清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2020届高三5月测试数学（文）试题答案（一卷）

清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2020届高三5月测试数学（文）试题答案（一卷）

第1页 共 5 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年 5 月测试 文科数学（一卷）答案 一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D B C D C A B A D 二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 22 14. 1 3 15. 37 8 + 16. 15 7 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分． 17． 解： （1）因为点 0 34,55P   ，根据三角函数的定义可得 4sin 5 = ， 3cos 5 = ……………2 分 根据题意可知点 1P 的横坐标为 π π π 3 1 4 3 3 4 3cos cos cos sin sin3 3 3 5 2 5 2 10   −+ = − =  −  = …………6 分 （2）根据题意可知点 2020P 的横坐标为 2020π 44cos cos3 3 5   + = + =       所以 4cos 35 += − ……………8 分 又因为 π0, 2  ，所以 5π,3 3 6 + ，所以 3sin 35 += ……………10 分 第2页 共 5 页 所以 2π π π 24sin22sincos33325+=++= − ……………12 分 18．解：（1）由图可得 [1 5 0 ,1 6 0 ) ，[1 7 0 ,1 8 0 ) ，[1 8 0 ,1 9 0 ]三组的频率分别为 0 . 1 2 5 0 ， 0 . 3 0 0 0 ， 0 . 1 2 5 0 ，可得人数分别为 5 ， 12 ， 5 ， ………………5 分 所以身高在 [1 6 0 ,1 7 0 ) 内的共有 18 人， ………………6 分 所以 18 0.045040 10a == ； ………………8 分 （2）这 40 个学生平均身高的估计值为 ( )1 15551651817512185540 +++ 1 6 9 . 2 5= ． ………………12 分 所以这 个学生平均身高的估计值为 1 6 9 . 2 5 cm． 19．解（1）取 AB 的中点 O ，连接 ,O P O D ， 因为△ PAB 为边长为 2 的等边三角形， 所以 POAB⊥ ， ………………2 分 因为 1BOCD==， //A B C D ， 所以四边形OBCD为平 行四边形， 又因为 ABBC⊥ ，所以 DOAB⊥ ，………………4 分 因为 DOPOO = ，所以 AB ⊥ 平面 POD ， 所以 PDAB⊥ ； ………………6 分 （2）设点 D 到平面 PBC 的距离为 h ， 因为 1BC DO==， 3PO = ， 2PD = ，所以 DOPO⊥ ， 又因为 ，所以 DO ⊥ 平面 PAB ， ………………8 分 由 DPBCPDBCVV−−= 可得， 1111 3232hBCPBPOBCDC= ， 所以 3 2h = ． ………………12 分 20．解：设点 ( )11,A x y ， ( )22,Bxy ，中点 ( ),1Mt ， 直线 AB 的斜率为 k ，（ 斜率显然存在且不为 0 ）． 由 2 11 2 22 4, 4, xy xy  = = 可得( )( ) ( )1 2 1 2 1 24x x x x y y− + = − ， x y O N A B M （第 20 题） (第 19 题) O P D C BA 第3页 共 5 页 所以 12 12 12 4 yyxx xx −+= − ，故 24tk= ， ………………3 分 （1）直线 :MN ( )11y x t k− = − − ，即 ( )112yxk k−=−− ，解得点 ( )0 ,3N ；………6 分 （2）因为直线 AB 经过点 ( ),1Mt ，直线 AB 的斜率为 k ， 所以可得直线 的方程是： 221y kx k= − + ， 由 2 2 4, 2 1 , xy y k x k  = = − + 联立可得 224840xkxk−+−= ， 所以 12 2 12 2 4, 84, 16160 xxk xxk k +=  =− =−+ ， 所以 222 12111616ABkxxkk=+−=+− ， ………………8 分 又因为点 N 到直线 AB 的距离为 2 2 22 1 k d k + = + ， ………………10 分 所以△ N A B 的面积 ( )( )( )222224 112 22211Skkkkk=−+=−++ 32222 2 1 1 16 622 39 kkk− + + + += ， 当 2 1 3k = 时，△ 的面积取到最大值16 6 9 ． ………………12 分 21．解：（1）因为 ( ) ( )1lnfxxx =+ ，所以 ( ) 1ln xfxx x + =+ ， 所以 ( )12f  = ， ………………2 分 又因为 ( )10f = ，所以 ( )fx在 1x = 处的切线方程 22yx=−； …………4 分 （2）证明：当 2k  时，函数 ( )y f x= 的图象与直线 l 交点的个数等价于函数 ( ) ( )1ln 1 kxh xx x −=−+ 的零点个数， 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 1212 11 x kxkhx x x x x +− = − = ++ ， ( )0,x + ， ………………6 分 设 ( ) ( )2 2 2 1g x x k x= + − + ， 第4页 共 5 页 因为二次函数 ( )gx在 x  R 时， ( )0 1 0g = ， ( )1 4 2 0gk= −  ， 所以存在 ( ) ( )120,1 , 1,xx  + ，使得 ( )1 0gx = ， ( )2 0gx = ，…………8 分 所以 ( )hx 在 ( )10, x 单调递增， ( )12,xx 单调递减， ( )2 ,x + 单调递增． 因为 ( )10h = ，所以 ( ) ( )1 10h x h = ， ( ) ( )2 10h x h =， ……………10 分 因此 ( )hx 在 ( )12,xx 存在一个零点 1x = ； 又因为当 e kx −= ， ( ) ( ) ( )e12e e0e1e1 kk k kk kk hk −− − −− −− = −−= ++ ， 所以 ( )hx在 ( )1e,k x− 存在一个零点； 当 e kx = 时， ( ) ( )e1 2e0e1e1 k k kk k hkk − =−= ++ ， 所以 在 ( )2 ,ekx 存在一个零点； 所以，函数 ( )y f x= 的图象与直线 ( ):1l y k x =−有 3 个交点． …………12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分．作答时请写清题号． 22．【选修 4−4：坐标系与参数方程】 解：（1）曲线 C 的方程可化为 2 2 12 x y+=； （2）设直线 l 的参数方程为 1cos, sin xt yt   = −+  = （ t 为参数）， 代入椭圆 C 方程得( )221 sin 2 cos 1 0tt+ − − = ， ………………5 分 所以 12 2 2cos 1sintt  +=+ ， 12 2 1 1sintt  −= + ，故 12 2 22 1 sinPQ t t = − = + ，………6 分 又因为 4 cosAB = ， 2 cosAF BF −= ， ………………8 分 所以 2 2 4 4 2 2 cos cos 1 sin  = + ， ……………6 分 当 cos0  时， 2cos 2 2 cos 2 0+ − = ，解得cos22 =− ， 当 cos 0  时， 2cos 2 2 cos 2 0− − = ，解得cos 2 2 =−， 第5页 共 5 页 所以 c o s 2 2 =− 或 22− ． 曲线 的直角坐标方程为 023 =+− yx 或 0103 =−− yx ………………10 分 23．【选修 4−5：不等式选讲】 （1）解：（1）证明：因为 2224abbab+++++= ， ………………2 分 若 0c  ，不等式显然成立； 若 0c  ，则 2 888 411 21 c c c c ==+ + ， ………………4 分 所以 2 82 1 cabb c+++ + ， ……………5 分 当 ( ) ( )20abb++ ，且 1c = 取到等号； 综上 2 82 1 cabb c+++ + ． （2）因为 1 2 2 2 22422 a b a b a b b a b a b a +++ = + = + +  ， ……………9 分 所以 114cc++− ，解得 22c− ． ……………10 分 2C