【物理】2020届二轮复习专题八磁场作业

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专题八　磁场 高考命题规律 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 2019 年 2020 年高考必备 Ⅰ 卷 Ⅱ卷 Ⅰ 卷 Ⅱ 卷 Ⅲ 卷 Ⅰ 卷 Ⅱ 卷 Ⅲ 卷 Ⅰ 卷 Ⅱ 卷 Ⅲ 卷 Ⅰ 卷 Ⅱ 卷 Ⅲ 卷 考点 一 磁场对电流的作用　磁场对运动电荷 的作用 24 18、 19 18 18 19 18 18 20 17 17 考点 二 带电粒子在复合场中的运动 14 15 16 24 25 25 24 24 18 考点一　磁场对电流的作用　磁场对运动电荷的作用 命题角度 1 磁感应强度的矢量性及安培定则的应用　 高考真题体验·对方向 1. (多选)(2018 全国Ⅱ·20)如图,纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线 L1、L2,L1 中的电流方向向左,L2 中的电流方向向上;L1 的正上方有 a、b 两点,它们相对于 L2 对称.整个系统处于匀强外磁场中,外磁场 的磁感应强度大小为 B0,方向垂直于纸面向外.已知 a、b 两点的磁感应强度大小分别为1 3B0 和1 2B0,方 向也垂直于纸面向外.则(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.流经 L1 的电流在 b 点产生的磁感应强度大小为 7 12B0 B.流经 L1 的电流在 a 点产生的磁感应强度大小为 1 12B0 C.流经 L2 的电流在 b 点产生的磁感应强度大小为 1 12B0 D.流经 L2 的电流在 a 点产生的磁感应强度大小为 7 12B0 答案 AC 解析设 L1 在 a、b 点产生的磁感应强度分别为 B1a、B1b,L2 在 a、b 点产生的磁感应强度分别为 B2a、 B2b,根据安培定则可知,B1a=B1b,方向均垂直纸面向里;B2a=B2b,B2a 方向垂直纸面向里,B2b 方向垂直纸 面向外;根据题意,对 a 点有,B1a+B2a-B0=- 퐵0 3 .对 b 点有,B1b-B2b-B0=- 퐵0 2 ,联立以上方程解得 B1a=B1b= 7퐵0 12 ,B2a=B2b= 퐵0 12,选项 A、C 正确. 2.(2017 全国Ⅲ·18) 如图,在磁感应强度大小为 B0 的匀强磁场中,两长直导线 P 和 Q 垂直于纸面固定放置,两者之间的距 离为 l.在两导线中均通有方向垂直于纸面向里的电流 I 时,纸面内与两导线距离均为 l 的 a 点处的磁 感应强度为零.如果让 P 中的电流反向、其他条件不变,则 a 点处磁感应强度的大小为(　　) A.0 B. 3 3 B0 C.2 3 3 B0 D.2B0 答案 C 解析设导线 P 和 Q 在 a 点处产生磁场的磁感应强度 B1、B2 的大小为 B,如图甲所示,两磁感应强度的 夹角为 60°,可知合磁感应强度大小为 3B,方向水平向右,所以匀强磁场的磁感应强度 B0= 3B,方向 水平向左;P 中的电流反向后,导线 P 和 Q 在 a 点处产生磁场的磁感应强度 B1'、B2'如图乙所示,各自 大小仍为 B,夹角为 120°,则其合磁感应强度大小仍为 B,方向竖直向上,与原匀强磁场 B0 合成后,总 的磁感应强度大小为 B 总=2 3 3 B0,C 正确. 分析磁场叠加的思路 (1)根据安培定则确定通电导线周围磁场的方向,注意分清“电流方向(因)”和“磁场方向(果)”. (2)磁场中每一点磁感应强度的方向为该点磁感线的切线方向. (3)磁感应强度是矢量,多个通电导体产生的磁场叠加时,合磁场的磁感应强度等于各场源单独存 在时在该点磁感应强度的矢量和. 典题演练提能·刷高分 1. (多选)已知通电长直导线产生的磁场中某点的磁感应强度满足 B=k퐼 푟(其中 k 为比例系数,I 为电流强 度,r 为该点到直导线的距离).现有四根平行的通电长直导线,其横截面积恰好在一个边长为 L 的正方 形的四个顶点上,电流方向如图,其中 A、C 导线中的电流大小为 I1,B、D 导线中的电流大小为 I2.已 知 A 导线所受的磁场力恰好为零,则下列说法正确的是 (　　) A.电流的大小关系为 I1=2I2 B.四根导线所受的磁场力为零 C.正方形中心 O 处的磁感应强度为零 D.若移走 A 导线,则中心 O 处的磁场将沿 OB 方向 答案 ACD 解析导线 BCD 在导线 A 处的磁场如图甲所示,根据题意 A 导线的磁场力为零,则 A 处的合磁场为零, 即 2k 퐼2 퐿=k 퐼1 2퐿,则 I1=2I2,故选项 A 正确;同理将各点的磁场都画出,可以判断 B、D 导线处的合磁场不 为零,故磁场力不为零,故选项 B 错误;将各导线在 O 点的磁场画出,如图乙所示,由于 A、C 导线电流 相等而且距离 O 点距离相等,则 BA'=BC',同理 BB'=BD',即正方形中心 O 处的磁感应强度为零,故选项 C 正确;若移走 A 导线,则磁场 BA'不存在,由于 BB'=BD',则此时在 O 点的磁场只剩下导线 C 的磁场,而 且导线 C 点磁场方向沿 OB 方向,即中心 O 处的磁场将沿 OB 方向,故选项 D 正确. 甲 乙 2. 如图,同一平面内有两根互相平行的长直导线 M 和 N,通有等大反向的电流,该平面内的 a、b 两点关 于导线 N 对称,且 a 点与两导线的距离相等.若 a 点的磁感应强度大小为 B,则下列关于 b 点磁感应强 度 Bb 的判断正确的是(　　) A.Bb>2B,方向垂直该平面向里 B.Bb<1 2B,方向垂直该平面向外 C.1 2Br 时,则入射点和出射点 为磁场直径的两个端点时,轨迹对应的速度偏转角最大(所有的弦长中直径最长).③当 R=r 时,保持粒 子的入射速率和入射点不变,改变速度的方向,射出圆形磁场后速度方向相同,或以相同速度(速度大 小相等方向相同)从不同点射入圆形磁场的粒子汇聚到磁场边界同一点,这称为磁聚焦现象. 典题演练提能·刷高分 1. (2019 安徽马鞍山模拟)如图所示,abcd 为一正方形边界的匀强磁场区域,磁场边界边长为 L,磁场方向 垂直边界平面向里.三个粒子以相同的速度从 a 点沿 ac 方向射入,粒子 1 从 b 点射出,粒子 2 从 c 点射 出,粒子 3 从 cd 边垂直于磁场边界射出,不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用.根据以上信息,可以 确定(　　) A.粒子 1 带负电,粒子 2 不带电,粒子 3 带正电 B.粒子 1 和粒子 3 的比荷之比为 2∶1 C.粒子 1 和粒子 3 在磁场中运动时间之比为 4∶1 D.粒子 3 的射出位置与 d 点相距퐿 2 答案 B 解析根据左手定则可知,粒子 1 带正电,粒子 2 不带电,粒子 3 带负电,选项 A 错误;由几何关系知,粒子 1 在磁场中的轨迹为四分之一圆周,半径 r1=Lsin 45°= 2 2 L,在磁场中运动时间 t1=1 4T=1 4 × 2π푟1 푣 = 2π퐿 4푣 , 粒子 3 在磁场中的轨迹为八分之一圆周,半径 r3= 퐿 sin45° = 2L,在磁场中运动时间 t3=1 8T=1 8 × 2π푟3 푣 = 2π퐿 4푣 ,则 t1=t3,选项 C 错误;由 r1∶r3=1∶2 及 r=푚푣 푞퐵可知粒子 1 和粒子 3 的比荷之比为 2∶1,选项 B 正 确;粒子 3 的射出位置与 d 点相距( 2-1)L,选项 D 错误. 2. (2019 山东滕州模拟)如图所示,匀强磁场的边界为直角三角形 abc,一束带正电的相同粒子以不同的 速度 v 沿 bc 方向从 b 点射入磁场,不计粒子的重力.关于粒子在磁场中的运动情况,下列说法正确的 是(　　) A.入射速度越大的粒子,在磁场中的运动时间越长 B.入射速度越大的粒子,在磁场中的运动轨迹越长 C.从 ab 边射出的粒子在磁场中的运动时间都相等 D.从 ac 边射出的粒子在磁场中的运动时间都相等 答案 C 解析带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动,轨迹半径 r=푚푣 푞퐵,速度越大,半径越大,从 ac 边出射的粒子, 速度越大,运动轨迹越短,对应的圆心角 θ 越小,根据 t= 휃 2πT 和 T=2π푚 푞퐵 可知,粒子在磁场中的运动时间越 短,选项 A、B、D 错误;从 ab 边出射的粒子速度的偏向角都相同,而粒子在磁场中做圆周运动的轨迹 所对的圆心角等于速度的偏向角,由 t= 휃 2πT 可知,粒子在磁场中的运动时间相等,选项 C 正确. 3.(多选)如图所示,在一个等腰直角三角形 ACD 区域内有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小 为 B.一质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子(不计重力),沿纸面从 AC 边的中点 O 垂直于 AC 边射入 该匀强磁场区域,若该三角形的两直角边长均为 2l,则下列关于粒子运动的说法中正确的是(　　) A.若该粒子的入射速度为 v=푞퐵푙 푚 ,则粒子一定从 CD 边射出磁场,且距点 C 的距离为 l B.若要使粒子从 CD 边射出,则粒子从 O 点入射的最大速度应为 v= 2푞퐵푙 푚 C.若要使粒子从 AC 边射出,则粒子从 O 点入射的最大速度应为 v=푞퐵푙 2푚 D.粒子以不同大小的速度入射时,在磁场中运动的最长时间为π푚 푞퐵 答案 ACD 解析若粒子的入射速度为 v=푞퐵푙 푚 ,根据洛伦兹力提供向心力可知 Bqv=m푣2 푟 ,解得 r=l;根据几何关系可知, 粒子一定从 CD 边上距 C 点为 l 的位置离开磁场,选项 A 正确;根据洛伦兹力提供向心力可知,v=퐵푞푟 푚 , 因此半径越大,速度越大.根据几何关系可知,若要使粒子从 CD 边射出,粒子轨迹与 AD 边相切时半径 最大,由几何关系可知,最大半径满足(rm+l)2=푟m 2 + 푟m 2,解得 rm=( 2+1)l,则若要使粒子从 CD 边射出, 该粒子从 O 点入射的最大速度应为 v=( 2 + 1)푞퐵푙 푚 ,选项 B 错误;若要使粒子从 AC 边射出,则该粒子从 O 点入射的最大轨迹半径为1 2l,因此最大速度应为 v=푞퐵푙 2푚,选项 C 正确;粒子从 AC 边射出时在磁场中运 动的时间最长.粒子运行周期为2π푚 퐵푞 ,根据几何关系可知,粒子在磁场中偏转对应的最大圆心角为 180°, 故在磁场中运动的最长时间为π푚 푞퐵,选项 D 正确. 4.如图所示,在水平面内存在一半径为 2R 和半径为 R 的两个同心圆,半径为 R 的小圆和半径为 2R 的 大圆之间形成一环形区域.小圆和环形区域内分别存在垂直于水平面、方向相反的匀强磁场.小圆内 匀强磁场的磁感应强度大小为 B.位于圆心处的粒子源 S 沿水平面向各个方向发射速率为푞퐵푅 푚 的正粒 子,粒子的电荷量为 q、质量为 m,为了将所有粒子束缚在半径为 2R 的圆形内,环形区域磁感应强度 大小至少为(　　) A.B B.4 5B C.5 3B D.4 3B 答案 C 解析粒子在小圆内做圆周运动的半径为 r=푚푣 퐵푞=R,由轨迹图可知,粒子从 A 点与 OA 成 30°角的方向 射入环形区域,粒子恰好不射出磁场时,轨迹圆与大圆相切,设半径为 r,由几何知识可知∠OAO2=120°. 由余弦定理可知,(2R-r)2=r2+R2-2Rrcos 120°,解得 r=3 5R,由 qvB'=m푣2 푟 ,则 B'=푚푣 푞푟 = 5푚푣 3푞푅 = 5 3B,故选 C. 5. 如图所示,在某电子设备中有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为 B.AC、AD 两块挡板垂直 纸面放置,夹角为 90°.一束电荷量为+q、质量为 m 的相同粒子,从 AD 板上距 A 点为 L 的小孔 P 处 以不同速率垂直于磁场方向射入,速度方向与 AD 板的夹角为 60°,不计粒子的重力和粒子间的相互 作用.求: (1)直接打在 AD 板上 Q 点的粒子,其从 P 点运动到 Q 点的时间是多少? (2)直接垂直打在 AC 板上的粒子,其运动速率是多大? 答案(1)2π푚 3푞퐵　(2)2 3푞퐵퐿 3푚 解析(1)根据已知条件画出粒子的运动轨迹,如图中Ⅰ轨迹所示. 粒子打在 AD 板上的 Q 点,圆心为 O1,由几何关系可知,轨迹对应的圆心角∠PO1Q=120° 由洛伦兹力提供向心力,则有 qvB=m푣2 푅 圆周运动的周期公式 T=2π푅 푣 联立解得 T=2π푚 푞퐵 则运动的时间为 t=120° 360°T=2π푚 3푞퐵. (2)粒子垂直打到 AC 板上,运动轨迹如图中Ⅱ轨迹所示. 由图可知圆心为 O2,∠APO2=30°,设粒子运动的轨迹半径为 r,由几何关系得 rcos 30°=L 由洛伦兹力提供向心力得 qvB=m푣2 푟 解得 v=2 3푞퐵퐿 3푚 . 命题角度 4(储备)带电粒子在洛伦兹力作用下运动的多解问题　 【典题】 (多选)如图所示,直线 MN 与水平方向成 θ=30°角,MN 的右上方区域存在磁感应强度大小为 B、 方向水平向外的匀强磁场,MN 的左下方区域存在磁感应强度大小为 2B、方向水平向里的匀强磁 场,MN 与两磁场均垂直.一粒子源位于 MN 上的 a 点,能水平向右发射不同速率、质量为 m、电荷量 为 q(q>0)的同种粒子(粒子重力不计),所有粒子均能通过 MN 上的 b 点.已知 ab=L,MN 两侧磁场区域 均足够大,则粒子的速率可能是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.푞퐵퐿 8푚 B.푞퐵퐿 6푚 C.푞퐵퐿 2푚 D.푞퐵퐿 푚 答案 BD 解析 粒子运动过程只受洛伦兹力作用,故在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,则在右边磁场时有 Bvq= 푚푣2 푅 ,则粒子在右边磁场中做圆周运动的轨道半径 R=푚푣 퐵푞;同理在左边磁场中做圆周运动的半径为 R'= 푚푣 2퐵푞 = 푅 2,作出运动轨迹,如图所示.由几何关系可知,所有圆心角均为 60°,则图中所有三角形都为等边 三角形,若粒子偏转偶数次到达 b 点,则有 L=n R+푅 2 =n3푅 2 (n=2,4,6…),解得 R=2퐿 3푛(n=2,4,6…),故速度 为 v=퐵푞푅 푚 = 2퐵푞퐿 3푛푚 (n=2,4,6…),当 n=4 时 v=퐵푞푅 푚 = 2퐵푞퐿 3 × 4푚 = 퐵푞퐿 6푚 ,故 B 正确;若粒子偏转奇数次到达 b 点, 则有 L=nR+(n-1)푅 2 = 푅 2(3n-1)(n=1,3,5…),解得 R= 2퐿 3푛 - 1(n=1,3,5…),故速度为 v=퐵푞푅 푚 = 2퐵푞퐿 (3푛 - 1)푚 (n=1,3,5…),当 n=1 时 v=퐵푞푅 푚 = 2퐵푞퐿 (3 × 1 - 1)푚 = 퐵푞퐿 푚 ,故 D 正确.由上分析可知 A、C 错误,故选 B、D. 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的多解原因 类型 分　析 图　例 带电 粒 子电 性 不确 定 在相同初速度下,正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,形成多解.如图为比荷相同的 正、负两粒子以相同速度进入磁场运动的轨迹图 a 带正电, b 带负电 磁场 方 向不 确定 磁感应强度大小确定,方向不确定而形成的多解.如图,带正电的粒子以速度 v 垂直进 入匀强磁场 a 为磁场向里, b 为磁场向外 临界 状 态不 唯一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可 能穿过磁场飞出,也可能转过 180°从入射界面这边反向飞出,从而形成多解,如图 运动 具 有周 期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时,运动往往具有往复性,从而形成 多解,如图 典题演练提能·刷高分 1. (2019 山东安丘模拟)如图所示,在 x 轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为 B.在 xOy 平面内,从原点 O 处沿与 x 轴正方向夹角为 θ(0<θ<π)的方向,发射一个速率为 v 的带正电粒子(重力 不计).则下列说法正确的是(　　) A.若 v 一定,θ 越大,则粒子在磁场中运动的时间越短 B.若 v 一定,θ 越大,则粒子离开磁场的位置距 O 点越远 C.若 θ 一定,v 越大,则粒子在磁场中运动的角速度越大 D.若 θ 一定,v 越大,则粒子在磁场中运动的时间越短 答案 A 解析由左手定则可知,带正电的粒子向左偏转,粒子在磁场中运动的周期 T=2π푚 푞퐵 ,在磁场中运动的时间 t=2π - 2휃 2π T=2(π - 휃)푚 푞퐵 .若 v 一定,θ 越大,则粒子在磁场中运动的时间越短,选项 A 正确;由几何关系知,若 v 一定,θ 等于 90°时,粒子离开磁场的位置距 O 点最远,选项 B 错误;粒子在磁场中运动的时间与 v 无 关,由 ω=2π 푇 = 푞퐵 푚 可知,粒子在磁场中运动的角速度与 v 无关,选项 C、D 错误. 2. (2019 山东东平模拟)如图所示,在 x>0,y>0 的空间中有恒定的匀强磁场,磁感应强度的方向垂直于 xOy 平面向里,大小为 B.现有一质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子,从 x 轴上的 P 点沿着与 x 轴正 方向成 30°角的方向射入磁场.不计重力的影响,则下列有关说法中正确的是(　　) A.只要粒子的速率合适,粒子就可能通过坐标原点 B.粒子在磁场中运动所经历的时间一定为5π푚 3푞퐵 C.粒子在磁场中运动所经历的时间可能为π푚 푞퐵 D.粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 π푚 6푞퐵 答案 C 解析 带正电的粒子从 P 点沿与 x 轴正方向成 30°角的方向射入磁场中,则圆心在过 P 点与速度方向垂直 的直线上,如图所示.粒子在磁场中要想到达 O 点,转过的圆心角肯定大于 180°,因磁场有边界,故粒 子不可能通过坐标原点,选项 A 错误;由于 P 点的位置不确定,所以粒子在磁场中运动的轨迹圆弧对 应的圆心角也不同,最大的圆心角是轨迹圆弧与 y 轴相切时,即圆心角为 300°,运动时间为5 6T.而最小 的圆心角是 P 点在坐标原点时,即圆心角为 120°,运动时间为1 3T,而 T=2π푚 푞퐵 ,故粒子在磁场中运动所经 历的时间最长为5π푚 3푞퐵,最短为2π푚 3푞퐵,选项 C 正确,选项 B、D 错误. 3. 如图所示,在 x 轴上方存在垂直 xOy 平面向外的匀强磁场,坐标原点 O 处有一粒子源,可向 x 轴和 x 轴 上方的各个方向不断地发射速度大小均为 v、质量为 m、带电量为+q 的同种带电粒子.在 x 轴上距 离原点 x0 处垂直于 x 轴放置一个长度为 x0、厚度不计、能接收带电粒子的薄金属板 P(粒子一旦打 在金属板 P 上,其速度立即变为零).现在观察到沿 x 轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端, 且速度方向与 y 轴平行.不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力.求: (1)磁感应强度 B 的大小; (2)被薄金属板接收的粒子在磁场运动的最短时间与最长时间; (3)若在 y 轴上另放置一个能接收带电粒子的挡板,使薄金属板 P 右侧不能接收到带电粒子,求挡板的 最小长度. 答案(1)푚푣 푞푥0 　(2) π푥0 3푣 　 5π푥0 3푣 　(3)(2- 3)x0 解析(1)设粒子做圆周运动的半径为 R.根据牛顿第二定律,得 qvB=푚푣2 푅 ,如图甲由几何关系得 R=x0,联 立解得 B=푚푣 푞푥0 . 甲 (2)带电粒子在磁场中的运动周期为 T,则有 T=2π푅 푣 ; 打在 P 左侧下端的粒子在磁场中运动的时间最短.如图乙. 乙 由几何关系可知,打在 P 左侧下端的粒子在磁场中偏转的角度是 θ1=60°, 运动的最短时间 tmin= 휃1 360°T,联立解得 tmin= π푥0 3푣 ; 打在 P 右侧下端的粒子在磁场中运动的时间最长.如图丙. 丙 由几何关系可知,打在 P 右侧下端的粒子在磁场中偏转的角度是 θ2=300°, 运动的最长时间 tmax= 휃2 360°T,联立解得 tmax= 5π푥0 3푣 . (3)作图得出使薄金属板右侧能接收到带电粒子的运动轨迹中,打在最上面的点的轨迹与打在最 下面的粒子的轨迹如图丁,挡板的位置在图中的 MN 处即可满足题目的要求. 丁 打在最上面的点:OM=2R=2x0; 打在最下面的点:ON=2R·cos 30°= 3x0; 挡板的最小长度 L=OM-ON=(2- 3)x0. 4.如图,x 为纸面内的一条直线,P、N 是 x 上的两个点,匀强磁场垂直纸面.两个带电粒子 a、b 分别从 P、N 同时开始在纸面内运动.a 的初速度垂直 x 向上,运动轨迹如图中虚线所示,O 为圆心,PC 是直 径,A 是圆周上的点;b 的初速度方向是纸面内所有可能的方向.已知 AO 连线垂直 x,PO=OC=CN;a 的 初速度为 v;a、b 带等量异种电荷,a 的质量为 b 的两倍,a、b 间的相互作用力及所受重力不计. (1)求 a、b 的周期之比; (2)若 a、b 在 A 点相遇,求 b 的速度大小; (3)b 的速度小于某个临界值 v0 时,a、b 不可能相遇,求 v0 的大小. 答案(1)2∶1　(2) 5v　(3)2v 解析(1)设 a 质量为 m,电量为 q,则 b 质量为 0.5m,电量为-q,设磁感应强度为 B, 带电粒子在磁场中做圆周运动,由 qvB=m푣2 푟 T=2π푟 푣 可得 T=2π푚 푞퐵 由此求得 Ta∶Tb=2∶1. (2)设 a、b 由 P、N 到 A 的时间分别为 ta、tb,由 ta= n+1 4 Ta tb=ta= n+1 4 Ta= 2n+1 2 Tb 由此可知,a 粒子顺时针转了1 4周时,b 粒子逆时针转了半周,所以 NA 的长度为粒子 b 做圆周运动 的直径. 设 a 粒子的轨道半径为 r;b 粒子的速度大小为 vb,运动轨道半径为 rb.有 qvB=m푣2 푟 ,qBvb= 0.5푚푣푏 2 푟푏 由几何关系有:r2+(3r-r)2=(2rb)2 联立解得:vb= 5v. (3)假设 b 粒子的速度 v'≥v0 时,两粒子能在圆周上的 Q 点相遇,如图所示,设 PQ 对应的圆心角为 θ, a 粒子由 P 运动到 Q 点的时间 tPQ= n+ 휃 2π Ta b 粒子由 N 运动到 Q 点的时间 tNQ=tPQ= n+ 휃 2π Ta= 2n+2휃 2π Tb 由此可知,b 运动到 Q 的过程中,粒子 b 转过弧长所对应的圆心角为 2θ,则 NQ=2rbsin θ 在△NQO 中,由正弦定理得 푁푄 sin훼 = 푟 sin훽, 又 sin θ=sin α 得 2rb= 푟 sin훽,即2 × 0.5푚푣' 푞퐵 = 푚푣 푞퐵sin훽, 得 v'= 푣 sin훽. 又 sin β≤ 푟 3푟 - 푟 = 1 2(当 NQ 与 OQ 垂直时取等号) 于是得到 v'≥2v,即 v0=2v. 考点二　带电粒子在复合场中的运动 命题角度 1 带电粒子在复合场中的运动　 高考真题体验·对方向 　(2017 全国Ⅰ·16)如图,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场 方向垂直于纸面向里.三个带正电的微粒 a、b、c 电荷量相等,质量分别为 ma、mb、mc.已知在该区 域内,a 在纸面内做匀速圆周运动,b 在纸面内向右做匀速直线运动,c 在纸面内向左做匀速直线运动. 下列选项正确的是(　　) A.ma>mb>mc　　　　　 B.mb>ma>mc C.mc>ma>mb D.mc>mb>ma 答案 B 解析 a 做匀速圆周运动,则 qE=mag,故 ma=푞퐸 푔 ;b 向右做匀速直线运动,则 qE+qvB=mbg,故 mb=푞퐸 + 푞푣퐵 푔 ;c 向左做匀速直线运动,则 qE=qvB+mcg,故 mc=푞퐸 - 푞푣퐵 푔 .综上 mb>ma>mc,选 B. 带电粒子在复合场中运动问题的分析思路 (1)弄清复合场的组成特点. (2)正确分析带电粒子的受力及运动特点. (3)画出粒子的运动轨迹,灵活选择不同的运动规律. (4)注意结论:在无约束面的情况下,若在复合场中粒子做直线运动,则一定是做匀速直线运动,重 力、电场力和洛伦兹力的合力为零;若在复合场中粒子做匀速圆周运动,则往往是重力与电场力平衡, 洛伦兹力提供做圆周运动的向心力. 典题演练提能·刷高分 1. 如图所示的虚线区域内,充满垂直纸面向内的匀强磁场和竖直向上的匀强电场,一带电颗粒 A 以一定 初速度由左边界的 O 点射入磁场、电场区域,恰好沿水平直线从区域右边界 O'点穿出,射出时速度的 大小为 vA,若仅撤去磁场,其他条件不变,另一个相同的颗粒 B 仍以相同的速度由 O 点射入并从区域 右边界穿出,射出时速度的大小为 vB,则颗粒 B(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.穿出位置一定在 O'点上方,vBvA C.穿出位置一定在 O'点下方,vBvA 答案 D 解析设带电颗粒从 O 位置飞入的速度为 v0,若带电颗粒 A 带负电,其电场力、重力、洛伦兹力均向下, 与运动方向垂直,不可能做直线运动.颗粒 A 一定为正电荷,且满足 mg=Eq+Bqv0,因为做匀速直线运动, 故 vA=v0.若仅撤去磁场,由于 mg>Eq,带电颗粒 B 向下偏转,穿出位置一定在 O'点下方,合力对其做正 功,故 vB>v0,因此 vB>vA,故 D 正确,ABC 错误. 2. (2019 广西桂林调研)如图所示,质量为 m,带电荷量为+q 的液滴,以速度 v 沿与水平方向成 θ=45°角 斜向上进入正交的足够大匀强电场和匀强磁场叠加区域,电场强度方向水平向右,磁场方向垂直纸面 向里,液滴在场区做直线运动.重力加速度为 g,试求: (1)电场强度 E 和磁感应强度 B 各多大? (2)当液滴运动到某一点 A 时,电场方向突然变为竖直向上,大小不改变,不考虑因电场变化而产生的磁 场的影响,此时液滴加速度多少? (3)在满足(2)的前提下,液滴从 A 点到达与 A 点位于同一水平线上的 B 点(图中未画出)所用的时间. 答案(1)푚푔 푞 　 2푚푔 푞푣 　(2) 2g　(3)3 2π푣 4푔 解析(1)液滴带正电,液滴受力如图所示, 根据平衡条件有 Eq=mgtan θ=mg,qvB= 푚푔 cos휃 = 2mg 解得:E=푚푔 푞 ,B= 2푚푔 푞푣 . (2)电场方向突然变为竖直向上,大小不改变,故电场力与重力平衡,洛伦兹力提供向心力,粒子做 匀速圆周运动,根据牛顿第二定律有 a= 퐹合 푚 = 2g. (3)电场变为竖直向上后,qE=mg,故液滴做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得 qvB=m푣2 푟 解得:r=푚푣 푞퐵 则 T=2π푟 푣 = 2π푚 푞퐵 由几何知识得 t=3 4T 解得:t=3 2π푣 4푔 3. 如图所示,水平桌面上方区域存在竖直向上的匀强电场,电场强度 E=5 N/C,过桌左边缘的虚线 PQ 上 方存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度 B=π 3T,虚线 PQ 与水平桌面成 45°角,现将一个质量 m1=2.0×10-3 kg,带正电 q=4.0×10-3 C 的物块 A 静置在桌面上,质量 m2=1.0×10-3 kg、不带电的绝缘物 块 C 从与 A 相距 L=2.0 m 处的桌面上以 v0=5.0 m/s 的初速度向左运动.物块 A、C 与桌面间的动摩 擦因数为 μ=0.4,二者在桌面上发生碰撞(碰撞时间极短,A、C 间无电荷转移),碰撞后 C 反弹速度大小 为 vC=1.0 m/s,A 向左运动进入磁场,求: (1)碰撞后物块 A 的速度; (2)物块 A 从进入磁场到再次回到桌面所用时间;(结果保留两位有效数字) (3)若一段时间后 A、C 在桌面上相遇,求碰撞前 A 与桌左边缘 P 的距离.(结果保留两位有效数字) 答案(1)2 m/s,方向水平向左　(2)2.7 s　(3)0.83 m 解析(1)设 C 与 A 碰撞前瞬间的速度为 v,碰后 A、C 的速度分别为 vA、vC,对 C 从开始运动到与 A 相 碰,由动能定理可得-μm2gL=1 2m2v2-1 2m2푣0 2 A、C 碰撞过程中,规定向左为正方向,对于 A、C 组成的系统由动量守恒定律可得 m2v=m1vA-m2vC 两式联立可得 vA=2 m/s,方向水平向左. (2)对 A 受力分析可知 qE=m1g,故碰撞后 A 向左匀速直线运动进入磁场,并在磁场中做匀速圆周 运动,设在磁场中做圆周运动的周期为 T,则 T= 2π푚1 푞퐵 ,由几何知识可得,A 球在磁场中运动了3 4个圆周,轨 迹如图所示. 设 A 在磁场中运动的时间为 t1,则 t1=3 4T. A 运动出磁场后竖直向下匀速运动再次回到桌面位置,设其运动时间为 t2,磁场中洛伦兹力提供 向心力, qvAB=m1 푣퐴 2 푅 R=vAt2 t=t1+t2 联立以上各式得 t≈2.7 s. (3)碰撞后 C 反弹在桌面上做匀减速运动,设其加速度为 a,停止运动所用时间为 t3,可得 μm2g=m2a 0=vC-at3 解得 t3=0.25 s 显然,碰撞后 C 运动时间小于 A 运动时间,由此可知 A、C 相遇时,C 已经停止运动.所以 A、C 相 遇的位置为 C 停止运动的位置,也是 A 竖直向下再次回到桌面的位置. C 匀减速的位移 x=1 2vCt3=0.125 m,碰前 A 与桌左边缘 P 的距离 Δx=R-x≈0.83 m. 4.(2019 山东郓城高三模拟)如图所示,ABCD 矩形区域内存在互相垂直的有界匀强电场和匀强磁场的 叠加场.有一质量为 m、带电荷量大小为 q 的小球在光滑绝缘的水平面上,从静止开始经电压为 U 的 电场加速后,水平进入 ABCD 区域中,恰能在此空间的竖直面内做匀速圆周运动,且从 B 点射出,已知 AB 长度为 3L,AD 长度为 L,求: (1)小球带何种电荷及进入叠加场时的速度大小; (2)小球在叠加场中做圆周运动的轨迹半径; (3)小球在叠加场中运动的时间. 答案(1)负电荷　 2푞푈 푚 　(2)2L　(3)π퐿 3 2푚 푞푈 解析(1)小球在电场、磁场和重力场的叠加场中做匀速圆周运动,且从 B 点射出,根据左手定则可知小 球带负电荷. 小球进入叠加场之前,由动能定理得:qU=1 2mv2, 解得:v= 2푞푈 푚 . (2)设小球做圆周运动的轨迹半径为 r,由几何关系得:r2=(r-L)2+( 3L)2, 解得:r=2L. (3)由(2)知小球在叠加场中做圆周运动对应的圆心角满足:sin θ= 3퐿 푟 , 解得:θ=π 3 小球运动周期:T=2π푟 푣 运动时间为:t= 휃 2πT 联立解得:t=π퐿 3 2푚 푞푈 命题角度 2 洛伦兹力在现代科技中的应用问题　 高考真题体验·对方向 　 (2016 全国Ⅰ·15)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子,其示意图如图所示,其中加速电压恒 定.质子在入口处从静止开始被加速电场加速,经匀强磁场偏转后从出口离开磁场.若某种一价正离子 在入口处从静止开始被同一加速电场加速,为使它经匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场,需将磁 感应强度增加到原来的 12 倍.此离子和质子的质量比约为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.11 B.12 C.121 D.144 答案 D 解析离子经电场加速 Uq=1 2mv2,离子在电场中偏转时,qvB=푚푣2 푟 ,可知 m=푟2퐵2푞 2푈 ;由于离子和质子的加速 电压、电荷量和在磁场中做匀速圆周运动的半径都相同,所以 m∝B2,离子所需偏转磁场的磁感应强 度是质子所需偏转磁场的磁感应强度的 12 倍,则离子质量是质子质量的 144 倍,选项 D 正确. 分析实际问题的思路与方法 (1)知道质谱仪、回旋加速器等仪器或器件的结构及工作原理. (2)知道考查的内容,能从实际物理模型中抽象出物理问题. (3)巧用 qE=qvB 分析带电粒子在复合场中的应用实例. 典题演练提能·刷高分 1.(多选)(2019 山东泰安模拟)如图所示为一利用海流发电的装置原理图.用绝缘材料制成一个横截面 为矩形的管道,在管道的上、下两个内表面装有两块电阻不计的金属板 M、N,板长为 a、宽为 b,板 间的距离为 d,将管道沿海流方向固定在海水中,在管道中施加与前后表面垂直的匀强磁场,磁感应强 度大小为 B,将航标灯与两金属板连接(图中未画出).海流方向如图,海流速率为 v,下列说法正确的是 (　　) A.M 板的电势高于 N 板的电势 B.该海流发电机的电动势为 Bdv C.该海流发电机的电动势为 Bav D.管道内海水受到的安培力方向向左 答案 ABD 解析由左手定则可知,海流中的正离子受到的洛伦兹力方向向上,所以正离子向上偏转,即 M 板带正 电;负离子受到的洛伦兹力方向向下,所以负离子向下偏转,N 板带负电,可知 M 板的电势高于 N 板的 电势,选项 A 正确;M、N 两板间形成电场,当离子所受的洛伦兹力和电场力平衡时,两板间的电压稳定, 即 q푈 푑=Bqv,得 U=Bdv,两板间电压即该海流发电机的电动势,选项 B 正确、C 错误;根据左手定则知, 管道内由离子运动形成的电流方向向上,故管道内海水所受安培力方向向左,选项 D 正确. 2.(多选)如图所示为一种质谱仪的工作原理示意图,此质谱仪由以下几部分构成:离子源、加速电场、 静电分析器、磁分析器、收集器,静电分析器通道中心线半径为 R,通道内有均匀辐射电场,在中心线 处的电场强度大小为 E;磁分析器中分布着方向垂直于纸面,磁感应强度为 B 的匀强磁场,其左边界与 静电分析器的右边界平行.由离子源发出一个质量为 m、电荷量为 q 的正离子(初速度为零,重力不计), 经加速电场加速后进入静电分析器,沿中心线 MN 做匀速圆周运动,后由 P 点进入磁分析器中,最终经 过 Q 点进入收集器.下列说法正确的是(　　) A.磁分析器中匀强磁场方向垂直于纸面向内 B.加速电场中的加速电压 U=1 2ER C.磁分析器中圆心 O2 到 Q 点的距离 d=1 퐵 푚퐸푅 푞 D.任何离子若能到达 P 点,则一定能进入收集器 答案 BC 解析离子在磁分析器中沿顺时针转动,所受洛伦磁力指向圆心,根据左手定则,磁分析器中匀强磁场方 向垂直于纸面向外,故 A 错误;离子在静电分析器中做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律有 qE=m푣2 푅 ,设 离子进入静电分析器时的速度为 v,离子在加速电场中加速的过程中,由动能定理有 qU=1 2mv2-0,解得 U=퐸푅 2 ,B 正确;离子在磁分析器中做匀速圆周运动,由牛顿第二定律有 qvB=m푣2 푟 ,解得 r=1 퐵 2푚푈 푞 = 1 퐵 푚퐸푅 푞 ,则 d=r=1 퐵 푚퐸푅 푞 ,故 C 正确;由 B 项可知 R=2푈 퐸 ,R 与离子质量、电量无关;离子在磁场中的轨道半 径 r=1 퐵 푚퐸푅 푞 ,离子在磁场中做圆周运动的轨道半径与电荷的质量和电量有关,能够到达 P 点的不同离 子,半径不一定都等于 d,不一定能进入收集器,故 D 错误. 3.随着电子技术的发展,霍尔传感器被广泛应用在汽车的各个系统中.其中霍尔转速传感器在测量发 动机转速时,情景简化如图甲所示,被测量转子的轮齿(具有磁性)每次经过霍尔元件时,都会使霍尔电 压发生变化,传感器的内置电路会将霍尔电压调整放大,输出一个脉冲信号,霍尔元件的原理如图乙所 示.下列说法正确的是(　　) A.霍尔电压是由于元件中定向移动的载流子受到电场力作用发生偏转而产生的 B.若霍尔元件的前端电势比后端低,则元件中的载流子为负电荷 C.在其他条件不变的情况下,霍尔元件的厚度 c 越大,产生的霍尔电压越高 D.若转速表显示 1 800 r/min,转子上齿数为 150 个,则霍尔传感器每分钟输出 12 个脉冲信号 答案 B 解析元件内载流子受到洛伦兹力和电场力的作用,故 A 错误;根据左手定则,电子向前端偏转,前端带 负电,后端带正电,所以前端的电势低,符合要求,则元件中的载流子为负电荷,故 B 正确;当电场力和洛 伦兹力平衡时,有 q푈 푏=qvB,I=nqvS=nqvbc,解得 U=Bvb=B 퐼 푛푞푐,故当 c 增大时,U 减小,故 C 错误;转速 n=1 800 r/min=30 r/s,则霍尔传感器每分钟输出的脉冲信号个数为 150×30×60 个=270 000 个,故 D 错误, 故选 B. 4.(多选)在一次南极科考中,科考人员使用磁强计测定地磁场的磁感应强度.其原理如图所示,电路中 有一段长方体的金属导体,它长、宽、高分别为 a、b、c,放在沿 y 轴正方向的匀强磁场中,导体中电 流沿 x 轴正方向,大小为 I.已知金属导体单位体积中的自由电子数为 n,电子电荷量为 e,自由电子做定 向移动可视为匀速运动,测出金属导体前后两个侧面间电压为 U,则(　　) A.金属导体的前侧面电势较低 B.金属导体的电阻为푈 퐼 C.自由电子定向移动的速度大小为 퐼 푛푒푎푏 D.磁感应强度的大小为푛푒푐푈 퐼 答案 AD 解析根据左手定则(注意电子带负电)可知电子打在前侧面,即前侧面带负电,电势较低,A 正确;电流方 向为从左向右,而题中 U 表示的是导体前后两个侧面的电压,故导体的电阻不等于푈 퐼 ,B 错误;在 t 时间 内通过的电荷量为 q=n(bcvt)e,又 I=푛푏푐푣푡푒 푡 =nbcve,解得 v= 퐼 푛푏푐푒①,C 错误;因为当金属导体中自由电子 定向移动时受洛伦兹力作用向前侧面偏转,使得前后两侧面间产生电势差,当电子所受的电场力与洛 伦兹力平衡时,前后两侧面间产生恒定的电势差.因而可得푒푈 푏 =Bev②,联立①②可得 B=푛푒푐푈 퐼 ,D 正确. 5.回旋加速器是现代高能物理研究中用来加速带电粒子的常用装置.图甲为回旋加速器原理示意图, 置于高真空中的两个半径为 R 的 D 形金属盒,盒内存在与盒面垂直且磁感应强度为 B 的匀强磁场.两 盒间的距离很小,带电粒子穿过的时间极短可以忽略不计.位于 D 形盒中心 A 处的粒子源能产生质量 为 m、电荷量为 q 的带正电粒子,粒子的初速度可以忽略.粒子通过两盒间被加速,经狭缝进入盒内磁 场.两盒间的加速电压按图乙所示的余弦规律变化,其最大值为 U0.加速过程中不考虑相对论效应和 重力作用.已知 t0=0 时刻产生的粒子每次通过狭缝是都能被最大电压加速.求: (1)两盒间所加交变电压的最大周期 T0; (2)t0=0 时刻产生的粒子第 1 次和第 2 次经过两 D 形盒间狭缝后的轨道半径之比; (3)t1= 푇0 12与 t2= 푇0 6 时刻产生的粒子到达出口处的时间差. 答案(1)2π푚 푞퐵 　(2) 2∶2　(3) π푚 6푞퐵 + 3 - 3π퐵푅2 3푈0 解析(1)设粒子在某次被加速后的速度为 v,则它在匀强磁场中做半径为 r 的圆周运动,qvB=m푣2 푟 ,运动 周期为 T=2π푟 푣 ,即 T=2π푚 푞퐵 .要保证 t0=0 时刻产生的粒子每次通过狭缝是都能被最大电压加速,粒子做圆 周运动的周期必须与加速电压的最大周期相同,所以 T0=2π푚 푞퐵 . (2)设 t0=0 时刻两盒间的电压为 U0,此时刻产生的粒子第 1 次经过狭缝后的速度为 v1,半径为 r1,qU0=1 2m푣1 2,qv1B=m 푣1 2 푟1 ,解得 r1=1 퐵 2푚푈0 푞 粒子在磁场中运动 푇0 2 后第 2 次经过狭缝,此时两盒间的电压为-U0,粒子再次加速. 联立可以得到,加速后的半径为 r2=1 퐵 2푚 × 2푈0 푞 ,所以 r1∶r2= 2∶2. (3)设粒子到达出口时的速度为 vm,则 qvmB=m 푣m 2 푅 , 即所有从出口飞出的粒子,速度大小都相等,而每个粒子在磁场中运动的每一个周期时间内,被相 同的电压加速两次.设某个粒子被加速时的电压为 U,它总共被加速了 n 次,则 nqU=1 2m푣m 2 整理可以得到 n=푞퐵2푅2 2푚푈 该粒子在磁场中运动的总时间 t=n· 푇0 2 ― 푇0 4 t1= 푇0 12与 t2= 푇0 6 时刻产生的粒子被加速时的电压分别为:U1=U0cos 2π 푇0 · 푇0 12和 U2=U0cos 2π 푇0 · 푇0 6 ,即 U1= 3 2 U0,U2=1 2U0 所以,t1= 푇0 12与 t2= 푇0 6 时刻产生的粒子到达出口处的时间差为:Δt= 푇0 6 ― 푇0 12 +(n2-n1) 푇0 2 ,即 Δt= π푚 6푞퐵 + 3 - 3π퐵푅2 3푈0 . 命题角度 3 带电粒子在组合场中的运动　 高考真题体验·对方向 1.(2019 全国Ⅲ·18)如图,在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为1 2B 和 B、方向均 垂直于纸面向外的匀强磁场.一质量为 m、电荷量为 q(q>0)的粒子垂直于 x 轴射入第二象限,随后垂 直于 y 轴进入第一象限,最后经过 x 轴离开第一象限.粒子在磁场中运动的时间为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.5π푚 6푞퐵 B.7π푚 6푞퐵 C.11π푚 6푞퐵 D.13π푚 6푞퐵 答案 B 解析 粒子在磁场中做匀速圆周运动,其运动轨迹如图所示. 根据半径公式 r=푚푣 푞퐵可求得 r2=2r1 由几何关系得 r2cos θ= r2-r1,求得 θ= 60°=π 3 粒子在磁场中做匀速圆周运动的时间 t=훼푚 푞퐵 在第二象限中运动的时间 t1= π푚 2푞퐵 在第一象限中运动的时间 t2=π푚 3푞퐵 2 = 2π푚 3푞퐵 故粒子在磁场中运动的时间为 t=t1+t2=7π푚 6푞퐵 故选 B. 2. (2019 全国Ⅰ)如图,在直角三角形 OPN 区域内存在匀强磁场,磁感应强度大小为 B、方向垂直于纸面 向外.一带正电的粒子从静止开始经电压 U 加速后,沿平行于 x 轴的方向射入磁场;一段时间后,该粒 子在 OP 边上某点以垂直于 x 轴的方向射出.已知 O 点为坐标原点,N 点在 y 轴上,OP 与 x 轴的夹角为 30°,粒子进入磁场的入射点与离开磁场的出射点之间的距离为 d,不计重力.求 (1)带电粒子的比荷; (2)带电粒子从射入磁场到运动至 x 轴的时间. 答案(1) 4푈 퐵2푑2　(2)퐵푑2 4푈 π 2 + 3 3 解析(1)设带电粒子的质量为 m,电荷量为 q,加速后的速度大小为 v.由动能定理有 qU=1 2mv2 ① 设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为 r,由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有 qvB=m푣2 푟 ② 由几何关系知 d= 2r ③ 联立①②③式得푞 푚 = 4푈 퐵2푑2 ④ (2)由几何关系知,带电粒子射入磁场后运动到 x 轴所经过的路程为 s=π푟 2 +rtan 30°⑤ 带电粒子从射入磁场到运动至 x 轴的时间为 t=푠 푣 ⑥ 联立②④⑤⑥式得 t=퐵푑2 4푈 π 2 + 3 3 ⑦ 3. (2018 全国Ⅰ·25)如图,在 y>0 的区域存在方向沿 y 轴负方向的匀强电场,电场强度大小为 E;在 y<0 的 区域存在方向垂直于 xOy 平面向外的匀强磁场.一个氕核 11H 和一个氘核 21H 先后从 y 轴上 y=h 点以 相同的动能射出,速度方向沿 x 轴正方向.已知 11H 进入磁场时,速度方向与 x 轴正方向的夹角为 60°, 并从坐标原点 O 处第一次射出磁场,11H 的质量为 m,电荷量为 q,不计重力.求 (1) 11H 第一次进入磁场的位置到原点 O 的距离; (2)磁场的磁感应强度大小; (3)21H 第一次离开磁场的位置到原点 O 的距离. 答案(1)2 3 3 h　(2) 6푚퐸 푞ℎ 　(3)2 3 3 ( 2-1)h 解析(1)11H 在电场中做类平抛运动,在磁场中做圆周运动,运动轨迹如图所示.设 11H 在电场中的加速度 大小为 a1,初速度大小为 v1,它在电场中的运动时间为 t1,第一次进入磁场的位置到原点 O 的距离为 s1. 由运动学公式有 s1=v1t1 ① h=1 2a1푡1 2 ② 由题给条件,11H 进入磁场时速度的方向与 x 轴正方向夹角 θ1=60°.11H 进入磁场时速度的 y 分量 的大小为 a1t1=v1tan θ1 ③ 联立以上各式得 s1=2 3 3 h ④ (2)11H 在电场中运动时,由牛顿第二定律有 qE=ma1 ⑤ 设 11H 进入磁场时速度的大小为 v1' v1'= 푣1 2 + (푎1푡1)2 ⑥ 设磁感应强度大小为 B,11H 在磁场中运动的圆轨道半径为 R1,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 qv1'B= 푚푣1'2 푅1 ⑦ 由几何关系得 s1=2R1sin θ1 ⑧ 联立以上各式得 B= 6푚퐸 푞ℎ ⑨ (3)设 21H 在电场中沿 x 轴正方向射出的速度大小为 v2,在电场中的加速度大小为 a2, 由题给条件得1 2(2m)푣2 2 = 1 2m푣1 2 ⑩ 由牛顿第二定律有 qE=2ma2 设 21H 第一次射入磁场时的速度大小为 v2',速度的方向与 x 轴正方向夹角为 θ2,入射点到原点的 距离为 s2,在电场中运动的时间为 t2.由运动学公式有 s2=v2t2 h=1 2a2푡2 2 v2'= 푣2 2 + (푎2푡2)2 sin θ2= 푎2푡2 푣2' 联立以上各式得 s2=s1,θ2=θ1,v2'= 2 2 v1' 设 21H 在磁场中做圆周运动的半径为 R2,由⑦ 式及粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式 得 R2= (2푚)푣2' 푞퐵 = 2R1 所以出射点在原点左侧.设 21H 进入磁场的入射点到第一次离开磁场的出射点的距离为 s2', 由几何关系有 s2'=2R2sin θ2 联立④⑧ 式得,21H 第一次离开磁场时的位置到原点 O 的距离为 s2'-s2=2 3 3 ( 2-1)h 4.(2018 全国Ⅱ·25)一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场,其在 xOy 平面内的截面如图所 示:中间是磁场区域,其边界与 y 轴垂直,宽度为 l,磁感应强度的大小为 B,方向垂直于 xOy 平面;磁场的 上、下两侧为电场区域,宽度均为 l',电场强度的大小均为 E,方向均沿 x 轴正方向;M、N 为条状区域 边界上的两点,它们的连线与 y 轴平行,一带正电的粒子以某一速度从 M 点沿 y 轴正方向射入电场,经 过一段时间后恰好以从 M 点入射的速度从 N 点沿 y 轴正方向射出.不计重力. (1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹; (2)求该粒子从 M 点入射时速度的大小; (3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与 x 轴正方向的夹角为π 6,求该粒子的比荷及其从 M 点运动 到 N 点的时间. 答案(1)见解析图　(2)2퐸푙' 퐵푙 　(3)4 3퐸푙' 퐵2푙2 퐵푙 퐸 (1 + 3π푙 18푙' ) 解析(1)粒子运动的轨迹如图(a)所示.(粒子在电场中的轨迹为抛物线,在磁场中为圆弧,上下对称) 图(a) (2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动.设粒子从 M 点射入时速度的大小为 v0,在下 侧电场中运动的时间为 t,加速度的大小为 a;粒子进入磁场的速度大小为 v,方向与电场方向的夹角为 θ(见图(b)),速度沿电场方向的分量为 v1,根据牛顿第二定律有 图(b) qE=ma ① 式中 q 和 m 分别为粒子的电荷量和质量. 由运动学公式有 v1=at ② l'=v0t ③ v1=vcos θ ④ 粒子在磁场中做匀速圆周运动,设其运动轨道半径为 R,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得 qvB=푚푣2 푅 ⑤ 由几何关系得 l=2Rcos θ ⑥ 联立①②③④⑤⑥式得 v0=2퐸푙' 퐵푙 ⑦ (3)由运动学公式和题给数据得 v1=v0cot π 6 ⑧ 联立①②③⑦⑧式得푞 푚 = 4 3퐸푙' 퐵2푙2 ⑨ 设粒子由 M 点运动到 N 点所用的时间为 t',则 t'=2t+ 2(π 2 - π 6) 2π T ⑩ 式中 T 是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期, T=2π푚 푞퐵 由③⑦⑨⑩ 式得 t'=퐵푙 퐸 (1 + 3π푙 18푙' ) 5.(2018 全国Ⅲ·24)如图,从离子源产生的甲、乙两种离子,由静止经加速电压 U 加速后在纸面内水平 向右运动,自 M 点垂直于磁场边界射入匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁场左边界竖直.已知甲 种离子射入磁场的速度大小为 v1,并在磁场边界的 N 点射出;乙种离子在 MN 的中点射出;MN 长为 l. 不计重力影响和离子间的相互作用.求 (1)磁场的磁感应强度大小; (2)甲、乙两种离子的比荷之比. 答案(1)4푈 푙푣1 　(2)1∶4 解析(1)设甲种离子所带电荷量为 q1、质量为 m1,在磁场中做匀速圆周运动的半径为 R1,磁场的磁感 应强度大小为 B,由动能定理有 q1U=1 2m1푣1 2 ① 由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 q1v1B=m1 푣1 2 푅1 ② 由几何关系知 2R1=l ③ 由①②③式得 B=4푈 푙푣1 ④ (2)设乙种离子所带电荷量为 q2、质量为 m2,射入磁场的速度为 v2,在磁场中做匀速圆周运动的 半径为 R2.同理有 q2U=1 2m2푣2 2 ⑤ q2v2B=m2 푣2 2 푅2 ⑥ 由题给条件有 2R2=푙 2 ⑦ 由①②③⑤⑥⑦式得,甲、乙两种离子的比荷之比为 푞1 푚1 ∶ 푞2 푚2 =1∶4 ⑧ 带电粒子在组合场中运动问题的分析思路 (1)明确组合类型:是空间组合还是时间组合. (2)画运动轨迹:对带电粒子进行受力分析,研究其在不同场区的运动规律,画出粒子运动轨迹示意 图. (3)划分过程,分段处理:将粒子运动的过程按不同场区划分为几个不同的阶段.对于匀强电场中的 匀变速直线运动或类平抛运动,可由牛顿运动定律及运动学公式求解,也可用动能定理求解;对匀强磁 场中的匀速圆周运动,可按带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动规律及带电粒子在有界磁场中运 动的解题思路求解. (4)找联系:找出过程之间及边界处各物理量之间的联系.当粒子从一个场区进入另一个场区时,分 析转折点处粒子的速度的大小和方向往往是解题的突破口. 典题演练提能·刷高分 1. (2019 山东济宁实验中学检测)如图所示,直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿 y 轴负方向的匀强电场, 在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场.一电荷量为 q、质量为 m 的带正电粒子,在 x 轴上的 a 点以速度 v0 与 x 轴负方向成 60°角射入磁场,从 y=L 处的 b 点沿垂直于 y 轴方向进入电场,并经过 x 轴上 x=2L 处的 c 点.不计粒子重力.求: (1)磁感应强度 B 的大小; (2)电场强度 E 的大小; (3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比. 答案(1) 3푚푣0 2푞퐿 　(2) 푚푣0 2 2푞퐿 　(3)2π 9 解析 (1)带电粒子在磁场中运动轨迹如图,由几何关系可知:r+rcos 60°=L,r=2퐿 3 又因为 qv0B=m 푣0 2 푟 解得:B= 3푚푣0 2푞퐿 . (2)带电粒子在电场中运动时,沿 x 轴有:2L=v0t2 沿 y 轴有:L=1 2a푡2 2,又因为 qE=ma 解得:E= 푚푣0 2 2푞퐿 . (3)带电粒子在磁场中运动时间为: t1=1 3·2π푟 푣0 = 4π퐿 9푣0 带电粒子在电场中运动时间为:t2=2퐿 푣0 所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比为: 푡1 푡2 = 2π 9 . 2.如图所示,在坐标系 xOy 的第一象限有沿 x 轴正方向的匀强电场,第二象限充满方向垂直坐标平面 向外的匀强磁场.有一比荷푞 푚=5.0×1010 C/kg 的带负电粒子从 a(6,0)沿 y 轴正方向射入,速度大小为 va=8.0×106 m/s,粒子通过 y 轴上的 b(0,16)点后进入磁场.不计粒子的重力.求: (1)电场强度 E 的大小,粒子通过 b 点时速度 vb 的大小及方向; (2)为使粒子不再进入电场,匀强磁场磁感应强度 B 应满足什么条件. 答案(1)6.0×103 N/C　1×107 m/s,与竖直方向夹角的余弦 cos θ=4 5　(2)B<2.0×10-3 T 解析(1)在第一象限 y 方向上:y=vat x 方向上:x=1 2at2,a=푞퐸 푚 解得 E= 2푚푣푎 2푥 푞푦2 =6.0×103 N/C 粒子从 a 运动 b,由动能定理得 qEx=1 2m푣푏 2 ― 1 2m푣푎 2,解得 vb=1×107 m/s cos θ= 푣푎 푣푏 = 4 5. (2)电子在磁场中有 qvbB= 푚푣푏 2 푟 由几何得 r+rsin θ=y 为使粒子不能进入电场,粒子在磁场中运动的半径必须大于图中的半径 r. 解得匀强磁场磁感应强度应满足 B<2.0×10-3 T. 3.如图,在真空室内的 P 点,能沿纸面向各个方向不断发射电荷量为+q,质量为 m 的粒子(不计重力),粒 子的速率都相同.ab 为 P 点附近的一条水平直线,P 到直线 ab 的距离 PC=L,Q 为直线 ab 上一点,它与 P 点相距 PQ= 5 2 L.当直线 ab 以上区域只存在垂直纸面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场时,水平向 左射出的粒子恰到达 Q 点;当 ab 以上区域只存在平行该平面的匀强电场时,所有粒子都能到达 ab 直 线,且它们到达 ab 直线时动能都相等,其中水平向左射出的粒子也恰好到达 Q 点.已知 sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求: (1)粒子的发射速率; (2)匀强电场的场强大小和方向; (3)仅有磁场时,能到达直线 ab 的粒子所用最长时间和最短时间的比值. 答案(1)5퐵푞퐿 8푚 　(2)25푞퐿퐵2 8푚 　(3)2.20 解析(1)设粒子做匀速圆周运动的半径 R,过 O 作 PQ 的垂线交 PQ 于 A 点,如图甲所示: 甲 由几何知识可得푃퐶 푃푄 = 푄퐴 푄푂 代入数据可得粒子轨迹半径 R=QO=5퐿 8 洛伦兹力提供向心力 Bqv=m푣2 푅 解得粒子发射速度为 v=5퐵푞퐿 8푚 . (2)只加匀强电场时,由粒子到达 ab 直线的动能相等,可知 ab 为等势面,电场方向垂直 ab 向下.水 平向左射出的粒子经时间 t 到达 Q 点,在这段时间内 퐶푄 = 퐿 2=vt 푃퐶=L=1 2at2 式中 a=푞퐸 푚 解得电场强度的大小为 E=25푞퐿퐵2 8푚 . (3)只有磁场时,粒子以 O1 为圆心沿圆弧 PD 运动,当圆弧和直线 ab 相切于 D 点时,粒子速度的偏 转角最大,对应的运动时间最长,如图乙所示. 乙 有 sin α=퐿 - 푅 푅 = 3 5 解得 α=37° 故最大偏转角 γmax=233° 粒子在磁场中运动最大时间 t1= 훾max 360°T 式中 T 为粒子在磁场中运动的周期. 粒子以 O2 为圆心沿圆弧 PC 运动时偏转角最小,对应的运动时间最短.据图有 sin β= 퐿 2푅 = 4 5 解得 β=53° 速度偏转角最小为 γmin=106° 故最短时间 t2= 훾min 360°T 因此,粒子到达直线 ab 所用最长时间和最短时间的比值 푡1 푡2 = 훾max 훾min = 233 106≈2.20. 4.如图所示,在坐标系 xOy 平面内,区域 xOO1a 中存在与 x 轴正方向成 60°斜向上的匀强电场,电场强 度大小为 E1(未知),区域 aO1bc 内存在一个边界与 y 轴平行的矩形匀强磁场(图中没画出)区域,方向垂 直纸面向里,y 轴左侧存在竖直向下的匀强电场,电场强度大小 E2= 푚푣0 2 푞푑 .一质量为 m、电荷量为 q 的带 正电粒子从 x 轴上距直线 O1a 为푑 2的 A 点沿 y 轴右侧的电场方向以初速度 v0 射入,粒子刚射入磁场时 速度为 2v0,粒子经磁场偏转后恰好从 b 点垂直 y 轴进入 y 轴左侧匀强电场,最后击中 x 轴上的 C 点, 已知 OO1=O1b=d,O1a、bc 均与 x 轴平行,粒子重力不计. (1)求 y 轴右侧匀强电场的电场强度 E1 的大小; (2)求匀强磁场磁感应强度 B 的大小及矩形匀强磁场区域的最小面积; (3)求粒子在 y 轴右侧和左侧电场中的电势能分别变化多少; (4)求粒子从 A 点运动到 C 点过程所用的时间. 答案(1) 3 3푚푣0 2 4푞푑 　(2) 3푚푣0 푞푑 　2 3d2　(3)3 2m푣0 2　2m푣0 2　(4)(81 + 16 3 + 8π)푑 36푣0 解析(1)从 A 点到射入磁场前,粒子在电场中做匀加速运动,由动能定理可得 qE1 푑 sin60° = 1 2m(2v0)2-1 2m 푣0 2,解得 E1= 3 3푚푣0 2 4푞푑 ; (2)由题意可知粒子的运动轨迹如图所示,由图可知粒子在磁场中的运动半径 r 满足 r+rcos 60°=d,因为 2Bq·v0=m (2푣0)2 푟 ,联立解得 B= 3푚푣0 푞푑 . 由图可知矩形匀强磁场区域的最小面积为 Smin=rd=2 3d2; (3)由(1)可知粒子从 A 点到进入磁场前过程中,电场力做功为 W1=3 2m푣0 2, 所以其电势能减少量为 ΔEp1=3 2m푣0 2;粒子从 b 点到 c 点过程中电场力做功为 W2=2qE2·d=2m푣0 2; 所以其电势能减少量为 ΔEp2=2m푣0 2; (4)粒子在 y 轴右侧匀强电场中的运动时间 t1= (2푣0 - 푣0)푚 푞퐸1 = 4 3푑 9푣0 ; 粒子在匀强磁场中的运动时间 t2=푇 3 = 2π푚 3퐵푞 = 2π푑 9푣0 ; 粒子出磁场到运动至 b 点过程中的运动时间 t3= 푑 tan60° - 푟sin60° + 푑 2 2푣0 = 푑 4푣0 ; 粒子在 y 轴左侧匀强电场中的运动时间 t4= 4푚푑 푞퐸2 = 2푑 푣0 ; 所以粒子从 A 点运动到 C 点所用的时间为 t=t1+t2+t3+t4=(81 + 16 3 + 8π)푑 36푣0 . 5. (2019 山东烟台模拟)如图所示,边长为 3L 的正方形区域分成相等的三部分,左右两侧为匀强磁场,中 间区域为匀强电场.左侧磁场的磁感应强度大小为 B1= 6푚푞푈 2푞퐿 ,方向垂直纸面向外;右侧磁场的磁感应 强度大小为 B2= 6푚푞푈 푞퐿 ,方向垂直于纸面向里;中间区域电场方向与正方形区域的上下边界平行.一质 量为 m、电荷量为+q 的带电粒子,从平行金属板的正极板开始由静止被加速,加速电压为 U,加速后 粒子从 a 点进入左侧磁场,又从距正方形上下边界等间距的 b 点沿与电场平行的方向进入电场,不计 粒子重力.求: (1)粒子经过平行金属板加速后的速度大小; (2)粒子在左侧磁场区域内运动时的半径及运动时间; (3)电场强度的取值在什么范围内时,粒子能从右侧磁场的上边缘 cd 间离开. 答案(1) 2푞푈 푚 　(2)2퐿 3　π퐿 3 2푚 3푞푈　(3)11푈 16퐿≤E≤2푈 퐿 解析(1)粒子在电场中运动时 qU=1 2mv2, 解得 v= 2푞푈 푚 . (2)粒子进入磁场 B1 后由洛伦兹力提供向心力 qvB1=푚푣2 푅1 ,解得 R1=2퐿 3 设粒子在磁场 B1 中转过的角度为 α, 如图所示,由 sin α= 퐿 푅1 , 解得 α=60°,周期 T= 2π푅1 푣 粒子在磁场 B1 中运动的时间为 t=1 6T=π퐿 3 2푚 3푞푈. (3)粒子在磁场 B2 中运动,设在上边缘 cd 间离开的临界速度分别为 vn 与 vm,与之相对应的半径分 别为 Rn 与 Rm.如图所示, 由分析知 Rn=3 4L,Rm=L 由洛伦兹力提供向心力 qvnB2= 푚푣푛 2 푅푛 粒子在电场中 qEnL=1 2m푣푛 2 ― 1 2mv2,得 En=11푈 16퐿 同理 Em=2푈 퐿 所以电场强度的范围为11푈 16퐿≤E≤2푈 퐿 . 6.如图所示,在 xOy 平面内,第Ⅲ象限内的直线 OM 是电场与磁场的边界线,OM 与 x 轴负方向成 45° 夹角.在+y 轴与直线 OM 的左侧空间存在沿 x 轴负方向的匀强电场,场强大小为 E,在+x 轴下方与直 线 OM 的右侧空间存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为 B.一带负电微粒从坐标原点 O 沿 y 轴负方向进入磁场,第一次经过磁场边界时的位置坐标是(-L,-L).已知微粒的电荷量大小为 q,质 量为 m,不计微粒所受重力,微粒最后从+y 轴上某点飞出场区(图中未画出),求: (1)带电微粒从坐标原点 O 进入磁场时的初速度. (2)带电微粒在电场和磁场区域运动的总时间. 答案(1)푞퐵퐿 푚 ,方向沿 y 轴负方向　(2)2 π푚 푞퐵 + 퐵퐿 퐸 + 푚퐿 푞퐸 解析(1)设微粒从原点 O 进入磁场时的初速度为 v0,在磁场中的运动半径为 r 则有 qv0B=m 푣0 2 푟 由微粒第一次经过磁场边界上的点 A 坐标是(-L,-L) 由几何关系可知 r=L 联立解得 v0=푞퐵퐿 푚 ,方向沿 y 轴负方向. (2)微粒到达 A 点时,速度方向与 OM 夹角为 45°,即与电场平行.微粒在电场中从 A 点开始向-x 方向做减速运动,后原路返回 A 点,再在磁场中做匀速圆周运动到 C 点进入电场,微粒的运动轨迹如图 所示. 微粒做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供,即 qBv0=m4π2 푇2 r,又 v0=2π푟 푇 . 设微粒在磁场中运动的总时间为 tO C,根据几何关系,微粒在磁场中运动的路径刚好是一个完整 的圆周,所以 tO C=T 根据对称性,微粒到达 C 点时的速度方向应沿+y 方向,此后在电场中做类平抛运动,从 D 点离开 电场.设其加速度为 a,运动时间为 tCD,则有 qE=ma 从 C 运动到 D 在 x 方向的位移为 2r=1 2a푡퐶퐷 2 设微粒从 A 点进入电场后做往返运动的总时间为 tA,则有 v0=a· 푡퐴 2 微粒在电场、磁场区域运动的总时间为 t=tOC+tA+tCD 联立以上各式并代入数据解得 t=2 π푚 푞퐵 + 퐵퐿 퐸 + 푚퐿 푞퐸 7.如图所示,PQ 为一竖直放置的荧光屏,一半径为 R 的圆形磁场区域与荧光屏相切于 O 点,磁场的方 向垂直纸面向里且磁感应强度大小为 B,图中的虚线与磁场区域相切,在虚线的上方存在水平向左的 匀强电场,电场强度大小为 E.在 O 点放置一粒子发射源,能向右侧 180°角的范围发射一系列的带正 电的粒子,粒子的质量为 m、电荷量为 q,经测可知粒子在磁场中的轨道半径为 R,忽略粒子的重力及 粒子间的相互作用.求: (1)如图,当粒子的发射速度方向与荧光屏成 60°角时,该带电粒子从发射到达到荧光屏上所用的时间 为多少?粒子到达荧光屏的位置距 O 点的距离为多大? (2)从粒子源发射出的带电粒子到达荧光屏时,距离发射源的最远距离应为多少? 答案(1)2π푚 3푞퐵 + 2 - 3 2푞퐵 m+ 3푚푅 푞퐸 　R+BR 3푞푅 푚퐸 (2)R+2BR 푞푅 푚퐸 解析(1)根据洛伦兹力提供向心力得 qvB=m푣2 푅 解得 v=푞퐵푅 푚 当粒子的发射速度与荧光屏成 60°角时,带电粒子在磁场中转过 120°角后离开磁场,再沿直线 到达图中的 M 点,最后垂直电场方向进入电场,做类平抛运动,并到达荧光屏,运动轨迹如图所示. 粒子在磁场中运动的时间 t1=푇 3 = 2π푚 3푞퐵. 粒子从离开磁场至进入电场过程做匀速直线运动,竖直位移 y=R-Rcos 30°=2 - 3 2 R 匀速直线运动 t2=푦 푣 = 2 - 3 2푞퐵 m. 由几何关系可得点 M 到荧光屏的距离 x1=R+Rsin 30°=1.5R 设粒子在电场中运动的时间为 t3,由匀变速直线运动规律得 x1=1 2·푞퐸 푚 푡3 2, 解得 t3= 3푚푅 푞퐸 . 故粒子从发射到达到荧光屏上所用的时间 t=t1+t2+t3=2π푚 3푞퐵 + 2 - 3 2푞퐵 m+ 3푚푅 푞퐸 带电粒子在竖直向上的方向上做匀速直线运动,带电粒子到达荧光屏上时有 y1=vt3=BR 3푞푅 푚퐸 带电粒子到达荧光屏时距离 O 点的位置为 y=R+y1=R+BR 3푞푅 푚퐸. (2)带电粒子到达荧光屏的最高点时,粒子由磁场的右边界离开后竖直向上运动,且垂直进入电场 中做类平抛运动,此时 x'=2R,则 2R=1 2·푞퐸 푚 푡4 2 带电粒子在电场中竖直向上运动的距离 y2=vt4=2BR 푞푅 푚퐸 该带电粒子距离发射源的最远间距 ym=R+y2=R+2BR 푞푅 푚퐸.