专题04 天体运动-2018高三物理二轮专题复习《名师伴你学》

专题04 天体运动-2018高三物理二轮专题复习《名师伴你学》

构建知识网络：‎ 考情分析：‎ 关于万有引力定律及应用知识的考查，主要表现在两个方面：‎ ‎（1）天体质量和密度的计算：主要考查对万有引力定律、星球表面重力加速度的理解和计算 ‎（2）人造卫星的运行和边柜：主要是结合圆周运动的规律、万有引力定律，考查卫星在轨道上运行的线速度、角速度、周期以及有关能量的变化 重点知识梳理：‎ 一、万有引力定律 ‎1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比.‎ ‎2.表达式：F＝G G为引力常量：G＝6.67×10－11N·m2/kg2.‎ ‎3.适用条件 ‎(1)公式适用于质点间的相互作用.当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.‎ ‎(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离.‎ 二、环绕速度 ‎1.三个宇宙速度 ‎(1)第一宇宙速度 v1＝7.9km/s，卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，又称环绕速度.‎ ‎(2)第二宇宙速度 v2＝11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度，又称脱离速度.‎ ‎(3)第三宇宙速度 v3＝16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度，也叫逃逸速度.‎ ‎2.第一宇宙速度的推导 方法一：由G＝m得v1＝＝7.9×103m/s.‎ 方法二：由mg＝m得 v1＝＝7.9×103m/s.‎ 第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π＝5075s≈85min.‎ ‎【名师提醒】‎ 掌握“一模”“两路”“三角”，破解天体运动问题 ‎ ‎(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 ‎ ‎(2)两条思路：‎ ‎①动力学思路。万有引力提供向心力，即G＝ma，a＝＝ω2r＝()2r，这是解题的主线索。‎ ‎②对于天体表面的物体：在忽略自转时G＝mg或GM＝gR2(R、g分别是天体的半径、天体表面的重力加速度)，公式GM＝gR2称为“黄金代换式”，这是解题的副线索。‎ ‎(3)“三角等式”关系 ‎ 典型例题剖析：‎ 考点一：天体质量和密度的估算 ‎【典型例题1】假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】 B ‎【变式训练1】(多选)宇航员抵达一半径为R的星球后，做了如下的实验：取一根细绳穿过光滑的细直管，细绳的一端拴一质量为m的砝码，另一端连接在一固定的拉力传感器上，手捏细直管抡动砝码，使它在竖直平面内做圆周运动．若该星球表面没有空气，不计阻力，停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动，如图所示，此时拉力传感器显示砝码运动到最低点与最高点两位置时读数差的绝对值为ΔF.已知万有引力常量为G，根据题中提供的条件和测量结果，可知(　　) ‎ A．该星球表面的重力加速度为 B．该星球表面的重力加速度为 C．该星球的质量为 D．该星球的质量为 ‎【答案】BC ‎【变式训练2】(多选)(2017·上饶二模)某人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过的角度为θ，引力常量为G，则(　　)‎ A．航天器的轨道半径为　　 B．航天器的环绕周期为 C．月球的质量为 D．月球的密度为 ‎【答案】BC ‎【解析】 根据几何关系得r＝，故A错误；经过时间t，航天器与月球的中心连线扫过角度为θ，则＝，得T＝，故B正确；航天器由万有引力充当向心力而做圆周运动，所以G＝mr，得M＝＝＝，故C正确；月球的体积V＝πr3＝π3，月球的密度ρ＝＝＝，故D错误。‎ ‎【名师提醒】‎ ‎1．利用天体表面的重力加速度g和天体的半径R.---这叫“自力更生”法 由G＝mg，得M＝，ρ＝＝.‎ ‎2．利用天体的卫星：已知卫星的周期T(或线速度v)和卫星的轨道半径r.—这叫“依靠外援”法 由G＝m＝mr，得M＝ 若测天体的密度，将天体的质量M＝ρπR3代入得 ρ＝ 说明　(1)此方法只能确定中心天体的质量M和密度ρ，而不是环绕天体的质量和密度(2)注意区分r和R的不同含义：r为轨道半径，R为天体半径，当卫星在天体表面运行时才有r＝R.‎ 考点二：人造卫星的运行规律 ‎【典型例题2】(多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有(　　)‎ A．TA＞TB　　　　　　 　B．EkA＞EkB C．SA＝SB D.＝ ‎【答案】AD ‎【变式训练3】(多选)中国最新研制的“长征六号”运载火箭2015年9月20日首次发射，成功将20颗卫星送入预定轨道，缔造了“一箭多星”发射的亚洲新纪录．假设某颗卫星运行在同步轨道(卫星的轨道半径是地球半径的n倍)上，由此可知(　　)‎ A．该卫星运行的向心加速度大小是地表重力加速度的 B．该卫星运行的向心加速度大小是地表重力加速度的 C．该卫星的运行速度大小是第一宇宙速度大小的 D．该卫星的运行速度大小是第一宇宙速度大小的 ‎【答案】AD ‎【解析】 卫星运行在轨道半径是地球半径n倍的圆形轨道上，所受万有引力F＝G，F＝ma ‎，在地球表面，m0g＝G，联立解得＝，选项A正确、B错误；由G＝m，GM＝gR2，解得v＝，第一宇宙速度v1＝，＝，选项C错误、D正确．‎ ‎【变式训练4】登上火星是人类的梦想．“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比(　　)‎ 行星 ‎ 半径/m ‎ 质量/kg ‎ 轨道半径/m ‎ 地球 ‎ ‎6.4×106 ‎ ‎6.0×1024 ‎ ‎1.5×1011 ‎ 火星 ‎ ‎3.4×106 ‎ ‎6.4×1023 ‎ ‎2.3×1011 ‎ A．火星的公转周期较小 B．火星做圆周运动的加速度较小 C．火星表面的重力加速度较大 D．火星的第一宇宙速度较大 ‎【答案】B.‎ ‎【名师提醒】‎ ‎1．四个分析 ‎“四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系。‎ G＝ ‎2．四个比较 ‎(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度、角速度绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星。‎ ‎(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。‎ ‎(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。‎ ‎(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等—因此比较空中卫星和赤道地面上的物体必须引进同步卫星作为桥梁。‎ 考点三：卫星变轨问题分析 ‎【典型例题3】(多选)2016年10月19日，“神舟十一号”与“天宫二号”成功实现交会对接。如图所示，交会对接前“神舟十一号”飞船先在较低圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫二号”对接。M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速。下列关于“神舟十一号”变轨过程的描述，正确的有(　　)‎ A．“神舟十一号”在M点加速，可以在P点与“天宫二号”相遇 B．“神舟十一号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2‎ C．“神舟十一号”经变轨后速度总大于变轨前的速度 D．“神舟十一号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期 ‎【答案】AD ‎【变式训练5】(多选) 同步卫星的发射方法是变轨发射，即先把卫星发射到离地面高度为200 km～300 km的圆形轨道上，这条轨道叫停泊轨道，如图所示，当卫星穿过赤道平面上的P点时，末级火箭点火工作，使卫星进入一条大的椭圆轨道，其远地点恰好在地球赤道上空约36 000 km处，这条轨道叫转移轨道；当卫星到达远地点Q时，再开动卫星上的发动机，使之进入同步轨道，也叫静止轨道。关于同步卫星及发射过程，下列说法正确的是(　　)‎ A．在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的线速度大于在停泊轨道运行的线速度 B．在P点火箭点火和Q点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此，卫星在静止轨道上运行的机械能大于在停泊轨道运行的机械能 C．卫星在转移轨道上运动的速度大小范围为7.9～11.2 km/s　‎ D．所有地球同步卫星的静止轨道都相同 ‎【答案】BCD ‎【名师提醒】（小轨道到大轨道切点瞬间加速；大轨道到小轨道切点瞬间减速—这样就可以比较切点的速度大小；决定加速度的是力，瞬间加速或者减速时位置没有来得及变化，故万有引力瞬间不变，即加速度不变）‎ ‎1．卫星发射及变轨过程概述 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。‎ ‎(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。‎ ‎(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。‎ ‎(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。‎ ‎2．三个运行物理量的大小比较 ‎(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。‎ ‎(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。‎ ‎(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3。‎ 考点四：宇宙多星问题 ‎【典型例题4】(多选)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同。现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示。设两种系统中三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是(　　)‎ A．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为 B．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4π C．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2 D．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为 ‎【答案】BD ‎【变式训练6】宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是(　　)‎ A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动 ‎ B．四颗星的轨道半径均为 C．四颗星表面的重力加速度均为 ‎ D．四颗星的周期均为2πa ‎【答案】 B ‎【解析】 四星系统中任一颗星体均在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得＋＝m，T＝2πa ，故D正确。‎ ‎【名师提醒】‎ ‎1.宇宙双星模型 ‎(1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等。‎ ‎(2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的。‎ ‎(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L。‎ ‎2.宇宙三星模型 ‎ (1)如图所示，‎ 三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma。‎ 两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。‎ ‎ (2)如图所示，‎ 三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。‎ ×2×cos 30°＝ma，其中L＝2rcos 30°。‎ 三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。‎ ‎3.宇宙四星模型 ‎(1)如图所示，‎ 四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。‎ ×2×cos 45°＋＝ma，其中r＝ L。‎ 四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。‎ ‎ (2)如图所示，‎ 三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。‎ ×2×cos 30°＋＝ma。其中L＝2rcos 30°。‎ 外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。‎ 专题四 课时跟踪训练 单项选择题 ‎1.(2017·西安高三检测)理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项图所示的四个F随x的变化关系图像正确的是(　　)‎ ‎【答案】A ‎2.(2017·哈尔滨三中模拟)宇航员站在某一星球上，将一个小球距离星球表面h高度处由静止释放，使其做自由落体运动，经过t时间后小球到达星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，则下列选项正确的是(　　)‎ A．该星球的质量为 B．该星球表面的重力加速度为 C．该星球的第一宇宙速度为 D．通过以上数据无法确定该星球的密度 ‎【答案】A ‎【解析】　小球做自由落体运动，则有h＝gt2，解得该星球表面的重力加速度g＝，故B错误；对星球表面的物体，万有引力等于重力，即G＝mg，可得该星球的质量M＝，故A正确；该星球的第一宇宙速度v＝＝ ，故C错误；该星球的密度ρ＝＝，故D错误。‎ ‎3.(2017·黄冈中学模拟)已知某星球的第一宇宙速度与地球相同，其表面的重力加速度为地球表面重力加速度的一半，则该星球的平均密度与地球平均密度的比值为(　　)‎ A．1∶2　　　 B．1∶4　　　 C．2∶1　　　 D．4∶1‎ ‎【答案】B ‎4. 国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为(　　)‎ A．a2>a1>a3 B．a3>a2>a1 C．a3>a1>a2 D．a1>a2>a3‎ ‎【答案】D ‎【解析】　卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G＝m1a1，即a1＝，对于东方红二号，有G＝m2a2，即a2＝，由于h2>h1，故a1>a2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a＝ω2r，故a2>a3，所以a1>a2>a3，选项D正确，选项A、B、C错误．‎ ‎5. 2014年10月24日，“嫦娥五号”探测器发射升空，为计划于2017年左右发射的“嫦娥五号”探路，并在8天后以“跳跃式返回技术”成功返回地面。“跳跃式返回技术”指航天器在关闭发动机后进入大气层，依靠大气升力再次冲出大气层，降低速度后再进入大气层。如图所示，虚线为大气层的边界。已知地球半径R，地心到d点距离r，地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)‎ A．“嫦娥五号”在b点处于完全失重状态 B．“嫦娥五号”在d点的加速度小于 C．“嫦娥五号”在a点速率大于在c点的速率 D．“嫦娥五号”在c点速率大于在e点的速率 ‎【答案】C 二、多项选择题 ‎6.(多选)2016年10月19日，“神舟十一号”与“天宫二号”成功实现交会对接。如图所示，交会对接前“神舟十一号”飞船先在较低圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫二号”对接。M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速。下列关于“神舟十一号”变轨过程的描述，正确的有(　　)‎ A．“神舟十一号”在M点加速，可以在P点与“天宫二号”相遇 B．“神舟十一号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2‎ C．“神舟十一号”经变轨后速度总大于变轨前的速度 D．“神舟十一号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期 ‎【答案】AD ‎7.(2017·苏州三模)如图所示，两星球相距为L，质量比为mA∶mB＝1∶9，两星球半径远小于L。从星球A沿A、B连线向B以某一初速度发射一探测器。只考虑星球A、B对探测器的作用，下列说法正确的是(　　)‎ A．探测器的速度一直减小 ‎ B．探测器在距星球A为处加速度为零 C．若探测器能到达星球B，其速度可能恰好为零 D．若探测器能到达星球B，其速度一定大于发射时的初速度 ‎【答案】BD ‎【解析】　探测器从A向B运动，所受的万有引力合力先向左再向右，则探测器的速度先减小后增大，故A错误；当探测器合力为零时，加速度为零，则有：G＝G，因为mA∶mB＝1∶9，则rA∶rB＝1∶3，知探测器距离星球A的距离为x＝，故B正确；探测器到达星球B的过程中，由于B的质量大于A的质量，从A到B万有引力的总功为正功，则动能增加，所以探测器到达星球B的速度一定大于发射时的初速度，故C错误，D正确。‎ ‎8. 如图1是2015年9月3日北京天安门大阅兵我军展示的东风41洲际弹道导弹，它是目前我国军方对外公布的战略核导弹系统中的最先进系统之一。如图2所示，从地面上A 点发射一枚中远程地对地导弹，在引力作用下沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B，C为轨道的远地点，距地面高度为h。已知地球半径为R，地球质量为M，引力常量为G，不计空气阻力。下列结论中正确的是(　　)‎ A．导弹在运动过程中只受重力作用，做匀变速曲线运动 B．导弹在C点的加速度等于 C．地球球心为导弹椭圆轨道的一个焦点 D．导弹从A点到B点的时间可能比近地卫星的周期小 ‎【答案】BCD ‎9.(多选)如图所示是我国发射的“嫦娥三号”卫星被月球俘获的示意图，“嫦娥三号”卫星先绕月球沿椭圆轨道Ⅲ运动，在P点经两次制动后最终沿月球表面的圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，已知圆轨道半径为r，椭圆Ⅲ的半长轴为4r，卫星沿圆轨道Ⅰ运行的周期为T，则下列说法中正确的是(　　) ‎ A．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅱ上运行的机械能大于在轨道Ⅲ上运行的机械能 B．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，在M点的速度大小大于在P点的速度大小 C．“嫦娥三号”卫星在三个轨道上运行时，在P点的加速度总是相同的 D．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，从M点运动到P点经历的时间为4T ‎【答案】CD ‎【解析】 因“嫦娥三号”卫星从轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ上运行时，必须在P点进行减速，即在轨道Ⅱ上运行的机械能小于在轨道Ⅲ上运行的机械能，A项错误；由开普勒行星运动第二定律知“嫦娥三号”卫星在近月点速度大，即“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，在M点的速度大小小于在P点的速度大小，B项错误；由G＝ma知卫星离中心天体高度相同时，运行的加速度相同，C项正确；令“嫦娥三号”卫星从M点运动到P点经历的时间为t，则由开普勒行星运动第三定律得＝，即t＝4T，D项正确．‎ ‎10. 已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是(　　)‎ A．卫星距地面的高度为 B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C．卫星运行时受到的向心力大小为G D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度 ‎【答案】BD 三、计算题 ‎11.(2017·江西临川月考)(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．‎ ‎(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定地月距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)‎ ‎【答案】 （1）k＝M太 （2）6×1024 kg ‎【解析】：(1)因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r.根据万有引力定律和牛顿第二定律有G＝m行2r，于是有＝M太，即k＝M太．‎ ‎(2)在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由(1)问可得＝M地，解得M地＝6×1024 kg.‎ ‎12.由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：‎ ‎(1)A星体所受合力大小FA；‎ ‎(2)B星体所受合力大小FB；‎ ‎(3)C星体的轨道半径RC；‎ ‎(4)三星体做圆周运动的周期T.‎ ‎【答案】 （1）2G （2）G. （3）a. （4）π ‎【解析】：(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝G＝G＝FCA，方向如图所示，‎ 则合力大小为FA＝2G. ‎ ‎(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，则RC＝，可得RC＝a.‎ ＝，得RC＝ ‎(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝G＝m2RC，可得T＝π .‎