匀变速直线运动的位移与时间的关系

匀变速直线运动的位移与时间的关系

第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系 理解领悟 本节课运用极限思想，用速度图象中图线下面四边形的面积代表位移，导出了匀变速直线运动的位移公式，并进一步导出了匀变速直线运动的速度—位移关系式。要会应用匀变速直线运动的位移公式及速度—位移关系式分析和计算。‎ 基础级 O v t 图2－20‎ A B C ‎1. 从速度图象求匀速直线运动的位移 ‎ 匀速直线运动的速度不随时间变化，所以其速度图象是平行于时间轴的直线。由匀速直线运动的位移公式x = v t结合速度图象可知，匀速直线运动的位移可以用速度图象图线与时间轴之间的面积（如图2－20中矩形OABC的面积）来表示。‎ ‎2. 从速度图象求匀变速直线运动的位移 对于匀变速直线运动，上述结论也成立吗？‎ 仔细研究教材“思考与讨论”栏目中用纸带上各点的瞬时速度估算小车位移的方法，不难看出：时间间隔越小，对位移的估算就越精确。‎ O v t 图2－21‎ A B C D 图2－21中的倾斜直线AB表示一个做匀变速直线运动的速度图线。为了求出物体在时间t内的位移，我们把时间划分为许多小的时间间隔。设想物体在每一时间间隔内都做匀速直线运动，而从一个时间间隔到下一个时间间隔，物体的速度跳跃性地突然变化。因此，它的速度图线由图2－21中的一些平行于时间轴的间断线段组成。由于匀速直线运动的位移可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示，因此上面设想的物体运动在时间t内的位移，可用图2－21中的一个个小矩形面积之和（即阶梯状折线与时间轴之间的面积）来表示。如果时间的分割再细些，物体速度的跃变发生得更频繁，它的速度图象就更接近于物体的真实运动的图象，阶梯状折线与时间轴之间的面积就更接近于倾斜直线AB与时间轴之间的面积。当时间间隔无限细分时，间断的阶梯线段就趋向于倾斜直线AB，阶梯状折线与时间轴之间的面积就趋向于倾斜直线AB与时间轴之间的面积。这样，我们就得出结论：匀速直线运动的位移也可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示。‎ 运用类似的分析方法可以得出，上述结论不仅对匀变速直线运动适用，对一般的变速直线运动也是适用的。‎ ‎3. 用极限思想分析问题 ‎ 在上一章中，我们用极限思想（无限逼近的思想），由平均速度和平均加速度的时间间隔趋向于0，介绍了瞬时速度和瞬时加速度；本节课介绍速度图象中图线与时间轴之间四边形的面积代表匀变速直线运动的位移时，又一次应用了极限思想。极限思想是一种常用的研究方法，教材渗透这样的思想，只要求我们对极限思想有初步的认识，并不要求会计算极限。‎ ‎4. 用公式表达匀变速直线运动位移与时间的关系 由上述分析可知，做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移x，可以用图2－21中梯形OABC的面积S表示。而   ，‎ 把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成 ‎  ，‎ 将代入，可得匀变速直线运动的位移公式 ‎   。‎ 图2－21中梯形OABC的面积S也可表示为矩形AOCD的面积S1和三角形ABD的面积S2之和，即S= S1+ S2，而 ‎，‎ ‎（式中k表示直线AB的斜率），故 ‎  。‎ 把面积、各条线段及斜率k换成所代表的物理量，也可得匀变速直线运动的位移公式 ‎   。‎ ‎ 匀变速直线运动的位移公式反映了位移与初速度、加速度、时间之间的关系，是计算位移的常用公式。应用此式时，也要注意符号法则，若取初速度的方向为正方向，位移和加速度都是代数量，都带有符号。‎ 5. 用公式表达匀变速直线运动位移与速度的关系 由匀变速直线运动的速度公式和位移公式 ‎，‎ 消去时间t，可得 ，‎ 这就是匀变速直线运动的速度—位移关系式。‎ ‎ 匀变速直线运动的速度—位移关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系，在不涉及时间或不需要求时间的情况下，用这个公式分析求解问题通常比较简便。与其他匀变速直线运动的规律一样，该式在应用时也必须注意符号法则，当取初速度的方向为正方向时，加速度和位移也都带有符号。‎ v0=?‎ a=1m/s2‎ 图2－22‎ t=12s x=180m ‎180‎ O 6. 教材中例题的分析 x/m ‎ 本节教材的例题研究的是汽车的加速过程，已知汽车运动的加速运动时间和位移，需求初速度，如图2—22所示。图中，若把x解释为汽车0~x的位移，则解释为0~t的一段时间；若把x解释为汽车的位置，则解释为t时刻。本题可先由匀变速直线运动的位移公式 ，得出v0的表达式后再代入数值计算出结果。‎ 7. 两个物体加速度的比较 ‎ 教材在“比一比”栏目中提出：如果已知两个物体在相同时间内从静止开始做匀加速直线运动的位移之比，怎样根据运动学的规律由此求出加速度之比？‎ ‎ 由匀变速直线运动的位移公式 ，‎ 因v0=0，故有  ，‎ t相同，，即 。‎ ‎8. 对匀变速直线运动规律的再认识 到目前为止，我们已经学习了涉及匀变速直线运动规律的四个公式或关系式，它们是：‎ 匀变速直线运动的速度公式 ‎ 匀变速直线运动的位移公式  ‎ 匀变速直线运动的速度—位移关系式 由平均速度求位移的公式  ‎ 以上四个公式或关系式共涉及匀变速直线运动的初速度v0、末速度v、加速度a、时间t和位移x五个物理量，每个式子涉及其中的四个物理量。四个公式或关系式中只有两个是独立的，即由任意两式可推出另外两式。而两个独立方程只能解出两个未知量，所以解题时需要三个已知条件才能求解。式中v0、v、a和x均为矢量，应用时要规定正方向（通常将v0的方向规定为正方向），并注意各物理量的正、负。‎ 顺便指出，在v0、v、a、t和x五个物理量中，匀变速直线运动的速度公式涉及到除x外的四个，位移公式涉及到除v外的四个，速度—位移关系式涉及到除t外的四个，由平均速度求位移的公式涉及到除a外的四个。那么，还应该有一个涉及到除v0外的四个物理量的关系式，那就是（请同学们自行证明），不过此式并不常用。‎ 发展级 ‎9. 匀变速直线运动某段位移中间位置的速度 我们知道，若匀变速直线运动的初速度为v0，末速度为v，则某段时间中间时刻的速度为。那么，匀变速直线运动某段位移中间位置的速度又为多大呢？‎ 设该段位移为x，由匀变速直线运动的速度—位移关系式可得，在前、后两半段分别有，，‎ 由以上两式可解得 。‎ ‎10. 关于初速度为0的匀加速直线运动 因v0=0，由公式，可得 ‎，‎ 这就是初速度为0的匀加速直线运动的位移公式。‎ 因v0=0，由关系式，可得 ‎，‎ 这就是初速度为0的匀加速直线运动的速度—位移关系式。‎ 对于初速度为0的匀加速直线运动，除了上一节讲到的物体在时刻t、2t、3t、…… n t的速度之比 v1︰v2︰v3︰……︰vn=1︰2︰3︰……︰n 之外，还有如下的一些比例关系：‎ 因加速度a为定值，由，可得。所以，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，物体通过位移x、2x、3x、…… nx时的速度之比 v1’︰v2’︰v3’︰……︰vn’=︰︰︰……︰。‎ 因加速度a为定值，由可得。所以，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，物体在时间t、2t、3t、…… nt内通过的位移之比 x1︰x2︰x3︰……︰x n =12︰22︰32︰……︰n2。‎ 由上式可得x1︰(x2－x1) ︰(x3－x2)︰……︰(x n－x n-1)=1︰3︰5︰……︰(2n－1)。这就是说，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，从开始计时的连续相等的时间内，物体通过的位移之比等于从1开始的连续奇数比，即 xⅠ︰xⅡ︰xⅢ︰……︰xN= 1︰3︰5︰……︰(2n－1)。‎ 因加速度a为定值，由可得。所以，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，物体通过位移x、2x、3x、…… nx所需的时间之比 t1︰t2︰t3︰……︰t n =︰︰︰……︰。‎ 由上式可得t1︰(t2－t1) ︰(t3－t2)︰……︰(t n－t n-1)=︰(－)︰(－)︰……︰(－)。这就是说，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，从开始计时起，通过连续相等的位移所需的时间之比 tⅠ︰tⅡ︰tⅢ︰……︰tN =︰(－)︰(－)︰……︰(－)。‎ O x t 图2—23‎ ‎11. 匀变速直线运动的位移图象 本节教材“说一说”栏目要求画出匀变速直线运动的位移图象的草图，运用初中数学中学到的二次函数知识，该草图如图2—23所示，图线为通过原点的抛物线的一部分。这是匀加速直线运动的位移图象，抛物线的开口向上；当物体做匀减速直线运动时，抛物线的开口向下。‎ 对于“我们研究的是直线运动，为什么画出来的位移图象不是直线”的疑问，可作如下解释：位移图象描述的是物体的位移与时间的关系，它并不表示物体运动的轨迹。‎ ‎12. 利用光电计时器研究自由下落物体的运动 ‎ 教材“做一做”‎ 栏目要求利用光电计时器研究自由下落物体的运动。教材图2.3-4所示的装置用于研究自由落体运动，与电脑计时器配合使用。首先调整立柱竖直，将立柱上的光电门、电磁铁的插口与计时器连接。在计时器“测重力加速度”这一功能中，在电磁铁断电的时刻开始计时。小球通过第一个光电门时记录小球到达时间t1，小球到达第二个光电门时记录小球到达时间t2，计时器先后显示这两次的时间值。这类仪器有4个光电门、2个光电门、1个光电门等几种。立柱上有刻度，可读出对应时间小球的位移。画出x—t图象，图线为曲线。再画出x—t2图象，图线为通过原点的倾斜直线。可见，物体自由下落时，位移与时间的平方成正比，即。‎ 应用链接 ‎ 本节课的应用主要是极限思想的渗透，以及匀变速直线运动的位移公式、速度—位移关系式、某段位移中间位置的速度公式和有关比例关系的分析与计算。‎ 基础级 例1 物体由静止开始做匀加速直线运动，当其位移为x时的速度为v，求位移为时的速度v’为多大？‎ 提示 物体在做匀加速直线运动的过程中，加速度不变。本题没有涉及时间，也不需要求时间，故可根据速度—位移关系式求解。‎ 解析 由匀变速直线运动的速度—位移关系式，又v0=0，可得，即，所以 ，‎ 得位移为时物体的速度 。‎ ‎ 点悟 本题也可先由，求得，再由，求得。显然，采用比例法求解要简便一些。‎ 例2 一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4m/s，后速度的大小变为10m/s。在这1s内该物体的（ ）‎ A. 位移的大小可能小于4m B. 位移的大小可能大于10m C. 加速度的大小可能小于4m/s2‎ D. 加速度的大小可能大于10m/s2‎ 提示 分成匀加速直线运动和匀减速直线运动两种情况讨论。‎ 解析 对于匀变速直线运动，有 ‎, ，‎ 选取初速度的方向为正方向，则v0=4m/s, 又t=1s。若物体做匀加速直线运动，则v=‎ ‎10m/s, 故 m=7m; m/s2=6m/s2；‎ 若物体做匀减速直线运动，则v=－10m/s, 故 m=－3m; m/s2=－14m/s2，，‎ 即位移、加速度的大小分别为3m、14m/s2，负号表示它们的方向与初速度方向相反。‎ 可见，本题正确选项为A、D。‎ 点悟 当物体的运动状态无法确认时，须根据可能情况分别加以讨论。要注意培养思维的广阔性，克服片面性。同时，要注意矢量的正负号仅表示方向，不表示大小。‎ 例3 有一个做匀变速直线运动的质点，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别为24ｍ和64ｍ，连续相等的时间为4ｓ，求质点的初速度和加速度大小。‎ 提示 由匀变速直线运动的位移公式求解。‎ 解析 两段连续相等的时间t=4s，通过的位移分别为x1=24m, x2=64m。设质点运动的初速度为v0，加速度为a，对前一过程和整个过程分别应用匀变速直线运动的位移公式，可得 x1= v0t+at2， x1+ x2= v0×2t+a(2t)2,‎ 由以上两式解得质点的加速度m/s2=2.5m/s2，‎ 质点的初速度 m/s=1m/s。‎ 点悟 在应用匀变速直线运动的规律解题时，要注意研究过程的选取，尽可能少设未知量。本题若分别对两段连续相等的时间应用位移公式，则将涉及中间时刻的速度，须多设一个未知量，从而多建立一个方程才能求解。‎ 本题也可直接由公式△s=at2，得 ‎，‎ 解出加速度a，然后再由位移公式得到初速度v0。‎ 例4 火车以54km/h的速度前进，现在需要在车站暂停。如果停留时间是1min，刹车引起的加速度大小是30cm/s2，启动时发电机产生的加速度大小是50cm/s2，火车暂停后仍要以原速前进，求火车由于暂停所延迟的时间。‎ ‎ 提示 火车由于暂停所延迟的时间等于其实际运行时间与预定运行时间之差。‎ 解析 火车因暂停而减速的时间为 t1=s=30s，‎ 火车暂停后加速到原速所需的时间为 ‎=50s。‎ 火车从开始减速到恢复原速所通过的路程为 s=s1+s2=，‎ 这段路程火车正常行驶所需的时间为 s=40s。‎ 所以，火车由于暂停所延迟的时间为 ‎ △t=(t1+t2+t3)－t=(30+60+50)s－40s=100s。‎ 点悟 解答运动学问题，分析物体的运动过程是求解的关键。对于匀变速直线运动问题，一般的解题思路是：明确研究对象，建立运动途图景，规定坐标方向，列出运动方程。分析题意时，要弄清物理量中哪些是未知的，哪些是已知的，然后根据匀变速直线运动的公式或关系式列出方程，正确求解。其中，加速度是解决一般问题的关键。‎ 发展级 例5 一物体由静止开始做直线运动，先以加速度a1做匀加速直线运动，接着又以大小为a2的加速度做匀减速直线运动直到停止。已知通过全程所经历的时间为t，求该物体的总位移。‎ 提示 物体的总位移等于匀加速和匀减速两个运动阶段的位移之和。‎ 解析 设物体在匀加速和匀减速两个运动阶段的位移分别为x1、x2，经历时间分别为t1、t2。在匀加速运动阶段，因初速度为0，故有；在匀减速直线运动阶段，因末速度为0，“倒过来”看就是初速度为0的匀加速运动，故有。因a1t1=a2t2，故，又t1+ t2=t，可得  ，。‎ 从而，该物体的总位移 ‎。‎ 点悟 本题中物体的运动涉及多个阶段，求解时要注意寻找各运动阶段之间的联系，通常可从时间、位移、速度等方面寻找联系。‎ 有关匀变速直线运动的问题，往往有多种解法。例如，本题也可以这样来解：‎ 设物体在匀加速运动阶段的末速度为v（这一速度也是物体在匀减速运动阶段的初速度），则物体在全程内的平均速度。因，又，故 ，‎ v a a’‎ v1‎ v2‎ l1‎ l1‎ l2‎ l2‎ 图2－24‎ 可得。从而，该物体的总位移 ‎ ‎  。‎ 例6 两支完全相同的光滑直角弯管，如图2－24所示放置。现有两只相同小球a和a’ 同时从管口由静止滑下，问谁先从下端的出口掉出？ ‎ 提示 利用速率图象进行分析。‎ 解析 根据拐角处的高低，首先可以确定小球到达拐角处的速率v1> v2，而两小球到达出口时的速率v相等。又由题意可知两球经历的总路程s相等.。根据图中管的倾斜程度，小球a第一阶段的加速度跟v t11‎ t2‎ t O vm 图2－25‎ a a’‎ 小球a/第二阶段的加速度大小相同（设为a1）；小球a第二阶段的加速度跟小球a/第一阶段的加速度大小相同（设为a2），显然有a1> a2。根据这些物理量大小的分析，在同一个v－t图象（速率—时间图象）中两球速率曲线下所围的面积应该相同，且末状态速率也相同（纵坐标相同）。开始时，a球曲线的斜率大。由于两球两阶段加速度对应相等，如果同时到达（经历时间为t1）则必然有s1>s2，显然不合理。考虑到两球末状态速率相等（图中v），两球 的速率图象只能如图2－25所示。因此有t1< t2，即a球先从下端的出口掉出。‎ 点悟 本题只要定性比较两小球运动的时间，而不需要计算两小球到达出口处的具体时间，因而选用了图象法进行分析。运用图象分析物理问题，往往能收到事半功倍的效果。‎ 另外，需要特别指出的是：图2－25是速率图象，而不是速度图象，图线与时间轴之间的四边形面积表示路程而不是位移。‎ 课本习题解读 ‎[p.44问题与练习]‎ ‎1. 列车的初速度v0=36km/h=10m/s，加速度a=0.2m/s2，时间t=30s，根据，得坡路的长度为 m+m=390m。‎ 根据，得列车到达坡底时的速度为 ‎ v=10m/s+0.2×30m/s=16m/s。‎ ‎2. 汽车的初速度v0=18m/s，时间t=3s，位移x=36m，根据，得汽车的加速度为 m/s2=－4m/s2，‎ 即汽车加速度的大小为4m/s2，负号表示加速度的方向与初速度方向相反。‎ ‎3. 列车的初速度v0=0，把列车达到最高行驶速度前的运动看成匀加速运动，则匀加速运动的末速度 v=430km/h=119m/s。关键是确定列车做匀加速运动的时间t，题中已知列车全程行驶约7min30s，以最高速度行驶约30s处于行驶时段的正中，可见列车做匀加速运动的时间t=3.5min=210s。根据，得列车的加速度 m/s2≈0.567 m/s2。‎ ‎4. 返回舱在最后减速阶段的初速度v0=10m/s，末速度v=0，位移x=1.2m，根据 ‎，得返回舱在最后减速阶段的加速度 m/s2≈－42m/s2，‎ 即返回舱加速度的大小为，负号表示加速度的方向与初速度方向相反。‎ ‎5. 若飞机靠自身发动机起飞，飞机初速度为0，加速度a=5m/s2，位移x=100m，设末速度为vx，由得 m/s＜50m/s，‎ 所以不行。‎ 设弹射系统必须使飞机具有的初速度为v0，飞机的末速度才能达到起飞速度v=50m/s。根据，得 ‎  m/s≈39 m/s。‎ 练习巩固（2—3） ‎ O v t ‎2t ‎3t t 图2－26‎ 基础级 ‎1. 一辆汽车从甲地出发，沿平直公路开到乙地刚好停止，其速度图象如图2－26所示。那么0~t和t~3t两段时间内，下列说法中正确的是（ ）‎ A. 加速度的大小之比为2︰1‎ B. 位移的大小之比为1︰2‎ C. 平均速度的大小之比为1︰1‎ D. 中间时刻速度的大小之比为1︰1‎ ‎2. 骑自行车的人以5m/s的初速度蹬上斜坡，做匀减速直线运动，加速度的大小为0.4m/s2，经过10s，在斜坡上通过多长的距离？‎ ‎3. 一辆卡车急刹车时加速度的大小为5m/s2，如果要求它在急刹车后22.5m内必须停下，那么它的行驶速度不能超过多少千米每时？‎ ‎4. 做匀变速直线运动的物体，在第2s内走了6m，在第5s内的位移为0，则其初速度多大？加速度多大？‎ ‎5. 一辆汽车从静止开始做匀加速直线运动，已知在2s内经过相距27m的A、B两点，汽车经过B点时的速度为15m/s。求：‎ ‎(1) 汽车经过A点的速度；‎ ‎(2)  A点与出发点间的距离；‎ ‎(3) 汽车从出发点到A点的平均速度。‎ ‎ 6. 矿井里的升降机从静止开始做匀加速运动，经过3s，它的速度达到3m/s；然后做匀速运动，经过6s；再做匀减速运动，3s后停止。求升降机上升的高度，并画出它的速度图象。‎ ‎7. 某种类型的飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速运动，加速度大小为，飞机速度达到80m/s时离开地面升空。如果在飞机刚达到起飞速度时，突然接到命令停止起飞，飞行员立即使飞机紧急制动，飞机做匀减速运动，加速度的大小为 ‎，请你为该类型的飞机设计一条跑道，使在这种特殊的情况下飞机停止起飞而不滑出跑道。你设计的跑道至少要多长？‎ 发展级 ‎8. 物体沿一直线运动，它在时间t内通过的路程为s，它在中间位置s/2处的速度为v1，在中间时刻t/2时的速度为v2，则v1和v2的关系为（ ）‎ A. 当物体做匀加速直线运动时，v1＞v2 B. 当物体做匀减速直线运动时，v1＞v2‎ C. 当物体做匀速直线运动时，v1=v2 D. 当物体做匀减速直线运动时，v1＜v2‎ ‎9. 如图2－27所示，a、b、c为三块相同的木块，并排固定在水平面上。一颗子弹沿水平方向射来，恰好能射穿这三块木块。求子弹依次穿过这三块木块所用时间之比。‎ a b c 图2－27‎ ‎10. 驾驶手册规定：具有良好刹车性能的汽车在以80km/h的速率行驶时，可以在56m的距离内刹住；在以48km/h的速率行驶时，可以在24m的距离内刹住。假设对这两种速率，驾驶员的反应时间（在反应时间内驾驶员来不及使用刹车，车速不变）与刹车产生的加速度都相同，则驾驶员的反应时间为多少？‎