【物理】2019届一轮复习人教版追及和相遇问题的多种解法学案

【物理】2019届一轮复习人教版追及和相遇问题的多种解法学案

追及和相遇问题的多种解法 ‎【例题1】公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为30m/s，两车相距s0=100m，t=0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如下图所示（图甲为甲车，图乙为乙车），取运动方向为正方向，问：两车在0-9s内会不会相遇？‎ ‎【解法1】公式法 从题图知道，（前3s），（后6s）；（前3s），（后6s），‎ 首先建立坐标系（一维坐标），如图所示 则甲的速度为（前3s），（t=3s时刻），(后6s)，（t=9s时刻）‎ 乙的速度为（前3s），（t=3s时刻），(后6s)，（t=9s时刻）‎ 则甲的位置坐标为（前3a），（t=3s时刻），（后6s），（t=9s时刻）‎ 乙的位置坐标为（前3s），（t=3s时刻），（后6s），（t=9s时刻）‎ 我们要一段一段地判断，‎ 前3s，（t=3s时刻），还没有到达甲的出发点，所以，肯定不能相遇。‎ 后6s，，（t=9s时刻），，所以也不能相遇。这样够不够呢？不够 假设在后6s内，甲、乙相遇，则令，即=，得关于t的一元二次方程，判别式，所以方程无解，即甲、乙不能相遇。‎ ‎【解法2】临界法 我们先计算在前3s不能相遇（如上，略），然后分析，在后6s内，开始乙的速度大于甲，所以乙在追甲，距离越来越近，当二者速度相等时（临界情况），如果能追上甲，就能追上，如果不能追上，就不能追上了，因为（假设二者在两条道上）速度相等之后，甲的速度就大于乙了，二者就会越来越远了。‎ 设甲、乙速度相等，即=，解得3s，此时，=167.5m，=157.5，因为，所以，甲、乙不能相遇。‎ ‎【解法3】图象法 ‎（1）图象 甲的速度为（），()，‎ 乙的速度为（），()，‎ 用电子计算机Excel作出甲（图中Va）和乙（图中Vb）的速度图象图如下图。根据图象“面积”表示位移的方法，从图象可以得到，当时刻，两车速度相等，从到，两车位移分别为，则甲车的位置坐标为，乙车的位移和位置坐标都是， 因为，所以甲乙两车不能相遇。‎ ‎（2）图象 甲、乙的位置坐标分别为 ‎（），（），‎ ‎（），（）‎ 用电子计算机Excel作出两车的位置坐标图象如下图。从图象可以得到，甲车和乙车没有相遇。‎ 同时还可以看出，时刻，甲、乙距离最近。‎ ‎【解法4】相对运动法 以上都是以地面为参照物（默认），以下以B车为参照物。A相对B的初位置为。A相对B的加速度（）， （）‎ 则A车的速度（时刻）， （时刻）‎ 所以，A车相当于B的位置为（），（），（）。‎ 用电子计算机Excel作出两车的相对位置坐标图象如下图。从图象可以得到，甲车和乙车相对位置先靠近，后远离，当时刻，距离最近为10m，所以，两车没有相遇。‎ ‎【例题2】‎ 在平直公路上有甲乙两辆汽车同时从同一地点沿同一方向做匀加速运动，他们速度的平方随位移变化的图象如图所示，则 A.甲车的加速度比乙车的加速度大 B.在m处甲、乙两车的速度相等 C. 在m处甲、乙两车相遇 D. 在m处甲、乙两车相遇 ‎【解法1】公式法 根据，甲车，得 ‎ 乙车，得，所以，A正确。‎ 在m处，，所以甲、乙两车的速度相等，B正确 甲车，，‎ 乙车，因为，所以，所以，‎ 在m处，，有的同学认为在此处甲乙相遇，而选C。‎ 但根据=0.5，得，根据=0.5，解得，所以甲、乙两车不是同时到达m处，所以在m处甲、乙两车没有相遇，C错误。‎ 同样的方法，在m处，，但根据=1.0，得，根据=1.0，解得，所以甲、乙两车不是同时到达x=1.0m处，所以在m处甲、乙两车没有相遇，D错误。‎ ‎【答案】AB ‎【延伸】那么，甲乙两车能不能相遇呢？在哪儿相遇呢？‎ 若，即，解得，代入得，所以，两车在时刻位置相遇。‎ 用电子计算机Excel作甲、乙车位移随时间变化的图象，如下图。从图像也可以得到，当时，两车在处相遇。所以，CD错误。‎ 同时也可以看出，当，，甲乙相距最远（相遇前）。‎ ‎【解法2】速度图象法 用电子计算机Excel作甲乙的速度图象，如下图。‎ 从图象可以看出，当，，乙在前，甲在后，甲、乙距离越来越远；当，，甲乙相距最远（相遇前）；当，，甲追乙，甲、乙距离越来越近；当，（用“面积”计算位移），甲、乙相遇。‎ ‎【解法3】相对运动法 以甲为参照物，则乙相当于甲，初速度，加速度，所以位移为，‎ 用电子计算机Excel作乙相对于甲的位移图象，如下图。‎ 解读：当，乙在前，甲在后，乙相对甲距离越来越远；当，乙相对甲距离最远（相遇前）；当，乙相对甲距离越来越近；当，乙相对甲距离为零，即甲、乙相遇，之后，乙相对甲位移为负，即乙在甲后。‎ ‎【解法4】时间-位移图象法 以位移为自变量，分别求出同一位移的时间，根据，所以；根据 ‎，解得。‎ 用电子计算机Excel作甲、乙的图象，如图所示。‎ 从图象可以看出，当的位置，，即甲、乙不是同时到达的位置，所以C错误。当的位置，，即甲、乙不是同时到达的位置，所以D错误。从图象还可以看出，当的位置，，即甲、乙同时到达的位置，即甲、乙在的位置相遇。‎ ‎【例题3】如图所示，甲、乙两小球位于h=‎45m的同一高度，零时刻由静止释放甲球，1s后再由静止释放乙球，释放后两球均做自由落体运动。（重力加速度g取‎10m/s2），求：‎ 甲 乙 ‎（1）释放乙球时，甲球离地高度 ‎（2）甲小球落地时，甲、乙两小球之间的竖直距离 ‎（3）从甲小球下落开始计时，分析全过程甲、乙两球之间的竖直距离与时间的关系，并用图像准确表示。（球落地后立即原地静止）‎ t/s Δy/m ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎【解法1】公式法 ‎（1）释放乙球时，甲下落高度h1= gt12/2=‎‎5m 得甲离地高度Δh1=h—h1=‎‎40m ‎（2）由h= gt22/2 得甲球落地时间t2=3s，此时乙下落高度h2= g(t2—1)2/2=‎‎20m 所以甲、乙之间的距离Δh2=h—h2=‎‎25m ‎（3）从甲下落开始计时，甲下落高度，‎ 乙球下落高度，两者之间的高度差Δy=y1—y2‎ 在0 1s内，y1= gt2/2，y2=0，两球的竖直距离随时间的关系为Δy1= y1—y2=gt2/2=5t2 ‎ 在1 3s内，y1= gt2/2，y2=g(t—1)2/2，两小球的竖直距离随时间的关系为：Δy2=y1—y2=10t-5‎ 在3 4s内，y1= ‎45m，y2=g(t—1)2/2，两小球的竖直距离随时间的关系为：Δy3=y1—y2=40＋10t—5t2‎ 则图像如图所示 ‎ ‎【解法2】图象法 在0 1s内，y1= gt2/2，y2=0，两球的竖直距离随时间的关系变化为Δy1= y1—y2‎ 在1 3s内，y1= gt2/2，y2=g(t—1)2/2，两小球的竖直距离随时间的变化关系为：Δy2=y1—y2‎ 在3 4s内，y1= ‎45m，y2=g(t—1)2/2，两小球的竖直距离随时间的变化关系为：Δy3=y1—y2‎ 用电子计算机Excel表格，第一列是时间t，从0到4，间隔为0.01；第二列是甲下落的距离，公式记为（0-3s）及（3-4s）；第三列是乙下落的距离，公式记为及(1-3s)；第四列是两小球的竖直距离随时间的变化关系，即上述的，公式记为。‎ 用电子计算机Excel作图如下图：‎ ‎【解法3】相对运动法 以乙为参照物，从甲下落开始计时，甲下落高度y1= gt2/2，乙球下落高度y2=g(t—1)2/2，两者之间的高度差Δy=y1—y2‎ 在0 1s内，甲相对于乙做自由落体运动，相对位移为（以向下为正）y1= gt2/2= 5t2‎ 在1 3s内，甲相对于乙作匀速运动，初速度为，加速度，初位移为，所以位移为y2=10（t-1）+5（）‎ 在3 4s内，甲静止在地面，乙向下作匀加速运动，则甲相对于乙作向上的匀加速运动，其初位移为，初速度，加速度为，所以甲相对于乙的位移为y3 =25-20（t-3）-5（t-3）2 （）‎ 最后一段看起来好像是直线，为了说明它是曲线，作放大的图象如下图，并且画出了直线，以便比较。从下图可以看出，最后一段是向外突出的曲线。‎ 答案的图象是在电子计算机的“附件”的“画图”中画的，它突出的曲线的弯曲程度，但不一定符合实际，而本解答是用电子计算机的Excel作图，是真实的数据。所以，“画图”是模拟图象，Excel作图是数字图象，具有真实性。‎