专题10 双星及多星问题-2019高考物理一轮复习专题详解

专题10 双星及多星问题-2019高考物理一轮复习专题详解

‎1．双星模型 ‎(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．‎ ‎ (2)特点：‎ ‎①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 ＝m1ωr1，＝m2ωr2‎ ‎②两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2‎ ‎③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L ‎(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.‎ ‎2．多星模型 ‎(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．‎ ‎(2)三星模型：‎ ‎①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)．‎ ‎②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．‎ ‎ (3)四星模型：‎ ‎①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．‎ ‎②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．‎ 典例分析 ‎【例1】　(多选)(2017年昆明模拟)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，两星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2，那么，系统中两颗恒星的质量关系是(　　)‎ A．这两颗恒星的质量必定相等 B．这两颗恒星的质量之和为 C．这两颗恒星的质量之比为m1∶m2＝R2∶R1‎ D．其中必有一颗恒星的质量为 ‎【答案】　BC ‎【例2】：2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现．在如图所示的双星系统中，A、B两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，已知恒星A的质量为太阳质量的29倍，恒星B的质量为太阳质量的36倍，两星之间的距离L＝2×105 m，太阳质量M＝2×1030 kg，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，π2＝10.若两星在环绕过程中会辐射出引力波，该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是(　　)‎ A．102 Hz B．104 Hz C．106 Hz D．108 Hz ‎【答案】　A ‎【例3】：．经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当成孤立系统来处理．现根据对某一双星系统的测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．‎ ‎(1)计算出该双星系统的运动周期T；‎ ‎(2)若该实验中观测到的运动周期为T观测，且T观测∶T＝1∶(N>1)．为了理解T观测与T的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质．若不考虑其他暗物质的影响，根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．‎ ‎【答案】　(1)πL　(2) ‎【解析】　(1)双星均绕它们连线的中点做圆周运动，万有引力提供向心力，则G＝M2·，解得T＝πL.‎ ‎【例4】：由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：‎ ‎ (1)A星体所受合力大小FA；‎ ‎(2)B星体所受合力大小FB；‎ ‎(3)C星体的轨道半径RC；‎ ‎(4)三星体做圆周运动的周期T.‎ ‎【答案　】 (1)2G　(2)G　(3)a　(4)π ‎【解析】(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝G＝G＝FCA 方向如图所示 则合力大小为FA＝FBA·cos 30°＋FCA·cos 30°＝2G ‎(3)由于mA＝2m，mB＝mC＝m 通过分析可知，圆心O在BC的中垂线AD的中点 则RC＝ ＝a ‎(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝G＝m()2RC，可得T＝π .‎ 专题练习 ‎1：宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则(　　)‎ A．每颗星做圆周运动的线速度为 B．每颗星做圆周运动的角速度为 C．每颗星做圆周运动的周期为2π D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 ‎【答案】　ABC ‎【解析】由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径r＝＝R.由牛顿第二定律得·2cos 30°＝m＝mω2r＝mr＝ma，可解得v＝ ，ω＝ ，T＝2π，a＝，故A、B、C均正确，D错误．‎ ‎2.宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法错误的是(　　)‎ A． 四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 B． 四颗星的轨道半径均为 C． 四颗星表面的重力加速度均为 D． 四颗星的周期均为2πa ‎【答案】B ‎3.宇宙中存在一些离其他恒星较远，由质量相等的三个星体组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在的一种形式是三个星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图所示．设每个星体的质量均为m，相邻的两个星体之间的距离为L，引力常量为G，则(　　)‎ A．该圆形轨道的半径为L B．每个星体的运行周期均为 C．每个星体做圆周运动的线速度均为 D．每个星体做圆周运动的加速度均与星体的质量无关 ‎【答案】：C ‎4．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化，若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)‎ A. B.T C.T D.T ‎【答案】：B ‎【解析】：设m1的轨道半径为r1，m2的轨道半径为r2，由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同，两星之间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力，即G＝m1r12，‎ G＝m2r22，可得T＝2π，故当两恒星总质量变为原来的k倍，两星间距变为原来的n倍时，圆周运动的周期变为 T，B正确．‎ ‎5．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2.则可知(　　)‎ A．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3‎ B．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2‎ C．m1做圆周运动的半径为r1＝L D．m2做圆周运动的半径为r2＝L ‎【答案：】C ‎6. (多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统．设某双星系统P、Q绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若PO>OQ，则(　　)‎ A． 星球P的质量一定大于Q的质量 B． 星球P的线速度一定大于Q的线速度 C． 双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大 D． 双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大 ‎【答案】BD ‎7. (多选)宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕两球心连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)‎ A． 双星相互间的万有引力不变 B． 双星做圆周运动的角速度均增大 C． 双星做圆周运动的速度均减小 D． 双星做圆周运动的半径均增大 ‎【答案】CD ‎【解析】双星间的距离在不断缓慢增加，由万有引力定律，F＝G，知万有引力减小，A错误；根据万有引力提供向心力得G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，可知m1r1＝m2r2，知轨道半径比等于质量之反比，双星间的距离变大，则双星的轨道半径都变大，B错误，D正确；根据G＝m1v1ω＝m2v2ω，可得线速度减小，C正确 ‎8. (多选)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，两星总质量为M，两星之间的距离为r，两星质量分别为m1、m2，做圆周运动的轨道半径分别为r1、r2，则下列关系式中正确的是(　　)‎ A． M＝ B． r1＝r C． T＝2π D． ＝‎ ‎【答案】AC ‎【解析】由于它们之间的距离恒定，因此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：‎ 对m1：＝m1ω2r1①‎ 对m2：＝m2ω2r2②；‎ 由①②式可得：m1r1＝m2r2 ，即＝，D错误．r1＋r2＝r，得：r1＝r＝r，B错误．将ω＝，r1＝r代入①式，可得：＝m1·r，得：T＝2π，M＝，A、C正确．‎ ‎9．宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用．已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式：一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1；另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．试求两种形式下，星体运动的周期之比.‎ ‎【答案】＝ ‎【解析】：对于第一种形式，一个星体在其它三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径为：‎ r1＝a.‎