高中物理3.2 万有引力定律

高中物理3.2 万有引力定律

‎3.2 万有引力定律 ‎ 一、太阳与行星间的引力 ‎1、引入：‎ ‎　　开普勒第一、第二定律的提出是在1609年；第三定律又用了十年的时间才发现的，提出是在1619年。上学期学过牛顿三定律，是牛顿在1687年发表在《自然哲学的数学原理》一书中。牛顿说：惯性系中，物体不受力或者受到的合力为0，物体将保持静止或者匀速直线运动。地球围绕太阳做圆周运动，根据上章的知识，我们可以想到：太阳与地球之间一定有什么力，提供了地球围绕太阳做圆周运动的向心力。那么，这种力的形式是什么呢？就是我们今天研究的问题。‎ ‎2、太阳对地球的引力：‎ ‎　　太阳对地球的引力用字母表示，它提供了地球做圆周运动的向心力，所以。这里出现了周期的平方。利用开普勒第三定律将周期代入，可得，其中k是一个与地球无关，只与太阳有关的常数。‎ ‎　　因此，可知太阳对地球的引力。‎ ‎3、地球对太阳的引力：‎ ‎　　在太阳与地球之间的引力问题上，太阳与地球的地位完全对等，比如站在太阳上看，地球围绕太阳转动；站在地球上看，太阳围绕地球转动。因此，在它们之间的作用力表达形式上，各自质量的地位也应对等。根据前面的推导，有，依据对称性，可以得到：。‎ ‎4、太阳与地球之间的引力：‎ ‎　　依据牛顿第三定律，。那么应该正比于什么呢？可以猜到。这里有个难点，为什么不是正比于，而是正比于呢？‎ ‎　　比如有一个函数记为。从某一个方面，发现，括号中是与x、y无关的其它变量。从另一个方面，发现，括号中是与x、z无关的其它变量。那么还是呢？可以这样看，式子的括号中一定包含一个z，但是不包含x了；式子的括号中一定包含一个y，但是不包含x；将两个式子乘起来，得到，其中括号内是与x、y、z都无关的变量。这时就能发现，，而不是。‎ ‎　　将前面的看成x，看成y，看成z，就可以得到，而不是。‎ ‎　　还可以这样类比，长方体的体积V正比于长*宽；V也正比于长*高。而我们知道体积V等于长*宽*高，而不是等于长2*宽*高。‎ ‎　　将太阳与地球的引力写成等式形式，即。其中G是一个与地球和太阳无关的一个比例常数。‎ ‎　　【讨论】：太阳与地球间的引力公式，这个形式可以不假思索的推广到任意的两个物体间吗？即对任意两个物体A、B，有没有呢？‎ ‎　　具体点，（1）下标A、B可以是太阳、火星吗？（2）下标A、B可以是地球、月亮吗？（3）下标A、B可以是地球和地面上的人或者苹果吗？‎ ‎　　【回答】：（1）可以。（2）不可以。因为刚才的推导中，使用了开普勒第三定律，是开普勒从行星的观测数据中发现的，至少在当时的开普勒心中，这个规律只是适用于行星与太阳之间。因此，地球和月亮之间，不能不假思索的认为也有这个关系。（3）不可以。因为刚才的推导中，利用了圆周运动的向心力的表达式。地球和之上的人或者苹果，没有发生圆周运动，因此也不能直接的不假思索的认为对地面和之上的人也是适合的。‎ ‎　　牛顿大胆的猜想，行星与太阳之间的这种引力是一切物体间都具有的。这种力的表达形式可以推广到一切物体间。这个猜测很大胆，但是有一件事情让牛顿对自己的这种猜测有了信心。‎ 二、月—地检验 ‎　　月亮围绕地球做圆周运动，周期T=27.3天，月地间距等于米，也就是等于60倍的地球半径。由这些观察数据可以得到月亮绕地球做圆周运动的向心加速度：。‎ ‎　　牛顿猜想1：如果提供向心力的这个月地间的引力是的形式，那么。‎ ‎　　牛顿猜想2：地面上物体受到的重力实际就是地球与这个物体间的万有引力，因此有：，可得：。代入上式可得：‎ ‎　　　　　　　　 ‎ ‎　　使用这样的猜想，计算出的结果与观测值相等，因此让牛顿相信这个猜想是正确的。‎ 三、万有引力定律 ‎1、万有引力定律的内容：‎ ‎　　自然界中任何两个物体都是相互吸引，引力的大小跟这两个物体的质量m1和m2的乘积成正比，跟它们的距离r的二次方成反比。‎ ‎2、计算公式：‎ ‎　　‎ ‎　　其中G称为万有引力常数，为，是自然界中几个最重要的常量之一。它的数值具体是多少，决定了我们这个宇宙是什么样子的。它表示两个质量为1kg的物体相距1m时，之间的万有引力为。‎ ‎3、意义：‎ ‎　　万有引力让我们知道，天上的力与地上的力是相同的，支配自然、宇宙的法则是简单的，是可以被人类所认识的。‎ ‎4、适用条件：‎ ‎　　（1）两个质点间的相互作用。‎ ‎　　比如，求地球和太阳间的万有引力大小，可以把它们当成质点看待。‎ ‎　　（2）两个质量分布均匀的球体，r为两个球心间的距离 ‎　　比如，地面上的物体受到地球的万有引力，这个物体相比地球可以看成质点，但是地球不能看作质点，不过地球可以看作是质量均匀的球体，因此，r是此物体与地心间的距离。‎ ‎　　（3）当研究物体不能看作质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出每个质点受到的引力，然后求合力。这种思想是牛顿发明的微积分的基本思想。他也正是使用这个思想，证明了两个质量分布均匀的球体，r应该取作两个球心间的距离。‎ 四、万有引力常数的测量 ‎　　1798年，英国物理学家卡文迪许第一次在实验室里利用扭秤装置，比较准确地测出了引力常量。下图为实验装置图。‎ ‎　　　　　　　　　‎ ‎　　[实验原理]‎ ‎　　扭秤装置把微小力转变成力矩来反映（一次放大），扭转角度通过光标的移动来反映（二次放大），从而确定物体间的万有引力。T形架在两端质量为m的两个小球受到质量为m’的两大球的引力作用下发生扭转，引力的力矩为FL。同时，金属丝发生扭转而产生一个相反的力矩，当这两个力的力矩相等时，T形架处于平衡状态，此时，金属丝扭转的角度可根据小镜上的反射光在刻度尺上移动的距离求出，由平衡方程： ‎ ‎　　　 ‎ ‎　　L为两小球的距离，k为扭转系数可测出，r为小球与大球的距离。‎ ‎　　卡文迪许利用扭秤多次进行测量，得出引力常量，与现在公认的值非常接近。‎