【物理】2019届一轮复习人教版 直线运动 学案
模块一:直线运动
考点1
直线运动的概念和规律
1.(2016·全国卷Ⅲ,16)一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动,在时间间隔t内位移为s,动能变为原来的9倍。该质点的加速度为( )。
A. B. C. D.
【解析】设初速度为v1,末速度为v2,根据题意可得9×m=m,解得v2=3v1,根据v=v0+at,可得3v1=v1+at,解得v1=,代入s=v1t+at2可得a=,故A项正确。
【答案】A
2.(2017·海南卷,3)汽车紧急刹车后,停止运动的车轮在水平地面上滑动直至停止,在地面上留下的痕迹称为刹车线。由刹车线的长短可知汽车刹车前的速度。已知汽车轮胎与地面之间的动摩擦因数为0.80,测得刹车线长25 m。汽车在刹车前的瞬间的速度大小为(重力加速度g取10 m/s2)( )。
A.10 m/s B.20 m/s C.30 m/s D.40 m/s
【解析】汽车刹车且车轮抱死后,车受到的滑动摩擦力f=μmg,由a=且=2asm得v0=20 m/s,故B项正确。
【答案】B
3.(2015·浙江卷,15)如图所示,气垫导轨上滑块经过光电门时,其上的遮光条将光遮住,电子计时器可自动记录遮光时间Δt。测得遮光条的宽度为Δx,用近似代表滑块通过光电门时的瞬时速度。为使更接近瞬时速度,正确的措施是( )。
A.换用宽度更窄的遮光条
B.提高测量遮光条宽度的精确度
C.使滑块的释放点更靠近光电门
D.增大气垫导轨与水平面的夹角
【解析】 是Δt时间内的平均速度,Δt越小,就越接近某点的瞬时速度。A项中换用更窄的遮光条,就是取更短的时间Δt,故A项正确;B、C、D三项中的处理不能保证Δt很短,即不能确定是否更接近瞬时速度,B、C、D三项错误。
【答案】A
4.(2015·山东卷,14)距地面高5 m的水平直轨道上A、B两点相距2 m,在B点用细线悬挂一小球,离地高度为h,如图所示。小车始终以4 m/s的速度沿轨道匀速运动,经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下,小车运动至B点时细线被轧断,最后两球同时落地。不计空气阻力,取重力加速度的大小g=10 m/s2。可求得h等于( )。
A.1.25 m B.2.25 m C.3.75 m D.4.75 m
【解析】由题意可得,A、B两点距地面的高度H=5 m,A、B两点水平距离d=2 m,小车的速度v=4 m/s,则小车上的小球自A点自由落地的时间t1=,小车从A到B的时间t2=;小车运动至B点时细线被轧断,B处悬挂的小球下落的时间t3=,根据题意可得各时间的关系为t1=t2+t3,即=+,解得h=1.25 m,A项正确。
【答案】A
5.(2015·江苏卷,5)如图所示,某“闯关游戏”的笔直通道上每隔8 m设有一个关卡,各关卡同步放行和关闭,放行和关闭的时间分别为5 s和2 s。关卡刚放行时,一同学立即在关卡1处以加速度2 m/s2由静止加速到2 m/s,然后匀速向前,则最先挡住他前进的关卡是( )。
A.关卡2 B.关卡3 C.关卡4 D.关卡5
【解析】由v=at1解得该同学加速到v=2 m/s所用时间t1=1 s,通过的位移x1=a=1 m;之后的4 s匀速通过的位移x2=vt2=8 m,可见关卡关闭时该同学到达关卡2右侧1 m处;之后2 s内运动位移为4 m,关卡再次打开,该同学在5 s内又运动10 m,到达关卡4左侧1 m处,此时关卡恰好关闭,该同学再运动0.5 s到达关卡4,而此时关卡4仍处于关闭状态,故C项正确。
【答案】C
6.(2014·海南卷,3)将一物体以某一初速度竖直上抛。物体在运动过程中受到一大小不变的空气阻力作用,它从抛出点到最高点的运动时间为t1,再从最高点回到抛出点的运动时间为t2,如果没有空气阻力作用,它从抛出点到最高点所用的时间为t0。则( )。
A.t1>t0,t2
t1
C.t1>t0,t2>t1 D.t1t1;而对于上升过程v0=at,加速度大的用时短,有t10,曲线b的切线斜率kb<0,说明a、b两车在t2时刻速度方向相反,B项正确;从图象可知曲线b的切线斜率先减小后增大,说明b的速率先减小后增大,C项正确;从图象知a的速率不变,而b的速率先减小(在最高点为零)后增大,即b车的速率并不是一直比a车的大,D项错误。
【答案】BC
4.(2013·海南卷,4)一物体做直线运动,其加速度随时间变化的a-t图象如图所示。下列v-t图象中,可能正确描述此物体运动的是( )。
【解析】由题图可知,在0~时间内a=a0,方向沿正方向,若初速度沿正方向,物体做匀加速运动;若初速度沿负方向,物体做匀减速运动,故B、C两项错误;由于在T~2T时间内a=-a0,故物体做匀变速运动且图线斜率的绝对值与0~时间内相同,A项错误,D项正确。
【答案】D
5.(2015·广东卷,13)甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动,前1小时内的位移—时间图象如图所示,下列表述正确的是( )。
A.0.2~0.5小时内,甲的加速度比乙的大
B.0.2~0.5小时内,甲的速度比乙的大
C.0.6~0.8小时内,甲的位移比乙的小
D.0.8小时内,甲、乙骑行的路程相等
【解析】位移—时间图象的斜率绝对值反映速度的大小,在0.2~0.5小时内,甲、乙均做匀速直线运动,加速度为零,甲图象斜率大于乙图象斜率,说明此时间段内,甲的速度大于乙的速度,故A项错误,B项正确;由位移—时间图象可以看出在0.6~ 0.8小时内甲的位移比乙的大,故C项错误;由位移—时间图象看出在t=0.5小时时,甲在s=10 km处,而乙在s=8 km处,进一步得出在0.8小时内甲的路程比乙的大,故D项错误。
【答案】B
6.(2014·天津卷,1)质点做直线运动的速度—时间图象如图所示,该质点( )。
A.在第1 s末速度方向发生了改变
B.在第2 s末加速度方向发生了改变
C.在前2 s内发生的位移为零
D.第3 s末和第5 s末的位置相同
【解析】由题图可知0~2 s内,速度为正,运动方向未改变,2 s末时,位移最大,v-t图线的斜率表示加速度,1 s~3 s图线斜率未改变,故第2 s末加速度方向没有变化,A、B、C三项错误;由v-t图线与时间轴所围“面积”表示位移知,第3 s末和第5 s末质点位置相同,D项正确。
【答案】D
7.(2014·江苏卷,5)一汽车从静止开始做匀加速直线运动,然后刹车做匀减速直线运动,直到停止。下列速度v和位移x的关系图象中,能描述该过程的是( )。
【解析】解题的关键是明确v-x图线的弯曲方向。汽车由静止做匀加速运动,由运动学公式得v2=2ax;设运动到最大速度vm时开始减速,则有v2=-2ax,结合数学一元二次方程的图象变化规律可知,A项正确,B、C、D三项错误。
【答案】A
8.(2014·广东卷,13)图示是物体做直线运动的v-t图象,由图可知,该物体( )。
A.第1 s内和第3 s内的运动方向相反
B.第3 s内和第4 s内的加速度相同
C.第1 s内和第4 s内的位移大小不相等
D.0~2 s和0~4 s内的平均速度大小相等
【解析】第1 s内和第3 s内速度都为正,方向相同,A项错误;图象的斜率表示加速度,B项正确;图象和坐标轴所包围的
面积等于位移的大小,C项错误;0~2 s内和0~4 s内位移的大小相等,因为时间不同,所以平均速度不相等,D项错误。
【答案】B
9.(2015·福建卷,20)一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶,其运动过程的v-t图象如图所示。求:
(1)摩托车在0~20 s这段时间的加速度大小a。
(2)摩托车在0~75 s这段时间的平均速度大小 。
【解析】(1)加速度a=,由v-t图象并代入数据
得a=1.5 m/s2。
(2)设20 s时的速度为vm,则0~20 s的位移x1=t1
20 s~45 s的位移x2=vmt2
45 s~75 s的位移x3=t3
0~75 s这段时间的总位移x=x1+x2+x3
则0~75 s这段时间的平均速度 =
代入数据得v=20 m/s。
【答案】(1)1.5 m/s2 (2)20 m/s
直线运动是高中物理的重要章节,是整个物理学的基础内容之一,高考每年必考。本章直线运动涉及“参考系、质点”一个Ⅰ级考点,“位移、速度和加速度概念”以及“匀变速直线运动及其公式、图象”两个Ⅱ级考点。直线运动的有关概念、规律是本章的重点,匀变速直线运动规律的应用及v-t图象是本章的难点。本部分内容呈现以下特点:
(1)从考查力度来看,涉及本单元知识的考题,近几年全国高考中都有出现,大多数试题以选择题的形式出现,部分试题以计算题的形式出现,且往往结合图象进行分析。
(2)从考查内容来看,本单元的考点要求较低,试题难度较小,高考试题中单独考查本单元知识的题目多以实际问题的形式出现,与现实生产、生活和现代科技的结合将更紧密,涉及内容更广泛,与高科技相联系的情景会有所增加。
(3)从考查热点来看,x-t图象、v-t图象,追及、相遇、滑块—滑板模型等是高考命题的热点。要学会从图象的角度分析和解决问题。
预测命题热点:
一是考查对质点、位移、速度、加速度等基本概念与基本规律的理解和运用,通常以选择题的形式出现。
二是考查研究匀变速直线运动的规律,以实验题的形式出现。
三是重点考查匀变速直线运动规律的应用及v-t图象,既有选择题,也有计算题。
命题动向:
一是把对图象物理意义的理解和匀变速直线运动规律的应用综合在一个选择题中进行考查。
二是题型向着综合计算题方向发展。
考点1 直线运动的概念和规律
1
对质点的理解
(1)定义:用来代替物体的有质量的物质点叫作质点。
(2)质点的基本属性:①只占有位置而不占有空间。②具有物体的全部质量。
(3)物体能否被看成质点是由所研究问题的性质决定的。物体的大小和形状,相对所研究的问题可以忽略时,物体就可看成质点。
(4)一个物体能否被看成质点跟自身体积的大小、质量的多少和运动速度的大小无关。如研究地球的公转时,地球可视为质点。
1.1 下列几种情况下,可将被研究的物体当作质点来处理的是( )。
A.研究正在吊起货物的起重机
B.研究坐在翻滚过山车中小孩的坐姿
C.测量太空中绕地球飞行的宇宙飞船的周期时
D.研究房门的运动
【答案】C
1.2 2022年第19届亚洲运动会将在杭州举行,下列几种比赛项目中的研究对象可视为质点的是( )。
A.在体操比赛中研究运动员的转动情况时
B.马术比赛中研究马越过障碍时马腿的姿势时
C.跆拳道比赛中研究运动员动作时
D.划艇比赛中研究划艇在湖中的位置时
【答案】D
2
对参考系的理解
(1)定义:在描述一个物体的运动时,选来作为参考的假定不动的另一物体叫作参考系,也称作参照系。
(2)参考系的性质。
①标准性:被选作参考系的物体都是假定不动的,被研究的物体是运动的还是静止的,都是相对于参考系而言的。
②统一性:在比较不同物体的运动时,应选择同一参考系。
③任意性:参考系的选取是任意的,研究同一个物体的运动可以选择不同物体作参考系。
④差异性:同一运动选择不同的物体作参考系,观察的结果可能相同,也可能不同。
2.1 一只蜜蜂和一辆汽车在平直公路上以相同的速度并排运动。如果这只蜜蜂的眼睛紧盯着车轮边缘上某一点,那么它看到的这一点的运动轨迹应是下图中的( )。
【答案】A
2.2 下列情景中,加点标示的物体的运动,不以地面为参考系的是( )。
A.太阳东升西落 B.轻舟已过万重山
C.骏马在草原上奔驰 D.巍巍青山两岸走
【答案】D
3
时刻和时间、路程和位移
在时间轴上,时刻用一个点表示,时间用一段线段表示。生活中所说“时间”,有时是指时刻,有时是指时间间隔,要根据上下文的物理情景来确定。
【温馨提示】 (1)时间间隔=末时刻-初时刻。时刻没有时间长度。
(2)路程和位移的定义:位移表示质点位置的变动,它是质点由初位置指向末位置的有向线段;路程等于质点运动轨迹的长度。
(3)路程和位移的区别:位移是矢量,方向由初位置指向末位置;路程是标量,没有方向。
(4)路程和位移的联系:在单向直线运动中,位移的大小等于路程;在其他情况下,位移的大小小于路程。
3.1 (多选)下列说法正确的是( )。
A.“北京时间8点整”指的是时间
B.第n s内就是第(n-1) s末到第n s末这1 s时间(n为任意正整数)
C.列车在南昌站停15分钟,指的是时间
D.不管是前5 s还是第5 s,都是指时刻
【答案】BC
3.2 2017年9月天津全运会男子200 m自由泳,孙杨夺冠。 游泳池长50 m,孙杨从比赛开始到结束的过程中,游过的路程的最大值和位移大小的最大值分别是( )。
A.0,50 m B.0,200 m
C.200 m,50 m D.200 m,0
【答案】C
4
平均速度与瞬时速度的区别与联系
(1)区别:平均速度是过程量,表示物体在某段位移或某段时间内的平均运动快慢程度;瞬时速度是状态量,表示物体在某一位置或某一时刻的运动快慢程度。
(2)联系:瞬时速度是运动时间Δt→0时的平均速度。
(3)平均速度与平均速率的区别:平均速度的大小不能称为平均速率,因为平均速率是路程与时间的比值,只有当路程与位移的大小相等时,平均速率才等于平均速度的大小。
4.1 “中国飞人”谢震业在2017年全运会男子百米决赛中夺冠。假设你在运动会上百米赛跑的成绩是14 s,整个过程可分为3个阶段:第一阶段前进14 m,平均速度是7 m/s;第二阶段用时9 s,平均速度为8 m/s。可估算出第三阶段的平均速度是( )。
A.6 m/s B.5.5 m/s
C.4.7 m/s D.3.2 m/s
【答案】C
5
加速度与速度及速度变化量的关系
(1)速度是运动状态量,对应于某一时刻(或某一位置)的运动快慢和方向。
(2)速度变化量Δv=v-v0是运动过程量,对应于某一段时间(或发生某一段位移),若取v0为正,则Δv>0表示速度增加,Δv<0表示速度减小,Δv=0表示速度不变。
(3)加速度a=也称为“速度变化率”,表示在单位时间内的速度变化量,反映了速度变化的快慢。
【温馨提示】 加速度是描述速度变化快慢的物理量,但加速度的方向与速度的方向不一定相同,加速度的大小与速度的大小也没有必然的联系。只要速度在变化,无论速度多小,都有加速度;只要速度不变化,无论速度多大,加速度总是零。只要速度变化快,物体的加速度就大,无论此时速度是大、是小或是零。
5.1 关于速度和加速度,下列说法正确的是( )。
A.速度变化量越大,加速度就越大
B.加速度保持不变,速度方向一定不变
C.速度变化越快,加速度越大
D.加速度大小不断变小,速度大小也一定不断变小
【答案】C
5.2 关于物体的运动,下列情况不可能的是( )。
A.物体运动的加速度等于零,而速度却不等于零
B.两物体相比,一个物体的速度变化量比较大,而加速度却比较小
C.物体具有向东的加速度,而速度的方向却向西
D.物体做直线运动,加速度方向改变而速度不变
【答案】D
6
匀变速直线运动的规律
(1)匀变速直线运动:沿一条直线且加速度不变的运动。
(2)特点:运动轨迹是直线。任意单位时间内速度的变化量Δv相等,即速度是均匀变化的。
【易错警示】 在匀变速直线运动中,质点的加速度大小、方向不变,但不能说a与Δv成正比或与Δt成反比,加速度a由Δv 和Δt 的比值来量度。任意相等的时间内速度的增量相同,这里包括速度的增量大小、方向。
(3)匀变速直线运动的基本规律。
①速度公式:v=v0+at。
②位移公式:x=v0t+at2。
③位移速度关系式:v2-=2ax。
【温馨提示】 除时间t外,x、v0、v、a均为矢量,所以需要确定正方向,一般以v0的方向为正方向。
6.1 做匀加速直线运动的列车出站时,车头经过站台时的速度为1 m/s,车尾经过站台的速度为7 m/s,则车身中部经过站台的速度为( )。
A.3.5 m/s B.4.0 m/s
C.5.0 m/s D.5.5 m/s
【答案】C
6.2 一质点从A点以v0=3 m/s的初速度开始做匀加速直线运动,随后依次经过B、C两点,已知AB段、BC段的距离分别为5 m、9 m,且质点经过AB段、BC段时速度的增加量相等,则( )。
A.质点的加速度大小为2 m/s2
B.质点从A点运动到C点历时3 s
C.质点在C点的速度大小为11 m/s
D.质点在B点的速度大小为6 m/s
【答案】C
7
匀变速直线运动的三个推论
(1)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初、末时刻速度矢量和的平均值,还等于中间时刻的瞬时速度。
平均速度公式:==。
(2)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等。
即x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1=aT2。
(3)位移中点速度=。
7.1 一小球沿斜面以恒定的加速度滚下,小球依次通过A、B、C三点,已知AB=12 m,BC=20 m,小球通过AB、BC所用的时间均为2 s,则小球通过A、B、C三点的速度分别为( )。
A.6 m/s、8 m/s、10 m/s
B.0 m/s、4 m/s、8 m/s
C.2 m/s、4 m/s、6 m/s
D.4 m/s、8 m/s、12 m/s
【答案】D
8
初速度为零的匀加速直线运动的三个重要推论
(1)1T末,2T末,3T末,…,nT末的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。
(2)1T内,2T内,3T内,…,nT内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn=12∶22∶32∶…∶n2。
(3)第1个T内,第2个T内,第3个T内,…,第n个T内的位移之比为Δx1∶Δx2∶Δx3∶…∶Δxn=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。
8.1 一个物体做末速度为零的匀减速直线运动,比较该物体在减速运动的倒数第3 m、倒数第2 m、最后1 m内的运动,下列说法中正确的是( )。
A.经历的时间之比是1∶2∶3
B.平均速度之比是3∶2∶1
C.平均速度之比是1∶(-1)∶(-)
D.平均速度之比是(+)∶(+1)∶1
【答案】D
9
自由落体运动
(1)定义:物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。
(2)物体做自由落体运动的条件:
①物体只受重力作用。
②物体的初速度等于零。
(3)运动性质:自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动。
(4)基本规律:
①速度公式:v=gt。
②位移公式:h=gt2。
③速度与位移关系式:v2=2gh。
9.1 关于重力加速度,下列说法中不正确的是( )。
A.重力加速度g是标量,只有大小,没有方向,通常计算中g取9.8 m/s2
B.在地球上不同的地方,g的大小不同,但它们相差不是很大
C.在地球上同一地点同一高度,一切物体自由落体运动的加速度都相同
D.在地球上的同一地方,离地面高度越大,重力加速度g越小
【答案】A
10
竖直上抛运动
(1)运动特点:加速度为g,上升阶段做匀减速运动,下降阶段做自由落体运动。
(2)运动性质:匀减速直线运动。
(3)基本规律:
①速度公式:v=v0-gt。
②位移公式:h=v0t-gt2。
【温馨提示】 (1)物体上升到最高点时速度虽为零,但并不处于平衡状态。(2)可以对全过程直接应用匀变速直线运动的基本公式,但要注意各物理量的方向。
10.1 (多选)竖直上抛的物体,又落回抛出点,不计空气阻力, 关于物体的运动,下列说法中正确的是( )。
A.上升过程和下落过程的时间相等,位移相同
B.物体到达最高点时,速度为零,加速度也为零
C.整个过程中,任意相等时间内物体的速度变化量均相同
D.不管竖直上抛的初速度有多大(v0>10 m/s),物体上升过程的最后1 s时间内的位移都是相同的
【答案】CD
考点2 运动图象、追及与相遇问题
1
x-t图象
(1)理解图象中的“点”“线”“斜率”“截距”的物理意义
①点:两图线交点,说明两物体相遇。
②线:表示研究对象的变化过程和规律。若线为倾斜直线,则表示物体做匀速直线运动;若线为曲线,则表示物体的速度在变化。
③斜率:x-t图象的斜率表示速度的大小及方向。
④截距:纵轴截距表示t=0时刻的初始位移,横轴截距表示位移为零的时刻。
(2)理解分析x-t图象的基本方法和技巧
①从x-t图象上可以确定物体在任意时间内的位移。
②从x-t图象上可以确定物体通过任一位移所需的时间。
③根据x-t图象的斜率可以判断和比较物体运动速度的大小,并能判断运动性质。
【温馨提示】 两种特殊的x-t图象:(1)若x-t图象是一条平行于时间轴的直线,则说明物体处于静止状态。(2)若x-t图象是一条倾斜的直线,则说明物体在做匀速运动。
1.1
(多选)某物体的位移—时间图象如图所示,则下列叙述中正确的是( )。
A.物体运动的轨迹是抛物线
B.物体运动的时间为4 s
C.物体运动过程中的最大位移为80 m
D.在t=4 s时,物体的瞬时速度为零
【答案】CD
1.2
一质点沿x轴正方向做直线运动,其x-t图象如图所示,则( )。
A.质点做匀速直线运动,速度为0.5 m/s
B.质点做匀加速直线运动,加速度为0.5 m/s2
C.质点在第1 s内的平均速度为0.75 m/s
D.质点在1 s末的速度为1.5 m/s
【答案】A
2
v-t图象
(1)理解图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的物理意义
①点:两图线交点,说明两物体在交点时的速度相等。
②线:倾斜直线表示物体做匀变速直线运动,曲线表示物体做变加速运动。
③斜率:表示加速度的大小及方向。
④截距:纵轴截距表示t=0时刻的初速度,横轴截距表示速度为零的时刻。
⑤面积:表示某段时间内的位移。
(2)理解分析v-t图象的基本方法和技巧
①从v-t图象上可以得出物体在任意时刻的运动速度。
②由v-t图象的“面积”(速度图线和坐标轴所夹的面积)可求出物体运动的位移大小。
③从v-t图象上可以得出物体运动的加速度。
(3)根据v-t图象可以判断加速度的变化情况,进而明确物体的运动特征。
2.1 (多选)质点做直线运动的v-t图象如图所示,则( )。
A.6 s内物体做匀变速直线运动
B.2 s~4 s内物体做匀变速直线运动
C.3 s末物体的速度为零,且改变运动方向
D.5 s末物体的速度大小为-2 m/s
【答案】BC
2.2
图示是物体做直线运动的v-t图象,由图象可得到的正确结果是( )。
A.t=1 s时物体的加速度大小为1.0 m/s2
B.t=5 s时物体的加速度大小为0.75 m/s2
C.第3 s内物体的位移为1.5 m
D.物体在加速过程的位移比减速过程的位移大
【答案】B
3
对两种图象的理解
(1)在x-t图象中,图线反映了质点的位移随时间的变化规律。在t轴上方的位移为正,表示位移方向与规定的正方向相同;t轴下方位移为负,表示位移方向与规定的正方向相反。斜率表示速度,斜率为正表示物体沿正方向运动,斜率为负表示物体沿负方向运动。
(2)由图象分析物体的运动情况:探寻纵坐标和横坐标所代表的两个物理量间的函数关系,将物理过程“翻译”成图象,或将图象还原成物理过程,是解此类问题的通用方法。弄清图线的形状是直线还是曲线,弄清截距、斜率、面积所代表的物理意义是解答问题的突破口。
【易错警示】 (1)x-t图象和v-t图象都只能反映直线运动的规律,而不能反映曲线运动的规律。
(2)x-t图象和v-t图象是用图线直观地反映位移或速度随时间变化的工具。图线上每一点表示某一时刻的位移或速度,也可反映其变化情况,而正负表示了位移或速度的方向。
3.1 如图所示,在下列表示物体运动规律的图象中,表示物体做匀变速直线运动的是( )。
【答案】D
3.2 下列图象能反映物体在直线上运动经2 s不能回到初始位置的是( )。
【答案】B
4
追及与相遇问题的判断
(1)追及与相遇:在追及问题中,若后者能追上前者,则追上时,两者处于同一位置,开始追时后者的速度一定大于前者的速度;若后者追不上前者,则当后者的速度与前者的速度相等时,两者相距最近。在相遇问题中,同向运动的两物体追及即相遇;相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体之间的距离时相遇。
(2)用数学方法判断追及问题时可先假设能够相遇,列出物体间的位移方程,如果位移方程是关于时间t的二次方程,则当t有唯一正解时,物体相遇一次;当t有两个正解时,物体相遇两次;当t无正解时,物体不能相遇。
【易错警示】 (1)若被追赶的物体做匀减速运动,则一定要注意被追上前该物体是否已停止运动。
(2)仔细审题,注意抓住题目中的关键字(如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等),充分挖掘题目中的隐含条件。
4.1 两辆完全相同的汽车,沿水平直线一前一后匀速行驶,速度均为v0,若前车突然以恒定的加速度刹车,在它刚停车时,后车以与前车相同的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行驶的距离为x,若要保证两车在上述情况下不相撞,则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为( )。
A.x B.2x C.3x D.4x
【答案】B
4.2 (多选)甲、乙两辆汽车沿平直公路从同一地点同时由静止开始向同一方向运动的v-t图象如图所示,则下列说法正确的是( )。
A.0~t1时间内,甲的平均速度大于乙的平均速度
B.0~2t1时间内,甲的平均速度大于乙的平均速度
C.t1时刻两车再次相遇
D.在t1~2t1时间内的某时刻,两车相遇
【答案】BD
题型一
匀变速直线运动规律及其应用问题
1.合理选用公式
题目中所涉及的物理量
(包括已知量、待求量和
为解题设定的中间量)
没有涉及的物理量
适宜选用公式
v0、v、a、t
x
v=v0+at
v0、a、t、x
v
x=v0t+at2
v0、v、a、x
t
v2-=2ax
v0、v、t、x
a
x=t
除时间t外,x、v0、v、a均为矢量,所以需要确定正方向,一般以v0的方向为正方向。
2.匀变速直线运动问题的解题思路
(1)确定研究对象及研究过程。
(2)选取正方向。(矢量的正负值)
(3)根据已知量及未知量,选定公式列方程。
(4)统一单位,求解方程。
(5)验证结果,结合生活实际对结果进行讨论。
【易错警示】 匀变速直线运动的每一个公式都涉及四个物理量,解题时应注意根据题目所给的三个已知量,以及要求的未知量,合理选用公式。对于匀减速运动的解答结果的讨论,要注意题目所描述的问题有没有反向速度的可能,从而确定解答结果的取舍。
【例1】一个从静止开始做匀加速直线运动的物体,从开始运动起,连续通过三段位移的时间分别是1 s、2 s、3 s,这三段位移的大小之比和这三段位移对应的平均速度之比分别是( )。
A.1∶22∶32,1∶2∶3 B.1∶23∶33,1∶22∶32
C.1∶2∶3,1∶1∶1 D.1∶3∶5,1∶2∶3
【解析】设加速度为a,t0=1 s,则第一段位移x1=a,平均速度v1==at0,第二段位移x2=a×(3t0)2-a×=a×8,平均速度v2==a×4t0,第三段位移x3=a×(6t0)2-a×(3t0)2=a×27,平均速度v3==a×9t0,故位移之比为1∶23∶33,平均速度之比为1∶22∶32,B项正确。
【答案】B
本题主要考查匀变速直线运动及匀变速直线运动的位移、速度公式的恰当选用。在分析匀变速直线运动问题时,因为这一部分的公式较多,涉及的物理量较多,并且有时涉及的过程也非常多,所以对所研究的过程的运动性质要明确,对给出的物理量所表示的含义要明确,然后选择正确的公式分析解题。
【变式训练1】如图所示,水平地面O点的正上方的装置M每隔相等的时间由静止释放一小球,在某小球离开M的同时,O点右侧一长L=1.2 m的平板车开始以a=6.0 m/s2的恒定加速度从静止开始向左运动,该小球恰好落在平板车的左端,已知平板车上表面距离M的竖直高度h=0.45 m。忽略空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求小车左端距离O点的水平距离。
(2)若至少有2个小球落在平板车上,则释放小球的时间间隔Δt应满足什么条件?
【解析】(1)设小球自由下落到平板车上表面处历时为t0,在该时间段内由运动学方程
对小球有h=g
对平板车有x=a
联立解得x=0.27 m。
(2)从释放第一个小球至第二个小球下落到平板车上表面处历时Δt+t0,设平板车在该时间段内的位移为x1,由运动学方程有x1=a(Δt+t0)2
至少有2个小球落在平板车上须满足:x1≤x+L
联立解得Δt≤0.4 s。
【答案】(1)0.27 m (2)Δt≤0.4 s
【变式训练2】(多选)一物体做匀变速直线运动,某时刻速度的大小为4 m/s,1 s后速度大小变为 10 m/s,在这1 s内物体的( )。
A.平均速度的大小可能是7 m/s
B.位移的大小可能小于4 m
C.速度变化量的大小可能小于4 m/s
D.加速度的大小可能小于10 m/s2
【解析】若物体做匀加速直线运动,v0=4 m/s,v=10 m/s,则 ==7 m/s,a==6 m/s2,Δv=v-v0=6 m/s,故A、D两项正确。若物体先减速再反向加速,v0=4 m/s,v=-10 m/s,则 ==-3 m/s,x= t=-3 m,Δv=v-v0=-14 m/s,故B项正确,C项错误。
【答案】ABD
题型二
自由落体运动和竖直上抛运动问题
1.自由落体运动
(1)基本特征:自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动,即v0=0,a=g(方向竖直向下)。
(2)基本规律:初速度为零的匀加速直线运动的规律适用于自由落体运动,常用到以下表达式v=gt,h=gt2,v=,==gt (一段时间内的平均速度)。
【易错警示】 对于竖直下落的物体是不是做自由落体运动,判断时易出错。在判断时,如题目直接给出物体由静止开始自由下落或忽略空气阻力等提示语时,可将下落物体的运动看成自由落体运动。对于有空气阻力的问题,若空气阻力远远小于重力,可近似看作是自由落体运动。若只是空气阻力很小,则不能认为物体就一定做自由落体运动,虽然空气阻力很小,但可能空气阻力与重力大小差不多,则不是自由落体运动。
2.竖直上抛运动(如图)的重要特性
(1)对称性:
①时间对称:物体上升过程中从A到C所用时间tAC和下降过程中从C到A所用时间tCA相等,同理tAB=tBA。
②速度对称:物体上升过程经过A点的速度大小与下降过程经过A点的速度大小相等。
(2)多解性:当物体经过抛出点上方某个位置时,可能处于上升阶段,也可能处于下降阶段,造成多解,在解题时要注意这个特性。
3.竖直上抛运动的研究方法
(1)分段法:上升阶段是a=g的匀减速直线运动;下降阶段是自由落体运动。
(2)全程法:初速度v0向上、加速度g向下的匀变速直线运动,v=v0-gt,h=v0t-gt2(向上为正方向)。若v>0,物体上升,若v<0,物体下落;若h>0,则物体在抛出点上方,若h<0,则物体在抛出点下方。
【例2】某校一课外活动小组自制一枚火箭,设火箭从水平地面发射后,始终在垂直于地面的方向上运动。火箭点火后可认为做匀加速直线运动,经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完,若不计空气阻力,取g=10 m/s2,求:
(1)燃料恰好用完时火箭的速度大小。
(2)火箭上升到离地面的最大高度。
(3)火箭从发射到残骸落回地面过程的总时间。
【解析】设燃料用完时火箭的速度为v1,所用时间为t1
火箭的上升过程分为两个过程,第一个过程为匀加速上升运动,第二个过程为竖直上抛运动至最高点。
(1)对第一个过程有h1=t1,代入数据解得v1=20 m/s。
(2)对第二个过程有h2=,代入数据解得h2=20 m
所以火箭上升到离地面的最大高度h=h1+h2=60 m。
(3)方法一 分段分析法
从燃料用完到运动至最高点的过程中,由v1=gt2得t2==2 s
从最高点落回地面的过程中,由h=g得t3=2 s
故总时间t总=t1+t2+t3=(6+2) s。
方法二 整体分析法
考虑从燃料用完到残骸落回地面的全过程,以竖直向上为正方向,全过程为初速度v1=20 m/s,加速度a=-g=-10 m/s2,位移h'=-40 m的匀减速直线运动,即有h'=v1t-gt2
代入数据解得t=(2+2) s或t=(2-2) s(舍去)
故t总=t1+t=(6+2) s。
【答案】(1)20 m/s (2)60 m (3)(6+2) s
竖直上抛运动的多解问题:由位移公式h=v0t-gt2知,对某一高度h:
(1)当h>0时,表示物体在抛出点的上方。此时t有两解:较小的t表示上抛物体第一次到达这一高度所用的时间;较大的t表示上抛物体落回此高度所用的时间。
(2)当h=0时,表示物体刚抛出或抛出后落回原处。此时t有两解:一解为零,表示刚要上抛这一时刻;另一解表示上抛后又落回抛出点所用的时间。
(3)当h<0时,表示物体抛出后落回抛出点后继续下落到抛出点下方的某一位置。此时t有两解:一解为正值,表示物体落到抛出点下方某处所用时间;另一解为负值,应舍去。
【变式训练3】在足够高的空中某点竖直上抛一物体,抛出后第5 s内物体的位移大小为4 m,设物体抛出时的速度方向为正方向,忽略空气阻力的影响,g取 10 m/s2。则关于物体的运动,下列说法正确的是( )。
A.物体的上升时间可能是4.9 s
B.第5 s内的平均速度一定是-4 m/s
C.4 s末的瞬时速度可能是10 m/s
D.10 s内位移可能为-100 m
【解析】若位移的方向向上,根据x=v0t+at2,解得第5 s 初的速度为9 m/s,上升到最高点还需的时间t'==0.9 s,则物体上升的时间可能为4.9 s;若物体的位移向下,根据x'=v0't+at2,解得第5 s初(4 s末)的速度为1 m/s,故A项正确,C项错误。由A项分析可知,第5 s内的位移可能向上,也可能向下,则平均速度可能为4 m/s,也可能为-4 m/s,故B项错误。当物体第 5 s初的速度为9 m/s时,物体竖直上抛的初速度v=v0+gt4=49 m/s;当物体第5 s初的速度为1 m/s时,v初'=v0'+gt4=41 m/s。可知10 s末的速度可能为-51 m/s,可能为-59 m/s,根据x= t得,10 s内的位移可能为-10 m,也可能为-90 m,故D项错误。
【答案】A
【变式训练4】一物体从高为h处做自由落体运动,经时间t到达地面,落地时速度为v,那么当物体下落时间为时,物体的速度和距地面的高度分别是( )。
A., B.,h C.,h D.,h
【解析】物体做自由落体运动,经时间t到达地面的速度为v,根据速度公式v=gt可知,下落时间为时的速度v1==,又知下落时间t内的位移为h,则时间内的位移h1=g=,物体距地面的高度h2=h-h1=h,故C项正确,A、B、D三项错误。
【答案】C
题型三
运动学图象的理解和应用问题
1.速度—时间图象的特点
(1)v-t图象上t轴上方代表“正方向”,t轴下方代表“负方向”,v-t图象只能描述物体做直线运动的情况,如果做曲线运动,则画不出物体的v-t图象。
(2)v-t图象表示运动物体在任意时刻与之对应的速度的大小和方向,负值表示与规定的正方向相反。
(3)图线某点的切线斜率表示该时刻物体的加速度,即a=,斜率的正、负对应加速度的正、负。
(4)某段时间内图线与坐标轴所围面积的大小等于该段时间内物体通过的位移大小与方向(t轴上方的面积为正位移、下方的面积为负位移)。
(5)在v轴上的截距表示t=0时刻物体的初速度,在t轴上的截距表示速度为零的时刻。
【温馨提示】 v-t图象的命题规律:
(1)v-t图象结合匀变速直线运动规律进行考查。
(2)v-t图象结合牛顿第二定律进行考查。
(3)在综合题目中v-t图象结合受力分析、运动分析进行考查。
2.应用运动图象解题“六看”
x-t图象
v-t图象
轴
横轴为时间t,纵轴为位移x
横轴为时间t,纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线和坐标轴所围成的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
特殊点
拐点表示从一种运动变为另一种运动,交点表示相遇
拐点表示从一种运动变为另一种运动,交点表示速度相等
3.对两种图象的理解
(1)x-t图象、v-t图象都不是物体运动的轨迹,图象中各点的坐标值x、v与t一一对应。
(2)x-t图象、v-t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定。
(3)无论是x-t图象还是v-t图象,所描述的运动都是直线运动。
【例3】小球从一定高度处由静止下落,与地面碰撞后回到原高度再次下落,重复上述运动。取小球的落地点为原点建立坐标系,竖直向上为正方向,下列速度和位置的关系图象中,能描述该过程的是( )。
【解析】由于取小球的落地点为原点建立坐标系,竖直向上为正方向,位置总是大于零且最远只能到刚下落处,不会无限增加,C、D两项错误;小球与地面碰撞后做竖直上抛运动,此时位移的数值就代表小球的位置x,加速度a=-g,根据运动学公式v2-=2ax得v2=-2gx,这里v0为做竖直上抛运动的初速度,是定值,故v-x图象是抛物线,B项错误,A项正确。
【答案】A
本题重在考查匀变速运动的规律及图象,细节在运动的方向上,可由此排除C、D两项;结合速度与位移的二次函数关系,可排除B项。排除法是做选择题一个常用的、重要的方法之一。
【变式训练5】(多选)甲、乙两物体由同一位置出发沿同一直线运动,其速度—时间图象如图所示,下列说法正确的是( )。
A.甲做匀速直线运动,乙做匀变速直线运动
B.两物体两次相遇的时刻分别是在2 s末和6 s末
C.乙在前2 s内做匀加速直线运动,2 s~6 s做匀减速直线运动
D.2 s后,甲、乙两物体的速度方向相反
【解析】甲做匀速直线运动,乙物体在前2 s做匀加速直线运动,加速度为正方向,后4 s做匀减速直线运动,加速度为负方向,所以乙物体全程不是匀变速直线运动,故A项错误,C项正确。甲、乙两物体由同一位置出发,在速度—时间图象中图线与坐标轴所围成的面积代表位移,时间轴上方位移为正,时间轴下方位移为负,所以前2 s内乙的三角形面积等于甲的矩形面积,即位移相同,此时两车相遇;前6 s内甲的矩形面积等于乙的三角形的面积,此时又相遇,故B项正确。因为在速度—时间图象中,某一点代表该时刻的瞬时速度,时间轴上方速度是正方向,时间轴下方速度是负方向,所以前6 s内甲、乙两物体的速度都为正方向,D项错误。
【答案】BC
【变式训练6】图示是某质点运动的速度图象,由图象得到的正确结果是( )。
A.0~1 s内的平均速度是2 m/s
B.0~2 s内的位移大小是4 m
C.0~1 s内的运动方向与2 s~4 s内的运动方向相反
D.0~1 s内的加速度大小大于2 s~4 s内加速度的大小
【解析】0~1 s内质点做匀加速直线运动,其平均速度为初、末速度之和的一半,即== m/s=1 m/s,故A项错误;在v-t图象中,图线与坐标轴所围的面积大小等于位移,则x=×(1+2)×2 m=3 m,故B项错误;速度的正负表示速度的方向,则知0~1 s内的运动方向与2 s~4 s内的运动方向相同,故C项错误;速度图象的斜率表示加速度,则知0~1 s内的加速度大于2 s~4 s内的加速度,D项正确。
【答案】D
题型四
用运动图象进行辅助分析
1.对多过程的运动问题,若用传统的解析法分析,不仅求解困难,而且计算过程复杂,有时甚至难以求出正确答案,此时若依据题中所描述的运动过程画出物体的运动过程图象辅助分析,则可方便求解。
2.对于两个质点分别以不同的加速度运动,比较运动快慢问题时可作速度(速率)—时间图象进行辅助分析,此时根据图象“面积”相等这一特征比较时间的长短。
3.所描述的物理量做非线性变化时,可先构建一个物理量与另一物理量的线性变化关系图象,如“反比关系可转化为与倒数成正比”,然后应用“面积”含义或斜率的含义即可求解具体问题。
【例4】十九大报告中指出,创新型国家建设成果丰硕,“天宫”“蛟龙”“天眼”“悟空”“墨子”“大飞机”等重大科技成果相继问世。C919首飞是中国航空产业和大飞机事业的起飞。某同学欲估算大飞机着陆时的速度,他假设大飞机在平直跑道上做匀减速运动,大飞机在跑道上滑行的距离为x,从着陆到停下来所用的时间为t,实际上,大飞机的速度越大,所受的阻力越大,则大飞机着陆时的速度( )。
A.v= B.v=
C.v> D.x,所以v>,C项正确。
【答案】C
借助x-t或v-t图象求解,即根据题意把抽象的物理过程用图线表示出来,将物理量间的代数关系转化为几何关系,使得分析过程更清晰、直观,可达到化难为易、化繁为简的目的。
【变式训练7】一辆警车在平直的公路上以40 m/s的速度巡逻,突然接到报警,在前方不远处有歹徒抢劫,该警车要尽快赶到出事地点,且到达出事地点时的速度也为40 m/s,有三种行进方式:a为一直匀速直线运动;b为先减速再加速;c为先加速再减速。则关于三种方式到达先后的情况,下列说法正确的是( )。
A.a种方式先到达 B.b种方式先到达
C.c种方式先到达 D.条件不足,无法确定
【解析】根据题意画出三种方式的速度—时间图象如图所示,速度—时间图象的“面积”可以表示位移,分析图象可知,经过相同的位移先加速后减速所需的时间最短,C项正确。
【答案】C
题型五
刹车问题
刹车问题是指匀减速到速度为零即停止运动,加速度a突然消失,求解时要注意确定其实际运动时间。如果问题涉及最后阶段的运动(到停止运动),可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动。
【例5】随着机动车数量的增加,交通安全问题日益凸显,分析交通违法事例,将警示我们遵守交通法规,珍惜生命。如图所示为某型号货车紧急制动时(假设做匀减速直线运动)的v2-x图象(v为货车的速度,x为制动距离),其中图线1为满载时符合安全要求的制动图象,图线2为严重超载时的制动图象。某路段限速72 km/h,是根据该型号货车满载时安全制动时间和制动距离确定的。现有一辆该型号的货车严重超载并以54 km/h的速度行驶。通过计算回答:
(1)当驾驶员紧急制动时,该型号严重超载的货车制动时间和制动距离是否符合安全要求?
(2)若驾驶员从发现险情到采取紧急制动措施的反应时间为1 s,则该型号货车满载时以72 km/h的速度正常行驶的跟车距离至少应为多远?
【解析】(1)根据速度位移公式v2-=2ax,有v2=2ax+,则图线斜率的一半表示加速度
根据题中图象得到:满载时的加速度大小a1=5 m/s2
严重超载时的加速度大小a2=2.5 m/s2
设该型号货车满载时以72 km/h(20 m/s)的速度开始紧急制动,制动距离x1==40 m
制动时间t1==4 s
设该型号货车严重超载时以54 km/h(15 m/s)的速度开始紧急制动,制动距离x2==45 m>x1
制动时间t2==6 s>t1
所以驾驶员紧急制动时,该型号货车严重超载时的制动时间和制动距离均不符合安全要求。
(2)货车驾驶员在反应时间内做匀速直线运动,运动距离x3=v0t3=20 m
跟车距离x=x1+x3=60 m。
【答案】(1)不符合 (2)60 m
本题关键是根据图象求出两种情况下刹车的加速度,然后根据运动学公式列式求解。
(1)先根据图象得到满载时的加速度和严重超载时的加速度,然后再进行判断。
(2)反应时间内做匀速直线运动,之后做匀减速直线运动,根据位移时间关系的公式列式求解。
【变式训练8】一列货车以10 m/s的速度在铁路上匀速行驶,由于调度出错,在大雾中该列货车后面600 m处有一列快车以20 m/s的速度在同一轨道上行驶,此时快车司机赶快合上制动器,快车要滑行2000 m才能停下来,求两车的最近距离。
【解析】根据匀变速直线运动的速度位移公式
v2-=2ax
可得快车的加速度a=-0.1 m/s2
两车速度相等时所经历的时间t==100 s
货车位移x货=v1t=1000 m
快车位移x快=t=1500 m
而x=x货+x0=1600 m>x快
故Δx=x-x快=100 m。
【答案】100 m
【变式训练9】一在隧道中行驶的汽车A以vA=4 m/s的速度向东做匀速直线运动,发现前方相距x0=7 m处,以vB=10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速直线运动,其刹车的加速度大小a=2 m/s2,从此刻开始计时,若汽车A不采取刹车措施,汽车B刹车直到静止后保持不动,求:
(1)汽车A追上汽车B前,A、B两汽车间的最远距离。
(2)汽车A恰好追上汽车B所需要的时间。
【解析】(1)当A、B两汽车的速度相等时,两车间的距离最远,即v=vB-at=vA,得t==3 s
此时汽车A的位移xA=vAt=12 m
汽车B的位移xB=vBt-at2=21 m
A、B两汽车间的最远距离Δxm=xB+x0-xA=16 m。
(2)汽车B从开始减速直到静止所经历的时间t1==5 s
运动的位移xB'==25 m
汽车A在t1时间内运动的位移 xA'=vAt1=20 m
此时相距Δx=xB'+x0-xA'=12 m
汽车A需要再运动的时间t2==3 s
故汽车A追上汽车B所用时间t总=t1+t2=8 s。
【答案】(1)16 m (2)8 s
题型六
追及相遇问题
1.相遇问题:相向运动的两物体,各自运动的位移大小之和等于开始时两物体间的距离。同向运动的两物体追及即相遇,位移之差等于开始时两物体之间的距离。
2.追及问题:一般是指两个物体同方向运动,由于各自的速度不同后者追上前者的问题。
【例6】(多选)在2017年匈牙利航海模型帆船项目世界锦标赛上,中国选手获得遥控帆船(F5-10)冠军。若a、b两个遥控帆船从同一位置向同一方向做直线运动,它们的v-t图象如图所示,则下列说法正确的是( )。
A.b船启动时,a船在其前方2 m处
B.运动过程中,b船落后a船的最大距离为4 m
C.b船启动3 s后正好追上a船
D.b船超过a船后,两船不会再相遇
【解析】根据速度图线与坐标轴所围的面积表示位移,可知b船在t=2 s时启动,此时a船的位移x=×2×1 m=1 m,即a船在b船前方1 m处,A项错误;当两船的速度相等时相距最远,最大距离xmax=×(1+3)×1 m-×1×1 m=1.5 m,B项错误;由于两船从同一位置沿同一方向做直线运动,当位移相等时两船才相遇,由图可知,b船启动3 s后位移等于a船的位移,即b船启动3 s后正好追上a船,C项正确;b船超过a船后,因为b船的速度大,所以不可能再相遇,D项正确。
【答案】CD
追及问题的实质是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题。解决此类问题要注意“两个关系”和“一个条件”,“两个关系”即时间关系和位移关系;“一个条件”即两者速度相等,它往往是物体间能否追上或两物体距离最大或最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点。画出运动示意图,在图上标出已知量和未知量,再探寻位移关系和速度关系,这些是解决此类问题的通用技巧。
【变式训练10】平直铁轨与公路平行,火车静止在铁轨上,摩托车在公路上向右匀速行驶。当摩托车离火车尾的距离s=54 m时(如图所示),火车开始以a=1 m/s2的加速度向右匀加速前进。当摩托车行驶的速度为多大时,摩托车与火车尾相遇的时间间隔Δt=12 s(摩托车始终未超过火车头)?
【解析】设经过时间t摩托车与火车尾相遇,则有:
s=vt-at2
经过时间t+Δt,摩托车再次与火车尾相遇,则有:
s=v(t+Δt)-a(t+Δt)2
解得v==12 m/s。
【答案】12 m/s
【变式训练11】图示为两个物体A和B在同一直线上沿同一方向同时开始运动的v-t图线,已知在第3 s末两个物体在途中相遇,则( )。
A.A、B两物体是从同一地点出发的
B.3 s内物体A的平均速度比物体B的大
C.A、B两物体在减速阶段的加速度大小之比为3∶1
D.当t=1 s时,两物体第一次相遇
【解析】3 s内A、B的位移分别为xA=7 m,xB=10 m,第3 s末两个物体在途中相遇,出发时它们相距x=xB-xA=3 m,不是从同一点出发的,A项错误;3 s内= m/s,= m/s,B项错误;减速阶段,aA=2 m/s2,aB=1 m/s2,aA∶aB=2∶1,C项错误;当t=1 s时,xA'=×1×2 m=1 m,xB'=4×1 m=4 m,xB'=xA'+x,此时刚好相遇,D项正确。
【答案】D
题型七
双向可逆问题
沿光滑斜面上滑的小球,到最高点后仍能以原加速度匀加速下滑,全过程加速度大小、方向均不变,故求解时可对全过程列式,但必须注意x、v、a等矢量的正、负号及物理意义。
【例7】做匀减速直线运动的物体经4 s后停止,若物体在第 1 s内的位移是14 m,则物体在最后1 s内的位移是( )。
A.3.5 m B.2 m C.1 m D.0
【解析】设加速度大小为a,则开始减速时的初速度大小v0=at,第1 s内的位移x1=v0t1-a=14 m,所以a=4 m/s2,物体最后1 s的位移x=a=2 m。
【答案】B
本题也可以采用逆向思维的方法,把物体的运动看作是初速度为零的匀加速直线运动,其在连续相邻相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶7,已知第4 s内的位移是14 m,所以第1 s内的位移是2 m。
【变式训练12】一杂技演员把三个球依次竖直向上抛出,形成连续的循环。他每抛出一个球后,再过一段与刚才抛出的球在手中停留的时间相等的时间,又接到下一个球,这样,便形成有时空中有三个球,有时空中有两个球,而演员手中则有一半时间内有一个球,有一半时间内没有球的循环。设每个球上升的最大高度为1.25 m,g取10 m/s2,则每个球在手中停留的时间是( )。
A.0.4 s B.0.3 s C.0.2 s D.0.1 s
【解析】小球上升的高度为1.25 m,根据匀变速直线运动规律,有h=gt2,得t=0.5 s。球上升和下落的时间必然是相同的,所以一个球在空中运行的总时间为1 s。也就是说杂技演员抛球的一个循环的时间为1 s。再假设每个球停留在手中的时间为t1,有5t1=1 s,解得t1=0.2 s,C项正确。
【答案】C
题型八
多过程组合问题
1.解题步骤:如果一个物体的运动包含几个阶段,就要分段分析,各段交接处的速度往往是联系各段的纽带。可按下列步骤解题:
(1)画:分清各阶段运动过程,画出草图。
(2)列:列出各运动阶段的运动方程。
(3)找:找出交接处的速度与各段间的位移—时间关系。
(4)解:联立求解,算出结果。
2.解题技巧:
(1)用图象分析运动学问题能很好地反映出物体的运动规律,且直观、形象,这是图象法的优势,一些物理量的关系能通过图象很明显地反映出来。
(2)将末速度为零的匀减速直线运动通过逆向思维转化为初速度为零的匀加速直线运动。
(3)多运动过程中转折点的速度是联系两个运动过程的纽带,因此,转折点速度的求解往往是解题的关键。
【例8】(多选)一辆汽车从静止开始匀加速直线开出,然后保持匀速直线运动,最后做匀减速直线运动,直到停止,下表给出了不同时刻汽车的速度,根据表格可知( )。
时刻/s
1
2
3
5
6
7
9.5
10.5
速度/(m·s-1)
3
6
9
12
12
12
9
3
A.汽车在t=5 s时刻开始做匀速直线运动
B.汽车做匀速运动的时间为5 s
C.汽车从开始运动直到停止的过程中的平均速度大小约为8.73 m/s
D.汽车加速阶段的平均速度小于减速阶段的平均速度
【解析】由所给表格的数据可知匀速运动的速度为 12 m/s,1 s、2 s、3 s时刻处于匀加速过程,9.5 s和10.5 s时刻处于匀减速过程,匀加速过程的加速度a1= m/s2=3 m/s2,加速时间t1==4 s,汽车在t=4 s开始做匀速直线运动,A项错误;匀减速过程的加速度a2= m/s2=-6 m/s2,到9.5 s时刻,汽车已减速的时间Δt= s=0.5 s,说明在第t=9 s开始减速,则匀速运动的时间t2=9 s-4 s=5 s,B项正确;匀减速运动的时间t3= s=2 s,因此t总=t1+t2+t3=11 s,所以整个过程的平均速度= m/s≈8.73 m/s,C项正确;加速过程的平均速度'= m/s=6 m/s,减速过程的平均速度''= m/s=6 m/s,D项错误。
【答案】BC
本题重点考查匀变速直线运动的规律,是一个由三个过程组成的运动问题,从静止开始经历匀加速、匀速、匀减速过程到停止,从表格中可计算匀加速和匀减速过程的加速度,又可直接看出最大速度,就能求出相应的加速和减速过程所用的时间,从而确定运动的总时间。
【变式训练13】研究表明,一般人的刹车反应时间(图甲中“反应过程”所用时间)t0=0.4 s,但饮酒会导致反应时间延长,在某次试验中,志愿者少量饮酒后驾车以72 km/h的速度在试验场的水平路面上匀速行驶,从发现情况到汽车停止,行驶距离L=39 m,减速过程中汽车位移x与速度v的关系曲线如图乙所示,此过程可视为匀变速直线运动,重力加速度的大小g取10 m/s2,求:
(1)减速过程汽车加速度的大小及所用时间。
(2)饮酒使志愿者反应时间比一般人增加了多少。
【解析】(1)设刹车加速度大小为a,由题可知刹车初速度v0=20 m/s,末速度vt=0,位移x=25 m
由-=2ax,t=
可得a=8 m/s2,t=2.5 s。
(2)反应时间内的位移x'=L-x=14 m
则反应时间t'==0.7 s
反应时间的增加量Δt=0.7 s-0.4 s=0.3 s。
【答案】(1)8 m/s2 2.5 s (2)0.3 s
【变式训练14】一平直的传送带以速率v=2 m/s匀速运行,在A处把物体轻轻地放到传送带上,经过时间t=6 s,物体到达B处。A、B相距L=10 m。
(1)求物体在传送带上做匀加速运动的时间。
(2)如果提高传送带的运行速率,物体能较快地传送到B处。那么要让物体以最短的时间从A处传送到B处,传送带的运行速率至少应为多大?
(3)若使传送带的运行速率为10 m/s,则物体从A传送到B的时间是多少?
【解析】(1)当传送带的运行速率较小,传送时间较长时,物体从A到B需经历匀加速运动和匀速运动两个过程,设物体匀加速运动的时间为t1,匀速运动的时间为t2,则
t1+vt2=L
t1+t2=t
所以t1==2 s。
(2)为使物体从A至B所用时间最短,物体必须始终处于加速状态,因为物体与传送带之间的滑动摩擦力不变,所以其加速度也不变。而a==1 m/s2
由2aL=,解得vmin==2 m/s。
(3)因为传送带的速度v1=10 m/s>2 m/s,所以物体一直做加速度为1 m/s2的匀加速运动
设物体从A至B所用时间为t',则
at'2=L
t'==2 s。
【答案】(1)2 s (2)2 m/s (3)2 s
题组1
直线运动的概念和规律
1.(2018·河南月考)2017年10月5日,峨眉山金顶的日出、云海带给游人震撼之美。设游客甲驾车从峨眉山大门去青城山大门行程为223 km。游客乙驾车从青城山大门赶往峨眉山大门行程为207 km。若两人恰好同时出发且同时到达,则甲、乙在两地之间运动的过程中( )。
A.甲驾车行程“223 km”指的是位移大小
B.研究乙车的行驶路程时不能将车看成质点
C.甲车、乙车的平均速度相同
D.甲车的平均速率大于乙车的平均速率
【解析】甲驾车行程“223 km”指的是路程,故A项错误;本题中路程长度远远大于车的尺寸,所以研究乙车的行驶路程时可将乙车看成质点,故B项错误;甲与乙运动的方向相反,所以位移相反,平均速度不相同,C项错误;甲的路程是223 km,乙的路程是207 km,而行驶时间相同,所以甲的平均速率大于乙的平均速率,D项正确。
【答案】D
2.(2018·赣州月考)从同一高度同时以20 m/s的初速度抛出两小球,一球竖直上抛,另一球竖直下抛。不计空气阻力,取重力加速度为10 m/s2。则它们落地的时间差为( )。
A.4 s B.5 s C.6 s D.7 s
【解析】由竖直上抛运动的对称性可知,小球竖直上抛后落回原抛出点的速度与抛出时的速度大小相等、方向相反,即落回抛出点后的运动与从抛出点竖直下抛的运动相同,故时间差Δt==4 s,A项正确。
【答案】A
3.(2017·福州测试)下列四幅图中,能正确反映竖直上抛运动过程的位移与时间关系的是( )。
【解析】竖直上抛运动的位移与时间的关系为x=v0t-gt2,则x-t图象应为开口向下的抛物线,D项正确。
【答案】D
4.(2018·湖北联考)2017年10月18日消息,国产ARJ21-700型飞机高原验证飞行成功,标志着它已具备在高原环境安全进行航线飞行的能力。若飞机着陆后以6 m/s2的加速度做匀减速直线运动,且着陆速度为60 m/s,则它着陆后12 s内滑行的距离是( )。
A.300 m B.288 m C.150 m D.144 m
【解析】由v=v0+at,得t==10 s,由此可知飞机在12 s内不是始终做匀减速运动,它在最后2 s内是静止的,故它在着陆后12 s内滑行的距离x=t=300 m,A项正确。
【答案】A
5.(2017·南昌模拟)一质点在t=0时刻从坐标原点出发,沿x轴正方向做初速度为零、加速度大小为a1的匀加速直线运动,t=1 s时到达x=5 m的位置,速度大小为v1,此时加速度立即反向,加速度大小变为a2,t=3 s时质点恰好回到原点,速度大小为v2,则( )。
A.a2=3a1
B.v2=3v1
C.质点向x轴正方向运动的时间为2 s
D.质点向x轴正方向运动最远可到x=9 m的位置
【解析】在0~1 s过程中,x=a1,解得a1==10 m/s2,则v1=a1t1=10 m/s,1 s~3 s过程中,质点回到原点时的速度大小为v2,则有-x=t2,解得v2=15 m/s,又-a2=,解得a2=12.5 m/s2,故A、B两项错误;质点做减速直线运动的时间t3==0.8 s,t3+t1≠2 s,故C项错误;质点做减速直线运动的位移x'=t3=4 m,故质点向x轴正方向运动最远可到x=5 m+4 m=9 m的位置,D项正确。
【答案】D
6.(2017·南宁一模)(多选)一质点在x=0处,从t=0时刻开始沿x轴正方向做直线运动,其运动的v-t图象如图所示,下列说法正确的是( )。
A.t=4 s时,质点在x=3 m处
B.0~2 s内和0~4 s内,质点的平均速度相同
C.第3 s末质点受到的合力不为零
D.第3 s内和第4 s内,质点加速度的方向相反
【解析】根据速度图象与坐标轴所围成的面积表示位移,在时间轴上方的位移为正,下方的面积表示位移为负,可知质点在0~4 s内的位移等于0~2 s的位移,s=×(1+2)×2 m=3 m,t=0时质点位于x=0处,则t=4 s时,质点在x=3 m处,故A项正确。由A项分析知0~2 s内和0~4 s内质点的位移相同,但所用时间不同,则平均速度不同,故B项错误。速度图线的斜率表示加速度,直线的斜率一定,则知2 s~4 s内质点的加速度一定,第3 s内和第4 s内,质点的加速度相同,且不为零,所以合力不为零,即第3 s末质点受到的合力不为零,故C项正确,D项错误。
【答案】AC
7.(2017·太原模拟)(多选)在平直公路上行驶的甲车和乙车,其位移—时间图象分别如图中直线和曲线所示,图中t1对应 x1,则( )。
A.t1~t3时间内,乙车的运动方向始终不变
B.在t1时刻,甲车的速度小于乙车的速度
C.在t1~t2时间内的某时刻两车的速度相同
D.t1~t2时间内,甲车的平均速度小于乙车的速度
【解析】x-t图象的斜率表示速度, 乙图线切线先为正值,后为负值,可知乙的运动方向发生变化,A项错误;在t1时刻,甲的斜率小于乙的斜率,故甲的速度小于乙的速度,B项正确;t1~t2时间内,乙图线的切线斜率在某时刻与甲相同,则此时两车的速度相同,C项正确;t1~t2时间内,两车的位移相同,时间相同,则平均速度相同,D项错误。
【答案】BC
题组2
追及与相遇问题
1.(2018·山东模拟)甲、乙两质点某时刻从相距6 m的两点,相向做直线运动,若以该时刻作为计时起点,得到两质点的速度—时间图象如图所示,则下列说法正确的是( )。
A.乙在第2 s末运动方向不变
B.甲、乙在第2 s末相距4 m
C.乙在前4 s内运动加速度的大小总比甲的大
D.甲、乙在第4 s末相遇
【解析】速度图象在t轴下方的均为反方向运动,故2 s末乙改变运动方向,A项错误;2 s末从图线与坐标轴所围成的面积可知乙运动的位移为3 m,甲运动的位移为3 m,相向运动,此时两者相距6 m-3 m-3 m=0,B项错误;从图象的斜率看,斜率大表示加速度大,故乙的加速度在4 s内一直比甲的加速度大,C项正确;4 s末,甲的位移为12 m,乙的位移为3 m,两车原来相距6 m,故此时两质点还相距3 m,D项错误。
【答案】C
2.(2017·江西模拟)甲、乙两车在同一条直道上行驶,它们运动的位移x随时间t变化的关系如图所示。已知乙车做匀变速直线运动,其图线与t轴相切于10 s处,则下列说法正确的是( )。
A.甲车的初速度为零
B.乙车的初位置在x0=60 m处
C.乙车的加速度大小为1.6 m/s2
D.5 s时两车相遇,此时甲车速度较大
【解析】由图可知甲车做匀速直线运动,速度v甲==4 m/s,故A项错误;由图可知乙车做匀减速直线运动,可看作是反方向的匀加速直线运动,则有x=at2,由图可知,当其反向运动5 s时,位移为20 m,则有20 m=a×(5 s)2,得加速度大小a=1.6 m/s2,因其共运动了10 s,可得x0=×1.6×102 m=80 m,C项正确,B项错误;t=5 s时,两车相遇,甲车速度v甲=4 m/s,此时乙车速度v乙=1.6×5 m/s=8 m/s,则v甲
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