广东省2021高考物理一轮复习专题一质点的直线运动课件

广东省2021高考物理一轮复习专题一质点的直线运动课件

考点一　基本概念与规律 一、运动的描述 1.质点:用来代替物体的有 质量 的点。在所研究的问题中, 只有当物体的体 积和形状处于次要或可忽略的地位时,才能把物体当作质点处理。 2.参考系:在描述物体的运动时,被选定做参考、假定为 不动 的其他物体。 选取不同的参考系,对同一物体运动的描述一般不同。一般情况下,选地面 或相对地面静止的物体为参考系。 考点清单 3. 位移 : 描述质点位置变化的物理量 , 是矢量 , 方向由 初位置 指向末位置 , 大 小是初、末位置间有向线段的长度。 4.速度:描述物体运动快慢的物理量,是矢量。 (1)平均速度:物体通过的 位移 与通过该段位移所用时间的比值,即   =   。 它是对运动快慢的粗略描述。 (2) 瞬时速度 : 物体在某一时刻或某一位置的速度 , 是对运动的精确描述。 瞬时速度的大小称为 速率 。 5.加速度:描述速度① 　变化的快慢     的物理量,是矢量。 a =   ,方向与 的方向一致。 思考 : 汽车的百公里加速时间反映哪个方面的运动性质 ? 百公里刹车距离呢 ? 各对应上述的哪个物理概念 ? 提示 : 百公里加速时间描述加速性能 , 百公里刹车距离描述刹车性能 , 均与加速度概念相对应。 二、匀变速直线运动的规律 1.定义:沿着一条直线,且 加速度 不变的运动。可分为匀加速直线运动和匀 减速直线运动。 2.基本规律 (1)速度公式: v =② 　v 0 +at     。 (2)位移公式: x =③ 　v 0 t+ at 2      。 (3)速度和位移的关系式:④ 　 v 2 -   = 2 ax      。 (4)平均速度公式:   。 (5)中间位置速度公式:     。 (6)位移差公式: 。 (7)初速度为零的匀加速直线运动前 t 、2 t 、3 t 、 … 、 nt 时间内的位移之比: x 1 ∶ x 2 ∶ x 3 ∶ … ∶ x n =1∶4∶9∶ … ∶ n 2 初速度为零的匀加速直线运动连续相等时间内的位移之比: x 1 ∶ x 2 ∶ x 3 ∶ … ∶ x n =1∶3∶5∶ … ∶(2 n -1) 初速度为零的匀加速直线运动通过 x 、2 x 、3 x 、 … 、 nx 位移所需时间之 比: t 1 ∶ t 2 ∶ t 3 ∶ … ∶ t n =1∶   ∶   ∶ … ∶   初速度为零的匀加速直线运动通过连续相等位移所需时间之比: t 1 ∶ t 2 ∶ t 3 ∶ … ∶ t n =1∶(   -1)∶(   -   )∶ … ∶(   - ) 考点二　运动图像、追及和相遇问题 一、运动图像中的六要素 一般意义 x - t 图像 v - t 图像 a - t 图像 轴 图像描述哪两个 物理量之间的关 系 纵轴—位移 横轴—时间 纵轴—速度 横轴—时间 纵轴—加速度 横轴—时间 线 表示物理量 y 随物 理量 x 的变化过程 和规律 运动物体的位移 与时间的关系 运动物体的速度 与时间的关系 运动物体的加速 度与时间的关系 斜率 k =   ,表示 y 随 x 变 化的快慢 某点的斜率表示 该点的瞬时速度 某点的斜率表示 该点的加速度 某点的斜率表示 该点加速度的变 化率 点 两线交点表示对 应纵、横坐标轴 物理量相等 两线交点表示两 物体相遇 两线交点表示两 物体该时刻速度 相同 两线交点表示两 物体该时刻加速 度相同 面积 图线和横轴所围的面积,往往代表一个物理量,这要看坐标轴所表示的两物理量的乘积有无意义 无意义 图线和时间轴所 围的面积表示物 体运动的位移 图线和时间轴所 围的面积表示物 体的速度变化量 截距 图线在坐标轴上的截距一般表示物理过程的“初始”情况 在纵轴上的截距 表示t=0时的位移 在纵轴上的截距 表示t=0时的速度 在纵轴上的截距 表示t=0时的加速 度 二、追及、相遇问题 1.若后者能追上前者,追上时,两者处于同一位置,且后者速度一定不小于前 者速度。 2.若追不上前者,则当后者速度与前者⑤ 　速度     相等时,二者相距最近。 3.相遇分为追及相遇和相向运动相遇两种情形,其主要条件是两物体在相 遇时刻的⑥ 　位置     坐标相同。 拓展一　速度、加速度概念的建构 (一)速度概念的建构 1.速度定义:匀速直线运动物体通过的位移与所需时间的比值。 比值定义的条件:匀速直线运动。只有匀速直线运动,才满足任意相等时间 内的位移都相等,位移与时间的比值为定值,才能用这个比值描述运动的快 慢。 比值定义的特点:一个具体的匀速直线运动,其速度是确定的,与选取的位 移和时间无关。 知能拓展 比值定义法的推广:物理学中采用比值定义的物理量很多,都需要满足共同 的条件,具有共同特点。 2.从平均速度到瞬时速度 (1)平均速度是对变速运动的快慢的近似描述。 (2) 平均速度与所选取的运动过程 , 即位移段或时间段密切相关。变速运动 在不同时间段内的位移往往不同。 (3) 瞬时速度是运动物体通过某一位置时 ( 或在某一时刻 ) 的速度 , 从平均速 度到瞬时速度的过渡运用了极限法。 (4)瞬时速度简称为速度,其大小叫速率,但平均速度的大小不是平均速率, 平均速率是路程与时间的比值。 3.极限法 由平均速度公式 v =   可知,当 非常小,趋向于零时,这时的平均速度就可 以认为是某一时刻或某一位置的瞬时速度。对于一般物体的运动,用极限 法求出瞬时速度只能粗略地表示物体在这一极短位移内某一位置或这一 极短时间内某一时刻的瞬时速度,并不精确。 例1　一骑行者所骑自行车前后轮轴的距离为 L ,在水平道路上匀速运动, 当看到道路前方有一条减速带时,立刻刹车使自行车做匀减速直线运动,自 行车垂直经过该减速带时,对前、后轮造成的两次颠簸的时间间隔为 t 。利 用以上数据,可以求出前、后轮经过减速带这段时间内自行车的   (　　) A.初速度　    B.末速度 C.平均速度　    D.加速度 解析　在只知道时间 t 和这段时间内运动位移 x 的前提下,由   =   可知能求 平均速度,C项正确。 答案    C (二)加速度概念的建构 1.加速度的定义及矢量性 (1)在速度随时间均匀变化时,用速度变化量与所需时间的比值定义加速 度,运用比值定义法,强调加速度在数值上等于速度变化率。 (2)加速度是矢量,与速度变化量方向相同。 (3)速度变化量Δ v = v - v 0 是矢量之差,在同一直线上时,常化为代数运算。 方法:先选取正方向,然后带正负号相减,结果的正负表示速度变化量的方 向。 2.从位置到加速度的概念进阶 (1)位置是空间中的一个点,在坐标轴上对应一个坐标值。 位移是位置的变化量,可以用末位置坐标与初位置坐标之差来表示。 (2)速度是描述位置变化快慢的物理量。 在匀速直线运动中,把位移与所需时间的比值定义为速度。 用近似法界定平均速度,用极限法得出瞬时速度。 (3)加速度是描述速度变化快慢的物理量。 在速度随时间均匀变化时,把速度变化量与时间的比值定义为加速度。 类比平均速度和瞬时速度得到平均加速度和瞬时加速度。 这样, 运动物体通过某一位置时,就有三个层次的运动信息:位置- 位置变化 快慢(速度)- 速度变化快慢(加速度)。 例2　足球运动员在罚点球时,球获得30 m/s的速度并做匀速直线运动。设 脚与球作用时间为0.1 s,球又在空中飞行0.3 s后被守门员挡出,守门员双手 与球接触时间为0.1 s,且球被挡出后以10 m/s沿原路反弹。求: (1)罚点球的瞬间,球的加速度的大小; (2)守门员接球瞬间,球的加速度的大小。 解题导引   解析 　(1)(不必选取正方向,此时默认球被踢出的方向为正方向) 球的速度由 v 0 =0变到 v 1 = 30 m/s, 用时Δ t 1 =0.1 s,由 a =   得,罚点球的瞬间,球的加速度 a 1 =   =300 m/s 2 (2)设球被踢出的方向为正方向,守门员接球的瞬间,球的速度由 v 1 =30 m/s 变到 v 2 =-10 m/s,用时Δ t 2 =0.1 s 则接球瞬间,球的加速度 a 2 =   =-400 m/s 2 ,即加速度大小为400 m/s 2 也可选取球的反弹方向为正方向,求得结果为400 m/s 2 ,物理意义相同) 答案 　(1)300 m/s 2 　(2)400 m/s 2 解题关键 　对于同一直线上的矢量运算,要注意选取正方向,将矢量运算转 化为代数运算。 拓展二   v 、Δ v 、 a 三个物理量的辨析 (1)公式误区 加速度虽然由 a =   定义,但 a 与Δ v 、Δ t 、 v 及 t 无关。 根据牛顿第二定律 a = 可知,物体的加速度是由物体所受的合外力及质量决定的。 (2)图表对比 物理量 意义 表达式 单位 关系 速度 v 描述物体运动快慢的物理量,是矢量 位移与时间的比 值, v =   m/s 三者大小无必然 联系, v 很大,Δ v 可 以很小,甚至为零, a 也可大可小 速度变 化量Δ v 描述物体速度变化的大小和方向的物理量,是矢量 末速度与初速度 之差,Δ v = v - v 0 m/s 加速 度 a 描述物体速度变化快慢的物理量,即速度变化率,是矢量 速度变化量和时间的比值, a =   m/s 2 例3　下列运动可能存在的是   (　　) A.加速度恒定,速度的大小方向都时刻在变 B.速度越来越大,加速度越来越小 C.加速度越来越大,速度越来越小 D.速度最大时加速度为零,速度为零时加速度却最大 E.物体的加速度不为零,但速度大小却不变 F.加速度方向改变,速度方向却不变 解析 　本题各选项可运用 v 、Δ v 、 a 的关系,通过逻辑推理,结合实例来判 定。 v 、Δ v 、 a 均为矢量, a 与Δ v 的方向相同,但与 v 的方向没有必然的关 系。加速度是描述速度变化快慢的物理量,加速度的数值大,速度变化得 快,速度不一定大,速度变化量也不一定大,速度方向变化时,也会有加速 度。对选项A,抛体运动符合;对选项B,只要受到的合外力方向一直与速度 夹角小于90 ° 、且大小逐渐减小就可以;对选项C,可用水平面上滑块压缩 弹簧来说明;对选项D,汽车以恒定功率加速,速度逐渐增大,加速度逐渐减 小,速度最大时,加速度为零;对于选项E,比如做匀速圆周运动的物体,加速 度不为零,速度大小不变;对于选项F,例如正在做加速直线运动的物体,所 受合外力突然反向时,加速度方向改变,速度方向不变。 答案     ABCDEF 拓展三　从坐标轴到物理量轴,再到物理图像 1.位置、位移轴 一维坐标系即坐标轴,首先用来描述同一直线上的位置和位置变化。 2.物理量轴 (1)用坐标轴可以描述所有的物理量及其变化。 (2)矢量轴同时用正负表示物理量的方向,但一条矢量坐标轴只能描述同一 直线上的矢量及其变化。 (3)标量轴可以表示标量的正负,有些标量没有负值,则只有正半轴。 3.物理量关系图像 (1)把两个物理量坐标轴组合成坐标系,类比数学平面直角坐标系和函数图 像,可以描述两个物理量的变化关系。 (2)图像上的一个点表示一个状态,一段直线或曲线表示一个物理过程,线 的形状对应特定的变化规律,表示在这一过程中纵轴物理量随横轴物理量 按特定函数规律变化。 (3)物理图像的斜率(切线斜率或与原点连线的斜率)、截距(纵轴截距和横 轴截距)、与坐标轴所围图形的面积、交点或拐点等,往往对应特定的条 件或信息。 4. x - t 图像与 v - t 图像辨析 比较内容 x - t 图像 v - t 图像 图像   其中④为抛物线   其中④为抛物线 物理意义 反映的是位移随时间 的变化规律 反映的是速度随时间 的变化规律 交点意义 不同 x - t 图线交点表示 对应物体相遇 不同 v - t 图线交点表示 对应物体在该时刻速 度相同 函数表达式 ① x = x 0 - vt v = v 0 - at ② x = x 0 v = v 0 ③ x = vt v = at ④ x = kt 2 v = kt 2 物 体 的 运 动 性 质 ① 表示从正位移处开始一直做反向匀速直线运动并经过零位移处 表示先做正向匀减速运动,再做反向匀加速运动 ② 表示物体静止不动 表示物体做正向匀速直线运动 ③ 表示物体从零位移处开始做正向匀速直线运动 表示物体从静止开始做正向匀加速直线运动 ④ 表示物体做匀加速直线运动 表示物体做加速度增大的加速直线运动 斜率的 意义 斜率的大小表示速度 的大小,斜率的正负表 示速度的方向 斜率的大小表示加速 度的大小,斜率的正负 表示加速度的方向 图线与横轴围成的“面积”的意义 无实际意义 表示相应时间内的位 移 例4  (2018课标Ⅲ,18,6分)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动,甲做匀加速直线运动,乙做匀速直线运动。甲、乙两车的位置 x 随时间 t 的变化如图所 示。下列说法正确的是   (　　) A.在 t 1 时刻两车速度相等 B.从0到 t 1 时间内,两车走过的路程相等 C.从 t 1 到 t 2 时间内,两车走过的路程相等 D.在 t 1 到 t 2 时间内的某时刻,两车速度相等 解析　本题考查 x - t 图像的应用。在 x - t 图像中,图线的斜率表示物体运动的 速度,在 t 1 时刻,两图线的斜率关系为 k 乙 > k 甲 ,两车速度不相等;在 t 1 到 t 2 时间内, 存在某一时刻甲图线的切线与乙图线平行,如图所示,该时刻两车速度相 等,选项A错误、D正确。从0到 t 1 时间内,乙车走过的路程为 x 1 ,甲车走过的 路程小于 x 1 ,选项B错误。从 t 1 到 t 2 时间内,两车走过的路程都为 x 2 - x 1 ,选项C正 确。 答案    CD 例5    (2019广州二模,17,6分)李大妈买完菜后乘电梯上楼回家,其乘坐的电 梯运行情况如图所示,可知   (　　)   A.李大妈家所在楼层离地高度约40 m B.0~3 s内电梯的加速度大小为0.5 m/s 2 C.0~17 s内电梯的平均速度大小为0.75 m/s D.电梯加速运动的距离等于减速运动的距离 解析    根据速度-时间图像中图线与时间轴围成面积表示位移可得李大妈 家所在楼层离地高度 h =   × (13-3+17) × 1.5 m=20.25 m,故A错误;根据速度- 时间图像中斜率表示加速度得0~3 s内电梯的加速度大小为: a =   =   m/s 2 =0.5 m/s 2 ,故B正确;根据平均速度定义可得0~17 s内电梯的平均速度大小 为:   =   =   m/s=1.19 m/s,故C错误;速度-时间图像中图线与时间轴围成 面积表示位移,可知电梯加速运动的距离小于减速运动的距离,故D错误。 答案    B 温馨提示　本题关键抓住三点:一要正确分析电梯的运动情况;二抓住 v ﹣ t 图像的“面积”求出位移;三抓住 v ﹣ t 图像斜率表示加速度。 拓展四　匀变速直线运动的基本公式的物理意义和数学特点 　　匀变速直线运动的基本公式的物理意义是相同的,都描述匀变速直线 运动的规律。 从数学形式上讲,不同公式描述了不同物理量之间的关系,同时,对一个具 体的匀变速直线运动来说,还给出了某两个物理量之间的变化规律。 (1)速度公式: v = v 0 + at 。公式不含位移。对于一个具体的匀变速直线运动, 速度是时间的一次函数。 (2)位移公式: x = v 0 t +   at 2 。公式不含末速度。对于一个具体的匀变速直线 运动,位移是时间的二次函数。 (3)速度和位移的关系式: v 2 -   =2 ax 。公式不含时间。对于一个具体的匀变 速直线运动,位移是速度的二次函数。 (4)平均速度公式:   =   =   =   。 说明　匀变速直线运动各公式间的联系图 例6　一质点在外力作用下沿直线做匀加速运动,从某时刻开始计时,测得 该质点在第1 s内的位移为2.0 m,第5 s内和第6 s内的位移之和为11.2 m。求: (1)该质点运动的加速度大小; (2)该质点在第6 s内的位移大小。 解析　(1)由   =   =   知,第0.5 s末的速度: v 1 =   =2 m/s 第5 s末的速度: v 2 =   =5.6 m/s Δ t =5 s-0.5 s=4.5 s 该质点运动的加速度大小: a =   =0.8 m/s 2 (2)该质点在第6 s内的位移大小: x 6 = v 2 t 3 +   a   =6 m。 答案　(1)0.8 m/s 2 　(2)6 m 应用一　匀变速直线运动问题的常用解法 实践探究 例1 　物体从某一高度自由下落,落地前最后1 s的位移为25 m。求物体开 始下落时距地面的高度,不计空气阻力。( g =10 m/s 2 ) 解题导引     解析    解法一(一般公式法): 设物体在空中运动的时间为 t ,由题意可知 H =   gt 2   ① h =   g ( t -1 s) 2   ② H - h =25 m③ 解得: H =45 m 解法二(平均速度法): 对 AB 段分析得:   =   =   即   =   m/s=     ① v B = v A + g × 2 t '= v A +10 m/s②   =2 gH   ③ 由①②③式得 H =45 m 解法三(中间时刻速度法): 设 C 为物体由 A 运动到 B 的中间时刻位置 v C =   =25 m/s 设从 O 到 C 的时间为 t ″ v C = gt ″ 代入数据解得 t ″=2.5 s H =   g ( t ″+0.5 s) 2 =   × 10 × 3 2 m=45 m 解法四(逆向思维法): 从 O → B 的自由落体可以看成从 B → O 的匀减速直线运动 则有 x BA =25 m= v B × 1 s-   × g × (1 s) 2   ① 解得 v B =30 m/s   =2 gH   ② 解得 H =45 m 解法五(比例法): 物体自由下落第1 s下落的高度 x 1 =   g   =   × 10 × 1 2 m=5 m 由初速度为零的匀加速直线运动的比例关系 x 1 ∶ x 2 ∶ x 3 =1∶3∶5 知第3 s内的位移 x 3 =5 x 1 =25 m,符合题意,可知本题中物体下落时间为3 s 所以物体开始下落时距地面的高度 H = x 1 +3 x 1 +5 x 1 =9 x 1 =9 × 5 m=45 m 答案　45 m 应用二　竖直上抛运动的处理方法 　　在具体题目中有时需要把生活中的实际运动抽象成理想的匀变速直 线运动。 如果是匀减速直线运动,要注意速度减小到零时的加速度是否变化,若加速 度不变则接着做反向匀加速直线运动,例如竖直上抛运动。 竖直上抛运动的两种处理方法: 1.分段法 (1)上升过程: v 0 >0, a =- g 的匀减速直线运动。 (2)下降过程:自由落体运动。 实践探究 2.全程法 (1)将上升和下降过程统一看成是初速度 v 0 竖直向上,加速度 g 竖直向下的 匀变速直线运动, v = v 0 - gt , h = v 0 t -   gt 2 。 (2)若 v >0,则物体在上升; 若 v <0,则物体在下落; 若 h >0,则物体在抛出点上方; 若 h <0,则物体在抛出点下方。 注意　当物体先做匀减速直线运动,又反向做匀加速直线运动,且全程加 速度恒定时,其运动特点与竖直上抛运动相似,这类运动可称为“类竖直上 抛运动”。 例2　气球以10 m/s的速度匀速上升,当它上升到离地175 m的高处时,一重 物从气球上脱落,则重物需要经过多长时间才能落到地面?到达地面时的 速度是多大?( g 取10 m/s 2 ) 解析    解法一　把竖直上抛运动过程分段研究 设重物离开气球后,经过 t 1 时间上升到最高点, 则 t 1 =   =   s=1 s。 上升的最大高度 h 1 =   =   m=5 m。 故重物离地面的最大高度为 H = h 1 + h =5 m+175 m=180 m。 重物从最高处自由下落,落地时间和落地速度分别为 t 2 =   =   s=6 s。 v = gt 2 =10 × 6 m/s=60 m/s。 所以重物从气球上脱落至落地共历时 t = t 1 + t 2 =7 s。 解法二　取全过程作为一个整体进行研究 从重物自气球上脱落计时,经时间 t 落地,规定初速度方向为正方向,画出运 动草图如图所示,则重物在时间 t 内的位移 h =-175 m。 由位移公式 h = v 0 t -   gt 2 , 有-175 m=10 m/s × t -   × 10 m/s 2 × t 2 , 解得 t =7 s, t =-5 s(舍去), 所以重物落地速度为 v 1 = v 0 - gt =10 m/s-10 × 7 m/s=-60 m/s 其中负号表示方向向下,与初速度方向相反。 解法三　对称法 根据速度对称,重物返回脱离点时,具有向下的速度 v 0 =10 m/s,设落地速度 为 v ,则 v 2 -   =2 gh 。 解得 v =60 m/s,方向竖直向下。 经过 h 历时Δ t =   =5 s。 从最高点到落地历时 t 1 =   =6 s。 由时间对称可知,重物脱落后至落地历时 t =2 t 1 -Δ t =7 s。 答案　7 s　60 m/s 应用三　追及、相遇问题的处理方法 实践探究 　　追及相遇问题的本质是两个物体运动的比较,两个物体各自运动,独立 满足各自的运动规律,由于观察者的关注,他们的运动时间、速度和位移之 间满足特定的关系。 1.分析“追及”“相遇”问题应注意的几点。 2.处理“追及”“相遇”问题的常用方法。 方法 相关说明 临界法 寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离 函数法 思路一:先求出在任意时刻 t 两物体间的距离 y = f ( t ),若对任何时刻 t ,均存在 y = f ( t )>0,则这两个物体永远不能相遇;若存在某个时刻 t ,使得 y = f ( t ) ≤ 0,则这两个物体能相遇 思路二:设两物体在 t 时刻相遇,然后根据位移关系列出关于 t 的方程 f ( t )=0,若方程 f ( t )=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程 f ( t )=0存在正实数解,说明这两个物体能相遇 图像法 (1)若用位移图像求解,分别作出两个物体的位移图像,如果两个物体的位移图像相交,则说明两物体相遇 (2)若用速度图像求解,则注意比较速度图线与时间轴包围的面积 相对 运动法 用相对运动的知识求解追及问题时,要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量,在追及问题中,常把被追物体作为参考系,这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为: x 相对 = x 后 - x 前 , v 相对 = v 后 - v 前 , a 相对 = a 后 - a 前 ,且以上各式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定 例3　在水平轨道上有两列火车 A 和 B 相距 x , A 车在后面做初速度为 v 0 、加 速度大小为2 a 的匀减速直线运动,而 B 车同时做初速度为零、加速度为 a 的 匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求 A 车的初速度 v 0 满足什么条件。 解题导引    解析 　两车不相撞的临界条件是 A 车追上 B 车时其速度与 B 车相等。设 A 、 B 两车从相距 x 到 A 车追上 B 车时, A 车的位移为 x A 、末速度为 v A 、所用时间为 t ; B 车的位移为 x B 、末速度为 v B ,运动过程如图所示,现用四种方法解答如下: 解法一　临界法　利用位移公式、速度公式求解,对 A 车有 x A = v 0 t +   × (-2 a ) × t 2 , v A = v 0 +(-2 a ) × t 对 B 车有 x B =   at 2 , v B = at 两车位移关系有 x = x A - x B 追上时,两车不相撞的临界条件是 v A = v B 联立以上各式解得 v 0 =   故要使两车不相撞, A 车的初速度 v 0 应满足的条件是 v 0 ≤   。 解法二　函数法　利用判别式求解,由解法一可知 x A = x + x B ,即 v 0 t +   × (-2 a ) × t 2 = x +   at 2 整理得3 at 2 -2 v 0 t +2 x =0 这是一个关于时间 t 的一元二次方程,当根的判别式 Δ =(-2 v 0 ) 2 -4·3 a ·2 x =0时, 两车刚好不相撞,所以要使两车不相撞, A 车的初速度 v 0 应满足的条件是 v 0 ≤   。 解法三　图像法　利用 v - t 图像求解,先作 A 、 B 两车的 v - t 图像,如图所示,设 经过 t '时间两车刚好不相撞,则对 A 车有 v A = v '= v 0 -2 at ' 对 B 车有 v B = v '= at ' 以上两式联立解得 t '=   经 t '时间两车发生的位移之差为原来两车间距离 x ,它可用图中的阴影面积 表示,由图像可知 x =   v 0 · t '=   v 0 ·   =   所以要使两车不相撞, A 车的初速度 v 0 应满足的条件是 v 0 ≤   。 解法四　相对运动法　巧选参考系求解。以 B 车为参考系, A 车的初速度为 v 0 ,加速度为 a '=-2 a - a =-3 a 。 A 车追上 B 车且刚好不相撞的条件是: v =0时 A 车 相对于 B 车的位移为 x ,由运动学公式有 v 2 -   =2 a ' x 0 2 -   =2·(-3 a )· x 所以 v 0 =   故要使两车不相撞, A 车的初速度 v 0 应满足的条件是 v 0 ≤   。 答案     v 0 ≤   创新思维 创新点　复杂情景中物理模型的建构 　　在物理学科考试中,注重考查考生对客观事物的本质属性、内在规律 及相互关系认识的科学思维发展水平。其中,将实际问题中的对象和过程 转化成物理模型是考查重点,具体包括: (1)能在实际情境中从物理的视角提取信息、发现并提出问题、分析问题, 建立物理模型; (2)使用模型解释相关物理现象和物理变化过程,阐明其中的物理规律和原理; (3)利用数学工具求解并对结果进行分析讨论,审视模型建立的准确性和可 靠性。 例　天文观测表明,几乎所有远处的恒星(或星系)都在以各自的速度背离 我们而运动,离我们越远的星体,背离我们运动的速度(称为退行速度)越大, 也就是说,宇宙在膨胀。不同星体的退行速度 v 和它们离我们的距离 r 成正 比,即 v = Hr ,式中 H 为一常量,称为哈勃常数,已由天文观察测定。为解释上 述现象,有人提出一种理论,认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的。 假设大爆炸后各星体立即以不同的速度向外匀速运动,并设想我们就位于 爆炸的中心,则速度越大的星体现在离我们越远。这一结果与上述天文观 测一致。由上述理论和天文观测结果,可估算宇宙年龄 T ,其计算式 T = 　     　     。根据近期观测,哈勃常数 H =3 × 10 -2 米/(秒·光年),其中光年是光在一 年中行进的距离,由此估算宇宙的年龄约为 　　　     年。 解析　通过审题,抽象出匀速直线运动模型,可以将星体运动简化为下面的 形式: 质点(星体)做匀速直线运动,已知运动速度满足 v = Hr ,式中 H 为常数,求通过 距离 r 时所需要的时间 T 。 由匀速直线运动速度公式 v =   , 可得宇宙年龄 T =   =   =   式中 H 的单位“米/(秒·光年)”可以换算为“1/年”,那么宇宙的年龄就不 难计算了。 H =3 × 10 -2 米/(秒·光年)=   =   答案       　1 × 10 10