【物理】2019届一轮复习人教版圆周运动学案（浙江专用）
第3讲 圆周运动
[考试标准]
知识内容
必考要求
加试要求
说明
圆周运动、向心加速度、向心力
d
d
1.不要求分析变速圆周运动的加速度问题．
2.不要求掌握向心加速度公式的推导方法．
3.不要求用“等效圆”处理一般曲线运动．
4.变速圆周运动和曲线运动的切向分力和切向加速度不作定量计算要求.
5.不要求求解提供向心力的各力不在同一直线上的圆周运动问题．
6.不要求对离心运动进行定量计算．
7.不要求分析与计算两个物体联结在一起(包括不接触)做圆周运动时的问题.
生活中的圆周运动
c
一、圆周运动、向心加速度、向心力
1．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等．
(2)性质：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动．
2．描述匀速圆周运动的物理量
(1)线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．
v＝＝.单位：m/s.
(2)角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
ω＝＝.单位：rad/s.
(3)周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
T＝.
(4)转速：物体单位时间内所转过的圈数．符号为n，单位：r/s(或r/min)．
(5)相互关系：v＝ωr＝r＝2πrf＝2πnr.
3．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．
an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
4．向心力
做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力，公式为Fn＝m或Fn＝mrω2.向心力的方向总是沿半径指向圆心，方向时刻改变，所以向心力是变力．
自测1 下列关于匀速圆周运动的说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
B．向心加速度大小和方向都不变
C．物体所受合力全部用来提供向心力
D．向心力总是沿半径指向圆心，是一个恒力
答案 C
二、生活中的圆周运动
1．火车转弯
特点：重力与支持力的合力提供向心力．(火车应按设计速度转弯，否则将挤压内轨或外轨)
2．竖直面内的圆周运动
(1)汽车过弧形桥
特点：重力和桥面支持力的合力提供向心力．
(2)水流星、绳球模型、内轨道
最高点：当v≥时，能在竖直平面内做圆周运动；当v<时，不能到达最高点．
3．离心运动定义
做匀速圆周运动的物体，在所受的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，即离心运动．
4．受力特点
当F合＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；
当F合＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F合
时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
模型1 轻绳模型
例3 如图7所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动．g取10 m/s2，求：
图7
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？
(2)当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力多大？
(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多大？
答案 (1)2 m/s (2)15 N (3)4 m/s
解析 (1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mg＋F1＝ ①
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，F1不可能取负值，即F1≥0 ②
联立①②得v≥，
代入数值得v≥2 m/s
所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s.
(2)v2＝4 m/s时，mg＋F2＝m，
解得F2＝15 N.
(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳的张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得
F3－mg＝ ③
将F3＝45 N代入③得v3＝4 m/s
即小球的速度不能超过4 m/s.
变式6 (2015·浙江10月学考·8)质量为30 kg的小孩坐在秋千板上，秋千板离系绳子的横梁的距离是2.5 m．小孩的父亲将秋千板从最低点拉起1.25 m高度后由静止释放，小孩沿圆弧运动至最低点时，她对秋千板的压力约为( )
A．0 B．200 N
C．600 N D．1 000 N
答案 C
解析 秋千板从释放至最低点的过程中，
由机械能守恒定律：mgh＝mv2 ①
在最低点，有FN－mg＝m ②
由①②得：FN＝600 N.
结合牛顿第三定律可知，她对秋千板的压力约为600 N.
模型2 轻杆模型
例4 (2017·金衢五校期中联考)如图8所示，长为l的轻杆，一端固定一个可视为质点的小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v，下列叙述中不正确的是( )
图8
A．v的值可以小于
B．当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大
C．当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
答案 D
解析 轻杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故v的值可以小于，选项A正确；由Fn＝m知，当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大，选项B正确；当v＞时，杆对小球提供的是拉力，由牛顿第二定律得F＋mg＝m，故当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大，选项C正确；当v＜时，杆对小球提供的是支持力，由牛顿第二定律得mg－F＝m，故当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大，选项D错误．
模型3 凹形桥与拱形桥模型
FN－mg＝
概述
如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力Fn＝FN－mg＝m
规律
桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态
mg－FN＝
概述
如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力Fn＝mg－FN＝m
规律
桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
例5 一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为( )
A．3∶1 B．3∶2 C．1∶3 D．1∶2
答案 C
解析
汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力．如图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即FN1′＝FN1 ①
由牛顿第二定律可得mg－FN1′＝ ②
同样，如图乙所示，FN2′＝FN2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有FN2′－mg＝③
由题意可知FN1＝mg ④
由①②③④得FN1∶FN2＝1∶3.
1．把一个小球放在光滑的玻璃漏斗中，晃动漏斗，可使小球沿漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动．如图1所示，关于小球的受力情况，下列说法正确的是( )
图1
A．重力、漏斗壁的支持力
B．重力、漏斗壁的支持力及向心力
C．重力、漏斗壁的支持力、摩擦力及向心力
D．小球受到的合力为零
答案 A
2．如图2所示，手表指针的运动可看成匀速运动，下列说法中正确的是( )
图2
A．秒针、分针、时针转动周期相同
B．秒针的角速度最大，时针的角速度最小
C．秒针上A、B两点线速度一样大
D．秒针上A、B两点向心加速度一样大
答案 B
3．某同学用一根结实的细绳，其中一端拴一个小物体，使其在光滑的水平桌面上做圆周运动，体验手拉绳的力，如图3所示．当保持物体质量不变时，下列说法正确的是( )
图3
A．半径不变，减小角速度，拉力将减小
B．半径不变，增大角速度，拉力将减小
C．角速度不变，减小半径，拉力将增大
D．角速度不变，增大半径，拉力将减小
答案 A
解析 小物体在光滑的水平桌面上做圆周运动时，绳子对小物体的拉力FT提供向心力．由向心力公式Fn＝FT＝mω2R可知，m及R不变，角速度ω减小，则拉力FT将减小，选项A正确；同理可知B、C、D错误．
4. (2017·“七彩阳光”联考)转篮球是一项需要技巧的活动，如图4所示，假设某同学让篮球在指尖上匀速转动，指尖刚好静止在篮球球心的正下方，下列判断正确的是( )
图4
A．篮球上的各点做圆周运动的圆心均在指尖与篮球的接触处
B．篮球上各点的向心力是由手指提供的
C．篮球上各点做圆周运动的角速度相等
D．篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越大
答案 C
解析 篮球上各点做同轴圆周运动，故角速度相等，由an＝ω2r
知，篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越小．篮球上各点的向心力是由该点周围各点对它的合力提供的．
5．(2017·浙江名校协作体联考)2015年7月31日，中国申报冬奥会成功，高山滑雪是最引人瞩目的项目之一．现假设有一运动员经过一段半径为R的圆弧轨道，如图5所示，当他滑到最低点时速度大小为v，若运动员和滑雪板的总质量为m，滑雪板与雪道之间的动摩擦因数为μ，运动员和滑雪板可看成质点，重力加速度为g，则关于运动员和滑雪板整体在圆弧轨道最低点的分析正确的是( )
图5
A．受重力、弹力、摩擦力和向心力四个力作用
B．受到的向心力为mg＋m
C．受到的摩擦力为μ
D．受到的合力方向斜向左上方
答案 C
解析 在最低点，运动员和滑雪板作为整体，受重力、弹力和摩擦力三个力的作用，如图所示，选项A、B错误；在最低点，由牛顿第二定律得FN－mg＝m，Ff＝μFN，由以上两式解得Ff＝μ，选项C正确；由力的合成可知，运动员和滑雪板作为整体所受合力方向斜向右上方，选项D错误．
6．(2017·台州市期末质量评估)如图6为一压路机，其大轮半径是小轮半径的1.5倍，A、B分别为小轮和大轮边缘上的点，压路机在平直路面上前进时，轮与地面不打滑，则下列说法正确的是( )
图6
A．A、B两点的线速度之比为vA∶vB＝2∶3
B．A、B两点的线速度之比为vA∶vB＝3∶2
C．A、B两点的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶3
D．A、B两点的向心加速度之比为aA∶aB＝3∶2
答案 D
解析 相同时间内，压路机大轮和小轮通过的距离相等，由v＝知大轮和小轮边缘上各点的线速度大小相等，故vA∶vB＝1∶1，选项A、B错误；由a＝得＝＝，选项C错误，D正确．
7．(2016·杭州市萧山区模拟)2009年5月12日中央电视台《今日说法》栏目报道了发生在湖南长沙某公路上的离奇交通事故：在公路转弯处外侧的李先生家门口，三个月内连续发生了八次大卡车侧翻的交通事故．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图7所示．为了避免事故再次发生，很多人提出了建议，下列建议中不合理的是( )
图7
A．在进入转弯处设立限速标志，提醒司机不要超速转弯
B．在进入转弯处设立限载标志，要求降低车载货物的重量
C．改进路面设计，增大车轮与路面间的摩擦力
D．改造此段弯路，使弯道内侧低、外侧高
答案 B
8．(2016·嵊州市调研)如图8所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有( )
图8
A．线速度vATB
C．它们受到的摩擦力FfA>FfB
D．筒壁对它们的弹力FNA>FNB
答案 D
解析 由于两物体同轴转动，角速度相等，根据v＝rω，rA>rB，所以vA>vB，A项错误；由于ω相等，则T相等，B项错误；因竖直方向受力平衡，Ff＝mg，所以FfA＝FfB
，C项错误；筒壁对物体的弹力提供向心力，根据FN＝Fn＝mrω2，rA＞rB，故FNA>FNB，D项正确．
9．(2016·绍兴一中期中考试)如图9所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ(可认为最大静摩擦力和滑动摩擦力相等)，A的质量是2m，B和C的质量均为m，A、B到轴的距离为R，C到轴的距离为2R，则当圆台旋转时，若A、B、C均没滑动，则下列说法不正确的是( )
图9
A．C的向心加速度最大 B．B的摩擦力最小
C．当圆台转速增大时，B比A先滑动 D．当圆台转速增大时，C比B先滑动
答案 C
解析 三个物体都做匀速圆周运动，每个物体所受合力都指向圆心，对任意一个物体受力分析，受重力、支持力及指向圆心的摩擦力，支持力与重力平衡，F合＝Ff＝Fn，由于A、B、C三个物体共轴转动，角速度ω相等，根据题意，设rC＝2rA＝2rB＝2r，则由向心力公式Fn＝mω2r得三物体的向心力分别为FA＝2mω2r，FB＝mω2r，FC＝mω2(2r)＝2mω2r，向心加速度分别为aA＝ω2r，aB＝ω2r，aC＝2ω2r，选项A、B正确；对任意一物体，摩擦力提供向心力，当ω变大时，所需向心力也变大，当摩擦力达到最大静摩擦力时，物体开始滑动，当转速增加时，B、C所需向心力都增加，且最大静摩擦力保持相等，但因C需要的向心力比B大，因此C比B先滑动，选项D正确；当转速增加时，A、B所需向心力都增加，且保持2∶1关系，但因A、B最大静摩擦力也满足2∶1关系，因此A、B会同时滑动，选项C错误．
10．(2016·绍兴市调研)奥运会单杠比赛中有一个“单臂大回环”的动作，难度系数非常大．假设运动员质量为m，单臂抓杠杆身体下垂时，手掌到人体重心的距离为l.如图10所示，在运动员单臂回转从顶点倒立转至最低点过程中，可将人体视为质量集中于重心的质点，且不考虑手掌与单杠间的摩擦力，重力加速度为g，若运动员在最低点的速度为2，则运动员的手臂拉力为自身重力的( )
图10
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．5倍
答案 D
解析 对运动员在最低点受力分析，由牛顿第二定律可得，F－mg＝m，解得F＝5mg，D项正确．
11．(2017·绍兴市选考模拟)如图11所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为4∶1∶16，在用力蹬脚踏板前进的过程中，下列说法正确的是( )
图11
A．小齿轮和后轮的角速度大小之比为16∶1
B．大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4
C．大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶4
D．大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为4∶1
答案 B
解析 小齿轮和后轮共轴，角速度相等，故A错误；大齿轮和小齿轮轮缘的线速度相等，根据ω＝可知，大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4，故B正确；小齿轮和后轮共轴，根据v＝ωr可知，小齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶16，则大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶16，故C错误；大齿轮和小齿轮轮缘的线速度相等，根据an＝可知，大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为1∶4，故D错误．
12．冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员，其安全速度为( )
A．v＝k B．v≤
C．v≤ D．v≤
答案 B
解析 水平冰面对运动员的静摩擦力提供运动员做圆周运动的向心力，则运动员的安全速度v满足：kmg≥m，解得v≤.
13．(2017·宁波市九校高一期末)如图12所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径．某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，则( )
图12
A．该盒子做圆周运动的向心力一定恒定不变
B．该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2π
C．盒子在最低点时，小球对盒子的作用力大小等于mg
D．盒子在与O点等高的右侧位置时，小球对盒子的作用力大小等于mg
答案 B
解析 向心力的方向始终指向圆心，是变化的，故A错误；在最高点，由mg＝mR得，周期T＝2π，故B正确；盒子在最低点，由F－mg＝mR和mg＝mR可得，F＝2mg，故C错误；盒子在与O点等高的右侧位置时，盒子底部对小球的支持力等于小球的重力mg，而盒子侧壁的支持力也等于mg，两者相互垂直，所以盒子对小球的作用力等于mg，根据牛顿第三定律，小球对盒子的作用力大小等于mg，故D错误．
14．如图13所示，半径为R的光滑圆环轨道竖直放置，一质量为m的小球恰能在此圆轨道内做圆周运动，则小球在轨道最低点处对轨道的压力大小为( )
图13
A．3mg B．4mg
C．5mg D．6mg
答案 D
解析 由题意知小球刚好能够通过最高点，则在最高点有mg＝m，从最高点到最低点，由动能定理得
2mgR＝mv′2－mv2，解得v′2＝5gR，
在最低点由牛顿第二定律得FN－mg＝m
解得FN＝6 mg，根据牛顿第三定律，小球在轨道最低点处对轨道的压力大小FN′＝6mg
.故D正确．
15．(2017·湖州市高一期末)如图14所示，小球A质量为m，固定在长为L的轻杆一端，并随杆一起绕杆的另一端O在竖直平面内做圆周运动．若小球经过最高点时速度大小为2，则此时杆对球的作用力( )
图14
A．大小等于4mg，方向竖直向上
B．大小等于3mg，方向竖直向上
C．大小等于4mg，方向竖直向下
D．大小等于3mg，方向竖直向下
答案 D
解析 在最高点由向心力公式有，FT＋mg＝m，得FT＝3mg，故杆对球的作用力向下，大小为3mg.
16．为确保弯道行车安全，汽车进入弯道前必须减速，如图15所示，AB为进入弯道前的平直公路，BC为水平圆弧形弯道，已知AB段的距离sAB＝14 m，弯道半径R＝24 m，汽车到达A点时速度vA＝16 m/s，汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s2，要确保汽车进入弯道后不侧滑，求汽车：
图15
(1)在弯道上行驶的最大速度的大小；
(2)在AB段做匀减速运动的最小加速度的大小．
答案 (1)12 m/s (2)4 m/s2
解析 (1)汽车在弯道上行驶速度最大时，最大静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律知：μmg＝m
可得v＝＝12 m/s
(2)AB过程中汽车做匀减速直线运动，在弯道以最大速度行驶时，减速运动的加速度最小，则v2－v＝2asAB，
解得a＝－4 m/s2，即最小加速度大小为4 m/s2.
17．如图16所示，一过山车在半径为R的轨道内运动，过山车的质量为M，里面人的质量为m，运动过程中人与过山车始终保持相对静止．则：
图16
(1)当过山车以多大的速度经过最高点时，人对座椅的压力大小刚好等于人的重力？
(2)以(1)中速度过最高点时，过山车对轨道的压力为多大？
(3)当过山车以的速度经过最低点时，人对座椅的压力为多大？
答案 (1) (2)(M＋m)g (3)7mg
解析 (1)在最高点时，人的重力和座椅对人的弹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得
FN＋mg＝m
人对座椅的压力大小刚好等于人的重力，根据牛顿第三定律得FN＝mg
解得v1＝
(2)将过山车和人作为一个整体，向心力由整体的总重力和轨道对过山车的弹力的合力提供，设此时轨道对过山车的弹力为F，根据牛顿第二定律得
F＋(M＋m)g＝(M＋m)
解得F＝(M＋m)g
根据牛顿第三定律，过山车对轨道的压力大小为(M＋m)g，方向竖直向上．
(3)在最低点时，设座椅对人的弹力为FN′，则根据牛顿第二定律得FN′－mg＝m
代入v2＝
得FN′＝7mg
根据牛顿第三定律，人对座椅的压力大小为7mg，方向竖直向下．
