T)，易知 1( ) 2xtt = + + 在 上单调递增， 结合 a> 22，可得 a 与 t 是一一对应关系． 而当 t=2，即 2 1 x x =2 时，联合 ，解得 x2=2，x1=1，进而可得 a=3． ∴ 实数 a 的取值范围为 [3 )+， 或 的任意最小元素为 3 的子集． ………………………………………………………………………………12 分 理科数学答案 第5页（共 5 页） 22．解：（1）将 C1 的参数方程化为普通方程为(x-1)2+y2=r2． 由 cosx = ， siny = ， 得点 P(2， 3  )的直角坐标为(1， 3 )，代入 C1，得 2 3r = ， ∴ 曲线 C1 的普通方程为(x-1)2+y2=3．………………………………………3 分 C2 可化为 2 2 2 2cos sin 1   −=，即 2 2 2(cos sin ) 1  −= ∴ 曲线 C2 的极坐标方程为 2 cos2 1= ．……………………………………5 分 （2）将点 1()A ， ， 2()6B −， 代入曲线 C2 的极坐标方程， 得 2 1 cos2 =1， 2 2 cos(2 )=13 − ， ∴ 2222 12 1 1 1 1 cos2 cos(2 )3OA OB + = + = + − 33cos2 sin 2 3sin(2 )2 2 3   = + = + ． ……………………8 分 由已知 (0 )4   ， ，可得 52 ( )3 3 6    +， ，于是 33sin(2 ) ( 3]32  + ， ． 所以 22 11 OA OB + 的取值范围是( 3 2 ， 3 ]． ………………………………10 分 23．解：（1）由 a=4 时， 1 2 log 2a =− ．原不等式化为 1 2 1 2xx+ − − −≤ ， 当 x≥ 1 2 时，x+1-(2x-1)≤-2，解得 x≥4，综合得 x≥4； ………………3 分 当-1< 1 2x  时， 1 2 1xx+ + − ≤-2 ，解得 x≤ 2 3− ，综合得 21 3x−  −≤ ； 当 x≤-1 时， ( 1) 2 1 2xx− + + − −≤ ，解得 x≤0，综合得 x≤-1． ………… 4 分 ∴不等式的解集为{x| 2 3x −≤ ，或 x≥4}．……………………………………6 分 （2）设函数 21 1( ) 1 2 1 = 3 1 2 12. 2 xx f x x x x x xx   −  − = + − − −   −+ ， ， ， ≤ ， ≥ ， 画图可知，函数 f(x)的最大值为 3 2 . 由 1 2 3 log2 a≤ ，解得 0

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