高二年级期末测试数学（理科）

高二年级期末测试数学（理科）

高二年级期末测试数学（理科）‎ 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案直接填写在答．题．卡．相． 应．位．置．上．.‎ 1. 已知复数 z 满足 z(1 + 2i) = 2 - i ， i 为虚数单位，则复数 z 的模为 ▲ .‎ 2. 若以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点 A 的极 坐标 π 化成直角坐标为 ▲ .‎ ‎(2, ) ‎ ‎3‎ ‎0 1‎ ê ú 3. 若曲线x2 + y2 =1在矩阵é2 0ù 对应的变换下变为一个椭圆，则椭圆的离心率为 ▲ .‎ ë û 4. 已知随机变量 X 的分布表如下所示，则实数 x 的值为 ▲ .‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P x2‎ ‎1‎ ‎4‎ x í y = -4t 5. 将参数方程ìx = 2t + 1 ( t 为参数)化成普通方程为 ▲ .‎ î ‎10 10 11‎ 6. 计算C5 + C4 - C6 的结果为 ▲ .‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 ‎( , , 0)‎ 7. 若平面a 的一个法向量为 1 1‎ ‎2 2‎ ‎，直线l 的方向向量为(1, 0,1) ，则l 与a 所成角的大 高二理科数学 第 10 页共 4 页 小为 ▲ .‎ 8. 已知某运动队有男运动员 4 名，女运动员 3 名，若现在选派 3 人外出参加比赛，则选出的 3 人中男运动员比女运动员人数多的概率是 ▲ .‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 ‎9. 若(x3 + ‎a )6 的展开式中 x4 的系数为 240，则实数a 的值为 ▲ .‎ x 高二理科数学 第 10 页共 4 页 ‎10.设向量 a = (1, 2,l),b = (2, 2, -1) ，若cos ‎a, b = 4 ，则实数l 的值为 ▲ .‎ ‎9‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 11. 观察下列恒等式: 1‎ tana ‎= tana + ‎2 ；‎ tan 2a 高二理科数学 第 10 页共 4 页 ‎1‎ tana ‎= tana + 2 tan 2a + ‎4 ；‎ tan 4a 高二理科数学 第 10 页共 4 页 ‎1‎ tana ‎…‎ ‎= tana + 2 tan 2a + 4 tan 4a + ‎8 ；‎ tan 8a 高二理科数学 第 10 页共 4 页 请你把结论推广到一般情形,则得到的第n 个等式为 ▲ .‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 ‎8 8 8 8 8 8‎ 11. 已知集合 A={C0},B={C1,C2},D={C4 ,C5 ,C6}，若从这三个集合中各取一个元素构成空 间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为 ▲ .‎ x2 2‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 12. 若实数 x, y 满足 + y ‎4‎ ‎= 1 ，则(x + 1)(2 y + 1) 的取值范围是 ▲ .‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 13. 当 x < 1时，等式 ‎1‎ ‎1 + x ‎= 1 - x + x2 +… + (-x)n +… 恒成立，根据该结论，当 x < 1 时，‎ ‎2‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 x = a + a x +… + a xn +…，则a 的值为 ▲ .‎ ‎(1+ 2x)(1- x3 ) 0 1 n 8‎ 二、解答题：本大题共 6 题，第 15~17 题每题 14 分，第 18~20 题每题 16 分，共 90 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在答．题．卡．指．定．区．域．内作答．‎ ‎15.（本题满分 14 分）‎ ‎2‎ 已知复数 z = a + i (a > 0，a Î R) ， i 为虚数单位，且复数 z + 为实数．‎ z （1） 求复数 z ；‎ （2） 在复平面内，若复数(m + z)2 对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．‎ 16. ‎（本题满分 14 分）‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 ê 已知矩阵 M = éa b ‎1ù 对应的变换将点 P(1, 2) 变换成 P¢(4, 5) ．‎ ú ‎2‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 ë û （1） 求矩阵 M 的逆矩阵 M -1 ；‎ （2） 求矩阵 M 的特征向量．‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 16. ‎（本题满分 14 分）‎ í y = 2 + 4sina 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为ìx = 1 + 4cosa ,‎ î ‎‎ ‎( a 为参数).‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 （1） 求曲线C 的普通方程；‎ （2） 在以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 r sin(q + p ) = 11 2 ，过直线l 上一点 P 引曲线C 的切线，切点为M ，求 PM 的 ‎4 2‎ 最小值.‎ 17. ‎（本题满分 16 分）‎ 已知某盒子中共有 6 个小球，编号为 1 号至 6 号，其中有 3 个红球、2 个黄球和 1 个绿球，这些球除颜色和编号外完全相同．‎ （1） 若从盒中一次随机取出 3 个球，求取出的 3 个球中恰有 2 个颜色相同的概率；‎ （2） 若从盒中逐一取球，每次取后立即放回，共取 4 次，求恰有 3 次取到黄球的概率；‎ （3） 若从盒中逐一取球，每次取后不放回，记取完黄球所需次数为 X，求随机变量 X 的分布列及数学期望E( X ) ．‎ ‎ ‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 16. ‎（本题满分 16 分）‎ 如图，在三棱锥V - ABC 中， AB = AC ， D 为 BC 的中点，VO ^ 平面ABC ， 垂足O 落在线段 AD 上， E 为DVBC 的重心，已知 BC = 6,VO = 3,OD = 1, AO = 2 .‎ （1） 证明： OE // 平面VAC ；‎ （2） 求异面直线 AC与OE 所成角的余弦值；‎ （3） 设点 M 在线段VA上，使得VM = lVA，试确定l 的值，使得二面角 A - MB - C V M E O D 为直二面角.‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 17. ‎（本题满分 16 分）‎ ‎A C B ‎(第 19 题）‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 n F(x) = å 1 Ck -1Cm xk (1- x)n-k ,(n k m n k m Î N).‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 设函数 ‎k =3 k ‎n-1 k ‎≥ ≥ ， 、 、‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 n k n n-m （1） 化简: Ck Cm - CmCk -m (n≥ k ≥ m，n、k、mÎN) ；‎ n （2） 已知 F(x) = å 1 Ck -1Cmxk (1- x)n-k = am xm , 求a 表达式；‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 k =m k n (-1)k +1‎ ‎n-1 k n m + (-1)n+1‎ an ‎ 1 1 1‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 （3） 设 An = å a ‎= - a + a - a + ,‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 k =2 k ‎2 3 4‎ A ‎> 1 + 1 + 高二理科数学 第 10 页共 4 页 ‎ 1 ‎ n + n 请用数学归纳法证明不等式 2n+1‎ ‎n +1‎ ‎n + 2 .‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 高二年级期末调研测试理科数学 参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1. 1 2. 3. 4. 5. ‎ ‎6. 0 7. 8. 9. 10.‎ ‎11. 12.33‎ ‎13. 14.‎ 二、解答题：在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.解答 ‎（1），‎ 则 ………………………2分 ‎，， ………………………5分 ‎ ‎．‎ ‎． ………………………7分 ‎（2）由题意：,‎ ‎ ………………………9分 ‎ 复数对应点坐标………………………11分 ‎ 复数对应的点在第一象限,‎ ‎ ,‎ ‎ 所以 ………………………14分 ‎16.解：（1）由题意得，‎ 即，解得，所以，………………………………3分 高二理科数学 第 10 页共 4 页 ‎…………………………………………6分 ‎（2）矩阵的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－3)．‎ 令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3．………………………………8分 ‎①当λ＝1时， 得 令x＝1，则y＝－1，于是矩阵的一个特征向量为．……………10分 ‎②当λ＝3时，由 得 令x＝1，则y＝1，于是矩阵的一个特征向量为．‎ 综上，矩阵的特征向量为和．………………………………14分 ‎17.解.（1）由得 又 所以 综上曲线的普通方程...................................................4分 ‎（2）由得 即............................................................................................6分 又 直线的直角坐标方程为....................................................................8分 由（1）知曲线为圆且圆心坐标为，半径为 切线长 当取最小时，取最小....................................................................................10分 而的最小值即为到直线的距离 到直线的距离为....................................................................12分 高二理科数学 第 10 页共 4 页 所以的最小值为4....................................................................................................14分 ‎18(1)如图，‎ 方法一：‎ 连接，因为是的重心，是的中点，‎ 即，又 所以，又因为，‎ 所以 .................................................... 3分 方法二：‎ 以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系 则，，，， ， ‎ 的重心，设，即 即，因为 所以，即 又因为，‎ 所以 ....................................... 3分 2) ‎，‎ ‎ ‎ 所以异面直线所成角的余弦值 ....................................... 6分 ‎3)，则，‎ ‎=，‎ ‎， .......................................8分 设平面ABV的法向量为，平面CMB的法向量为 由 得 高二理科数学 第 10 页共 4 页 即， 可取 ....................................... 11分 由 得 即， 可取 .......................................14分 由得 解得 .......................................16分 ‎19.解：（1）从盒中一次随机取出个球，记取出的3个球中恰有2个颜色相同为事件 ‎ 则 ‎ 答 取出的个球颜色相同的概率.......................................................................3分 ‎（2）盒中逐一取球，取后立即放回，每次取到黄球的概率为 记取4次恰有3次黄球为事件 则 答 取4次恰有3次黄球的概率..............................................................................6分 ‎（3）的可能取值为2，3，4，5，6‎ 则，，‎ ‎ ，.........................................11分 ‎ 的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎ .....................14分 高二理科数学 第 10 页共 4 页 所以的数学期望..............16分 ‎20.解答:‎ ‎(1)‎ ‎ ...................4分 ‎(2)由（1）得到:‎ ‎ 令得到：，‎ ‎ 即: .......................................6分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . ............................9分 ‎ (3)‎ ‎ ‎ ‎ 所以 : ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(1)式+(2)式得到:‎ ‎ . ............................12分 用数学归纳法证明不等式, ‎ ‎1）当时，,结论成立.‎ ‎2）假设时，结论成立,即:,‎ 高二理科数学 第 10 页共 4 页 ‎ 那么当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以当结论也成立,‎ 根据1）、2）不等式恒成立. .......................................16分 高二理科数学 第 10 页共 4 页