中学生物理竞赛系列练习题

中学生物理竞赛系列练习题

中学生物理竞赛系列练习题 第一章 质点的运动 1、合页连杆机构由三个菱形组成，其边长之比为 3：2：1，如图所示，顶点 3A 以 速度 v 往水平向右移动，求当连接点的所有角都为直角时，顶点 1A 、 2A 、 2B 的 速度量值。 教学参考 04.10 2、轮子在直线轨道上做纯滚动，轮子边缘点的运动轨道曲线称为滚轮线，设轮 子半径为 R，轮子边缘点 P 对应的滚轮线如图所示，试求此滚轮线在最高点的曲 率半径 ρ1 和在最低点的曲率半径 ρ2。 题库 p14 3、一小球自高于斜面上 h 处自由落下后击中斜面， 斜面之斜角为 θ，假设小球与 斜面作完全弹性碰撞 (碰撞斜面前后速率不变且入射角等于反射角 )，如图所示。 求 （1）再经多长时间后球与斜面再度碰撞？ （2）两次碰撞位置间距离 d 为多少？ （3）假设斜面甚长，小球与斜面可以作连续碰撞，证明小球与斜面在任意连续 两次碰撞之时间间隔均相等。并计算在连续两次碰撞点之距离依次为 1d ， 2d ， 3d ，,, nd 之数值。 (1)t= g h22 (2)d= θsinh8 (3) θsinnh8=dn 4、以初速 0v 铅直上抛一小球 A，当 A 到达最高点的瞬间，在同一抛出点以同一 初速 0v 沿同一直线铅直上抛同样的小球 B，当 A、B 在空中相碰的瞬间，又从同 一抛出点以同一初速 0v 沿同一直线铅直上抛出第三个同样的小球 C。设各球相遇 时均发生弹性碰撞，且空气阻力不计，从抛出 A 球的瞬时开始计时。试求： (1) 各球落地的时间； (2)各球在空中相遇的时间。 (1) g v2 =t 0 C ， g v3 =t 0 B ， g v7 =t 0 A ，即 C 最先落地， A 最慢落地 (2)A 、B 相遇在 g2 v3 =t 0 1 ， 其次 B、 C 相遇在 g4 v7=t 0 2 ，最后 A、B 再相遇于 g4 v9=t 0 3 ，共有三次碰撞。 5、由 t=0 时刻从水平面上的 O 点，在同一铅垂面上同时朝两方向发射初速率分 别为 Aν =10 公尺 /秒、 Bν =20 公尺 /秒两质点 A、B，(如图 )求： (1)t=1 秒时 A、B 相距多远？ (2)在铅垂面 xOy 上，从原点 O 出发朝平面各方向射出相同速率 0ν 的质点， 今以朝正 x 方向 (水平 )射出的质点为参考点， 判 定其他质点在未落地前的 t 时刻的位置组成的曲线。 题库 p13 6、质量为 M 的运动员手持一质量为 m 的物块， 以速率 v0 沿与水平面成 a 角的方 向向前跳跃（如图） ．为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位 置处， 沿某一方向把物块抛出． 物块抛出时相对运动员的速度的大小 u 是给定的， 物块抛出后，物块和运动员都在同一竖直平面内运动． (1)若运动员在跳远的全过程中的某时刻 to 把物块沿与 x 轴负方向成某 θ角的 方向抛出，求运动员从起跳到落地所经历的时间． (2)在跳远的全过程中， 运动员在何处把物块沿与 x 轴负方向成 θ角的方向抛 出，能使自己跳得更远？若 v0 和 u 一定， 在什么条件下可跳得最远？并求出运动 员跳的最大距离． （第二十届预赛） v 附加 1、如图所示，由两个圆球所组成的滚珠轴承，其内环半径为 R2，外环半径为 R1， 在两环之间分布的小球半径为 r，外环以线速度 v1 顺时针方向转动，而内环则以 以线速度 v2 顺时针方向转动， 试求小球中心在围绕圆环的中心顺时针转动的线速 度 v 和小球自转的角速度 ω。（设小球与圆环之间无滑动发生） 2、两质点在地面上同一地点以相同速率 0ν 从不同抛射角抛出。试证明，当两质 点的射程 R 相同时，它们在空中飞行时间的乘积为 g R2 。忽略空气阻力。 3、如图所示，细杆 AB 搁置在半径为 R 的半圆柱上， A 端沿水平面以等速 v 作 直线运动， 细杆与水平面夹角用 θ表示。 图示之瞬时， 细杆与半圆柱相切于 C 点， 此时杆上 C 点的速度量值是 Cν = ，圆柱面上与杆相交的一点 ′C 的速度量 值 Cν′ = 。 第二章 物体的平衡 1、如图所示，两个质量分别为 m1、m2 的小环能沿着一光滑的轻绳滑动。绳的两 端固定于直杆的两端，杆与水平线成角度 θ。在此杆上又套一轻小环，绳穿过轻 环并使 m1、m2 在其两边。设环与直杆的接触是光滑的，当系统平衡时，直杆与 轻环两边的夹角为 φ。试证明： 21 12 tan tan mm mm 2、半径为 r，质量为 m 的三个相同的球放在水平桌面上，两两相互接触。用一个 高为 1.5r 的圆柱形圆筒 (上、下均无底 )将此三球套在筒内，圆筒的内半径取适当 值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持无形变接触。现取一质量也为 m，半径 为 R 的第四个球，放在三球的上方正中，设四个球的表面、圆筒的内壁表面均由 相同物质做成，其相互之间的最大静摩擦系数均为 153 (约等于 0.775)，问 R 取 何值时，用手轻轻铅直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？ （第八届预赛） r)1 33 332 (Rr)1 3 32 ( ≤≤－ 3、半径为 r 和 R 的两个圆柱，置于同一水平粗糙的平面上，如图所示，在大圆 柱上绕上细绳， 在绳端作用一水平向右的力， 求大圆柱有可能翻过小圆柱的条件。 已知所有接触面的静摩擦系数为 μ。 R r μs ≥ 4、质量为 m，长为 L 的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端 O 重合，底端 A、B、C 的间距均为 L，如图所示。 （1）求 A 棒顶端所受的作用力 F 的大小； （2）若有一质量也是 m 的人（视为质点） 坐在 A 棒的中点处， 三棒仍保持不动， 这时 A 棒顶端所受作用力 F 的大小又为多大？ 5、有 6 个完全相同的刚性长条形薄片 Ai Bi (I=1,2 ,, 6) ，其两端下方各有一个小 突起，薄片及突起的重力均不计。现将此 6 个薄片架在一水平的碗口上，使每个 薄片一端的小突起恰在碗口上，另一端小突起位于其下方薄片的正中央，由正上 方俯视如图所示。 若将一质量为 m的质点放在薄片 66BA 上一点， 这一点与此薄片 中点的距离等于它与小突起 6A 的距离。 求薄片 66BA 中点所受的 ( 由另一小薄片的 小突起 1A 所施的 ) 压力。 mg/42 6、如图所示，儿童玩具不倒翁高 h=21cm，质量 m=300g，相对轴 KD 对称分布， 不倒翁的下部是半径 R=6cm 的半球面，如果不倒翁放在与水平面成角度 α=30o 的粗糙面上，当它的轴 KD 与竖直方向倾角 β=45o，则处于稳定平衡状态。为了 使它在水平面上失去稳定平衡，试问最少需在头顶 K 处加多少塑泥？ 教学参考 04.10 附加 1、如图所示，在倾斜角为 α和 β的两个斜面之间放有均质杆 AB。设 2 π βα =+ ， 杆与两斜面间的摩擦角均为 φ（μ=tanφ），求平衡时杆 AB 与斜面 OA 的夹角 θ的 范围。 物理教学 04.8 2、所示，水平面上放着一个质量为 M的、半径为 r 的均匀半球。在半球的边缘 放着一个质量为 m的大小不计的物块。整个系统处于平衡状态。试求： （1）地面 给半球的静摩擦力大小是多少？（ 2）地面给半球的支持力大小是多少？（ 3）如 果已知半球的重心与球心 O的距离为 3r/8 ，半球平面与水平面的倾角是多少？ （答： f = 0 ；N = Mg + mg ； θ= arctg M3 m8 ) 3、用均匀材料制成的浮子，具有两个半径均为 R 的球冠围成的外形，如图所示。 浮子的厚度 h<2R，质量为 m1。沿浮子对称轴向浮子插入一细辐条，穿过整个厚 度，辐条长 L>h，质量为 m2。当将浮子辐条向上地浸入水中时，浮子的状态时稳 定的吗？ 第三章 牛顿运动定律 1、常规制动系统在急刹车时，车轮常会被抱死，即车轮只滑不转，车轮受力情 况如图 1 所示。 装有 ABS的汽车在刹车过程中 ABS使车轮在地面上滚动而不滑动， 车轮受力情况如图 2 所示。已知质量为 m，车轮与地面的动摩擦因数为 μ，车轮 与地面间的最大静摩擦力为 f m的汽车。 在两种情况下行驶的速度相同， 则不装 ABS 系统的刹车距离为 S1，装 ABS系统后的刹车距离为 S2，这两者距离之差是 S1-S 2 为多大？ 2 1 mv 2(f m―f S)∕fm·f S 2、长为 5m、倾角为 300 的传送带以 2m/s 的速度运动。如图所示，将一物体由静 止状态轻轻地放在传送带下端，经过 2.9s 到达上端。求： （1）传送带和物体间的摩擦系数 μ。 （2）要使由静止放上的物体最快地被送上至上端， 传送带的速度至少要是多大？ 5mθ v 3、一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的 AB 边重合，如图所示。已知盘与桌布间的动摩擦因数为 μ1，盘与桌面间的动摩 擦因数为 μ2。现突然以恒定加速度 a 将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且 垂直于 AB 边。若圆盘最后未从桌面上掉下， 则加速度 a 满足的条件是什么？ （以 g 表示重力加速度） （04 年高考） 4、如图所示，弹簧秤下面悬挂着定滑轮，跨过滑轮两边的绳子分别连接着三个 钩码和五个钩码，每个钩码的质量为 50g ，当系统从静止开始释放后，试求弹簧 秤的示数。重力加速度 g = 10m/s2，忽略滑轮的质量。 （3.75 N） 5、有一定长度的木板 C 放在光滑水平面上，长木板上面放置可视为质点的木块 A、B． A、B、C 的质量分别是 kgmmm CBA 2.0 ．木块 A、B 相距 0.2m， 放在长木板上适当的位置， 它们与长木板间的动摩擦因数相同均为 2.0 ．三物 块均在同一直线上，开始时都处于静止状态．某时刻同时对 A、B 施加相反方向 的恒力， N1F1 ， NF 6.02 ，如图所示． 经过 1s 的时间， 同时撤去这两个力． 问： （１）在同时对 A、B 施加相反方向的恒力的过程中，木板 C 的运动状态应该怎 样，请说明理由。 （2）若要使木块 A、B 最终不滑离长木板，木板 C 的长度最少 为多少？ 解：（1） A、B 与木板间滑动摩擦力的大小： Ngmff ABA 4.0 （1 分） AfF1 ； BfF2 A、B 木块分别向左、向右做匀加速运动， A、B 对木板 C 的摩擦力 大小相同，方向相反，所以在同时对 A、B 施加相反方向的恒力的过程中，木板 C 保持静 止． （3 分） 学生只要说清楚木块 A、 B 对木板 C 的摩擦力等大、反向，木板 C 保持静止同样给 4 分． （2）恒力作用时 A 、B 的加速度大小： 21 3 sm m gmFa A A A （1 分） 2 B B2 B 1 sm m gmFa （1 分） 恒力作用 1s 末 A、B 的速度大小： smtav AA 3 （ 1 分） smtav BB 1 （1 分） 撤去两个力后， A、B 做匀减速运动，加速度大小 22 smaa BA （1 分） B 先相对于 C 静止，运动时间 s a vt B B 5.01 ， （2 分） 此时 A 的速度 smtavv AAA 211 ， （1 分） 这段时间 C 一直保持静止状态， A、 B 的位移分别为： 1F 2FA B C mtatvtas AAAA 75.2 2 1 2 1 2 111 2 （1 分） mttvs BB 75.0)( 2 1 1 （1 分） 以后 B 相对于木板静止， A 继续减速运动，木板的加速度： 21 sm mm gma Bc A c （3 分） 设此后 A 与木板的相对运动时间为 2t 221 tatav cAA st 3 2 2 （ 2 分） 在 2t 时间内， A 与木板相对运动距离： ms 3 2 （1 分） 木板的最小长度 mms 37.4) 3 275.075.22.0( （ 2 分） 6、长为 2b 的轻绳，两端个系一个质量为 m 的小球，中央系一个质量为 M 的小 球，三球均静止于光滑的水平桌面上，绳处于拉直状态，三球在一直线上。今给 小球 M 以一个冲击，使它获得水平速度 v，v 的方向与绳垂直。求： （1）M 刚受到冲击后绳上的张力； （2）在两端的小球发生碰撞前的瞬间绳中的 张力。 张大同 p76 附加 1、（05 全国）如图所示，在倾角为 θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物 块 A、B，它们的质量分别为 mA、mB，弹簧的劲度系数为 k，C 为一固定挡板， 系统处于静止状态。 现开始用一恒力 F 沿斜面方向拉物块 A 使之向上运动， 求物 块 B 刚要离开 C 时物块 A 的加速度 a 和从开始到此时物块 A 的位移 d。重力加 速度为 g。 2、在光滑是水平轨道上有两个半径都是 r 的小球 A 和 B，质量分别为 m 和 m2 ， 当两球心间的距离大于 L 时（ L 比 r2 大得多） ，两球之间无相互作用力；当两球 心间的距离等于 L 或小于 L 时， 两球存在相互作用斥力 F 。设 A 球从远离 B 球处 以速度 0v 沿两球连心线向原来静止的 B 球运动， 如图所示，欲使两球不接触， 0v 必须满足什么条件？ m rLFv )2(3 0 第四章 圆周运动 万有引力定律 1、如图所示，赛车在水平赛道上做 90°转弯，其内、外车道转弯处的半径分别 为 r 1、r 2，车与路面间的动摩擦因数都是 μ。试问：竞赛中车手应选图中的内道 还是外道转弯？在上述两条转弯路径中，车手在内、外车道选择中可能赢得的时 间为多少？ 解：对外车道，其走弯道所允许的最大车速为 V 2，则 m(V 2)2∕r 2=μmg, ∴V 2＝ 2gr , 因此车先减速再加速，加速度为 a=μmg∕m= g, 减速的路径长 为 X2＝（ Vm 2 －V2 2）∕ 2a= 22 2 2 r g Vm , ∴总时间为 t 2=t 减 速 ＋ t 圆 弧 ＋ t 加 速 ＝ a VVm 2 + 2 2 2V r ＋ a VVm 2 （2 分）＝ g Vm2 －（ 2－ 2 ） g r2 （2 分） 同理，车走内道的时间为 t 1= g Vm2 －（ 2－ 2 ） g r1 (4 分) 又由于车在内道和外道的直线路径是相等的。 ∴车手应该选择走外道。时间差为 : Δt=t 1-t 2=（2－ 2 ） g rr 12 (3 分) 2、根据天文观测，月球半径为 R=1738km，月球表面的重力加速度约为地球表面 的重力加速度的 1/6，月球表面在阳光照射下的温度可达 127℃，此时水蒸气分子 的平均速度达到 v0=2000m/s。试分析月球表面没有水的原因。 （取地球表面的重 力加速度 g=9.8m/s2）（要求至少用两种方法说明） 方法一：假定月球表面有水，则这些水在 127℃时达到的平均速度 v0=2000m/s 必须小于月球表面 的第一宇宙速度，否则这些水将不会降落回月球表面，导致月球表面无水。取质量为 m 的某水分 子，因为 GMm /R2=mv1 2/R2， mg 月=GMm /R2，g 月 =g/6，所以代入数据解得 v1=1700m/s ，v1＜v0，即 这些水分子会象卫星一样绕月球转动而不落到月球表面，使月球表面无水。 方法二：设 v0=2000m/s 为月球的第一宇宙速度，计算水分子绕月球的运行半径 R1，如果 R1＞R， 则月球表面无水。取质量为 m 的某水分子，因为 GMm/R1 2=mv0 2/R1 2，mg 月=GMm /R1 2，g 月=g/6， 所以 R1=v0 2/g 月=2.449×106m，R1＞R，即以 2000m/s 的速度运行的水分子不在月球表面，也即月 球表面无水。 方法三：假定月球表面有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面 所受到的向心力，即应满足： mg 月＞GMm /R2，当 v=v0=2000m/s 时， g 月 ＞v0 2/R=2.30m/s 2，而现在 月球表面的重力加速度仅为 g/6=1.63m/s 2，所以水分子在月球表面所受的重力不足以提供 2000m/s 所对应的向心力，也即月球表面无水。 方法四：假定有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的 向心力，即应满足： mg 月＞GMm /R2，，即应有 g 月 R＞v2 而实际上： g 月 R=2.84 ×106m2/s2，v0 2=4× 106m2/s2，所以 v0 2＞g 月 R 即以 2000m/s 的速度运行的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面 无水。 3、半径分别为 r1 和 r2（r1：r 2=5：1）的；两金属细齿轮互相吻合地装配在一起， 如图所示，它们的转轴半径均为。整个装置放在磁感应强度为 B 的均匀磁场中， 磁场的方向平行于转轴。两转轴通过金属支架互相连通。当两齿轮互相接触时， 量得两齿轮边缘之间的电阻为 R。现将一其质量为 m 的物体用轻绳绕在大齿轮的 轴上，忽略摩擦损耗，求悬挂物体在重力作用下匀速下落的速度。 4、用恰好足以摆脱太阳引力场的速度，在离开太阳的径向轨道上，从地球发射 一航天器，由时间控制以便航天器在木星后面一定距离穿越木星轨道。因航天器 跟木星引力场有作用而偏转 90o，即作用后的速度切于木星轨道（圆轨道） 。在这 作用中航天器单位质量得到的能量是多少？（在作用时略去太阳引力场，并假设 持续时间与木星周期相比很小） 题库 83 5、开普勒从 1909 年至 1919 年发表了著名的开普勒行星三定律：第一定律：所 有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一个焦 点上。 第二定律： 太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。 第三定律： 所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。实践证 明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星或宇宙飞船。宇宙飞船在距火星表面 H 高度处作匀速圆周运动，火星半径为 R，今设飞船在极短时间内向外侧喷气，使 飞船获得一径向速度，其大小为原速度的 倍。因 很小，所以飞船新轨道不会 与火星表面交会，如图所示。飞船喷气质量可忽略不计，引力势能表达式为 r GMm 。试求： (1)飞船新轨道的近火星点的高度 h 近和远火星点高度 h 远；(2)设 飞船原来的运动速度为 v0，试计算新轨道的运行 周期 T 设火星和飞船的质量分别为 M 和 m，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点或最远点到火星中心的距 离为 r，飞船速度为 v。 因飞船喷气前绕圆形轨道的面积速度为 00vr 2 1 ，等于喷气后飞船绕椭圆轨道在 D 点的面积速度 sin 2 1 0 Dvr （D 为圆轨道和椭圆轨道的交点） ， 由开普勒第二定律，后者又等于飞船在近、远火星点的面积速度 rv 2 1 ，即： rvvrvr D 2 1sin 2 1 2 1 000 ，即 rvvr 00 ,,,,,,,,,, （ 1） 2 分 由机械能守恒定律： 0 2 0 22 0 2 r MmG)vv(m 2 1 r MmGmv 2 1 , （2）2 分 飞船沿原轨道运动时： 0 2 0 2 0 r vm r MmG ,,,,,, （3） 2 分 式中 hRr,HRr0 ,,,,,,,,,, （ 4） 2 分 O 火星 P 联立方程组可解得： 1 RHh近 , （5）2 分 1 RHh远 （ 6）2 分 （ 2）设椭圆半长轴为 a，则 a2rr ＝远近 ，即： 2 0 1 ra ,, （ 7）2 分 飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为： 0 0 0 v r2T ,,,, （8） 2 分 设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为 T ，由开普勒第三 定律得： 2 3 00 )( r a T T （ 9）2 分 从而解得： 2 3 2 0 ) 1 1()(2 v HRT ,, （ 10） 4 分 6、一半径为 1.00 mR 的水平光滑圆桌面，圆心为 O ，有一竖直的立柱固定在桌 面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线 C ，如图预 17-2 所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端 系一质量为 27.5 10 kgm － 的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小 物块一个方向与绳垂直、大小为 0 4.0 m/sv 的初速度。物块在桌面上运动时，绳 将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为 0 2.0 NT 时，绳即断开，在绳断开前物块始 终在桌面上运动． 1．问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少 ?2．若绳刚要 断开时， 桌面圆心 O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分 垂直，问物块的落地点到桌面圆心 O 的水平距离为多少？已知桌面高度 0.80mH ．物块在桌面上运动时未与立柱相碰． 取重力加速度大小为 210 m/s ．（第 十七届预赛 2000 年） 解：因桌面是光滑的，轻绳是不可伸长的和柔软的，且在断开前绳都是被拉紧的，故在 绳断开前，物块在沿桌面运动的过程中，其速度始终与绳垂直，绳的张力对物块不做功，物 块速度的大小保持不变。设在绳刚要断开时绳的伸直部分的长度为 x，若此时物块速度的大 小为 xv ，则有 0xv v （1） 绳对物块的拉力仅改变物块速度的方向，是作用于物块的向心力，故有 22 0 0 x mvmvT x x （2） 由此得 2 0 0 mvx T （3） 代入数据得 0.60 mx （4） 2. 设在绳刚要断开时，物块位于桌面上的 P 点， BP 是绳 的伸直部分，物块速度 0v 的方向如图预解 17-2 所示．由题意可 知， OB BP ．因物块离开桌面时的速度仍为 0v ，物块离开桌 面后便做初速度为 0v 的平抛运动，设平抛运动经历的时间为 t ， 则有 21 2 H gt （5） 物块做平抛运动的水平射程为 1 0s v t （6） 由几何关系，物块落地地点与桌面圆心 O 的水平距离 s 为 2 2 2 2 1s s R x x （7） 解（ 5）、（ 6）、（ 7）式，得 2 2 2 2 0 2Hs v R x x g (8) 代人数据得 2.5 ms 7、假设银河系的物质在宇宙中呈对称分布，其球心为银心。距离银心相等处的 银河系质量分布相同。又假定距银心距离为 r 处的物质受到银河系的万有引力和 将以 r 为半径的球面内所有银河系物质集中于银心时所产生的万有引力相同。已 知地球到太阳中心的距离为 Ro，太阳到银心的距离 a=1.75×109Ro，太阳绕银心 做匀速圆周运动，周期 T=2.4×108 年。太阳质量为 M s，银河系中发亮的物质仅 分布在 r≤1.5a 的范围内。目前可能测得绕银心运动的物体距银心的距离不大于 6a，且在 0≤r ≤6a 范围内，物体绕银心运动的速率是一恒量。按上述条件解答： （1）论证银河系物质能否均匀分布？ （2）计算银河系中发光物质质量最多有多少？ （3）计算整个银河系物质质量至少有多少？ （4）计算银河系中不发光物质（即暗物质）质量至少是多少？ （上述计算结果均用太阳质量 M s表示） 题库 p84 8、已知地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动， 火星轨道半径凡为地球轨 道半径凡的 1.5 倍．若要从地球表面向火星发射探测器，简单而又比较节省能量 的发射过程可分为两步：①在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够 的动能，从而成为一个沿地球轨道运行的人造行星（此时，地球对探测器的引力 很小，可以忽略不计） ；②在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短 时间内对探测器沿原运动方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测 器沿着一个与地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道上运动， 从而使探测器正好射到火星上，如图 3 甲所示．当探测器脱离地球并沿地球公转 轨道稳定运行后，在某年 3 月 1 日零时，经观测计算知火星与探测器与太阳所张 角度为 600 如图 3 乙所示．问应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能 使探测器恰好落在火星表面（时间计算仅需精确到日） 。已知地球半径为 Re=6.4 ×106m，重力加速度 g 可取 9.8m/s2。 探测器在地球公园轨道上运行的周期 Td 与地球公转周期相同 T d=T e=365d 火星公转周期 Tm =365 35.1 =671d 探测器的椭圆轨道上的运行周期为 Td’=365 325.1 =510d 因此探测器从燃火箭开始至到达火星需时 255d 从点燃火箭发动机前绕太阳转动的角速度为 ω d=ω e=0.986 0 /d ω m=0.537 0/d 由于探测器运行至火星需时 255d，火星在此期间运行的角度为 ω m· T d’/2=137 0 即探测器在椭圆轨道近日点发射时，火星应在其远日点的切点之前 137 0，亦即点燃发动机时，探 测器与火星之间对太阳的圆心角应为 1800-137 0=430 在某年 3 月 1 日零时， 经观测计算知火星与探测器与太阳所张角度为 600（火星在前探测器在后） ， 为使其张角为 430，必须等待二者在各自轨道中运行至某个合适时日，设二者到达合适的位置， 探测器又经历的天数为 t，则 600-43 0=ω dt-ω m t t=38d 故点燃火箭发动机的时刻应为当年的 3 月 1 日之后 38 天，即同年 4 月 7 日 附加 1、2006 年 2 月 10 日，中国航天局将如图所示的标志确定 为中国月球探测工程形象标志。它以中国书法的笔触，抽 象地勾勒出一轮明月，一双脚印踏在其上，象征着月球探 测的终极梦想。 我国的“ 嫦娥奔月 ”月球探测工程已经启动，分“绕、 落、回”三个发展阶段：在 2007 年前后发射一颗围绕月球 飞行的卫星， 在 2012年前后发射一颗月球软着陆器， 在 2017 年前后发射一颗返回式月球软着陆器，进行首次月球样品 自动取样并安全返回地球。设想着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球 表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，如图所示，为了安全，返回的着陆器与 轨道舱对接时，必须具有相同的速度。设着陆器质量为 m，月球表面的重力加速 度为 g，月球的半径为 R，轨道舱到月球中心的距离为 r，已知着陆器从月球表面 返回轨道舱的过程中需要克服月球的引力做功 )1( r RmgRW 。不计月球表面大 气对着陆器的阻力和月球自转的影响，则着陆器至少需要获得多少能量才能返回 轨道舱？ 2、科学家用天文望远镜经过长期观测，在宇宙中已发现中已发 现了许多双星系统。 双星系统由两个星体构成， 其中每个星体的 线度都远小于两星体之间的距离。 现根据对某一双星系统的光度 学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是 M，两者相距 2L。它们正围绕两者连线的中点做相同周期的圆周运动。 1、试计算该双星系统的运动周期 T 计算。 2、若实验上观测到的运动周期为 T 观测，且 T 观测：＝ T 计算 =1： N （N＞1）。为了 解释 T 计算 与 T 观测 的不同，目前有一种流行的理论认为， 在宇宙中可能存在一种望 远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径 的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型 和上述观测的结果确定该星系间这种暗物质的密度。 L T M L GM 2 2 2 )2( 4 GM LLT 4计算 L T M L GM L MmG 2 2 2 2 )2( 4 观 m=(N-1)m/4 316 )1(3 L MN 第五章 动量和能量 1、A 、B 两滑块在同一光滑的水平直导轨上相向运动发生碰撞 (碰撞时间极短可 忽略不计 )，用闪光照相， 闪光 4 次摄得的闪光照片如下图所示，已知闪光间隔为 Δt，而闪光本身持续的时间极短，可忽略不计。在这 4 次闪光的瞬间， A、B 二 滑块均在 0----80cm 刻度范围内，且第一次闪光时，滑块 A 恰好自左向右通过 x=55cm 处，滑块 B 恰好自右向左通过 x=70cm 处，则 A、B 两滑块的质量之比 m A∶mB= 答案： 2/3 2、（2000 年全国）面积很大的水池，水深为 H，水面上浮着一正方体木块。木 块边长为 a，密度为水的 1/2 ，质量为 m。开始时，木块静止，有一半没入水中， 如图所示。现用力 F 将木块缓慢地压到池底。不计摩擦。求 (1) 从木块刚好完全 没入水中到停在池底的过程中 , 池水势能的改变量。 (2) 从开始到木块刚好完全没 入水的过程中，力 F 所做的功。 3、如图所示，质量为 m 的小球放在质量为 M 的大球顶上，从高 h 处释放，紧挨 着落下，撞击地面后跳起。 所有的碰撞都是完全弹性碰撞， 且都发生在竖直轴上。 （1）小球弹起可能到达的最大高度？（ 2）如在碰撞后，物体 M 处于静止，则质 量之比应为多少？在此情况下，物体 m 升起的高度为多少？ 说明：在太空中，也会有这种“ 弹弓效应 ”。如图所示，设相对恒星，大行星的 速度为 V，卫星（质量远小于行星）以速度 v 经历了一次与大行星的弹性碰撞— —在万有引力作用下靠近行星， 后又远离， 碰撞后的分离 速度大小是 V+v，则对恒星而言，卫星以大小 2V+v 的速 度被行星“弹射”出去，这种类似的“弹弓效应” ，已被 应用于空间探测，研究太阳系中诸多行星的大环游。 4、在纳米技术中需要移动或修补原子，必须使速率约几百米每秒做热运动的原 子几乎静止下来、且能在一个小的空间区域内停留一段时间，为此已发明了“激 光致冷”的技术。若把原子和入射光子（光其实是一份一份的，就象一个一个的 弹性小球，有动量也有能量，也能和粒子相互作用）分别类比为一辆小车和一个 小球，则“激光致冷”与下述的力学模型很类似。一辆质量为 m 的小车（一侧固 定一轻弹簧） ，如图所示以速度 V0 水平向右运动，一个动量大小为 P，质量可以 忽略的小球水平向左射入小车并压缩弹簧至最短，接着被锁定一段时间 △T，再 解除锁定使小球以大小相同的动量 P水平向右弹出，紧接着不断重复上述过程， 最终小车将停下来。设地面和车厢均光滑，除锁定时间 △T 外，不计小球在小车 上运动和弹簧压缩、伸长的时间。求： （1）小球第一次入射后再弹出时，小车的 速度的大小和这一过程中小车动能的减小量； （2）从小球第一次入射开始到小车 停止运动经历的次数和时间； 解 ：（ 1 ） 小 球 第 一 次 入 射 后 再 弹 出 的 过 程 中 ， 小 车 和 小 球 的 系 统 总 动 量 守 恒 ： PmvPmv 10 ⋯⋯⋯ ..①2 分 所以，小车的速度： m Pvv 2 01 ⋯⋯⋯ ② 2 分 这一过程中小车动能的减少量： 2 1 2 0 2 1 2 1 mvmvE k ⋯⋯ ③2 分 )(2 0 m PvP ⋯ ④2 分 （2）由②式同理得 m Pvv 2202 ；故 m Pnvvn 2 0 ； ⑤4 分 使小车静止，令 0nv 得运动次数 n= P m 2 0 ⑥4 分 小球每入射和弹出一次经历的时间为： T 则整个过程所经历的时间为： t=n T ⑦2 分 = T P mv 2 0 ⑧ 4 分 5、（1）如图 1，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹 簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等。现突然给左端小球一个向右的速 度μ 0，求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度。 （2）如图 2，将 N 个这样的振子放在该轨道上，最左边的振子 1 被压缩至弹簧 为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为 E0。其余各振子间 都有一定的距离，现解除对振子 1 的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自 然长度时，刚好与振子 2 碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚 好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰 .求所有可能的碰撞都 发生后，每个振子弹性势能的最大值。 （1）设每个小球质量为 m ，以 1u 、 2u 分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度 . 由 动 量 守 恒 和 能 量 守 恒 定 律 有 021 mumumu （ 以 向 右 为 速 度 正 方 向 ） 2 0 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 mumumu 解得 021201 ,00, uuuuuu 或 由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使 左端小球持续减速，使右端小球持续加速，因此应该取解： 021 ,0 uuu （2）以 v1、 v1’分别表示振子 1 解除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度，规定 向右为速度的正方向，由动量守恒和能量守恒定律， mv1＋mv 1’＝0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 Evmmv 解得 .,, 0 1 0 1 0 1 0 1 m Evm Evm Evm Ev 或 在这一过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故 应取解： m Ev m Ev 0 1 0 1 , 振子 1 与振子 2 碰撞后，由于交换速度，振子 1 右端小球速度 变为 0，左端小球速度仍为 1v ，此后两小球都向左运动，当它们向左的速度相同时，弹簧被 拉伸至最长，弹性势能最大，设此速度为 10v ，根据动量守恒定律： 1102 mvmv 用 E1表示最大弹性势能，由能量守恒有 2 11 2 10 2 10 2 1 2 1 2 1 mvEmvmv 解得 01 4 1 EE 6、如图所示， A 是放置在光滑水平面上的滑块，其质量为 mo，滑块的上端面世 一水平台面，台面的长度和高度均为 h，滑块的侧面有一条长度为 1/8 圆周的圆 弧形光滑槽，槽底跟水平面相切，另有一条高为 H 的固定光滑导轨，导轨的底端 正好对准 A 的滑槽。B 是一个质量为 m 的小球， m=0.4mo，它由导轨的顶端滑下， 初速度为零。试问：欲使小球击中 A 的平台，高度比 H:h 的数值范围是多少？ 答案： 4.12 h H 7、如图所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小 相同的刚性小球，它们的质量分别是 m1、m2 和 m3 ，且 m2 = m 3 = 2m 1 。小球与槽 的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计。开始时，三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ的位置，彼此间距离相等； m2 和 m3 静止， m1 以初速度 vo = πR/2 沿槽运动， R 为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的 运动周期 T 。 答案： 20s 8、水平光滑细杆上穿着 A、B 两个刚性小球，它们的间距为 L ，用两根长度也为 L 的轻绳与 C球相连， A、B、C三球的质量均相等。现将系统从静止开始释放， 试求：当 C球与细杆相距 h 时， A 球的速度是多少？ 22 2 Lh )L3h2(gh 附加 1、从行星旁绕过，由于行星的引力作用，可以使探测器的运动速率增大，这种 现象称为“弹弓效应” ，在航天技术中， “弹弓效应”是用来增大人造小天体运动 速率的一种有效办法。 1989 年 10 月发射的伽利略探测器（它于 1995 年 12 月按 时到达木星， 并用两年时间探测了木星大气和它的主要卫星） 就曾利用这种效应。 下面是一种具体情景和相应的问题。 （1）如图所示， 土星的质量 M=5.67×1026kg，以相对太阳的轨道速率 uo=9.6km/s 运行。 一空间探测器的质量 m=150kg，相对于太阳迎向土星的速率为 vo=10.4kg/s。 由于“弹弓效应” ，空间探测器绕过土星后，沿与原来速度相反的方向离去，求 它离开土星后的速率。 （2）若空间探测器飞向土星时的速率 uo 与土星的速率 vo 同方向，那么是否仍然 能够产生使探测器速率增大的“弹弓效应”？并简要说明理由。 2、（06 重庆） 如图，半径为 R 的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球 A、B 质量分别为 m、 βm(β 为待定系数 )。A 球从工边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑， 与静止于轨道最低点 的 B 球相撞，碰撞后 A、B 球能达到的最大高度均为 R 4 1 ,碰撞中无机械能损失。重力加速度 为 g。试求： (1)待定系数 β; (2)第一次碰撞刚结束时小球 A、B 各自的速度和 B 球对轨道的压力 ; (3)小球 A、B 在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论 小球 A、B 在轨道最低处第 n 次碰撞刚结束时各自的速度。 解（ 1）由 mgR= mgR/4+ βmgR/4 得 β=3 （2）设 A 、B 碰撞后的速度分别为 v1、v2，则 1/2mv 1 2=mgR/4 1/2βmv 2 2 = βmgR/4 设向右为正、向左为负，解得 ，方向向左 ，方向向右 设轨道对 B 球的支持力为 N， B 球对轨道的压力为 N′，方向竖直向上为正、向下为负 . 则 方向竖直向下。 （3）设 A、B 球第二次碰撞刚结束时的速度分别为 V 1、V 2，则 解得 （另一组解： V 1=—v1，V 2=—v2 不合题意，舍去） 由此可得： 当 n 为奇数时，小球 A、 B 在第 n 次碰撞刚结束时的速度分别与其第一 次碰撞刚结束时相同； 当 n 为偶数时， 小球 A、B 在第 n 次碰撞刚结束时的速度分别与其 第二 次碰撞刚结束时相同； 第六章 静电场 1、如图所示，半径为 R 的圆环均匀带电，电荷线密度为 λ，圆心在 O 点，过圆 心跟环面垂直的轴线上有 P 点， PO = r ，以无穷远为参考点，试求 P 点的电势 UP 。 【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个 元段 Δ L ，它在 P 点形成的电势 ΔU = k 22 rR L 环共有 L R2 段，各段在 P 点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。 【答案】 UP = 22 rR Rk2 2、如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为 R1 和 R2 ，带有净电量 +q ， 现在其内部距球心为 r 的地方放一个电量为 +Q 的点电荷，试求球心处的电势。 【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心 电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。 根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－ Q ，外壁的电荷量为 +Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成 的电势仍可以应用定式，所以, 【答案】 Uo = k r Q － k 1R Q + k 2R qQ 。 3、如图所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为 m 、电量均 为 q ，用长度为 L 的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现 将其中的一根绳子剪断， 三个球将开始运动起来， 试求中间这个小球的最大速度。 〖解〗设剪断的是 1、3 之间的绳子，动力学分析易知， 2 球获得最大动能时， 1、2 之间 的绳子与 2、3 之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守 恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设 2 球的速度为 v ，1 球和 3 球的速度为 v′，则 动量关系 mv + 2m v ′ = 0 能量关系 3k L q2 = 2 k L q2 + k L2 q2 + 2 1 mv2 + 2 1 2m 2v 解以上两式即可的 v 值。 〖答〗v = q mL3 k2 。 4、如图所示，一平行板电容器，极板面积为 S ，其上半部为真空，而下半部充 满相对介电常数为 εr 的均匀电介质， 当两极板分别带上 +Q和 - Q的电量后， 试求： （1）板上自由电荷的分布； （2）两板之间的场强； （3）介质表面的极化电荷。 【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷 的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为 Q1 ，介质部分电量为 Q2 ，显然有 Q1 + Q2 = Q 两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，必有 U 1 = U 2 即 1 1 C Q = 2 2 C Q ，即 kd4 2/S Q1 = kd4 2/S Q r 2 解以上两式即可得 Q1 和 Q2 。 场强可以根据 E = d U 关系求解，比较常规（上下部分的场强相等） 。 上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？从公式的 角度看， E = 2πkσ（单面平板） ，当 k 、σ同时改变，可以保持 E 不变， 但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看， k 的改变正是由于极化 电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中 ．．．．形成了一个新的电场，正是这 个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为 E2 ，所以 E2 = 4πk（σ- σ′） = 4πk（ 2/S Q2 - 2/S Q ） 请注意：①这里的 σ′和 Q′是指极化电荷的面密度和总量；② E = 4 πkσ的关系是由两 个带电面叠加的合效果。 【答案】 （1）真空部分的电量为 r1 1 Q ，介质部分的电量为 r r 1 Q ；（2）整个空间的 场强均为 S)1( kQ8 r ；（3） 1 1 r r Q 。 5、一细直杆，长为 L，水平放置，杆上均匀带电，其电量为 q.试求： （1） 在杆的延长线上距杆的中点 r 处的场强； （2） 在杆的垂直平分线上距杆的中点 r 处的场强。 解：（1）选取坐标如图一所示，以杆的中点为原点。在杆上任取一电荷元， ,dx L qdq 距原 点为 x.此电荷元在 P 点产生的场强为 , )(4 1 )(4 1 2 0 2 0 dx xrL q xr dqdE 此场强的方向沿 x 轴的正向。由于各电荷元在 P 点产 生的场强的方向相同，所以整个带电直杆在 P 点产生 的场强 2 2 2 0 )(4 1L L dx xrL qdEE . 4 4 1] 2 1 2 1[ 4 1 2 200 Lr q LrLrL q 方向沿直杆向右。如果 P 点在杆的左侧，则场强 . 4 4 1 2 20 Lr qE 负号表示场强 E 沿 x 轴的负方向，即沿直杆向左。 （2）选取坐标系如图二所示。直杆上任一电荷元 dx L qdq 在 P 点产生的场强 , )(4 1 4 1 22 0 22 0 xrL qdx xr dqdE 将 Ed 分成 x,y 两个分量。由于对称性， x 方向的分量相互抵消，所以 0xE 。而 y 方 向的分量 , )(4 1 )()(4 1sin 2/322 0 2/32222 0 xr dx L qr xr r xrL qdxdEdEy 于是，整个带电直杆在 P 点的总场强为 . ) 4 ( 1 4 1 ] )( [ 4 1 )(4 1 2/3 2 20 2 2 2/1222 0 2 2 2/322 0 LrL qr xrr x L qr xr dx L qrdEE L L L Ly 方向垂直于棒向上。如果 P 点在杆的下方，则场强沿 y 轴的负向，即垂直于棒向下。 6、如图一所示，两个平行放置的均匀带电圆环，它们的半径为 R，电量分别为 +q 和 -q,其间距离为 L，且 L>>R.以两环的对称中心为坐标 原点。 (1) 试求垂直于环面的 x 轴上的电势分布； (2) 证明：当 x>>R 时， ; 4 2 0 x qLV (3) 试求 x 轴上远处（即 x>>R）的场强分布。 解：（1）已知带电圆环轴线上电势分布公式为 ; )(4 1 2/122 0 xR qV 所以， ; ]) 2 ([4 1 2/1220 LxR qV . ]) 2 ([4 1 2/1220 LxR qV 根据电势叠加原理，得到 VVV 由于 L<>L 时，可以忽略上式圆括号中的二次方项，得到 ] )1( 1 )1( 1[ 4 2/12/10 x L x Lx qV 由因为 Lx ，所以上式又可改变为 . 4 )] 2 1( 2 1[ 4 2 00 x qL x L x L x qV （3）当 x>>R，由电场强度和电势梯度的关系可以求得 . 2 ) 4 ( 3 0 2 0 x qL x qL xx VE 由对称性可知场强沿 x 轴方向。 (1998 年全国预赛试题 ) 空间某一体积为 V的区域内的平均电场强度 (E) 定义为 (E)= Σ EΔVi / Σ ΔVi , 式中 ΔVi 为体积 V内第 i 个非常小的体积 ( 称为体积元 ) ，E为第 i 个体积元内的场强 ( 只要 体积元足够小，可以认为其中各点的场强的大小和方向都相同 ) ．∑为累加号，例如： ∑ΔVi =ΔV1+ΔV2+ΔV3+, ＝ V 今有一半径为 a的原来不带电的金属球，现使它处于电量为 q的点电荷的电场中，点电 荷位于金属球外，与球心的距离为 R，试计算金属球表面的感应电荷所产生的电场在此球 内的平均电场强度． 答案： R R qkE 3 如图 7-22 所示，由 n 个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其 中有两个的电容为 3C ，另一个的电容为 3C 。以 a、b 为网络的输入端， a′、b′为输出端， 今在 a、b 间加一个恒定电压 U ，而在 a′b′间接一个电容为 C的电容器，试求： （1）从第 k 单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能； （2）若把第一单元输出端与后面断开， 再除去电源，并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？ 【解说 】 这是一个结合网络计 算和“孤岛现象”的典型事例。 （1）类似“物理情形 1”的计 算，可得 C 总 = C k = C 所以，从输入端算起．．．．． ，第 k 单 元后的电压的经验公式为 U k = 1k3 U 再算能量储存就不难了。 （2）断开前，可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图 7-23 中的左图所示。这时， C1 的右板和 C2 的左板（或 C2 的下板和 C3 的右板）形成“孤岛” 。此后， 电容器的相互充电过程（ C3 类比为“电 源” ）满足—— 电量关系： Q1′= Q3′ Q 2′+ Q3′= 3 Q 电势关系： C3 Q3 + C3 Q1 = C2 Q2 从以上三式解得 Q1′ = Q3′ = 7 Q ，Q2′= 21 Q4 ，这样系统的储能就可以用 2 1 C Q 2 得出了。 【答】（1）Ek = 1k2 2 32 CU ；（2） 63 CU 2 。 第七章 稳恒电流 1、令每段导体的电阻为 R ，求 RAB 。 2、对不平衡的桥式电路，求等效电阻 RAB 。 3、给无穷网络的一端加上 U AB = 10V 的电压，求 R2 消耗的功率。已知奇数号电阻均为 5Ω ，偶数号电阻均为 10Ω 。 4、试求平面无穷网络的等效电阻 RAB ，已知每一小段导体的电阻均为 R 。 5、如图电路中， R1 = 40Ω ，R2 = R3 = 60Ω ，ε1 = 5V ，ε2 = 2V ，电源内阻忽略 不计，试求电源 ε2 的输出功率。 6、如图电路中， ε1 = 20V ，ε2 = 24V ，ε3 = 10V ，R1 = 10Ω ，R2 = 3Ω ，R3 = 2Ω ， R4 = 28Ω ，R5 = 17Ω ，C1 = C2 = 20μF ，C3 = 10μF ，试求 A、B 两点的电势、 以及三个电容器的的带电量。 7、六个相同的伏特计互相连接如图， A、B 端则与恒压电源相接。若由其中一个 的读数 Ux = 10V ，则其余五个的示数将如何？ 8、在图的电路中求 Uab 。 9、A、B 之间接恒压源， 各电阻均为有限值，且令 α = R1/R6，β =（R2 + R3）/（R4 + R5），λ = R4/（R4 + R5），μ = R5/R7 。试证：①当 R5 = 0 时， ○G中无电流的条件 是 α = β；②当 R5 ≠ 0 时， ○G中无电流的条件是 α〔μ（β + λ）+ 1〕 = β。 10、n 组串联电阻接在导线 AB 和 CD 之间。现将一电源接在任意两个 P 点，然 后将其余的任一 P 点切断， 发现流过电源的电流不变， 则这 n 对 Ri 和 ri 应满足什 么关系？ 11、用戴维南定理解右图电路中流过 ε1 的电流。并问：若令 ε1 减小 1.5V、而又 要求流过 ε1 的电流不变，如何调整 ε2 的值？两电源均不计内阻。 12、正六面体网络中，四个电阻都相同， ε1 = 4V，ε2 = 8V，ε3 = 12V，ε4 = 16V， 四个电源均不计内阻， C1 = C2 = C3 = C4 = 1μF 。试求：①四电容器积聚的总能； ②若将 a、b 两点短接， C2 上将具有多少电荷？ 13、电解硝酸银溶液时，在阴极上 1 分钟内析出 67.08 毫克银，银的原子量为 107.9 ，求电路中的电流。已知法拉第恒量 F = 9.68 ×104C/mol 。 14、一铜导线横截面积为 4 毫升 2 ，20 秒内有 80 库仑的电量通过该导线的某一 截面。已知铜内自由电子密度为 8.5 ×1022 厘米 - 3 ，每个电子的电量为 1.6 ×10- 19 库仑，求电子的定向移动的平均速率。 15、通常气体是不导电的，为了使之能够导电，首先必须使之 ；产生持 续的自激放电的条件是 和 ；通常气体自激放电现象可分 为四大类： 、 、 和 ，如雷电现象 属 ，霓虹灯光属 ，高压水银灯发光属 。 16、一个电动势为 ε、内阻为 r 的电池给不同的灯泡供电。试证：灯泡电阻 R = r 时亮度最大，且最大功率 Pm = ε2/4r 。 17、用万用表的欧姆档测量晶体二极管的正向电阻时，会出现用不同档测出的阻 值不相同的情况，试解释这种现象。 18、某金属材料，其内自由电子相继两次碰撞的时间间隔平均值为 τ，其单位体 积内自由电子个数为 n ，设电子电量为 e ，质量为 m ，试推出此导体的电阻率 表达式。 19、用戴维南定理判断：当惠斯登电桥中电流计与电源互换位置后的电流计读数 关系（自己作图） 。视电流计内阻趋于无穷小，电源内阻不计。 20、图示为电位差计测电池内阻的电路图。实际的电位差计在标准电阻 RAB 上直 接刻度的不是阻值， 也不是长度， 而是各长度所对应的电位差值， RM 为被测电池 的负载电阻，其值为 100Ω。实验开始时， K 2 打开， K 1 拨在 1 处，调节 RN 使流 过 RAB 的电流准确地达到某标定值，然后将 K 1 拨至 2 处，滑动 C ，当检流计指 针指零时，读得 UAC = 1.5025V ；再闭合 K2 ，滑动 C ，检流计指针再指零时读 得 UAC′= 1.4455V ，试据以上数据计 算电池内阻 r 。 稳恒电流答案与提示 1、等势缩点法。设图中最高节点为 C 、最低节点为 D ，则 UC = U D , 答案： 7R/15 。 2、法一： “Δ→Y”变换； 法二：基尔霍夫定律，基尔霍夫方程两个, 解得 I1 = 9I/15 ，I 2 = 6I/15 ，进而得 U AB = 21IR/15 。 答案： 1.4R 。 3、先解 RAB = R 右 = 10Ω 答案： 2.5W 。 4、电流注入、抽出 , 叠加法求 UAB 表达式。 答案：左图 R/2 ；右图 R 。 5、设 R3 的电流为 I（方向向左） ，用戴维南定理解得 I = 0 。 答案：零。 6、设电路正中间节点为 P 点，接地点为 O 点，求 A 、B 电势后令 U P大于 U A 而小于 U B ，则三电容器靠近 P 点的极板的电性分别是 +、- 、+ ，据电 荷守恒，应有 Q1 + Q2 = Q3 , 答案： UA = 7V ，UB = 26V ；Q1 = 124μC（A 板负电） ，Q2 = 256μC（ B 板正电） ，Q3 = 132μC （O 板负电） 。 7、解略。 答案： V 3 示数恒为零。若 V 5 示数为 10V ，则 V 1、V 2、 V 4、V 6 示数必为 5V；若 V 1、V 2、V 4、V 6 其中之一示数为 10V ，则 V5 示数为 20V ，其余示数仍为 10V 。 8、解略。答案： Uab = 1.0V 。 9、证法一：将 CBE 回路作“ Δ→Y”型变换； 证法二：基尔霍夫定律。 10、桥式电路, 答案： 1 1 r R = 2 2 r R = , = n n r R 11、将电路作图示的变换，则有 ε′= ε2/4 r′= 5R/4 I = R5 4 12 答案： ε2 减小 6V 。 12、在电路中标示 c、d、e、f 、g、h 点 后, ①若令 U a = 0 则 Uc = - 3V U d = - 7V Ub = - 1V Uf = - 13V U e = 3V U h = - 12V Ug= - 2V 即 U C1 = 1V U C2 = 5V UC3 = 5V UC4 = 1V 然后 E == 4 1n 2 nn UC 2 1 ②若令 Ua = 0 则 U e′= 8V Ug′= 8V 即 UC2′= 0 答案：① E = 2.6 ×10- 5 J ；② qC2 = 0 13、I = mFn/Mt = 67.08 ×10- 6×9.65 ×1/107.9 ×10- 3×60 答案：约为 1.00A 。 14、 v = neS I 答案： 7.63 ×10- 5m/s 15 、答案：电离；气体电离；电子发射；辉光放电；弧光放电；火花放电；电晕放电；火 花放电；辉光放电；弧光放电。 16、略。 17、解答：从（右图的）二极管的伏安特性曲线知，不论正向或反向使用二极管，均不遵从 欧姆定律。 18、 v = v t/2 = aτ/2 = eEτ /2m = eU τ/2mL neS v = I = R U = L US ρ = Lvne U = neL U · eU mL2 = 2 ne m2 答案： ρ = 2ne m2 。 19、电路变换过程如下 I = g214343212143 3241 R)RR)(RR()RR(RR)RR(RR )RRRR( I′= g314242313142 3241 R)RR)(RR()RR(RR)RR(RR )RRRR( 当 Rg → 0 时， I′→ I 答案：趋于相等。 20、εx = 1.5025V M xM Rr R = 1.4455V 答案： r ≈ 3.943Ω 。 第八章 磁场 1、两根互相平行的长直导线相距 10cm ，其中一根通电的电流是 10A ，另一根 通电电流为 20A ，方向如图。试求在两导线平面内的 P、Q、R 各点的磁感强度 的大小和方向。 答案： B P = 6.67 ×10- 5T ，向外； B Q = 4.00 ×10- 5T ，向外； BR = 9.33 ×10- 5T ，向里。 2、两个半径相等的电阻均为 9Ω的均匀光滑圆环，固定在一个绝缘水平台面上， 两环面在两个相距 20cm 的竖直平面内， 两环面间有竖直向下的 B = 0.87T 的匀强 磁场，两环最高点 A、C 间接有内阻为 0.5Ω的电源，连接导线的电阻不计。今有 一根质量为 10g 、电阻为 1.5Ω的导体棒 MN 置于两环内且可顺环滑动，而棒恰 静止于图示水平位置，其两端点与圆弧最低点间的弧所对应的圆心角均为 θ= 60°。取重力加速度 g = 10m/s2 ，求电源电动势。 答案： ε≈ 6.0V 3、有一回旋加速器，其交变电压频率为 1.2 ×106HZ，半圆形电极半径为 0.53m ， 用它加速氘核 （质量 3.3 ×10- 27kg、电量 1.6 ×10- 19C），其加速所用磁场的磁感强度 应为多大？氘核获得的最大动能应为多少？ 答案： B = 2 πfm/q ≈0.155T vm = 2π Rf ；Ekm≈2.63 ×10- 15 J = 1.65 ×105 eV 4、如图所示，长为 L 的两平行金属板，充电后其间有匀强电场，带电粒子垂直 场强方向从两板正中射入，其初动能为 E0 ，射出时偏离原方向距离为 d 。若板 间再加上匀强磁场，方向与电场方向垂直，且带电粒子仍原样射入，则射出时会 反方向偏离入射方向、距离也为 d 。试求粒子从叠加场中射出的动能。 答案： 2 22 L d4L E0 。 5、图示为氢原子中电子绕核做快速圆周运动，方向为逆时针，此运动可等效为 环形电流。设此环形电流在通过圆心并垂直圆面的轴线上的某点 P 产生的磁感强 度大小为 B1 。现在沿垂直轨道平面的方向上加一磁感强度为 B0 的外磁场， 这时， 设电子轨道半径没有变，而速度发生了变化。若此时环形电流在 P 点产生的磁感 强度为 B2 ，则： （1）当 B0 方向向里时， B2 和 B1 有什么关系？ （2）当 B0 方向向外，再回答以上问题。 答案： （1）B2 < B 1 ；（ 2）B 2 > B 1。 6、S 为一离子源，它能机会均等地向各方向持续地大量发射正离子。离子质量皆 为 m 、电量皆为 q 、速度皆为 v0 。在 S 右侧有一半径为 R 地圆屏， OO′是过 其圆心且垂直圆面的中心轴线。 S 与圆屏间有范围足够大的磁感强度为 B 的匀强 磁场，方向垂直屏向右。 S 发射的离子中，有些不论 S 与屏距离若何，总能打到 屏上——试求这些离子数与离子总数之比（不考虑离子之间的碰撞效应） 。 答案： 总N N = ) vm4 RBq11 2 1 2 0 2 222 （ 。 7、有一个质量为 m 、电量为 +q 的粒子，一开始静止在原点 O 。今在 y 方向加 一强度为 E 的匀强电场， 同时加一个指向读者的磁感强度为 B 的匀强磁场。 可以 证明，这粒子运动的轨迹将是一条摆线，且在顶点的曲率半径是该点 y 坐标的两 倍。试应用以上结论求粒子在任一点的速率与其 y 坐标的关系，并求在轨迹顶点 的速率特解。 答案： v = m/qEy2 ； vP = 2E / B 8、设在讨论的空间范围内有磁感强度为 B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在 纸面上有一长度为 h 的光滑绝缘空心细管 MN ，在其 M 端内有一质量为 m 、电 量为 +q 的小球 P1 ，管的 N 端外侧有另一不带电的小球 P2 。开始时 P1 相对管静 止，管带着 P1 以垂直管方向的速度 v1 向右运动， P2 则以 v2 的速度向反方向运动。 如果 P1 从 N 端离开后最终能与 P2 相碰，试求 v2 的值。设 B 、h 、m 、q 、v1 均已知，且管的质量远大于 m ，并忽略重力的作用。 答案： v2 = 11 1 mv qBh2arctgk mv2 hqB m2 hqBv ，（k = 1、2、3、 , ） 第九章 电磁感应 1、某磁场垂直穿过一闭合线圈，其磁感应强度随时间变化如左图所示，试在 右边的 i－t 图象中定性画出线圈感应电流随时间的变化图线。 答案：图象如图。 2、如图所示，闭合正方形导体框在匀强磁场中匀速地做切割磁感线运动，速 度为 v ，磁感应强度为 B ，线框边长为 L 。 （1）若在 P 处接入伏特表，是否有示数？ （2）若在 P 处接入电容器，电容器是否带电？在知道电容 C ，极板间距 d 后，你能否求出电容器的电量？ 答案： （1）否； （ 2）是，电量 q = CBdv 3、圆形均匀的刚性线圈，其总电阻为 R ，半径为 r0 ，在磁感应强度为 B 的 匀强磁场中以角速度 ω绕 OO′轴转动（ OO′轴垂直 B），设自感因素可忽略。当线 圈平面转至图示位置（平面和 B 平行）时，试求： （1）ac 段导体（劣弧）的电动 势 εac ；（2）a、c 两点间的电势差 Uac 。 答案： （1）εac = 4 Bω 2 0r ；（2）U ac = 0 4、图中导体材料单位长度的电阻均为 λ，○A 表理想、 且不计大小， 环的直径为 d ，磁感应强度随时间变化的 函数为 B = kt ，k 为已知常数。试求○ A 表的示数。 答案： I ○A = 4 kd 5、如图所示，总长为 L 金属棒，以 NP/PO = 3/4 的比例折成直角，并绕过 O 点（垂直直角平面）的轴以角速度 ω垂直切割磁感应强度为 B 的匀强磁场，试求 UPN 。 答案： 98 9 BL 2ω 6、限定在圆柱形体积内的匀强磁场，磁感应强度为 B ，圆柱的半径为 R ，B 的量值以 10－2T/s 的恒定速率减小。当电子分别置于 a、b、c 三处时，求电子所 获得的瞬时加速度（ r = 0.05m）。 答案： aa = 4.4×107 m/s2 ，向右； ab = 0 ；ac = 4.4×107 m/s2， 向左 7、如图，在圆柱形体积内的匀强磁场中，放置一等腰梯形线框 abcd ，已知 ab = R ，cd = R/2 。试求： （1）梯形各边的感应电动势 εab 、εbc 、εcd 和 εda ； （2）梯形线框总电动势大小。 答案： （1）εab = － 4 3 R2× 10－2 、εbc = 0 、εcd = 16 3 R2 ×10－2 、εda = 0 ；（2）ε总 = 16 33 R2×10－ 2 。 8、在半径为 10cm 的圆柱形空间充满磁感应强度为 B 的匀强磁场，其量值以 3.0×10－3T/s 的恒定速率增加。 有一长为 20cm 的金属棒放在图示位置， 其一半位 于磁场内部，另一半位于磁场外部，试求棒两端的感应电动势 εab 。 答案： εab = 2.08×10－5 V ，B 点电势高 9、如图所示， ABC 为边长等于 a 的等边三角形线框，其总电阻为 R ，正好 与同形状的、磁感应强度为 B 的磁场重合。当线框绕垂直于线框平面的中心轴作 周期为 T 的匀角速转动时，规定 A→B→C→A 为电流的正方向，试求： （1）从图 示位置开始计时， t = 0 到 t = 6 T 过程内线框的平均感应电流； （2）从图示位置开 始计时， t = 0 到 t = 2 T 过程内线框的平均感应电流。 答案： （1） 1I = RT2 Ba3 2 ；（2） 2I = RT6 Ba3 2 10、如图所示， MN 、PQ 是同一水平面内两条光滑、 超导的无限长导轨， 它们相距 L ， 与导轨相连的电源电动势为 ε ，电容器电容为 C ，其间有竖直方向的、磁感应强度为 B 的 匀强磁场。导轨上有两根电阻为相同、质量分别为 m1 、m2 的导体棒（ m1 ＜ m2）垂直 MN 静止放置。现将单刀双执开关 K 先合向 1 、后合向 2 ，试求： （1）两根导体棒的最终速度； （2）整个过程的焦耳热耗。 答案： （1）v1 = v 2 = 22 21 LCBmm BLC ；（2）E 耗 = )LCBmm(2 C)mm( 22 21 2 21 11、如图所示，空间存在边界理想的两匀强磁场，它们方向相反，强度 B2 = 2B ，B1 = B ，区域宽度 ab = 2l ，bc = 4l 。现有一开口形导体框，各边长 AB = BC = 2l ，CD = DE = DF = l ，以恒定的速度 v 自左向右通过磁场。若以 CD 边 接触边界线 aa′为线框位移 x 的零点， 试绘出线框始末端 A、F 的电势差 UAF（即 UA － UF）随位移 x 的变化图线。 12、图中 ab 是半径为 r 、电阻不计的四分之一圆周的金属环，圆心在 O 点。 aO 是质量不计、电阻为 R 的轻金属杆，它一端通过转轴与 O 点相连，另一端连 接一个金属小球。 金属小球质量为 m ，无摩擦地套在 ab 环上。 bO 则是一根连接 环与 O 点的金属导线。整个装置处在竖直平面内，空间存在和 Oab 平面垂直的、 磁感应强度为 B 的匀强磁场。现将金属球从 a 点无初速释放，它滑到 b 点时，瞬 时速度为 v 。试求： （1）在此过程中回路的平均感应电动势； （2）此过程经历的 时间。 答案： （1） = )mvmgr2( Br R2 2 2 （对路程的平均值） ；（2）t ≈ )mvmgr2(R8 rB 2 422 （模糊解） 第十章 几何光学 1、如图所示，一物体在曲率半径为 12cm 的凹面镜的顶点左方 4cm 处，求相 的位置及横向放大率，并作出光路图。 2、眼球 A 和物体 PQ 之间有一块折射率 n′= 1.5 的玻璃平板，平板厚度为 d = 30cm ，求物体 PQ 的像 P′Q′与 PQ 之间的距离 d2 。 答案： d2 = 10cm 3、有一凹面镜，球心为 C ，内盛透明液体， 已知 C 至液面的高度 CE = 40.0cm， 主轴 CO 上有一物体 A 。当物离液面的高度 AE = 30.0cm 时， A 的实像和物恰好 处于同一高度。实验时光圈直径很小，可以保证近轴光线成像。试求该透明液体 的折射率 n 。 解法一：第一次，折射 v1 = n·AE = 30n 第二次，反射 u2 = 30n + OE f = 2 OE40 v2 = OE40n60 )OEn30)(OE40( 第三次，折射 u3 = v2 － OE = OE40n60 OE80nOE30n1200 v3 = n u3 = 30 即 180n2 +（6OE － 240）n － 8OE = 0 得 n1 = 3 4 ，n2 = － 30 OE （舍去） 解法二：据光路图（水中反射线应指向 C）。再根据题意“近轴光线” ，可以近似处理 sini ≈ tgi，易得结论。 n = rsin isin ≈ tgr tgi = AE CE 答案： n =1.33 。 4、内径为 r 、外径为 R（R＞r）的玻璃管内装满了发光的液体。液体在伦琴 射线的照射下发绿光，玻璃对绿光的折射率为 n1 ，液体对绿光的折射率为 n2 。 从旁边看玻璃管，玻璃管的厚度象是零，那么 r/R 应满足什么条件？ 答案：当 n1≤n2 时， R r ≥ 1n 1 ；当 n1≥n2 时， R r ≥ 2n 1 5、凸透镜焦距为 10cm ，凹透镜焦距为 4cm ，两透镜相距 12cm 共主轴放 置。已知物在凸透镜左方 20cm 处，计算像的位置及横向放大率，并作出光路图。 答案：凹透镜左方 8cm 处；横向放大率为 1（望远镜？）光路图如下—— 6、在折射率为 5/3 的透明液体中，有一会聚透镜 L ，它在液体中的焦距为 7cm ，主轴竖直。另有一遮光板紧贴镜面，板上有小孔 P 可以透光， P 离透镜的 光心 6cm 。若在透镜下方主轴上放一点光源，试问：点光源置于何处才能有光 线经 P 孔射至液面并进入空气中？ 提示：先寻求液体的临界角 C = 36.87°，可 得两种成像可能—— a、虚像 S′， v1 = －8.0cm b、实像 S″， v2 = 8.0cm 它们对应的物距范围即为所求, 答案：距透镜 56cm 到 3.7cm 之间（不包括边 界值）。 7、一显微镜的物镜焦距为 1cm ，目镜焦距为 4cm ，两者相距 16cm 。如果 观察者的明视距离为 24cm ，观察物应放在物镜前多远？如果物长 0.5mm ，最 后的像长应为多少？ 答案： 1.09cm ； 4.05cm 8、开普勒望远镜的目镜焦距为 1cm ，用来观察天体时最后成像在极远处， 这时筒长 51cm ；用来观察地面上的某一目标时，则需将目镜移动 0.5cm ，像仍 成在极远处。试求： （1）上述过程移动目镜时， 是向靠拢物镜方向移动还是向远处离物镜方向移动？ （2）地面上被观察目标离观察者有多远？ 答案： （1）远离； （2）距物镜 50.5cm 9、薄透镜 M 和平面镜 N 组成一个光学系统。平面镜垂直于透镜的主光轴且 与透镜相距为 20cm。透镜由内圆和外环两部分构成，内圆成双凹形状、外环成 双凸形状，内圆与外环面积相等，焦距都是 10cm 。一个长 3cm 的物体 AB 置于 透镜左侧主光轴上方，离透镜 30cm ，如图所示。试求： （1）AB 通过此光学系统共生成几个像？ （2）上述的像中，有几个是“最终的像” （即不能再通过系统成像）？ （3）“最终的像”中，最大的像有多长？ 解：第一次经凸透镜成像 v = 15cm ，m 1 = 2 1 第二次平面镜成像 v′= 5cm 经凹透镜成像 v = －7.5cm ，m2 = 4 1 第二次平面镜成像 v′= 27.5cm 第三次 u″= 25cm 经凸透镜成像 v″= 3 50 cm ，m′= 3 2 ，Σm1 = 3 1 经凹透镜成像 v″= － 7 50 cm ，m″= 7 2 ，Σm2 = 7 1 u″= 47.5cm 经凸透镜成像 v″= 3 38 cm ，m′″ = 287 76 ，Σm3 = 285 19 经凹透镜成像 v″= 23 190 cm ， m″″ = 437 76 ，Σm4 = 437 19 答案： （1）8 ；（ 2）4 ；（3）1cm 。 第十一章 热学 1、A、B 两容器的体积之比 VA/V B = 3/2 ，它们分别置于温度为 300K和 400K 两恒温槽中， A 中装有 10atm 的氢气， B 中装有 16atm 的氦气。现用细管将它们 连通（细管的容积不计） ，两种气体不发生化学反应，试求混合后气体的压强。 答案： 12atm 2、已知对于摩尔数为 ν的理想气体， 其内能变化可以表示为 ΔE = νCVΔT ， 式中 CV为定容摩尔热容，对单原子分子气体 CV = 3R/2 ，对双原子分子气体 CV = 5R/2 ，且 R = 8.31J/(mol ·K)。现有一定质量的氮气由图 1 中的 A 点（状态参 量 P1 、V1）沿直线变化到 B 点（状态参量 P2 、V2）。 （1）试求该状态变化的方程； （2）若 P1 = 4atm ，V1 = 2L ，P2 = 6atm ，V2 = 3L ，试求该过程的内能改变、做功 和吸放热情况，并求出这个过程的摩尔热容。 答案： （1） 1 1 VV PP = 12 12 VV PP （2）内能增 2533J ，对外 做功 507J ，吸热 3040J ；摩尔热容 24.93J/(mol ·K)。 3、用水银压强计测大气压，测值为 75cmHg ，它合多少帕斯卡？若考虑毛细 现象造成的效应，它又合多少帕斯卡？已知玻管内径为 2mm，接触角为 180°， 水银表面张力系数为 0.49N/m 。 答案： 0.9996 ×105Pa ；1.0094 ×105Pa 4、如图所示， 密闭汽缸内有空气、 水蒸气，平衡状态下缸底还有极少量的水。 缸内气体温度为 T ，气体体积为 V1 ，压强 P1 = 2.0atm 。现将活塞缓慢下压， 并保持缸内温度不变，发现体积减小到 V2 = V 1/2 时，压强增为 P2 = 3.0atm 。 试根据这些信息确定温度 T 的具体值。 提示：“平衡时”汽液共存，水汽饱和，设饱和蒸气压为 PA ， 将空气视为理想气体 B ，遵从玻马定律 P BV1 = BP · 2 V1 ① 结合道尔顿分压定律及 P1 、P2 的已知条件，有 BA BA PP PP = 3 2 ② 解①②两式得 PA = P B 。而 P A + P B = 2atm ，得 P A = 1atm 。最后 查对应温度。 答案： 373K 。 5、在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管上端封闭，下端开口．已知槽中水 银液面以上的那部分玻璃管的长度 76 cml ，管内封闭有 31.0 10 moln － 的空气， 保持水银槽与玻璃管都不动而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低 10℃，问在 此过程中管内空气放出的热量为多少？已知管外大气的压强为 76 cm 汞柱高，每 摩尔空气的内能 VU C T ，其中 T 为绝对温度， 常量 1 V 20.5 J (mol K)C － ，普适气 体常量 18.31J (mol K)R － （第 17 届复赛） 6、如图所示，两个截面相同的圆柱形容器，右边容器高为 H ，上端封闭，左边 容器上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的活塞。两容器由装有阀门的极细管道 相连通，容器、活塞和细管都是绝热的。开始时，阀门关闭，左边容器中装有热 力学温度为 0T 的单原子理想气体，平衡时活塞到容器底的距离为 H ，右边容器内 为真空。现将阀门缓慢打开，活塞便缓慢下降，直至系统达到平衡。求此时左边 容器中活塞的高度和缸内气体的温度。 提示：一摩尔单原子理想气体的内能为 3 2 RT ，其中 R为摩尔气体常量， T 为气体的热力 学温度。（第 16 届预赛） 7、（第 18 届复赛） 正确使用压力锅的方法是：将己盖好密封锅盖的压力锅 (如图复 18-2-1)加热，当锅内水沸腾时再加盖压力阀 S，此时可以认为锅内只有水的饱和 蒸气，空气己全部排除．然后继续加热，直到压力阀被锅内的水蒸气顶起时，锅 内即已达到预期温度 (即设计时希望达到的温度 )，现有一压力锅，在海平面处加 热能达到的预期温度为 120℃．某人在海拔 5000m 的高山上使用此压力锅，锅内 有足量的水． 1．若不加盖压力阀，锅内水的温度最高可达多少？ 2．若按正确方法使用压力锅，锅内水的温度最高可达多少？ 3．若未按正确方法使用压力锅，即盖好密封锅盖一段时间后，在点火前就 加上压力阀。此时水温为 27℃，那么加热到压力阀刚被顶起时，锅内水的温度是 多少？若继续加热，锅内水的温度最高可达多少？假设空气不溶于水． 已知：水的饱和蒸气压 w ( )p t 与温度 t 的关系图线如图复 18-2-2 所示． 大气压强 ( )p z 与高度 z的关系的简化图线如图复 18-2-3 所示． 27t ℃时 27t 3 w (27 ) 3.6 10 Pap ； 27t 0z 处 5(0) 1.013 10 Pap 第十二章 振动和波 1、如图 1 所示是一种记录地震装置的水平摆，摆球 m固定在边长为 L 、质 量可以不计的等边三角形的顶点 A 上，它的 BC边跟竖直线成夹角 α，摆球可绕 固定的 BC轴摆动，试求摆球作微小摆动的周期。 2、如图 2 所示，一个边长为 a 立方体木块漂浮在某种液体中，静止平衡时， 露处液面的高度为 b 。现用手将木块向下压至和液面相平（液面足够大，木块下 压时液面的高度不变） ，然后松手，试求木块“弹回”至原高度所需的时间。 3、如图 3 所示，在弹性系数为 k 的轻质弹簧下面悬挂一个质量为 M的盘，盘 不动时，一个质量为 m的质点从高 h 处自由下落，落到盘中时与盘发生完全非弹 性碰撞。此后，盘（和质点）的振动将在竖直方向振动。试求—— （1）这个振动的振幅； （2）以质点碰撞盘为计时起点、 向下为位移正方向， 求解振 动方程。 4、如图 4 所示， 两个质量分别为 m1 和 m2 的滑块用水平的、 弹性系数为 k 的轻 质弹簧相连，放在在光滑水平面上。今用手将它们拉开一段距离后释放，令它们 在水平方向振动。 （1）试证明它们的振动周期相等； （2）求出这个周期是多少。 5、有两个在同一直线上的简谐运动，它们的方程分别为 x1 = 0.05cos （10t + 4 3 π）和 x2 = 0.06cos （10t + 4 1 π），试求它们合振动的振幅 A 和初位相 φ 。 6、设 B、C为两平面简谐波的波源，其振动表达式分别为 yB = 0.1cos2 πt 厘 米和 yC = 0.1cos （2πt + π）厘米，发出的波的传播方向如图 5 中的虚线所示， 波速均为 v = 20 厘米秒。它们传到 P 点时相遇， PB = 40 厘米， PC = 50 厘米。 试求： （1）两列波传到 P 点时的位相差； （2）P点形成合振动的振幅。 提示与参考答案 1、提示：等效摆长 L′= Lcos30 °， g 视 = gsin α 答案： T = 2 π sing2 L3 。 2、提示：回复力系数 k = ρ 液 ga2 ，ρ 木 = a ba ρ 液 答案： t = 2 g ba 。 3、提示：碰撞末了， 振子相对新的平衡位置 ．．．．．． 位移 x 0 = - k m g ，并有初速度 v 0 = Mm m gh2 。 应用能量关系可以求振幅 A 。 至于振动初位相 φ 的求法， 可以代振动位移方程的初始条件， 也可以代振动速度方程的 初始条件，但最好是应用关系 tgφ= － 0 0 x v 求出, 答案： （1）A = k)Mm( ghm2) k mg 2 2 （ ； （2）x = k)Mm( ghm2) k mg 2 2 （ cos 〔 Mm k t + arctg g)Mm( kh2 〕 （说明：如果初位相用反正弦函数或余弦函数表示，也是可以的） 4、提示：系统不受合外力，质心加速度为零。 m1 和 m2 均相对此质心（惯性系）作简谐运 动。考查左段弹簧（或右段）的弹性系数，均会发生相应的改变, （1）动量守恒, （2）T = 2 π k)mm( mm 21 21 。 5、提示：将三角函数运算化为向量运算，使用平行四边形法则, 答案： A = 0.078 ；φ= 84.48 ° 6、提示：波动方程的基本应用, 答案： （1）Δφ= 0 ：（2）A = 0.2 厘米。 第十三章 交流电与电磁波 1、写出交流电 i = －2cos（6280t + 3 ）A 的初相、频率、有效值和最大值。 2、交流电加在纯电感上，若 ω 、L 均取国际单位，试证 ωL 的单位是欧姆。 3、将电容 C = 318μF 的电容器接到电压 u = 311cos314tV 的交流电源上，试求电容器的容抗 及电流的瞬时值表达式。 4、在复平面上用有效值矢量表示以下两个交流电： （1）i 1 = 2cos（ωt + 4 ） ；（2）i 2 = 2 2 sin （ωt + 6 5 ）。 5、甲、乙、丙是三个相同的灯泡，如图接在照明电路中，均正常发光。试讨论以下三种情 形下各灯的亮度变化情况： （1）切断 P 处；（2）切断 Q 处；（3）同时切断 P、Q 两处。 6、频率为 50Hz 、电压为 220V 的交流电，加在 8W 的日光灯两端，日光灯正常发光后，量 得灯管两端的电压为 60V 。试求： （1）镇流器的感抗； （2）日光灯的视在功率； （3）电路的 功率因素。 7、图示电路中， 电源频率为 f ，电压为 U ，电流表内阻不计。 两电容满足关系 C1 + C 2 = C 0 ，但 C1 和 C2 的各自大小可调。 试问：要电流表的读数达到极大，应如何调节 C1、 C2？ 8、图中 u1 = 6sinω t ， E = 4V ，试画出 u2 之波形。 9、图中○ V 表示数为 20V ，R1 = 4Ω，R2 = 6Ω ，D 、C 均理想，试求出电流稳定后 C 上的电 压 Uc 。 10、完成桥式整流加 π 型滤波的电路图，并求二极管的反向耐压值。 《交流电与电磁波考试》提示与答案 1、答案：－ 3 2 、1kHz 、 2 A 、2A 。 2、证明： s 1 · H = s 1 ·V· A s = A V = Ω 3、答案：约 10Ω，i = 31.1cos（314t + 2 ） A 。 4、提示： i2 = 2 2 cos（ωt + 3 ） 答案：如右图。 5、答案： （1）亮度不变； （ 2）甲熄灭，乙、丙亮度 不变； （3）甲熄灭，乙、丙亮度减弱且亮度相同。 6、提示—— 见图， I = R R U P = 60 8 = 30 4 ，UL = 2 R 2 UU ≈212V X L = I U L ，P 视 = IU ，cosφ = U U R 答案： （1）1.59kΩ；（2）29.3VA ；（ 3）0.273 。 7、提示： I = 21 21 CC UCC = 0C U （－ 2 1C + C0C1） 答案：令 C1 = C2 = 2 C0 即可。 8、解略。 答案：见右图—— 9、提示： C 不放电。 答案：约 17.0V 。 10、解略。 答案：电路添加完整后如下图；超过 10 2 ≈14.2V 即可。