高中物理知识全解 2.5 磁场中的力与运动

高中物理知识全解 2.5 磁场中的力与运动

高中物理知识全解 2.5 磁场中的力与运动 ‎ 注意：左手生力，右手生电生磁。‎ 一：安培力（磁场对充电导线的作用）‎ ‎①大小 ‎②方向 方向：安培左手定则 注意：安培力的大小和方向由多方因素所决定。【特别是磁场B的变化对安培力大小的影响极易忽略】‎ ‎1、安培力的大小与磁场B的大小、电流I的大小、导线的长度及与的夹角均有关。‎ ‎2、安培力的方向与磁场B的方向及电流I的方向均有关；而电流的方向还与正、负电荷定向移动的方向有 关。‎ ‎【例题】如下图所示，金属棒ab置于水平放置的金属导体框架cdef上，棒ab与框架接触良好．从某一时刻开始，给这个空间施加一个斜向上的匀强磁场，并且磁场均匀增加，ab棒仍静止，在磁场均匀增加的过程中，关于ab棒受到的摩擦力，下列说法正确的是( )‎ A．摩擦力大小不变，方向向右 B．摩擦力变大，方向向右 C．摩擦力变大，方向向左 D．摩擦力变小，方向向左 ‎【例题】电磁轨道炮工作原理如下图所示。待发射弹体可在两平行轨道之间自由移动，并与轨道保持良好接触。电流I从一条轨道流入，通过导电弹体后从另一条轨道流回。轨道电流可形成在弹体处垂直于轨道面得磁场（可视为匀强磁场），磁感应强度的大小与I成正比。通电的弹体在轨道上受到安培力的作用而高速射出。现欲使弹体的出射速度增加至原来的2倍，理论上可采用的方法是（ ）‎ A.只将轨道长度L变为原来的2倍 B.只将电流I增加至原来的2倍 C.只将弹体质量减至原来的一半 D.将弹体质量减至原来的一半，轨道长度L变为原来的2倍，其它量不变 解析：出射速度增加到原来的2倍，则加速度要增加到原来的4倍，设，则：‎ ‎，故BD正确。‎ ‎【例题】如右图所示，两光滑的导轨（假设导轨无限长）水平放置，其间有一竖直向下的匀强磁场，在两导轨间垂直于导轨水平放置两根导体棒A和B，开始时A和B都静止，现给A施加一个水平向右的力使其向右运动，试分析此后A和B受到的安培力方向？‎ 解：由楞次定律可知闭合回路产生逆时针的电流，由左手定则可知导体棒A受到的安培力水平向左，导体棒B受到的安培力水平向右。‎ ‎【例题】t＝0时，磁场在xOy平面内的分布如下图所示，其磁感应强度的大小均为B0，方向垂直于xOy平面，相邻磁场区域的磁场方向相反，每个同向磁场区域的宽度均为L0，整个磁场以速度v沿x轴正方向匀速运动．若在磁场所在区间内放置一由n匝线圈组成的矩形线框abcd，线框的bc边平行于x轴．bc＝LB、ab＝L，LB略大于L0，总电阻为R，线框始终保持静止．求：‎ ‎(1)线框中产生的总电动势大小和导线中的电流大小；‎ ‎(2)线框所受安培力的大小和方向．‎ ‎【例题】如下图所示，两条足够长的平行长直金属细导轨KL、PQ固定于同一水平面内，它们之间的距离为L，电阻可忽略不计，ab和cd是两根质量皆为m的金属细杆，杆与导轨垂直，且与导轨良好接触，并可沿导轨无摩擦地滑动。两杆的电阻皆为R，杆cd的中点系一轻绳，绳的另一端绕过轻的定滑轮悬挂一质量为M的物体，滑轮与转轴之间的摩擦不计，滑轮与杆cd之间的轻绳处于水平伸直状态并与导轨平行．导轨和金属细杆都处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B。现两杆及悬挂物都从静止开始运动．求：‎ ‎(1)当ab杆及cd杆的速度分别达到v1和v2时，两杆加速度的大小各为多少？‎ ‎(2)最终ab杆及cd杆的速度差为多少(两杆仍在导轨上运动)? ‎ 解得=‎ 领悟：上题中绳子对cd杆的拉力并非M的自身重力，此细节很重要极易失分。‎ 注意：由安培左手定则可知：F与B，I必定垂直（即F一定垂直于B和I所构成的平面），而B与I不一定垂直。‎ 例：磁场中某点B的方向跟放在该点的试探电流元所受磁场力的方向垂直。‎ ‎【例题】如下图所示，平行于纸面水平向右的匀强磁场，磁感应强度，位于纸面内的细直导线，长L=1m，通有I=1A的恒定电流.当导线与成60°夹角时，发现其受到的安培力为零，则该区域同时存在的另一匀强磁场的磁感应强度的取值范围？‎ ‎【例题】水平面上有电阻不计的U形导轨NMPQ，它们之间的宽度为L，M和P之间接入电动势为E的电源(不计内阻)．现垂直于导轨搁一根质量为m，电阻为R的金属棒ab，并加一个范围较大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向与水平面夹角为θ且指向右斜上方，如下图一所示，问：‎ ‎(1)当ab棒静止时，受到的支持力和摩擦力各为多少？‎ ‎(2)若B的大小和方向均能改变，则要使ab棒所受支持力为零，B的大小至少为多少？此时B的方向如何？‎ 则有FA＝mg，所以Bmin＝，根据左手定则判定磁场方向水平向右．‎ ‎【例题】如下图所示，用粗细均匀的电阻丝折成平面梯形框架，ab、cd边均与ad边成60°角，ab＝bc＝cd＝L，长度为L的电阻丝电阻为r，框架与一电动势为E，内阻为r的电源相连接，垂直于框架平面有磁感应强度为B的匀强磁场，则框架受到的安培力的合力大小为 ( )‎ A．0 B、 C. D. ‎【例题】电磁炮是利用磁场对电流的作用力，把电能转变成机械能，使炮弹发射出去的．如下图所示，把两根长为s，互相平行的铜制轨道放在磁场中，轨道之间放有质量为m的炮弹，炮弹架在长为l，质量为M的金属杆上，当有大的电流I1通过轨道和炮弹时，炮弹与金属架在磁场力的作用下，获得速度v1时刻的加速度为a，当有大的电流I2通过轨道和炮弹时，炮弹最终以最大速度v2脱离金属架并离开轨道，设炮弹运动过程中受到的阻力与速度的平方成正比，求垂直于轨道平面的磁感应强度多大？‎ 推广1：计算电量的几种方法。‎ ‎1、 2、‎ ‎3、‎ 原理：‎ ‎【例题】如下图所示，两光滑平行导轨水平放置，导轨左端接一电阻R，右端无限长，在导轨之间有一匀强磁场B，方向竖直向下垂直于导轨平面，一金属棒垂直于导轨水平放置(金属棒的长与两导轨间的距离均为L)，平行线 等间距，现给金属棒一水平向右的初速度，若金属棒到达平行线的时刻速度刚好为0，不计金属棒及导轨的电阻，试证明。‎ ‎【例题】如下图所示，有一磁感应强度为B的匀强磁场与一面积为S的矩形线圈成夹角，磁场方向斜向左下方，若以为轴则旋转流过导体横截面积的电量为,以为轴则旋转流过导体横截面积的电量为，求磁场强度B的大小和角度。‎ 解：将B分解成平行于矩形线圈的场强和垂直于矩形线圈的场强，‎ ‎【例题】如下图所示，宽度L＝0.5 m的光滑金属框架MNPQ固定于水平面内，并处在磁感应强度大小B＝0.4 T，方向竖直向下的匀强磁场中，框架的电阻非均匀分布．将质量m＝0.1 kg，电阻可忽略的金属棒ab放置在框架上，并与框架接触良好．以P为坐标原点，PQ方向为x轴正方向建立坐标．金属棒从x0＝1 m处以v0＝2 m/s的初速度，沿x轴负方向做a＝2 m/s2的匀减速直线运动，运动中金属棒仅受安培力作用．求：‎ ‎(1)金属棒ab运动‎0.5 m，框架产生的焦耳热Q；‎ ‎(2)框架中aNPb部分的电阻R随金属棒ab的位置x变化的函数关系；‎ ‎(3)为求金属棒ab沿x轴负方向运动0.4 s过程中通过ab的电量q，某同学解法为：先算出经过0.4 s金属棒的运动距离x，以及0.4 s时回路内的电阻R，然后代入q＝＝求解．指出该同学解法的错误之处，并用正确的方法解。‎ 正确的解法是 ‎4、‎ 原理：‎ ‎【例题】如右图所示，导体AB的长度为L，质量为m，处在磁场强度为B的匀强磁场中，磁感线垂直于纸面向外，AB置于水平支架上成为电路的一部分，当接通电路瞬间，AB弹跳起来，则导体AB中的电流方向如何？若已知通电瞬间通过导体横截面的电量为Q，则在S闭合的过程中，电流对导体做功至少应为多少？‎ ‎【例题】如下图所示，金属棒的质量m=‎5g，放置在宽L=‎1m、光滑的金属导轨的边缘处，两金属导轨处于水平平面内，该处有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T.电容器的电容C=200μF，电源电动势E=16V，导轨平面距地面高度h=‎0.8m，g取‎10m／s2.在电键S与1接通并稳定后，再使它与2接通，则金属棒被抛到s=‎0.064m的地面上，试求金属棒抛出后电容器两端的电压。‎ 解： ①‎ ‎ ② ③‎ 由①②③解得： ④‎ ‎ ‎ ‎【例题】如下图所示，两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成角，导轨间距为，两导体棒和与导轨垂直放置，两根导体棒的质量都为、电阻都为，回路中其余电阻不计。整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为。在=0时刻使沿导轨向上作速度为的匀速运动，同时将由静止释放，经过一段时间后也作匀速运动。已知=1m，=0.5kg，=0.5Ω，=0.5T，=300，g取10m/s2，不计两导棒间的相互作用力。‎ 为使导体棒能沿导轨向下运动，的速度不能超过多大？‎ ‎(2)若在平行于导轨向上的力作用下，以=‎2m/s的速度沿导轨向上匀速运动，试导出与的速率的函数关系式并求出的最大值？‎ ‎(3)在(2)中，当=2s时，的速度达到‎5.06m ‎/s，2s内回路中产生的焦耳热为13.2J，求该2s内力做的功(结果保留三位有效数字)。‎ 由功能关系知：‎ 推广2：匀强磁场中通电线框的磁力矩。‎ 力矩=力力臂匀强磁场中通电线框的磁力矩 ‎1、为线圈匝数。‎ ‎2、为与的夹角，故为平行于的有效面积。‎ I、，则磁力矩最大，线框最容易转动。‎ II、，则磁力矩最小，线框不转动。‎ ‎【例题】通电长导线中电流I0的方向如下图所示.边长为2L的正方形载流线圈中的电流强度为I，方向由，线圈的、边以及过、‎ 边中点的转轴 都与通电长导线平行。当线圈处于图示位置时，边与长导线间的距离等于2L，且与垂直。已知长导线中电流产生的磁场在处的磁感应强度为B1，在处的磁感应强度为B2，则载流线圈处于此位置时受到的磁力矩的大小为多少？‎ ‎【例题】在稀硫酸溶液中有浮子，它的上部是金属环，下部是分开的铜片和锌片，一开始金属环如下图所示放置，松开浮子后则 （ ）‎ A.浮子一直保持静止不动。‎ B.浮子将不停地转动。‎ C.浮子将转过90°后再保持静止。‎ D.浮子将转过180°后再保持静止。‎ 解析：因为地磁场的磁感线垂直于金属环，所以金属环的磁力矩为零，故浮子一直保持静止。答案：A 应用：磁电式电流表的工作原理。‎ 磁电式电流表的构造如上图1所示。在很强的蹄形磁铁的两极间有一个固定的圆柱形铁心，铁心外面套一个可以绕轴转动的铝框，铝框上绕有线圈，铝框的转轴上装有两个螺旋弹簧和一个指针。线圈的两端分别接在这两个螺旋弹簧上，被测电流就是经过这两个弹簧通入线圈的。‎ 蹄形磁铁和铁心间的磁场是均匀地辐向分布的如上图2所示，不管通电线圈转到什么角度，它的平面都与磁感线平行，因此磁场使线圈偏转的力矩M1不随偏角而改变。另一方面，线圈的偏转使弹簧扭紧或扭松，于是弹簧产生一个阻碍线圈偏转的力矩M2。线圈偏转的角度越大，弹簧的力矩M2也越大。当M1跟M2平衡时，线圈就停在某一偏角上，固定在转轴上的指针也转过同样的偏角，指到刻度盘的某一刻度上。　‎ 设电流表通电线圈的匝数为n，则线圈受到的磁力矩M1=nBIS。由于nBS为定值，所以M1跟电流强度I成正比。设k1=nBS，则M1=k1I。另一方面，弹簧产生的力矩M2跟偏角成正比，即M2=k2，其中k2是一个比例恒量。当M1和M2平衡时，k1I=k2，即=kI，其中k=k1/k2也是一个恒量。可见，测量时指针偏转的角度跟电流强度成正比，这就是说，磁电式电流表的刻度是均匀的。‎ 磁电式电流表的优点是刻度均匀，准确度高，灵敏度高，可以测出很弱的电流；缺点是价格较贵，对过载很敏感，如果通入的电流超过允许值，就很容易把它烧掉，使用时要特别注意。【例：灵敏电流计就是属于磁电式电流表】‎ 注意：灵敏电流计接入电路中时电流从哪边流入指针就偏向哪边。‎ ‎【例题】有两个完全相同的灵敏电流计，如下图连接，若将A表指针向左拨动，则B表指针将（ ）‎ A．向左偏转 B．向右偏转 C．保持不动 D．无法确定 线可知B表将向右偏转，故B正确。答案：B 二：洛伦兹力（磁场对运动电荷的作用）‎ ‎①大小 ‎②方向 方向：安培左手定则 注意：洛伦兹力的大小和方向由多方因素所决定。‎ ‎1、洛伦兹力的大小与磁场B的大小、电量q的大小、速度的大小及与的夹角均有关。‎ ‎2、洛伦兹力的方向与磁场B的方向、电荷的运动方向及正、负电荷的电性均有关。‎ ‎【例题】如下图所示，实线表示处在竖直平面内的匀强电场的电场线，与水平方向成角，水平方向的匀强磁场与电场正交，有一带电液滴沿斜向上的虚线L作直线运动，L与水平方向成角，且，则下列说法正确的是（ ）‎ A．液滴一定做匀速直线运动 B．液滴一定带正电 C．电场线方向一定斜向上 D．液滴有可能做匀变速直线运动 解析：电场力、重力均为恒力，假如液滴做变速运动，则洛伦兹力将是变力，液滴将作曲线运动，故A正确；既然液滴做匀速直线运动，其受力就一定平衡，不难判断B、C正确。答案：ABC 注意：由安培左手定则可知：F与B，必定垂直（即F垂直于B和所构成的平面），而B与不一定垂直。‎ ‎【例题】若已知洛伦兹力、磁场、速度中任意两个量的方向就能判断第三个量的方向吗？‎ 解：不能，例：若知道F，B的方向，却无法判定的方向。‎ ‎③带电粒子在匀强磁场中的运动 带电粒子（不计重力）以一定的初速度入射磁感应强度为B的匀强磁场时。‎ ‎1、当∥B时，带电粒子将做匀速直线运动。‎ ‎2、当⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动。‎ I、由于洛伦兹力总与带电粒子的速度方向垂直，所以洛伦兹力不改变带电粒子的速度大小，只改变带电粒子的速度方向即洛伦兹力对带电粒子永不做功。‎ II、‎ 拓展：带电粒子在非匀强磁场中的运动。‎ ‎【例题】如下图所示，一水平导线通以电流I，导线下方有一电子，初速度方向与电流方向平行且向左，关于电子的运动情况，下述说法中，正确的是 ( )‎ A．沿路径运动，其轨道半径越来越大。‎ B．沿路径运动，其轨道半径越来越小。‎ C．沿路径运动，其轨道半径越来越小。‎ D．沿路径运动，其轨道半径越来越大。‎ ‎3、带电粒子以与磁场方向成一定角度的初速度入射匀强磁场时，将在磁场中做轨迹为等距螺旋线的运动，如下图所示。理解的方法是：将初速度分解为垂直于磁场方向的速度和沿磁场方向的速度。则带电粒子的运动就是沿磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场方向的匀速圆周运动的合成，合运动即为螺旋渐进运动。‎ 应用：电视机显像管的工作原理 显像管的原理：阴极发射电子，经过偏转线圈(偏转线圈产生的磁场和电子运动方向垂直)电子因受洛伦兹力而发生偏转，偏转后的电子打在荧光屏上，使荧光屏发光。‎ I、如上图所示，若要使电子束在竖直方向偏离中心，打在荧光屏上的A点，由左手定则可判定偏转磁场应垂直纸面向外。‎ II、如上图所示，若要使电子束打在B点，同理可以判定偏转磁场应垂直纸面向里。‎ III、如上图所示，若要使电子束打在荧光屏上的位置由B逐渐向A点移动，偏转磁场应由垂直纸面向里逐渐减小到零，再变为垂直纸面向外由零逐渐增大。‎ 实际上，在偏转区的水平方向和竖直方向都有偏转磁场，其方向、强弱都在不断变化，因此电子束打在荧光屏上的光点会不断移动，这在电视技术中叫扫描。电子束从最上一行到最下一行扫描一遍叫做一场，电视机中每秒要进行50场扫描，所以我们感到整个荧光屏都在发光。‎ ‎④解决磁场中圆周运动问题的一般方法 在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动规律时，着重把握“一找圆心，二找半径，三找周期”的方法。‎ ‎1、圆心的确定。‎ I、已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心，如下图所示，P为入射点，M为出射点，O为圆弧轨道的圆心。‎ II、已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心。如下图所示，P为入射点，M为出射点，O为圆弧轨道的圆心。‎ ‎2、半径的确定和计算。‎ 半径的计算一般可利用几何知识，通过解三角形等方法求解。并注意以下几何特点：如下图所示,粒子速度的偏向角等于圆心角(回旋角)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角)的2倍,即。【相对的弦切角相等，与相邻的弦切角互补，即】‎ ‎3、粒子在磁场中运动时间的确定。‎ 粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，转一周所用时间可用公式确定，且从式中可以看出粒子转一周所用时间与粒子比荷有关，还与磁场强度有关。若要计算转过一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角 ‎，并由表达式（弧度制）或（角度制）来确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做匀速圆周运动的周期，由上述公式可知在一个周期范围内转过的圆心角越大，所用的时间越长。‎ 拓展：圆心角（弧度制）与弧长及半径有如下数学关系，也可以充分利用求解。‎ ‎（其中角为弧度角）‎ ‎【例题】如下图一所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。已知AOC=600，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于T/6（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间为（       ）‎ A. B. C. D. ‎ 总结1：正确解决这类问题的前提和关键是：画轨迹、定圆心、连半径、作三角形及作辅助线等把图形补充完整。根据图形的对称性等寻找几何关系，结合圆的知识，平面几何知识，三角形知识、三角函数知识等数学和物理知识综合求解。（注意：在这些几何图形中往往存在着特殊的几何关系而这正是解题时必不可少的条件）‎ 注意：对称性原理与圆的相切问题是考试的重点，从中往往能找到特殊的几何关系来解题。‎ ‎【例题】如下图一所示，半径为r＝0.1 m的圆形匀强磁场区域边界跟y轴相切于坐标原点O，磁感应强度B＝0.332 T，方向垂直纸面向里．在O处有一放射源，可沿纸面向各个方向射出速率均为v＝3.2×106 m/s的α粒子．已知α粒子质量m＝6.64×10－27 kg，电荷量q＝3.2×10－19 C，不计α粒子的重力．求α粒子在磁场中运动的最长时间．‎ ‎【例题】如下图一所示，L1和L2为两条平行的虚线，L1上方和L2下方都是垂直纸面向外的磁感应强度相同的匀强磁场，A、B两点都在L1上．带电粒子从A点以初速v斜向下与L1成45°角射出，经过偏转后正好过B点，经过B点时速度方向也斜向下，且方向与A点方向相同．不计重力影响，下列说法中正确的是 ( )‎ A．该粒子一定带正电 B．该粒子一定带负电 C．若将带电粒子在A点时初速度变大(方向不变)，它仍能经过B点 D．若将带电粒子在A点时初速度变小(方向不变)，它不能经过B点 解析：无论是带正电还是带负电粒子都能到达B点，画出粒子运动的轨迹，负粒子在L1上方磁场中运动T，在L2下方磁场中运动；正粒子在L1上方磁场中运动T，在L2下方磁场中运动T，由几何关系可知带电粒子的速度变化不影响粒子经过B点，选C.答案：C ‎【例题】如下图一所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度B＝0.10 T，磁场区域半径r＝m，左侧区圆心为O1，磁场向里，右侧区圆心为O2，磁场向外．两区域切点为C.今有质量m＝3.2×10－26 kg.带电荷量q＝1.6×10－19 C的某种离子，从左侧区边缘的A点以速度v＝106‎ ‎ m/s正对O1的方向垂直磁场射入，它将穿越C点后再从右侧区穿出．求：‎ ‎(1)该离子通过两磁场区域所用的时间．‎ ‎(2)离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离为多大？(侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离)‎ ‎(2)在图二中过O2向AO1作垂线，联立轨迹对称关系侧移总距离d＝2rsin 2θ＝‎2 m. ⑧‎ ‎【例题】如下图一在真空中，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在此区域外围足够大空间有垂直纸面向内的磁感应强度大小也为B的匀强磁场，一个带电粒子从边界上的P点沿半径向外，以速度v0进入外围磁场，已知带电粒子质量m＝2×10－‎10 kg，带电荷量q＝5×10－‎ ‎6 C，不计重力，磁感应强度的大小B＝1 T，粒子运动速度v0＝5×‎103 m/s，圆形区域半径R＝0.2 m ‎(1)试画出粒子运动轨迹；‎ ‎(2)求出粒子第一次回到P点所需时间(计算结果可以用π表示)．‎ ‎【例题】受控热核聚变要把高度纯净的氘、氚混合材料加热到1亿度以上，即达到所谓热核温度．在这样的超高温度下，氘、氚混合气体已完全电离，成为氘、氚原子核和自由电子混合而成的等离子体．从常温下处于分子状态的氘、氚材料开始，一直到上述热核温度的整个加热过程中，必须把这个尺寸有限的等离子体约束起来，使组成等离子体的原子核在发生足够多的聚变反应之前不至于失散，可一般的容器无法使用，因为任何材料的容器壁都不可能承受这样的高温．而磁约束是目前的重点研究方案，利用磁场可以约束带电粒子这一特性，构造一个特殊的磁容器建成聚变反应堆．图一所示是一种简化示意图，有一个环形匀强磁场区域的截面内半径R1＝m，外半径R2＝‎3 m，磁感应强度B＝0.5 T，被约束的粒子的比荷＝4.0×‎107 C/kg，不计粒子重力和粒子间相互作用．‎ ‎(1)若带电粒子从中间区域沿半径方向射入磁场，则粒子不能穿越磁场外边界的最大速率vm是多少？‎ ‎(2)若 带电粒子以(1)问中最大速率vm从圆心O出发沿圆环半径方向射入磁场，请在图中画出其运动轨迹，并求出粒子从出发到第一次回到出发点所用的时间．‎ ‎【例题】如下图一所示，在坐标系xOy的第I象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在x>0的x轴上有一个和磁场方向平行的平面荧光屏，在y轴上的S处有一粒子发射源，OS两点间的距离为L。某一时刻S发射源同时射出大量带正电的粒子，它们的速度大小都相同，速度方向与y轴正方向的夹角在0～180°范围内均匀分布，且都在xOy平面内。观察发现：荧光屏OP之间接收到经磁场偏转的粒子而发光，P点的右侧位置均无发光；OQ之间的各个点只有一次发光，Q点和QP之间各个点先后会有两次发光。测出带电粒子在磁场中的运动周期为T，OP的间距为L，不考虑粒子间的相互作用和粒子所受的重力，求：‎ ‎(1)粒子发射时的速度大小；‎ ‎(2)Q点两次发光的时间差 ‎(3)粒子从发射到打在荧光屏上的最长时间与最短时间的比值。‎ 注意：带电粒子通过有界匀强磁场的问题。‎ 带电粒子垂直匀强磁场的方向进入有界磁场，由于入射方向或磁场边界的形状不同，造成它在磁场中运动的圆弧轨道各不相同。如下图为几种常见情景：‎ ‎【例题】如下图一所示，半径为R的绝缘筒中为匀强磁场区域，磁感应强度为B，磁感线垂直纸面向里，一个质量为m、电量为q的正离子，以速度v从圆筒上C孔处沿直径方向射入筒内，如果离子与圆筒碰撞两次（碰撞时不损失能量，且碰撞所用的时间不计），又从C孔飞出，则离子在磁场中运动的时间为（ ）‎ A．2πR/v B．πR/v C．πm/Bq D．2πm/Bq 解析：如图二所示，设离子在磁场中运动的时间为，则：‎ 故BC正确。答案：BC ‎【例题】如右图所示，有一轴线水平且垂直纸面的固定绝缘弹性圆筒，圆筒壁光滑，筒内有沿轴线向里的匀强磁场B，O是筒的圆心，圆筒的内半径r=‎0.40m。在圆筒底部有一小孔a（只能容一个粒子通过）。圆筒下方一个带正电的粒子经电场加速后（加速电场未画出），以v=2×‎104m/s的速度从a孔垂直磁场B并正对着圆心O进入筒中，该带电粒子与圆筒壁碰撞四次后恰好又从小孔a射出圆筒.已知该带电粒子每次与筒壁发生碰撞时电量和能量都不损失，不计粒子的重力和空气阻力，粒子的荷质比q/m=5×107(C/kg)，求磁感应强度B多大（结果允许含有三角函数式）？‎ 拓展：从上题中可以看出带电粒子与圆筒壁碰撞的次数不同，则可能出现的情形也不相同（有些是一种有些是多种），故要细心分析求解。‎ ‎【例题】如下图所示，在匀强磁场中附加另一匀强磁场，附加磁场位于图中阴影区域，附加磁场区域的对称轴OO′与SS′垂直．a、b、c三个质子先后从S点沿垂直于磁场的方向射入磁场，它们的速度大小相等，b的速度方向与SS′垂直，a、c的速度方向与b的速度方向间的夹角分别为α、β，且α>β.三个质子经过附加磁场区域后能到达同一点S′，则下列说法中正确的有 ( ) ‎ A．三个质子从S运动到S′的时间相等 B．三个质子在附加磁场以外区域运动时，运动轨迹的圆心均在OO′轴上 C．若撤去附加磁场，a到达SS′连线上的位置距S点最近 D．附加磁场方向与原磁场方向相同 故C、D均正确．答案：CD 拓展：上题第4问还可以使用作图法求解。‎ 如下图一所示，以a质子为研究对象，由质子进入附加区域前后瞬间速度相同及对称性原理可知CE为a质子在附加区域外的轨道半径，CD为a质子在附加区域内的轨道半径，从图一中可以看出CDCE，故由半径公式可知附加区域内的磁感应强度比附加区域外的磁感应强度大，所以附加磁场方向与原磁场方向相同，D选项正确。‎ 用作图法解题必须严格按要求作图，既要满足三个质子在附加区域外的轨道半径相等又要满足三个质子在附加区域内的轨道半径相等。用作图工具我们还可以作出CDCE情况下的图形如下图二所示。‎ ‎【例题】如下图一所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是 ( )‎ A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从cd射出磁场 B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场 C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场 D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出磁场 解析：如右图二所示作出粒子刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.由题意可推知，该带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.结合图可知，从ab边射出经历的时间一定不大于5t0/6；从bc边射出经历的时间一定不大于4t0/3；从cd边射出经历的时间一定是5t0/3；从ad边射出经历的时间一定不大于t0/3.答案：AC ‎【例题】如下图一所示，纸面内有宽为L水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为m，电荷量为－q，速率为v0，不考虑粒子的重力及相互间的作用，要使粒子都汇聚到一点，可以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可以是(其中B0＝，A、C、D选项中曲线均为半径是L的圆弧，B选项中曲线为半径是的圆) （ ）‎ ‎【例题】不计重力的带正电粒子，质量为m，电荷量为q，以与y轴成30°角的速度v0从y轴上的a点射入下图一中第一象限所在区域．为了使该带电粒子能从x轴上的b点以与x轴成60°角的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面向外、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小面积．‎ 解：作两速度的延长线并相交，再作两直线的内切圆，则内切圆中的一段弧线 ‎4、带电粒子在复合场中的运动。‎ 复合场是磁场与电场的复合场、磁场与重力场的复合场，或者是磁场和电场、重力场三者的复合场。当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，所处状态是静止或匀速直线运动状态；当带电粒子所受合外力只充当向心力时，粒子做匀速圆周运动；当带电粒子所受合外力变化且与速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，除了要写出相应的受力特点的方程之外，还要用到运动学公式，或者从能量的观点(即动能定理或能量守恒定律)写出相应的方程，联立求解。‎ 注意：微观带电粒子在复合场中运动时，一般不计重力，结合运动的合成与分解及力的合成与分解综合分析求解。‎ ‎【例题】如下图所示，一个带电小球穿在一根绝缘的粗糙直杆上，杆与水平方向成θ角，整个空间存在着竖直向上的匀强电场和垂直于杆方向斜向上的匀强磁场．小球从a点由静止开始沿杆向下运动，在c点时速度为‎4 m/s，b是a、c的中点，在这个运动过程中 ( )‎ A．小球通过b点时的速度小于‎2 m/s B．小球在ab段克服摩擦力做的功与在bc段克服摩擦力做的功相等 C．小球的电势能一定增加 D．小球从b到c重力与电场力做的功可能等于克服阻力做的功 解析：无论小球带正电还是负电，速度增大，摩擦力逐渐增大，加速度减小，都是做加速度逐渐减小的加速运动，最终受力平衡匀速运动，可知A、B、C错，D对，选D．答案：D ‎【例题】如下图所示的装置，左半部为速度选择器，右半部为匀强的偏转电场．一束同位素离子流从狭缝S1射入速度选择器，能够沿直线通过速度选择器并从狭缝S2射出的离子，又沿着与电场垂直的方向，立即进入场强大小为E的偏转电场，最后打在照相底片D上．已知同位素离子的电荷量为q(q>0)，速度选择器内部存在着相互垂直的场强大小为E0的匀强电场和磁感应强度大小为B0的匀强磁场，照相底片D与狭缝S1、S2的连线平行且距离为L，忽略重力的影响．‎ ‎(1)求从狭缝S2射出的离子速度v0的大小；‎ ‎(2)若打在照相底片上的离子在偏转电场中沿速度v0方向飞行的距离为x，求出x与离子质量m之间的关系式(用E0、B0、E、q、m、L表示)．‎ ‎【例题】如下图一所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如下图二所示)，电场强度的大小为E0，E＞0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点．Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量．‎ ‎(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；‎ ‎(2)求电场变化的周期T；‎ ‎(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求T的最小值．‎ 解：(1)微粒做直线运动，则mg＋qE0＝qvB ①‎ ‎【例题】如下图所示，竖直直角坐标系，第一象限有水平向左的匀强电场E1，第四象限有垂直于纸面向外的匀强磁场，且在距x轴下方L以下区域还存在竖直向下的匀强电场E2.质量为m的小球自A(0，L/2)处以v0的初速度水平抛出，小球到达B(L,0)处是速度方向恰好与x轴垂直．在B处有一内表面粗糙的圆筒，筒内壁与小球间的动摩擦因数为μ，筒直径略大于小球直径，筒长为L，竖直放置．已知小球在离开筒以前就已经匀速，且离开筒后做匀速圆周运动，恰在D(0，L)处水平进入第三象限．求：‎ ‎(1)E1∶E2是多少？‎ ‎(2)在圆筒内摩擦力做功是多少？‎ ‎＝mg ④‎ 由③④得，E1∶E2＝2∶1.‎ 拓展：动态圆模型 ‎【例题】如下图一所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为带电量为+的粒子，以相同的速率沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域。不计重力，不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中，哪个图是正确的（ ）‎ ‎【例题】如下图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电、电荷量为q、质量为m、速度为的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是(　 　)‎ A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上 B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心 C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长 D．只要速度满足，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上 ‎【例题】如下图一所示，圆形区域内有一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，有无数带有同样电荷，具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样速率通过P点进入磁场，这些粒子在出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的三分之一，将磁感应强度的大小从原来的变为，结果相应的弧长变为原来的一半，则与之比是（ ）‎ A、2 B、‎3 C、 D、‎ ‎【例题】如下图一所示，在坐标系xoy平面的x＞0区域内，有电场强度E=2×105N/C，方向沿y轴负向的匀强电场和磁感应强度B＝0.20 T，方向与xoy平面垂直向里的匀强磁场。在y轴上有一足够长的荧光屏MN，在x轴上的（10，0）点处有一粒子发射枪连续不断的发射大量质量m＝6.4×10‎-27kg，电量q＝3.2×10‎-19C的带正电粒子，其向x轴方向发射的粒子恰能沿x轴做匀速直线运动。若撤去电场，并使粒子发射枪以P为轴在xoy平面内以角速度ω=2πrad/s逆时针转动（整个装置都处在真空中），求：‎ ‎（1）带电粒子在磁场中运动的轨迹半径 ‎（2）荧光屏上闪光点的范围；‎ ‎（3）荧光屏上闪光点从最高点移动到最低点所用的时间。‎ 总结2：带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题形成的原因一般包含以下几个方面 ‎【例题】在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如下图一所示。磁场随时间变化情况如下图二所示．该区域中有一条水平直线MN，D是MN上的一点．在t=0时刻，有一个质量为m、电荷量为+q的小球(可看作质点)，从M点开始沿着水平直线以速度做匀速直线运动，时刻恰好到达N点．经观测发现，小球在t=2至t=3时间内的某一时刻，又竖直向下经过直线MN上的D点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过D点．求：‎ ‎(1)电场强度E的大小。‎ ‎(2)小球在磁场中做圆周运动的周期与的关系及小球从M点开始运动到第二次经过D点所用的时间。‎ ‎(3)小球运动的周期，并画出运动轨迹(只画一个周期)．‎ ‎（3）小球运动一个周期的轨迹如右图所示，小球的运动周期为 三：质谱仪 质谱仪是一种测量带电粒子质量、比荷、分离同位素的仪器。如上图所示，离子源S产生质量为m，电荷量为q的正离子，经过电压为U的电场加速后进入磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动，经过半个周期后打到照相底片 P上，使照相底片感光，留下痕迹。测量它在P上的位置到入口处的水平距离L，忽略离子的初速度和重力，则有：‎ 因此，只要知道q、B、L、U，就可以计算带电粒子的质量m；只要知道B、L、U，就可以计算带电粒子的比荷，在不同距离处放置接收器，就可以收集不同的带电粒子，实现对同位素的分离。‎ 四：回旋加速器 多级直线加速器虽然可以使粒子获得很高的能量，但体积太大，难于制造，为此，美国科学家劳仑斯发明了回旋加速器。回旋加速器主要由两个半圆型的中空铜盒D1、D2构成，两盒间留有一狭缝，置于真空中，由大型电磁铁产生的匀强磁场B垂直穿过盒面，由高频振荡器产生的交变电压U加在两盒的狭缝处。‎ ‎1、回旋加速器的构造 回旋加速器的主要部件是两个“D”形盒，垂直于盒面加匀强磁场使粒子做圆周运动，在两个“D”形盒之间加高频交流电使粒子每经过电场一次就被加速一次。整个装置要处于真空室内，如上图一所示。‎ ‎2、回旋加速器的原理 回旋加速器的工作原理：如上图二所示。假设放在A0处的粒子源发出一个带正电的粒子（带电粒子由加速器的中心附近进入加速器），它以某一速率v0垂直进入匀强磁场中，在磁场中做圆周运动。经过半个周期，当它沿着半圆弧到达时，在处设置一个正向电场，使这个带电粒子在 处受到一次电场的加速，速率由v0增加到v1，然后粒子以速率v1在磁场中做圆周运动。因为粒子的轨道半径跟它的速率成正比，所以粒子将沿着半径增大了的轨道做圆周运动。又经过半个周期，当它沿着半圆弧到达时，在处设置一个与原电场方向相反的“反向”电场，使粒子又一次受到电场的加速，速率增加到v2，如此继续下去，每当粒子运动到、……处时都使它受到一个正向电场的加速。每当粒子运动到、……处时都使它受到一个与原电场方向相反的“反向”电场的加速，那么，粒子将沿图示的螺线回旋下去，速率将一步一步地增大，当半径达到最大时，能量也达到最大，可从D形盒边缘的小孔处引出。‎ 注意：理解回旋加速器中交变电压的周期和粒子做圆周运动的周期相等。‎ ‎【例题】回旋加速器是加速带电粒子的装置，其核心部分是分别与高频交流电源两极相连接的两个D形金属盒，两盒间的狭缝中形成周期性变化的电场，使粒子在通过狭缝时都能得到加速，两D形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中，如下图所示。设D形盒半径为R。若用回旋加速器加速质子时，匀强磁场的磁感应强度为B，高频交流电频率为f。则下列说法正确的是（　　 ）‎ A．质子被加速后的最大速度不可能超过2πfR B．质子被加速后的最大速度与加速电场的电压大小无关。‎ C．只增大狭缝间的加速电压，可增大带电粒子在回旋加速器中运动的时间 D．只要R足够大，质子的速度可以被加速到任意值 E．不改变B和f，该回旋加速器也能用于加速α粒子 流电的频率f成正比，但是可以说质子被加速后的最大速度与D形盒的半径R成正比。‎ ‎【例题】如下图所示，以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为d，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里．一质量为m、带电量+q、重力不计的带电粒子，以初速度v1垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动．已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推．求：‎ ‎(1)粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W1‎ ‎(2)粒子第n次经过电场时电场强度的大小En ‎(3)粒子第n次经过电场所用的时间tn ‎(4)假设粒子在磁场中运动时，电场区域场强为零．请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线(不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻度值．)‎ ‎ (4)如下图所示 五：速度选择器 如下图所示，带电粒子在不计重力影响的情况下垂直地射入正交的匀强磁场和匀强电场区域，若带电粒子能保持原来的运动方向而不发生偏转，则带电粒子的速度满足：‎ ‎【例题】如下图所示，一束正离子垂直地射入正交的匀强磁场和匀强电场区域(不计重力作用)，结果发现有些离子保持原来的运动方向，有些发生偏转．如果让这些不偏转的离子进入另一匀强磁场中，发现这些离子又分裂成几束，对这些进入另一磁场的离子，可得出结论 ( )‎ A．它们的速度一定相同 B．它们的电荷量一定各不相同 C．它们的质量一定各不相同 D．它们的电荷量与质量之比一定各不相同