【物理】2020届一轮复习人教版力学计算题课时作业

【物理】2020届一轮复习人教版力学计算题课时作业

‎2020届一轮复习人教版 力学计算题 课时作业 ‎1.(受力分析)(2018·福建厦门第一次质检)如图所示,一个质量为m的滑块置于倾角为30°的固定粗糙斜面上,一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点,另一端系在滑块上的Q点,直线PQ与斜面垂直,滑块保持静止。则(　　)‎ A.弹簧可能处于原长状态 B.斜面对滑块的摩擦力大小可能为零 C.斜面对滑块的支持力大小可能为零 D.滑块一定受到四个力作用 答案A 解析直线PQ与斜面垂直,滑块保持静止,滑块一定受摩擦力和支持力,弹簧的弹力可能为零,故A正确,BCD错误。‎ ‎2.(2015·山东卷)如图,滑块A置于水平地面上,滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直),此时A恰好不滑动,B刚好不下滑。已知A与B间的动摩擦因数为μ1,A与地面间的动摩擦因数为μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。A与B的质量之比为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 答案B 解析对滑块A,F=μ2(mA+mB)g;对滑块B:mBg=μ1F,以上两式联立得:,故B项正确。‎ ‎3.(物体的平衡)(2018·山东济宁一模)如图所示,质量均为m的两个小球A、B(可视为质点)固定在轻杆的两端,将其放入光滑的半球形碗中,杆的长度等于碗的半径,当杆与两球组成的系统处于平衡状态时,杆对小球A的作用力大小为(　　)‎ A.mg B.mg C.mg D.2mg 答案A 解析以A球为研究对象,受到重力、支持力、杆的弹力,根据平衡条件得杆对小球A的作用力大小为mg,A正确。‎ ‎4.(受力分析)如图所示,A、B、C三物块叠放并处于静止状态,水平地面光滑,其他接触面粗糙,以下受力分析正确的是(　　)‎ A.A与墙面间存在压力 B.A与墙面间存在静摩擦力 C.A物块共受3个力作用 D.B物块共受5个力作用 答案C 解析以三个物体组成的整体为研究对象,水平方向上地面光滑,地面对C没有摩擦力,根据平衡条件得,墙对A没有压力,因而也没有摩擦力。故A、B错误;A受到重力、B的支持力和摩擦力三个力作用。所以C正确;先对AB整体研究:水平方向上墙对A没有压力,则由平衡条件分析可以知道,C对B没有摩擦力。再对B分析:B受到重力、A的压力和摩擦力、C的支持力,共四个力作用。故D错误。‎ ‎5.(动态平衡)(2019·青岛高三调研)一光滑的轻滑轮用细绳OA悬挂于O点,站在地面上的人用轻绳跨过滑轮拉住沙漏斗,在沙子缓慢漏出的过程中,人握住轻绳保持不动,则在这一过程中(　　)‎ A.细线OA的张力保持不变 B.细线OA的张力逐渐增大 C.人对地面的压力将逐渐减小 D.人对地面的摩擦力将逐渐减小 答案D 解析轻滑轮的重力不计,轻滑轮受三个拉力而平衡,故三个拉力的方向均不变,故细线OA与竖直方向夹角不变,随着沙子缓慢漏出,拴小桶的绳子的拉力F不断减小,所以OA绳的拉力不断减小,故A、B错误;对人受力分析,如图所示。‎ 根据平衡条件,有:Ff=Fsin θ,FN=mg-Fcos θ,由于F减小,故支持力增加,摩擦力减小;根据牛顿第三定律,人对地的压力增加、摩擦力减小,故D正确,C错误。所以D正确,ABC错误。‎ ‎6．如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切。BC为圆弧轨道的直径。O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα=，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。重力加速度大小为g。求：‎ ‎（1）水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；‎ ‎（2）小球到达A点时动量的大小；‎ ‎（3）小球从C点落至水平轨道所用的时间。‎ ‎【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（全国III卷）‎ ‎【答案】 （1）（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析 本题考查小球在竖直面内的圆周运动、受力分析、动量、斜下抛运动及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决问题的的能力。‎ ‎（2）设小球到达A点的速度大小为，作，交PA于D点，由几何关系得 ‎⑥‎ ‎⑦‎ 由动能定理有 ‎⑧‎ 由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A点的动量大小为 ‎⑨‎ ‎（3）小球离开C点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g。设小球在竖直方向的初速度为，从C点落至水平轨道上所用时间为t。由运动学公式有 ‎⑩‎ 由⑤⑦⑩式和题给数据得 点睛 小球在竖直面内的圆周运动是常见经典模型，此题将小球在竖直面内的圆周运动、受力分析、动量、斜下抛运动有机结合，经典创新。‎ ‎7．一质量为m的烟花弹获得动能E后，从地面竖直升空，当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分，两部分获得的动能之和也为E，且均沿竖直方向运动。爆炸时间极短，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量，求 ‎（1）烟花弹从地面开始上升到弹中火药爆炸所经过的时间；‎ ‎（2）爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度 ‎【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试物理（新课标I卷）‎ ‎【答案】 （1） ；（2）‎ ‎（2）设爆炸时烟花弹距地面的高度为，由机械能守恒定律有 ‎ ④‎ 火药爆炸后，烟花弹上、下两部分均沿竖直方向运动，设炸后瞬间其速度分别为和。由题给条件和动量守恒定律有 ‎ ⑤‎ ‎ ⑥‎ 由⑥式知，烟花弹两部分的速度方向相反，向上运动部分做竖直上抛运动。设爆炸后烟花弹上部分继续上升的高度为，由机械能守恒定律有 ‎ ⑦‎ 联立④⑤⑥⑦式得，烟花弹上部分距地面的最大高度为 ‎ ⑧‎ ‎1．长为1.5m的长木板B静止放在水平冰面上，小物块A以某一初速度从木板B的左端冲上长木板B，直到A、B的速度达到相同，此时A、B的速度为0.4m/s，然后A、B又一起在水平冰面上滑行了8.0cm．若小物块A可视为质点，它与长木板B的质量相同，A、B间的动摩擦因数μ1=0.25．求：（取g=10m/s2）‎ ‎（1）木板与冰面的动摩擦因数．‎ ‎（2）小物块相对长木板滑行的距离；‎ ‎（3）为了保证小物块不从木板的右端滑落，小物块滑上长木板时的初速度应满足什么条件？‎ ‎【来源】【全国百强校】四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试理综物理试题 ‎【答案】 （1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）A、B一起运动时，受冰面对它的滑动摩擦力，做匀减速运动，加速度，‎ 且；‎ 解得木板与冰面的动摩擦因数，‎ ‎（3）小物块A的初速度越大，它在长木板B上滑动的距离越大，当滑动距离达到木板B的最右端时，两者的速度相等（设为v’），这种情况下A的初速度为保证不从木板上滑落的最大初速度，设为v0．‎ 有，‎ ‎，‎ 由上三式解得，为了保证小物块不从木板的右端滑落，小物块冲上长木板的初速度不大于最大初速度 ‎．‎ 点睛：此题是牛顿第二定律的综合应用问题；解决本题的关键是理清木块和木板的运动情况，搞清物理过程，挖掘隐含条件，关注临界条件，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．‎ ‎2．如图是工厂流水生产线包装线示意图，质量均为m=2.5kg、长度均为l=0.36m的产品在光滑水平工作台AB上紧靠在一起排列成直线（不粘连），以v0=0.6m/s的速度向水平传送带运动，设当每个产品有一半长度滑上传送带时，该产品即刻受到恒定摩擦力Ff=μmg而做匀加速运动，当产品与传送带间没有相对滑动时，相邻产品首尾间距离保持2l（如图）被依次送入自动包装机C进行包装。观察到前一个产品速度达到传送带速度时，下一个产品刚好有一半滑上传送带而开始做匀加速运动。取g=10m/s2。试求：‎ ‎(1)传送带的运行速度v；‎ ‎(2)产品与传送带间的动摩擦因数μ：‎ ‎(3)满载工作时与空载时相比，传送带驱动电动机增加的功率∆P；‎ ‎(4)为提高工作效率，工作人员把传送带速度调成v'=2.4m/s，已知产品送入自动包装机前已匀速运动，求第(3)问中的∆P′?第(3)问中在相当长时间内的等效∆P′′?‎ ‎【来源】【全国百强校】江西师范大学附属中学2018届高三最后一卷理科综合物理试题 ‎【答案】 (1)1.8m/s (2) μ=0.2 (3)9W (4)18W 解法二：产品滑上传送带后做初速度为v0的匀加速运动，设加速时间为t'，则从前一个产品加速开始，到下一个产品达到传送带速皮所用时间为2t'。‎ 对前一个产品 对下一个产品 且x1-x2=3l 解得t'=0.6s 由速度公式得v=v0+at'‎ 由牛顿第二定律可知Ff=ma 联立代入Ff=μmg 解得μ=0.2‎ ‎【点睛】关键是明确滑块在传送带的受力情况和运动情况，结合牛顿第二定律和运动学公式列式求解。‎ ‎3．如图所示，质量为的滑道静止在光滑的水平面上，滑道的AB都分是半径为的四分之一圆弧，圆弧底部与滑道水平部分相切，滑道水平部分右端固定一个轻弹簧。滑道CD部分粗糙，长为 ‎，动摩擦因数，其他部分均光滑。现让质量为的物块（可视为质点）自A点由静止释放，取，求：‎ ‎(1)物块到达最低点时的速度大小；‎ ‎(2)在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能；‎ ‎(3)物块最终停止的位置。‎ ‎【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三自主复习作业箭在弦上物理试题（一）‎ ‎【答案】 (1) (2) (3)最终停在D点 ‎【解析】【分析】物体1从释放到与物体2相碰前的过程中，系统中只有重力做功，系统的机械能守恒，根据机械能守恒和动量守恒列式，可求出物体1、2碰撞前两个物体的速度；物体1、2碰撞过程，根据动量守恒列式求出碰后的共同速度．碰后，物体1、2向右运动，滑道向左运动，弹簧第一次压缩最短时，根据系统的动量守恒得知，物体1、2和滑道速度为零，此时弹性势能最大；根据能量守恒定律求解在整个运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能；根据系统的能量守恒列式，即可求出物体1、2相对滑道CD部分运动的路程s，从而确定出物体1、2最终停在何处；‎ ‎4．如图所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab段水平，bcde段光滑，cde是以O为圆心，R为半径的一小段圆弧，可视为质点的物块A和B紧靠在一起，中间夹有少量炸药，静止于b处，A的质量是B的3倍。某时刻炸药爆炸，两物块突然分离，分别向左、右沿轨道运动。B到d点时速度沿水平方向，此时轨道对B 的支持力大小等于B所受重力的3/4，A与ab段的动摩擦因数为μ，重力加速度g，求：‎ ‎（1）物块B在d点的速度大小；‎ ‎（2）物块A滑行的距离s。‎ ‎【来源】【全国百强校】天津市耀华中学2018届高三第二次模拟物理试题 ‎【答案】 （1）；（2）；‎ ‎【解析】（1）设物块A和B的质量分别为mA和mB B在d处的合力为F，依题意①，‎ ‎②‎ 由①②解得③‎ ‎（2）设A、B分开时的速度分别为v1、v2，系统动量守恒  ④‎ 点睛：结合牛顿第二定律求出最高点的速度，再利用动能定理计算出物块运动走过的位移。‎ ‎5．如图所示，倾角为θ=37°的斜面固定在水平地面上，斜面的高度h=3.6m，A球位于斜面的顶端，B球位于斜面底端正上方与A球等高处。现两球同时开始运动，其中A球沿斜面向下运动，B球向左水平抛出，且两球具有相同大小的初速度v0=4m/s，结果两球在斜面上相遇。A、B两个小球均视为质点，重力加速度 g=10m/s2， sin37°=0.6, cos37°=0.8。求：‎ ‎（1）从开始运动到两球相遇所需要的时间；‎ ‎（2）A球与斜面间的动摩擦因数。‎ ‎【来源】【全国百强校】湖北省黄冈市黄冈中学2018届高三5月适应性考试理科综合物理试题 ‎【答案】 (1) 0.6s (2) ‎ ‎【解析】（1）对B球分析，有：①，②‎ 由几何关系有：③‎ 由①②③得④，‎ ‎（2）对A球分析，有：⑤，⑥‎ 综合解得：⑦‎ ‎6．嘉年华上有一种回力球游戏，如图所示，A、B分别为一固定在竖直平面内的光滑半圆形轨道的最高点和最低点，B点距水平地面的高度为h，某人在水平地面C点处以某一初速度抛出一个质量为m的小球，小球恰好水平进入半圆轨道内侧的最低点B，并恰好能过最高点A后水平抛出，又恰好回到C点抛球人手中．若不计空气阻力，已知当地重力加速度为g，求：‎ ‎（1）半圆形轨道的半径；‎ ‎（2）小球在C点抛出时的速度。‎ ‎【来源】【全国百强校】山西省太原市第五中学2018届高三下学期第二次模拟考试（5月）物理试题 ‎【答案】 (1) 2h（2），‎ ‎(1)设半圆形轨道的半径为R，小球经过A点时的速度为，小球经过B点时的速度为，小球经过B点时轨道对小球的支持力为 在A点，则有：‎ 从B点到A点的过程中，根据动能定理有：‎ C到B的逆过程为平抛运动，有：，‎ A到C的过程，有：，‎ 解得：R＝2h ‎（2）从C点到B点的过程中，竖直方向：‎ 在C点，则有：，且有：‎ 解得：‎ 方向与水平方向夹角为：‎ ‎【点睛】本题考查了动能定理、牛顿定律与平抛运动和圆周运动的综合运用，知道圆周运动向心力的来源，以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．‎ ‎7．工厂里有一种运货的过程可以简化为如图所示。货物（可视为质点），以初速度滑上静止的小车M，，货车高。在光滑的轨道OB上设置一固定的与车厢等高的障碍物，当货车撞到障碍物时会被粘住不动，而货物就被抛出，恰好会沿BC方向落在B点，已知货车上表面与货物之间的动摩擦因数，斜面的的倾角为(, ,)。‎ ‎（1）求AB之间的水平距离？‎ ‎（2）若已知OA段距离足够长，导致货车在碰到A之前已经与货物达到共同速度，求货车对货物摩擦力的冲量和货车的长度。‎ ‎【来源】【全国百强校】辽宁省庄河市高级中学2018届高三第五次模拟考试理科综合物理试题 ‎【答案】 （1）（2），方向与初速度方向相反 ‎（2）在小车碰撞到障碍物前，车与货物已经到达共同速度，动量守恒：‎ 根据系统能量守恒定律：，得到：‎ 当小车被粘住之后，物块继续在小车上滑行，直到滑出，根据动能定理：‎ 得到：，故 对货物从开始到恰好抛出运用动量定理：，‎ 得到：，方向与初速度方向相反。‎ ‎8．如图所示，一个物块以某一初速度沿倾角、高的固定光滑斜面的最下端向上远动，物块运动到斜面的顶端时的速率为，如果在斜面中间某一区域设置一段摩擦区，物块与摩擦区之间的动摩擦因数，物块以同样的初速度从斜面的底端向上运动，物块恰好运动到斜面的项端（，，，）。‎ ‎(1)求初速度的大小；‎ ‎(2)求摩擦区的长度；‎ ‎(3)在设置摩擦区后，摩擦区的位置不同，物块以初速度从斜面底端运动到斜面顶端的时间不同，求物块从斜面底端运动到斜面顶端的最长时间（计算结果保留两位小数）。‎ ‎【来源】【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三二十模考试(B)物理试题 ‎【答案】 （1）6m/s（2）1m（3）0.97s ‎(3)如图所示，当摩擦区设置在斜面最小面时，让物块一开始运动就进入摩擦区，物块在斜面上运动的时间最长，设物块在摩擦区和光滑的斜面上的加速度分别是a1和a2，则：‎ ‎，‎ 代入数据可以得到：，‎ 物块在摩擦区内运动的时间为t1，则：，‎ 代入数据得到：‎ 物块在斜面的光滑部分运动的初速度为，时间为，‎ 则：，‎ 物块运动到斜面顶端的最长时间为：。‎ ‎【点睛】本题综合考查了牛顿第二定律、动能定理以及运动学公式，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．‎ ‎9．某同学设计了一种测定风力的装置，其原理如图所示，迎风板与一轻弹簧的一端N相接，穿在光滑的金属杆上．弹簧是绝缘材料制成的，其劲度系数k = 1300 N/m，自然长度L0= 0. 5 m，均匀金属杆用电阻率较大的合金制成，迎风板面积为S=0.5 m2，工作时总是正对着风吹来的方向．电路中左端导线与金属杆M端相连，右端导线接在N点并可随迎风板在金属杆上滑动，且与金属杆接触良好．限流电阻的阻值R=1Ω，电源电动势E=12 V，内阻r=0.5Ω．合上开关，没有风吹时，弹簧处于原长，电压表的示数U1=3.0 V；如果某时刻由于风吹使迎风板向左压缩弹簧，电压表的示数变为U2=2.0V，求：‎ ‎（1）金属杆单位长度的电阻；‎ ‎（2）此时作用在迎风板上的风力；‎ ‎（3）若风（运动的空气）与迎风板作用后速度变为零，已知装置所在处的空气密度为1. 3 kg/m3，求风速为多大？‎ ‎【来源】【全国百强校】福建省厦门市外国语学校2018届高三下学期5月适应性考试（最后压轴模拟）理综物理试题 ‎【答案】 （1） （2）260 N （3）20m/s ‎（1）无风时，金属杆电阻，则有：‎ 解得：‎ 故单位长度电阻：‎ ‎【点睛】本题考查电压、电流、电阻的计算，关键是欧姆定律的公式及其变形的应用以及串联电路电压的规律．解决力电综合题，关键寻找力与电的桥梁，本题的桥梁是弹簧的长度．‎ ‎10．如图所示，为过山车简易模型，它由光滑水平轨道和竖直面内的光滑圆形轨道组成，Q点为圆形轨道最低点，M点为最高点，水平轨道PN右侧的光滑水平地面上并排放置两块木板c、d，两木板间相互接触但不粘连，木板上表面与水平轨道PN平齐，小滑块b放置在轨道QN上。现将小滑块a从P点以某一水平初速度v0向右运动，沿圆形轨道运动一周后进入水平轨道与小滑块b发生碰撞，碰撞时间极短且碰撞过程中无机械能损失，碰后a沿原路返回到M点时，对轨道压力恰好为0，碰后滑块b最终恰好没有离开木板d。已知：小滑块a的质量为1 kg，c、d两木板质量均为3 kg，小滑块b的质量也为3 kg， c木板长为2 m，圆形轨道半径为0.32 m，滑块b与两木板间动摩擦因数均为0.2，重力加速度g＝10 m/s2。试求：‎ ‎(1)小滑块a与小滑块b碰后，滑块b的速度为多大？‎ ‎(2)小滑块b刚离开长木板c时b的速度为多大？‎ ‎(3)木板d的长度为多长？‎ ‎【来源】【全国百强校】甘肃省兰州第一中学2018届高三考前最后冲刺模拟物理试题 ‎【答案】 (1) （2） （3）‎ ‎【解析】（1）对a滑块在M点：mg=m 得：vM= m/s ‎ 得：‎ 碰后va=4 m/s 由a、b弹性碰撞：，‎ 得：碰后vb=4 m/s 点睛：本题涉及到四个物体，多个运动过程，属于多体多过程问题，是一道难题；关键是分析清楚物体运动过程，选取合适的物理规律列方程；注意板块问题中的能量转化关系。‎ ‎11．质量为2 kg的木板B静止在水平面上，可视为质点的物块A从木板的左侧沿木板上表面水平冲上木板，如图甲所示． A的v－t图象如图乙所示，重力加速度g＝10 m/s2，求：‎ ‎(1)A与B上表面之间的动摩擦因数μ1；‎ ‎(2)木板B与水平面间的动摩擦因数μ2；‎ ‎(3)A的质量．‎ ‎【来源】【全国百强校】黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届高三下学期第四次模拟考试理科综合物理试题 ‎【答案】 （1）0.2（2）0.1（3）6kg ‎【解析】A滑上B做匀减速直线运动，根据速度时间图线得出匀减速运动的加速度大小，根据牛顿第二定律求出A与B之间的动摩擦因数；A、B速度相同后，一起做匀减速运动，根据速度时间图线求出匀减速运动的加速度大小，结合牛顿第二定律求出与水平面间的动摩擦因数；隔离对M分析，根据速度时间图线得出B的加速度，根据牛顿第二定律求出A的质量。‎ ‎(3)由图象可知B在0～1 s内的加速度 对B由牛顿第二定律得，μ1mg－μ2(M＋m)g＝Ma2‎ 代入数据解得：m＝6 kg 点睛：本题主要考查了牛顿第二定律和速度时间图线的综合运用，关键理清A、B的运动规律，结合图线的斜率求出加速度，根据牛顿第二定律进行求解。‎ ‎12．如图所示，在一固定且足够长的斜面上，将A、B两个小物块由静止释放，A、B系统即开始在斜面上沿同一直线运动。已知：A、B间初始距离为s =m，A、B间若发生碰撞则为弹性正碰，A、B两物块与斜面间的动摩擦因数分别为μ1=、μ2 =，斜面倾角为θ且满足sinθ =、cosθ =，重力加速度g = 10m/s2。试回答下列问题：‎ ‎(1)若A、B质量之比为2：1，第一次碰后的运动中A、B系统动量是否守恒，求从释放至A、B第2次碰撞所经历的时间；‎ ‎(2)若A、B质量相等，求A、B间第9次碰撞前A、B的速度大小。‎ ‎【来源】【全国百强校】湖北省荆州中学2018届高三全真模拟考试（二）理综物理试题 ‎【答案】 （1）s ；（2），0‎ ‎【解析】(1)设A、B质量分别为2m、m，以沿斜面向下为正方向，A、B沿斜面下滑时所受合力分别为 FA = 2mg(sinθ -μ1cosθ) =‎ FB = mg(sinθ –μ2cosθ) = ‎ 可见只要A、B都在沿斜面下滑时，系统合力为0，动量守恒，若B停下不滑则所受摩擦力为静摩擦，则系统动量不守恒。A、B下滑时加速度 从释放至第一次碰撞的时间t0 = = 1s 其中前一组解为第一次碰后状态，后一组解为第二次碰前状态，由此可知在第二次碰前B速度刚好减为0，B一直保持下滑的假设是正确的，第二次碰前的状态与第一次碰前相同，系统将不断重复此运动。两次碰撞的时间间隔始终为 系统在第一次碰撞后确实一直动量守恒，从释放到第2次碰撞所花时间为t = t0 + T = s ‎(2)A、B质量虽不一样，但它们下滑时加速度不变仍为上问的a1 = 、a2=，质量相等的物体弹性正碰结果为速度交换，因此第一次碰后A速度为0，B速度为v0，之后B滑行至停下用时 t1 = ‎ 此时A速度 vA = a1t1 = = ‎ 第9次碰前B的速度为0‎ 点睛:本题考查了动量守恒定律和动力学知识的综合，关键理清A、B在碰撞前后的运动规律，根据牛顿定律、运动学公式等对每一步物理过程进行讨论,最后归纳解答，难度中等．‎