- 2021-06-02 发布 |
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文档介绍
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题14空间中的平行与垂直(热点难点突破)理(含解析)
空间中的平行与垂直 1.四棱锥PABCD的三视图如图所示,四棱锥PABCD的五个顶点都在一个球面上,E,F分别是棱AB,CD的中点,直线EF被球面所截得的线段长为2,则该球的表面积为( ) A.12π B.24π C.36π D.48π 答案 A 2.已知a,b,m,n是四条不同的直线,其中a,b是异面直线,则下列命题正确的个数为( ) ①若m⊥a,m⊥b,n⊥a,n⊥b,则m∥n ②若m∥a,n∥b,则m,n是异面直线 ③若m与a,b都相交,n与a,b都相交,则m,n是异面直线 A.0 B.1 C.2 D.3 解析 显然①正确.②中m,n可能异面,可能相交,∴②不正确.③中m,n可能异面,可能相交,∴③不正确. 答案 B 3.已知l,m,n是空间中的三条直线,命题p:若m⊥l,n⊥l,则m∥n;命题q:若直线l,m,n两两相交,则直线l,m,n共面,则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.p∨q C.p∨(非q) D.(非p)∧q 10 解析 命题p中,m,n可能平行,还可能相交或异面,所以命题p为假命题;命题q中,当三条直线交于三个不同的点时,三条直线一定共面,当三条直线交于一点时,三条直线不一定共面,所以命题q也为假命题.所以非p和非q都为真命题,故p∨(非q)为真命题. 答案 C 4.设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题: ①若l⊥α,α⊥β,则l∥β;②若l∥α,α∥β,则l∥β; ③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 对于①,可能l⊂β,对于②,可能l⊂β;对于④,l∥β,l⊂β,l与β相交都有可能.综上可知①②④为假命题.由面面平行的性质定理易知命题③正确,故选A. 答案 A 5.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱B1C1的中点,动点P在底面ABCD内,且PA1=A1E,则点P运动形成的图形是( ) A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 解析 由PA1=A1E知点P应落在以A1为球心,A1E长为半径的球面上.又知动点P在底面ABCD内,所以点P的轨迹是底面ABCD与球面形成的交线,故为圆弧,所以选B. 答案 B 6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分别是AA1,A1D1,CC1,BC的中点,给出以下四个结论:①A1C⊥MN;②A1C∥平面MNPQ;③A1C与PM相交;④NC与PM异面.其中不正确的结论是( ) 10 A.① B.② C.③ D.④ 解析 作出过M,N,P,Q四点的截面交C1D1于点S,交AB于点R,如图中的六边形MNSPQR,显然点A1,C分别位于这个平面的两侧,故A1C与平面MNPQ一定相交,不可能平行,故结论②不正确. 答案 B 7.如图所示,在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是( ) A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直 C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面 解析 连接B1C,AC,则易知EF是△ACB1的中位线,因此EF∥AC∥A1C1,故选D. 答案 D 8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是( ) A.0<θ< B.0<θ≤ 10 C.0≤θ≤ D.0<θ≤ 解析 当P在D1处时,CP与BA1所成角为0; 当P在A处时,CP与BA1所成角为,∴0<θ≤. 答案 D 9.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①m⊥α,n∥α,则m⊥n;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ;④若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A.①和③ B.②和③ C.③和④ D.①和④ 解析 ②中平面α,β可能相交;④平面α,β可能相交,故选A. 答案 A 10. a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面,现给出六个命题: ①⇒a∥b;②⇒a∥b; ③⇒α∥β;④⇒α∥β; ⑤⇒α∥a;⑥⇒a∥α. 其中正确的命题是( ) A.①②③ B.①④⑤ C.①④ D.①③④ 解析 ①④正确.②错,a、b可能相交或异面.③错,α与β可能相交.⑤⑥错,a可能在α内. 答案 C 11.正三棱锥的高为1,底面边长为2,内有一个球与它的四个面都相切(如图).求: (1)这个正三棱锥的表面积; 10 (2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积. 解 (1)底面正三角形中心到一边的距离为××2=, 则正棱锥侧面的斜高为=. ∴S侧=3××2×=9. ∴S表=S侧+S底=9+××(2)2 =9+6. (2)设正三棱锥PABC的内切球球心为O,连接OP,OA,OB,OC,而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r. ∴VPABC=VOPAB+VOPBC+VOPAC+VOABC =S侧·r+S△ABC·r=S表·r =(3+2)r. 又VPABC=×××(2)2×1=2, ∴(3+2)r=2, 得r===-2. ∴S内切球=4π(-2)2=(40-16)π. V内切球=π(-2)3=(9-22)π. 12.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积. 解 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h, 由已知条件得 解得r=,l=4.所以S=πrl+πr2=10π,h==, V=πr2h=. 10 13.在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=,且AD⊥BC,对角线BD=,AC=,求AC和BD所成的角. 解 如图,分别取AD,CD,AB,BD的中点E,F,G,H,连接EF,FH,HG,GE,GF. 由三角形的中位线定理知,EF∥AC, 且EF=,GE∥BD,且GE=. GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角. 同理,GH=,HF=,GH∥AD,HF∥BC. 又AD⊥BC,∴∠GHF=90°, ∴GF2=GH2+HF2=1. 在△EFG中,EG2+EF2=1=GF2, ∴∠GEF=90°,即AC和BD所成的角为90°. 14.已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD的中点. (1)求证:BC与AD是异面直线; (2)求证:EG与FH相交. 证明 (1)假设BC与AD共面. 不妨设它们所共平面为α,则B,C,A,D∈α. ∴四边形ABCD为平面图形, 这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾, ∴BC与AD是异面直线. (2)如图,连接AC,BD, 则EF∥AC,HG∥AC, ∴EF∥HG.同理,EH∥FG, 则EFGH为平行四边形. 又EG,FH是▱EFGH的对角线, ∴EG与HF相交. 15.如图,圆O为三棱锥P-ABC的底面ABC的外接圆,AC是圆O的直径,PA⊥BC,点M是线段PA的中点. 10 (1)求证:BC⊥PB; (2)设PA⊥AC,PA=AC=2,AB=1,求三棱锥P-MBC的体积; (3)在△ABC内是否存在点N,使得MN∥平面PBC?请证明你的结论. (1)证明 如图,因为AC是圆O的直径,所以BC⊥AB, 因为BC⊥PA,又PA、AB⊂平面PAB,且PA∩AB=A, 所以BC⊥平面PAB,又PB⊂平面PAB,所以BC⊥PB, (2)解 如图,在Rt△ABC中,AC=2,AB=1, 所以BC=, 因此S△ABC=, 因为PA⊥BC,PA⊥AC,BC∩AC=C, 所以PA⊥平面ABC, 所以,VP-MBC=VP-ABC-VM-ABC=··2-··1=. (3)解 如图,取AB的中点D,连接OD、MD、OM,则N为线段OD(除端点O、D外)上任意一点即可,理由如下: 因为M、O、D分别是PA、AC、AB的中点,所以MD∥PB,MO∥PC.因为,MD⊄平面PBC,PB⊂平面PBC, 所以MD∥平面PBC,同理可得,MO∥平面PBC. 因为MD、MO⊂平面MDO,MD∩MO=M, 所以平面MDO∥平面PBC, 因为MN⊂平面MDO,故MN∥平面PBC. 16.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是等腰梯形,且AB∥CD,O是AB中点,PO⊥平面ABCD,PO=CD=DA=AB=4,M是PA中点. 10 (1)证明:平面PBC∥平面ODM; (2)求点A到平面PCD的距离. 解 (1)证明:由题意,CD∥BO,CD=BO, ∴四边形OBCD为平行四边形,∴BC∥OD. 又∵AO=OB,AM=MP,∴OM∥PB. 又OM⊄平面PBC,PB⊂平面PBC, ∴OM∥平面PBC. 同量,OD∥平面PBC,又OM∩OD=O, ∴平面PBC∥平面ODM. (2)取CD的中点N,连接ON,PN,则ON,PN分别为△ACD,△PCD的高. 由PO=CD=DA=AB=4. 可得PN=2,ON=2. 设点A到平面PCD的距离为d. ∵V三棱锥A-PCD=V三棱锥P-ACD, 即××4×2×d=××4×2×4, ∴d=. 17.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点. 10 (1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面ABE; (3)求三棱锥E-ABC的体积. 解 因为AC∥A1C1,且AC=A1C1, 所以FG∥EC1,且FG=EC1. 所以四边形FGEC1为平行四边形. 所以C1F∥EG. 又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE, 所以C1F∥平面ABE. 10 (3)因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以AB==. 所以三棱锥E-ABC的体积 V=S△ABC·AA1=×××1×2=. 10查看更多