【物理】2019届一轮复习人教版　万有引力与航天学案

【物理】2019届一轮复习人教版　万有引力与航天学案

第四节 万有引力与航天 [学生用书 P73] 【基础梳理】 一、开普勒行星运动定律 二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大 小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比． 2．公式：F＝Gm1m2 r2 ，其中 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 3．适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大 于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，其中 r 是两球心间的距 离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中 r 为球心到质点间的距离． 三、宇宙速度 1．第一宇宙速度(环绕速度) (1)数值 v1＝7.9 km/s，是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星最大的环绕速度． (2)第一宇宙速度的计算方法 ①由 GMm R2 ＝m v2 R 得 v＝ GM R ． ②由 mg＝m v2 R 得 v＝ gR． 2．第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速 度． 3．第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速 度． 四、经典力学的时空观和相对论时空观 1．经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的． (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中 是相同的． 2．相对论时空观 (1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为 m＝ m0 1－v2 c2 . (2)在狭义相对论中，同一物理过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考 系中不同． 3．经典力学的适用范围：只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界， 不适用于微观世界． 【自我诊断】 判一判 (1)所有物体之间都存在万有引力．( ) (2)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心．( ) (3)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( ) (4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关．( ) (5)同步卫星可以定点在北京市的正上方．( ) (6)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．( ) 提示：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√ 做一做 (2018·河南洛阳模拟)使物体脱离星球的引力束缚，不再绕星球运行，从星球表面发射所 需的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度 v2 与第一宇宙速度 v1 的关系是 v2＝ 2v1.已知某星球的半径为 r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度 g 的1 6.不计其他星 球的影响，则该星球的第二宇宙速度为________． 提示：由 GMm r2 ＝mv2 r ，GMm r2 ＝mg 6 ，联立解得星球的第一宇宙速度 v1＝ 1 6gr，星球的第 二宇宙速度 v2＝ 2v1＝ 2 × 1 6gr＝ 1 3gr. 答案： 1 3gr 想一想 (1)如图所示的球体是均匀球体，其中缺少了一规则球形部分，如何求球体剩余部分对 质点 P 的引力？ (2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大吗？ 提示：(1)求球体剩余部分对质点 P 的引力时，应用“挖补法”，先将挖去的球补上，然 后分别计算出补后的大球和挖去的小球对质点 P 的引力，最后再求二者之差就是阴影部分 对质点 P 的引力． (2)不是．当两物体无限接近时，不能再视为质点． 对万有引力定律的理解及应用[学生用书 P74] 【知识提炼】 1．开普勒行星运动定律 (1)开普勒第一定律(轨道定律)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所 有椭圆的一个焦点上． (2)开普勒第二定律(面积定律)：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间 内扫过相等的面积． (3)开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次 方的比值都相等，即a3 T2＝k. 2．天体质量和密度的计算 (1)自力更生法：利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R. ①由 GMm R2 ＝mg 得天体质量 M＝gR2 G . ②天体密度：ρ＝M V＝ M 4 3πR3 ＝ 3g 4πGR. (2)借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T. ①由 GMm r2 ＝m 4π2r T2 得天体的质量为 M＝4π2r3 GT2 . ②若已知天体的半径 R，则天体的密度 ρ＝M V＝ M 4 3πR3 ＝ 3πr3 GT2R3. ③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度 ρ＝ 3π GT2， 可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期 T，就可估算出中心天体的密度． 【典题例析】 (多选)(2015·高考全国卷Ⅰ)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先 在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面 4 m 高处做一次 悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约 为 1.3×103 kg，地球质量约为月球的 81 倍，地球半径约为月球的 3.7 倍，地球表面的重力 加速度大小约为 9.8 m/s2.则此探测器( ) A．在着陆前的瞬间，速度大小约为 8.9 m/s B．悬停时受到的反冲作用力约为 2×103 N C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒 D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度 [审题指导] 由月球和地球的质量、半径关系可求出月球表面的重力加速度，从而求出 速度、反冲作用力等问题． [解析] 设月球表面的重力加速度为 g 月，则g月 g地＝ GM月 R GM地 R ＝M月 M地 ·R R＝ 1 81×3.72，解得 g 月≈ 1.7 m/s2.由 v2＝2g 月 h 得，着陆前的速度为 v＝ 2g月h＝ 2 × 1.7 × 4 m/s≈3.7 m/s，选 项 A 错误．悬停时受到的反冲力 F＝mg 月≈2×103 N，选项 B 正确．从离开近月圆轨道到 着陆过程中，除月球引力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项 C 错误．设 探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为 v1、v2，则v1 v2＝ GM月 R月 GM地 R地 ＝ M月 M地 · R地 R月＝ 3.7 81 <1，故 v1mv2 r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做 近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 v＝ GM r ，可知其运行速度比原轨道时增大，卫星的发射和回收就是利用这一原理． 2．卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上 的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道．如图所示，发射同步卫星时，可 以分多过程完成： (1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ. (2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为 v1，变轨时在 P 点点火加速，短时间内将速率 由 v1 增加到 v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ. (3)卫星运行到远地点 Q 时的速率为 v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率 由 v3 增加到 v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动． 【典题例析】 如图所示，1、3 轨道均是卫星绕地球做圆周运动的轨道示意图，1 轨道的半径为 R，2 轨道是一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道示意图，3 轨道与 2 轨道相切于 B 点，O 点为地球 球心，AB 为椭圆的长轴，三轨道和地心都在同一平面内．已知在 1、2 两轨道上运动的卫星 的周期相等，引力常量为 G，地球质量为 M，三颗卫星的质量相等，则下列说法正确的是( ) A．卫星在 3 轨道上的机械能小于在 2 轨道上的机械能 B．若卫星在 1 轨道上的速率为 v1，卫星在 2 轨道 A 点的速率为 vA，则 v1＜vA C．若卫星在 1、3 轨道上的加速度大小分别为 a1、a3，卫星在 2 轨道 A 点的加速度大 小为 aA，则 aA＜a1＜a3 D．若 OA＝0.4R，则卫星在 2 轨道 B 点的速率 vB＞ 5GM 8R [审题指导] 卫星变轨过程中速度变化要从离心、向心的角度来分析，而加速度要从受 力的角度来分析． [解析] 2、3 轨道在 B 点相切，卫星在 3 轨道相对于 2 轨道是做离心运动的，卫星在 3 轨道上的线速度大于在 2 轨道上 B 点的线速度，因卫星质量相同，所以卫星在 3 轨道上的 机械能大于在 2 轨道上的机械能，A 错误；以 OA 为半径作一个圆轨道 4 与 2 轨道相切于 A 点，则 v4＜vA，又因 v1＜v4，所以 v1＜vA，B 正确；加速度是万有引力产生的，只需要比较 卫星到地心的高度即可，应是 aA＞a1＞a3，C 错误；由开普勒第三定律可知，2 轨道的半长 轴为 R，OB＝1.6R，3 轨道上的线速度 v 3＝ 5GM 8R ，又因 vB＜v3，所以 vB＜ 5GM 8R ，D 错 误． [答案] B 1．从引力和向心力的关系分析变轨问题 (1)卫星突然加速(通过发动机瞬间喷气实现，喷气时间不计)，则万有引力不足以提供向 心力，GMm r2 ＜mv′2 r ，卫星将做离心运动，变轨到更高的轨道． (2)当卫星突然减速时，卫星所需向心力减小，万有引力大于向心力，卫星变轨到较低 的轨道． 2．变轨问题考查的热点 (1)运动参量的比较：两个轨道切点处，加速度由GMm r2 ＝ma 分析，式中“r”表示卫星到 地心的距离，a 大小相等；由于变轨时发动机要点火工作，故线速度大小不等． (2)能量的比较：在离心运动过程中(发动机已关闭)，卫星克服引力做功，其动能向引力 势能转化，机械能保持不变．两个不同的轨道上(圆轨道或椭圆轨道)，轨道越高卫星的机械 能越大． 【迁移题组】 迁移 1 卫星变轨过程中运动参量的变化分析 1．(多选)(2018·湖北八校联考)如图为嫦娥三号登月轨迹示意图．图中 M 点为环地球运 行的近地点，N 点为环月球运行的近月点．a 为环月球运行的圆轨道，b 为环月球运行的椭 圆轨道，下列说法中正确的是( ) A．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于 11.2 km/s B．嫦娥三号在 M 点进入地月转移轨道时应点火加速 C．设嫦娥三号在圆轨道 a 上经过 N 点时的加速度为 a1，在椭圆轨道 b 上经过 N 点时 的加速度为 a2，则 a1＞a2 D．嫦娥三号在圆轨道 a 上的机械能小于在椭圆轨道 b 上的机械能 解析：选 BD.嫦娥三号在环地球轨道上运行速度 v 满足 7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，则 A 错误；嫦娥三号要脱离地球需在 M 点点火加速让其进入地月转移轨道，则 B 正确；由 a＝GM r2 ， 知嫦娥三号在经过圆轨道 a 上的 N 点和在椭圆轨道 b 上的 N 点时的加速度相等，则 C 错误； 嫦娥三号要从 b 轨道转移到 a 轨道需要减速，机械能减小，则 D 正确． 迁移 2 卫星的追及、相遇问题 2. 我国于 2016 年 9 月 15 日发射了“天宫二号”空间实验室，之后在 10 月 17 日，又发射 了“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地 球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( ) A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两 者速度接近时实现对接 D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两 者速度接近时实现对接 解析：选 C.为了实现飞船与空间实验室的对接，必须使飞船在较低的轨道上加速做离 心运动，上升到空间实验室运动的轨道后逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接， 选项 C 正确． [学生用书 P78] 1．(2016·高考全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 解析：选 B.开普勒在第谷的观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，B 项正确； 牛顿在开普勒总结的行星运动规律的基础上发现了万有引力定律，找出了行星运动的原因， A、C、D 项错误． 2．(2017·高考北京卷)利用引力常量 G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( ) A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 解析：选 D.由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有 GMm0 R2 ＝m0g，故可得 M＝ gR2 G ，A 项错误；由万有引力提供人造卫星的向心力，有 GMm1 R2 ＝m1 v2 R ，v＝2πR T ，联立得 M＝ v3T 2πG，B 项错误；由万有引力提供月球绕地球运动的向心力，有 GMm2 r2 ＝m2( 2π T′ )2 r，故可 得 M＝4π2r3 GT′2，C 项错误；同理，根据地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离， 不可求出地球的质量，D 项正确． 3．(2016·高考全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点 之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6 倍．假设地球的 自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h 解析：选 B.设地球半径为 R，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间 保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示．由图中几何关系可得，同步 卫星的最小轨道半径 r＝2R.设地球自转周期的最小值为 T，则由开普勒第三定律可得， （6.6R）3 （2R）3 ＝ （24 h）2 T2 ，解得 T≈4 h，选项 B 正确． 4．(多选) (2018·贵阳花溪清华中学高三模拟)“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道到达月球附 近，在距月球表面 200 km 的 P 点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭圆轨道Ⅰ 绕月飞行，如图所示．之后，卫星在 P 点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面 200 km 的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动．用 T1、T2、T3 分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和 圆形轨道Ⅲ上运动的周期，用 a1、a2、a3 分别表示卫星沿三个轨道运动到 P 点的加速度， 用 v1、v2、v3 分别表示卫星沿三个轨道运动到 P 点的速度，用 F1、F2、F3 分别表示卫星沿 三个轨道运动到 P 点时受到的万有引力，则下面关系式中正确的是( ) A. a1＝a2＝a3 B． v1＜v2＜v3 C. T1＞T2＞T3 D． F1＝F2＝F3 解析：选 ACD.由 ma＝GMm r2 得 a＝GM r2 ，三个轨道上的 P 点到月心距离 r 均相等，故 a 相等，故 A 正确；由能量守恒定律知，由 P 点飞出时动能越大，远月点离月球中心越远， 即 v1>v2>v3，故 B 错误；由开普勒第三定律a3 T2＝k 知轨道半长轴(半径)越大，对应周期越长， 即 T1>T2>T3，故 C 正确；同一卫星在 P 点受力由公式 F＝GMm r2 知，受力大小相等，故 D 正 确． [学生用书 P299(单独成册)] (建议用时：60 分钟) 一、单项选择题 1．(2018·河南鹤壁高级中学高三月考)经国际小行星命名委员会命名的“神舟星”和“杨 利伟星”的轨道均处在火星和木星轨道之间．已知“神舟星”平均每天绕太阳运行 174 万公 里，“杨利伟星”平均每天绕太阳运行 145 万公里．假设两行星均绕太阳做匀速圆周运动， 则两星相比较( ) A．“神舟星”的轨道半径大 B．“神舟星”的公转周期大 C．“神舟星”的加速度大 D．“神舟星”受到的向心力大 解析：选 C.从题中可知“神舟星”的线速度大，根据公式 GMm r2 ＝m v2 r 解得 v＝ GM r ， 轨道半径越大，线速度越小，所以“神舟星”的轨道半径小，A 错误；根据公式 GMm r2 ＝m4π2 T2 r 可得 T＝2π r3 GM，轨道半径越小，公转周期越小，故“神舟星”的公转周期较小，B 错误； 根据公式 GMm r2 ＝ma 可得 a＝GM r2 ，轨道半径越小，向心加速度越大，故“神舟星”的加速 度大，C 正确；根据公式 F＝GMm r2 ，由于不知道两颗行星的质量关系，所以无法判断向心 力大小，D 错误． 2．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是 地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引 力的( ) A．0.25 倍 B．0.5 倍 C．2.0 倍 D．4.0 倍 解析：选 C.由 F 引＝GMm r2 ＝ 1 2GM0m (r0 2 ) 2 ＝2GM0m r ＝2F 地，故 C 项正确． 3．(2018·湖南长沙长郡中学高三模拟)2015 年 7 月 23 日美国航天局宣布，天文学家发 现“另一个地球”——太阳系外行星开普勒－452b.假设行星开普勒－452b 绕中心恒星公转 周期为 385 天，它的体积是地球的 5 倍，其表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的两 倍，它与中心恒星的距离和地球与太阳的距离很接近，则行星开普勒－452b 与地球的平均 密度的比值及其中心恒星与太阳的质量的比值分别为( ) A.(8 5 )1 3 和(365 385 )2 B．(8 5 )1 3 和(385 365 )2 C.(5 8 )1 3 和(365 385 )2 D．(5 8 )1 3 和(385 365 )2 解析：选 A.在行星表面，万有引力等于重力，则有：GMm R2 ＝mg，而 ρ＝ M 4 3πR3 ，解得： ρ＝ 3g 4πRG，而行星开普勒－452b 的体积是地球的 5 倍，则半径为地球半径的3 5倍，则有：ρ行 ρ地 ＝g行R地 g地R行＝(8 5 )1 3 ，行星绕恒星做匀速圆周运动过程中，根据万有引力提供向心力得：GM′M r2 ＝M4π2r T2 ，解得：M′＝4π2r3 GT2 ，轨道半径相等，行星开普勒－452b 绕恒星公转周期为 385 天， 地球的公转周期为 365 天，则M恒 M太 ＝T T＝(365 385 )2 ，故 A 正确． 4．(2018·浙江名校协作体高三联考)我国首颗量子 学实验卫星“墨子”已于酒泉成功发 射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信．“墨子”将由火箭发射至高度为 500 千米的预定圆形轨道．此前 6 月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星 G7.G7 属地球静止轨道卫星(高度约为 36 000 千米)，它将使北斗系统的可靠性进一步提 高．关于卫星以下说法中正确的是( ) A．这两颗卫星的运行速度可能大于 7.9 km/s B．通过地面控制可以将北斗 G7 定点于西昌正上方 C．量子 学实验卫星“墨子”的周期比北斗 G7 小 D．量子 学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗 G7 小 解析：选 C.根据 GmM r2 ＝mv2 r ，知轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度的轨道半 径为地球的半径，所以第一宇宙速度是绕地球做匀速圆周运动最大的环绕速度，所以静止轨 道卫星和中轨卫星的线速度均小于地球的第一宇宙速度，故 A 错误；地球静止轨道卫星即 同步卫星，只能定点于赤道正上方，故 B 错误；根据 GmM r2 ＝mr4π2 T2 ，得 T＝ 4π2r3 GM ，所以量 子 学实验卫星“墨子”的周期小，故 C 正确；卫星的向心加速度：a＝GM r2 ，半径小的量子 学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗 G7 大，故 D 错误． 5．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一 点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周 期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T，经过一段时间演化后，两 星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A. n3 k2T B． n3 k T C. n2 k T D． n kT 解析：选 B.设两恒星中一个恒星的质量为 m，围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动 的半径为 r，两星总质量为 M，两星之间的距离为 R，由 Gm（M－m） R2 ＝mr4π2 T2 ，Gm（M－m） R2 ＝(M－m)(R－r)4π2 T2 ，联立解得：T＝2π R3 GM.经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为 T′＝2π （nR）3 G（kM）＝ n3 k T. 选项 B 正确． 6. 北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．如图所示，北斗导 航系统中的两颗工作卫星均绕地心做匀速圆周运动，且轨道半径均为 r，某时刻工作卫星 1、 2 分别位于轨道上的 A、B 两个位置，若两卫星均沿顺时针方向运行，地球表面的重力加速 度为 g，地球半径为 R，不计卫星间的相互作用力，下列判断错误的是( ) A．这两颗卫星的加速度大小相等，均为R2g r2 B．卫星 1 由 A 位置运动到 B 位置所需的时间是πr 3R r g C．卫星 1 由 A 位置运动到 B 位置的过程中万有引力不做功 D．卫星 1 向后喷气就一定能够追上卫星 2 解析：选 D.根据 F合＝ma，对卫星有 GMm r2 ＝ma，可得 a＝GM r2 ，取地面一物体由 GMm′ R2 ＝m′g，联立解得 a＝R2g r2 ，故 A 正确. 根据 GMm r2 ＝m(2π T )2 r，得 T＝ 4π2r3 GM ，又 t＝1 6T， 联立可解得 t＝πr 3R r g，故 B 正确．卫星 1 由位置 A 运动到位置 B 的过程中，由于万有引力 方向始终与速度方向垂直，故万有引力不做功，C 正确．若卫星 1 向后喷气，则其速度会增 大，卫星 1 将做离心运动，所以卫星 1 不可能追上卫星 2，D 错误． 二、多项选择题 7．(高考全国卷Ⅰ)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当 地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行 星冲日”．据报道，2014 年各行星冲日时间分别是：1 月 6 日木星冲日；4 月 9 日火星冲日； 5 月 11 日土星冲日；8 月 29 日海王星冲日；10 月 8 日天王星冲日．已知地球及各地外行星 绕太阳运动的轨道半径如下表所示．则下列判断正确的是( ) 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径 (AU) 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30 A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B．在 2015 年内一定会出现木星冲日 C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短 解析：选 BD.由开普勒第三定律r3 T2＝k 可知 T 行＝ (r行 r地 ) 3 ·T 地＝ r年，根据相遇时转 过的角度之差Δθ＝2nπ 及 ω＝ Δθ t 可知相邻冲日时间间隔为 t，则 (2π T地－2π T行)t＝2π，即 t＝ T行T地 T行－T地＝ T行 T行－1，又 T火＝ 1.53年，T木＝ 5.23年，T土＝ 9.53年，T天＝ 193年，T海＝ 303 年，代入上式得 t>1 年，故选项 A 错误；木星冲日时间间隔 t 木＝ 5.23 5.23－1 年<2 年，所以选 项 B 正确；由以上公式计算 t 土≠2t 天，t 海最小，选项 C 错误，选项 D 正确． 8．同重力场作用下的物体具有重力势能一样，万有引力场作用下的物体同样具有引力 势能．若取无穷远处引力势能为零，物体距星球球心距离为 r 时的引力势能为 Ep＝－Gm0m r (G 为引力常量)，设宇宙中有一个半径为 R 的星球，宇航员在该星球上以初速度 v0 竖直向上 抛出一个质量为 m 的物体，不计空气阻力，经 t 秒后物体落回手中，则( ) A．在该星球表面上以 2v0R t 的初速度水平抛出一个物体，物体将不再落回星球表面 B．在该星球表面上以 2 v0R t 的初速度水平抛出一个物体，物体将不再落回星球表面 C．在该星球表面上以 2v0R t 的初速度竖直抛出一个物体，物体将不再落回星球表面 D．在该星球表面上以 2 v0R t 的初速度竖直抛出一个物体，物体将不再落回星球表面 解析：选 ABD.设该星球表面附近的重力加速度为 g′，物体竖直上抛运动有：v0＝g′t 2 ， 在星球表面有：mg′＝Gm0m R2 ，设绕星球表面做圆周运动的卫星的速度为 v1，则 mv R＝Gm0m R2 ， 联立解得 v1＝ 2v0R t ，A 正确；2 v0R t ＞ 2v0R t ，B 正确；从星球表面竖直抛出物体至无穷 远速度为零的过程，有 1 2mv22＋Ep＝0，即 1 2mv22＝Gm0m R ，解得 v2＝2 v0R t ，C 错误，D 正 确． 9．(2018·江苏溧水高级中学高三模拟)暗物质是二十一世纪物理学之谜，对该问题的研 究可能带来一场物理学的革命．为了探测暗物质，我国在 2015 年 12 月 17 日成功发射了一 颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星．已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀 速圆周运动，经过时间 t(t 小于其运动周期)，运动的弧长为 s，与地球中心连线扫过的角度 为 β(弧度)，引力常量为 G，则下列说法中正确的是( ) A．“悟空”的线速度小于第一宇宙速度 B．“悟空”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度 C．“悟空”的环绕周期为2πt β D．“悟空”的质量为 s3 Gt2β 解析：选 ABC.该卫星经过时间 t(t 小于卫星运行的周期)，运动的弧长为 s，与地球中 心连线扫过的角度为 β(弧度)，则卫星运行的线速度为 v＝s t，角速度为 ω＝β t，根据 v＝ωr 得轨道半径为 r＝v ω＝s β，卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有：GMm r2 ＝ mv2 r ，得 v＝ GM r ，可知卫星的轨道半径越大，速率越小，第一宇宙速度是近地卫星的环绕 速度，故“悟空”在轨道上运行的速度小于地球的第一宇宙速度，故 A 正确；由 GMm r2 ＝ma 得：加速度 a＝GM r2 ，则知“悟空”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度，故 B 正 确；“悟空”的环绕周期为 T＝2π β t ＝2πt β ，故 C 正确；“悟空”绕地球做匀速圆周运动，万 有引力提供向心力，即：GMm r2 ＝mω2r，ω＝β t，联立解得：地球的质量为 M＝ s3 Gt2β，不能求 出“悟空”的质量，故 D 错误． 10. “嫦娥五号”的主要任务是月球取样返回．“嫦娥五号”要面对取样、上升、对接和高 速再入等四个主要技术难题，要进行多次变轨飞行．如图所示是“嫦娥五号”绕月球飞行的 三条轨道，1 轨道是贴近月球表面的圆形轨道，2 和 3 轨道是变轨后的椭圆轨道．A 点是 2 轨道的近月点，B 点是 2 轨道的远月点．“嫦娥五号”在轨道 1 的运行速率为 1.8 km/s，则 下列说法中正确的是( ) A．“嫦娥五号”在 2 轨道经过 A 点时的速率一定大于 1.8 km/s B．“嫦娥五号”在 2 轨道经过 B 点时的速率一定小于 1.8 km/s C．“嫦娥五号”在 3 轨道所具有的机械能小于在 2 轨道所具有的机械能 D．“嫦娥五号”在 3 轨道所具有的最大速率小于在 2 轨道所具有的最大速率 解析：选 AB.“嫦娥五号”在 1 轨道做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定 律得 GMm r2 ＝mv r，由 1 轨道变轨到 2 轨道“嫦娥五号”做离心运动，则有 GMm r2 ＜mv r，故 v1 ＜v2A，选项 A 正确；“嫦娥五号”在 2 轨道 B 点做近心运动，则有 GMm r ＞m v rB，若“嫦娥 五号”在经过 B 点的圆轨道上运动，则 GMm r ＝m v rB，由于 r＜rB，所以 v1＞vB，故 v2B＜vB＜ v1＝1.8 km/s，选项 B 正确；3 轨道的高度大于 2 轨道的高度，故“嫦娥五号”在 3 轨道所 具有的机械能大于在 2 轨道所具有的机械能，选项 C 错误；“嫦娥五号”在各个轨道上运 动时，只有万有引力做功，机械能守恒，在 A 点时重力势能最小，动能最大，速率最大， 故“嫦娥五号”在 3 轨道所具有的最大速率大于在 2 轨道所具有的最大速率，选项 D 错 误． 三、非选择题 11．(2018·陕西师大附中模拟)双星系统中两个星球 A、B 的质量都是 m，A、B 相距 L， 它们正围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期 T 要小于按照力 学理论计算出的周期理论值 T0，且 T T0＝k(k＜1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现 的星球 C 的影响，并认为 C 位于双星 A、B 的连线正中间，相对 A、B 静止，求： (1)两个星球 A、B 组成的双星系统周期理论值 T0； (2)星球 C 的质量． 解析：(1)两个星球 A、B 组成的双星系统角速度相同，根据万有引力定律，两星之间万 有引力 F＝Gm·m L2 .设两星轨道半径分别是 r1、r2.两星之间万有引力是两星做匀速圆周运动 的向心力，有 F＝mr1ω20，F＝mr2ω20，可得 r1＝r2，因此两星绕连线的中点转动． 由Gm2 L2 ＝m·L 2·ω20，解得 ω0＝ 2Gm L3 . 所以 T0＝2π ω0＝ 2π 2Gm L3 ＝2π L3 2Gm. (2)设星球 C 的质量为 M，由于星球 C 的存在，双星的向心力由两个力的合力提供，则 Gm2 L2 ＋G mM (1 2L )2 ＝m·1 2L·ω2， 得 ω＝ 2G（m＋4M） L3 ，可求得 T＝2π ω＝2π L3 2G（m＋4M）， 有 T T0＝ 2π L3 2G（m＋4M） 2π L3 2Gm ＝ m m＋4M＝k，所以 M＝1－k2 4k2 m. 答案：(1)2π L3 2Gm (2)1－k2 4k2 m 12．万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性． (1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不 同的结果．已知地球质量为 M，自转周期为 T，万有引力常量为 G.将地球视为半径为 R、 质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是 F0. ①若在北极上空高出地面 h 处称量，弹簧秤读数为 F1，求比值F1 F0的表达式，并就 h＝ 1.0 R 的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)； ②若在赤道地面称量，弹簧秤读数为 F2，求比值F2 F0的表达式． (2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径 r、太阳的半径 RS 和地球的半径 R 三者均减小 为现在的 1.0 ，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以 现实地球的 1 年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？ 解析：(1)设小物体质量为 m. ①在北极地面，GMm R2 ＝F0 在北极上空高出地面 h 处，G Mm （R＋h）2＝F1 得F1 F0＝ R2 （R＋h）2 当 h＝1.0 R 时，F1 F0＝ 1 1.012≈0.98. ②在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力， 有 GMm R2 －F2＝m4π2 T2 R 得F2 F0＝1－4π2R3 GMT2 . (2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力． 设太阳质量为 MS，地球质量为 M，地球公转周期为 TE，有 GMSM r2 ＝Mr4π2 T 得 TE＝ 4π2r3 GMS ＝ 3π Gρ( r RS ) 3 其中 ρ 为太阳的密度． 由上式可知，地球公转周期 TE 仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有 关．因此“设想地球”的 1 年与现实地球的 1 年时间相同． 答案：(1)① R2 （R＋h）2 0.98 ②1－4π2R3 GMT2 (2)与现实地球的 1 年时间相同