湖北省光谷第二高级中学高三物理 难点2 突破运动学中的矢量难点（通用）

湖北省光谷第二高级中学高三物理 难点2 突破运动学中的矢量难点（通用）

难点2 突破运动学中的矢量难点 ‎ 矢量与标量是物理学中特有的两种物理量的表达方式。在高考试题中矢量是必考点。运动学物理量多，矢量多，试题中运动情景的过程多，公式多，方法灵活。容易出现这样的一些问题：过程中的物理量对应不清楚；公式的适用条件未判断；矢量的方向处理不正确；过程不能通过示意图或速度时间图象直观反映；方法不灵活导致运算量大等。‎ 下面通过四类矢量典型应用来突破运动学中的矢量难点。‎ 矢量难点问题之一：相对参考系中的矢量处理方法 ‎【调研1】第七届中国国际航空航天博览会于2020年11月4日9日在广东省珠海市航展中心隆重举行。在航展上我国第一种自行设计并装备部队使用的第三代战斗机歼－10战机展示了优异的性能，其中短距起飞能力就格外引人瞩目。在飞行表演中歼－10战机在t时间内滑行x距离就达到起飞速度腾空而起，有人预测它将成为中国未来航空母舰的舰载机。若歼－10战机在长为L（L＜x）的航空母舰甲板上起飞，设起飞过程简化为匀加速直线运动。则有两种方法助其正常起飞，方法一：在航空母舰静止的情况下，用弹射系统给飞机以一定的初速度；方法二：起飞前先让航空母舰沿飞机起飞方向以某一速度匀速航行。求：‎ ‎（1）第一种方法中弹射系统使飞机具有的最小初速度；‎ ‎（2）第二种方法中航空母舰匀速运动的最小速度。‎ ‎【解析】（1）依题意，设在t时间内滑行x距离达到起飞速度v，飞机的加速度为a，则 x＝vt＋at2，v＝at 设弹射系统使飞机具有的最小初速度为v1，则v2－v12＝2aL 联立解得 v1＝ ‎（2）方法一：设航空母舰匀速运动的最小速度为v2，t0‎ 时间飞机离开甲板起飞，则 航空母舰运动位移s1＝v2t0‎ 飞机运动位移s2＝s1＋L＝ 且v＝v2＋at0‎ 联立解得v2＝ 方法二（相对运动法）：以航空母舰为参考系，航空母舰的加速度为零，速度为v2，则飞机相对加速度为△a＝a，相对初速度△v＝0，相对位移为△s＝L，起飞时相对速度△v′，则 ‎△v′2＝2△a·△s ‎△v′＝v－v2‎ 解得v2＝ ‎【误点警示】‎ ‎（1）运动学中的“五大”物理量包括有：初速度v0、末速度v、加速度a三个状态量，时间t、位移s两个过程量，五个物理量中有四个矢量，四个相对量（一般地初末速度对地、加速度相对惯性参考系、位移对地），显然我们意识到大部分物理量具有矢量性。‎ ‎（2）正确认识初末速度、加速度及位移的相对性。运动学公式适用于匀变速直线运动，且务必统一参考系，一般选地面静止的物体作为参考系。比如航空母舰在海面上以v2速度匀速运动时，飞机已经具有对地的初速度v2，不可认为飞机初速度为零；飞机在航空母舰甲板上运动的位移为L，而对地面的位移应为航空母舰运动的位移与甲板长度之和。本题若航空母舰以加速度a0、初速度v2匀加速运动，如何讨论飞机能否起飞呢？‎ 矢量难点问题之二：运动学中四大矢量的处理方法 ‎【调研2】一小滑块从A点从静止开始向右以作加速度大小为a1的匀加速直线运动，经过t时间到达B点，再作加速度大小为a2的匀变速直线运动，经过t时间正好运动到A点。求a1与a2的比值。‎ ‎【解析】由于小滑块的两个匀变速直线运动过程的时间均为t，位移s等大反向，故平均速度等大反向，设在B处速度大小为v1，返回A处的速度大小为v2，取向右为正方向，则 ＝－ 解得v2＝2v1‎ 由v12＝2a1s，v22－v12＝2(－a2)·(－s)‎ 解得a1：a2＝1：3‎ ‎【调研3】一小球从离地面高H＝50m的A处，以某一初速度竖直上抛。经过t＝2s运动到离A处距离为10m的B处。若忽略空气阻力的影响，重力加速度取g＝10m/s2。求：小球在A处和B处的速度。‎ ‎【解析】小球从A到B的过程作匀变速直线运动，加速度大小为g＝10m/s2，方向向下，设向下为正方向。‎ 若B处比A处高，则运动位移大小h＝10m，方向竖直向上，设初速度大小为v01，方向竖直向上。‎ 由 h＝v01t＋(－g)t2，‎ 代入数据解得v01＝15m/s 设在B处的速度为vB1，由 vB1＝v01＋(－g)t 代入数据解得vB1＝－5m/s，即小球在B处的速度大小为5m/s，方向竖直向下。‎ 若B处比A处低，则运动位移大小为h＝10m，方向竖直向下，设初速度大小为v02，方向竖直向上。‎ 由 －h＝v02t＋(－g)t2，‎ 代入数据解得v02＝5m/s 设在B处的速度为vB2，由 vB2＝v02＋(－g)t 代入数据解得vB1＝－15m/s，即小球在B 处的速度大小为15m/s，方向竖直向下。‎ 综上可知，小球在A处的速度为15m/s时，在B处的速度为5m/s，方向数值向下；小球在A处的速度为5m/s时，在B处的速度为15m/s，方向数值向下。‎ ‎【答案】BD ‎【规律总结】‎ ‎（1）选好矢量正方向，化矢量为标量。速度、加速度和位移均为矢量，而我们所处理的是匀变速直线运动，因此速度、加速度和位移方向要么朝正方向，要么朝反方向。因此处理直线运动的矢量方法就是规定一个正方向，其反方向取负值，这样矢量问题通过规定正方向的方法就变成了标量的代数和运算了。一般选择初速度的方向为正方向，其它物理量参考正方向代入原始公式中。认真领会上面的的典型例题，领悟突破并突破矢量难点。‎ ‎（2）妙用平均速度公式。平均速度有三重功能，一是定义概念；二是初末速度的平均值；三是该段时间的中间时刻的瞬时速度。但是后两者的功能务必要明确在匀变速直线运动中才成立。同学们可以体会尝试用其它运动学公式解答与用平均速度公式解答的区别。‎ 矢量难点问题之三：图象中的矢量的处理方法 ‎【调研4】质点做直线运动的v—t图象如图所示，与0~1s内质点的位移相同的时间间隔是（ ）‎ A、0~5s B、0~7s C、1~6s D、1~8s ‎【解析】由v－t图线与坐标轴围成的面积表示质点的位移，则0~1s内质点的位移为0.5m，0~5s内的位移为3.5m，0~7s内的位移为0.5m，1~6s内的位移为1.5m，1~8s内的位移为－0.5m，故B对。‎ ‎【答案】B ‎【规律总结】‎ 速度－时间图象中也暗藏着三个矢量，即速度、加速度和位移。t轴上的图线表达速度均为正方向，t轴上的面积均表示正方向运动的位移，斜率为正值表达加速度为正值。‎ 矢量难点问题之四：运用矢量三角形处理矢量 ‎【调研5】己知河宽为24 m，船相对于静水速度是10m/s，水流速度是6 m /s，问船如何划行才能垂直到达对岸？时间是多少？‎ ‎【解析】如图所示，设水流速度v水向右，依题意船的合速度v船垂直河岸。根据矢量三角形的规则，将两个分速度v船相对水和v水合成，船相对水流的速度v船相对水为斜边，即船相对于静水的速度10m/s。‎ 故船相对水划行的速度方向即为v船相对水的方向，设与上游河岸夹角为θ，由几何关系可知：v船相对水cosθ＝v水，v船相对水sinθ＝v船，代入数据：解得tanθ＝＝＝，即小船需要偏向上游53°划行。过河时间t＝＝＝s＝3s。‎ ‎【误点警示】‎ 认识矢量三角形：①矢量三角形中箭头与箭尾顺接的是分矢量，例如分速度、分力、分加速度、分位移等。本题中v水和v船相对水就是箭头与箭尾顺接的，这两个速度都是相对量，即v水是相对于地面（河岸）的速度，v船相对水是相对水的速度；②矢量三角形中箭头（或箭尾）与其它两个矢量的箭（或箭尾）相抵触的是合矢量，本题中v船就是合矢量，所谓的合矢量即为我们看到的船的实际运行速度；③相对问题的理论原理为：v绝对＝v相对＋v牵连，（矢量式）本题中v绝对＝v船，v相对＝v船相对水，v牵连＝v水。在解决相对矢量问题时，务必要理解什么是合速度，这是建立矢量三角形的关键。‎ ‎【拓展训练】‎ ‎1、如图所示为一物体 作直线运动时的图象，但纵坐标表示的物理量未标出，已知物体在前2s时间内向东运动，则以下判断正确的是（ ）‎ A、若纵坐标表示速度，则物体在4s内的位移为零 B、若纵坐标表示速度，则物体在4s内的加速度大小不变，方向始终向西 C、若纵坐标表示位移，则物体在4s内的运动方向始终向西 D、若纵坐标表示位移，则物体在4s内的位移为零 ‎1、AB 【解析】若纵坐标表示速度，在前2s内和后2s内，v－t图线与坐标轴围成的面积分别在t轴下方和上方，且面积相等，故4s内位移为零，A对，图线的斜率恒定，故物体的加速度恒定，即加速度大小不变，由于前2s内向东运动，说明速度方向向东为反方向，则正向斜率表示加速度方向一直向西，B对；若纵坐标表示位移，则x－t图线表示物体做匀速直线运动，且运动方向一直向东，位移一定不为零，C、D错。‎ ‎【答案】AB ‎2、有一质点从O点沿x轴正方向做直线运动，其速度时间图象如下，下列说法正确的是（ ）‎ A、第1s内和第2s内的速度方向相反 B、第1s内和第2s内的加速度方向相反 C、第2s末和第6s末质点所处的位置相同 D、第4s末质点回到出发点O ‎2、B 【解析】第1s内和第2s内的速度图线都在时间轴上方，方向相同，且加速度大小相同，方向相反，故B对A错；前2s的位移s1＝2m，第2s末质点在出发点O右边‎2m处，前4s的位移s2＝－1m，第4s末质点在出发点O左边‎1m处；前6s的位移s＝1m，第6s末质点在出发点O右边‎1m处，则第2s末和第6s末质点所处的位置不同，则CD错误，答案为B。‎ ‎3、玻璃生产线上，宽4m的成型玻璃板以6m/s的速度连续不断的向前行进，在切割工序中，金刚石刀的走刀速度是10m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形。问金刚石刀的切割轨道应如何控制？‎ v刀 v玻璃 v刀对玻璃 ‎3、【解析】刀的运动为实际运动，称为合速度v刀 ‎，玻璃板的运动为牵连速度v牵连＝6m/s，而刀在玻璃板上相对玻璃板的速度为v相对＝10m/s，由v绝对＝v相对＋v牵连，即v刀＝v刀对玻璃＋v玻璃，如图所示，设走刀方向与玻璃运动方向夹角为θ，由几何关系：v刀sinθ＝v刀对玻璃，v刀cosθ＝v玻璃，其中v刀对玻璃＝10m/s，v玻璃＝6m/s，解得tanθ＝，即走刀需要与玻璃运动方向成53°。‎ ‎4、小孩游泳速率是河水流速的倍，河宽d＝100米，问小孩沿什么方向游至对岸，才能使他渡河位移最短，最短位移是多少？‎ d S Vt vt ‎2vt v ‎2v V θ ‎4、【解析】设小孩游泳速率为v，则河水流速为2v，由于流速较游泳速率大，这样小孩游至对岸时，其最小位移一定大于d，且在出发点对岸下游抵岸，作位移矢量三角形和速度矢童三角形如图。图中A为出发点，t为渡河时间，V为合速度，Vt为合位移，vt和2vt为分位移，s是合位移沿岸分量。小孩渡河的合位移为S合＝，显然θ角越大，合位移越大，在围成的速度矢量三角形中可直观看出当V与v正交时，θ角最大。则：sinθ＝＝，解得：最短位移S合＝2d＝200m，θ＝30°，即小孩应与岸成60°向河岸上游方向游至对岸，其位移最小，最小为200m。‎