【物理】2018届二轮复习力学中的曲线运动学案（全国通用）
第3讲 力学中的曲线运动
知识必备
1.匀变速曲线运动——F合是恒量
(1)物体做曲线运动的条件：速度的方向与加速度(合力)的方向不在同一条直线上。
(2)研究方法：运动的合成与分解。
(3)平抛运动
速度vx＝v0，vy＝gt，v＝，tan θ＝(θ为合速度与水平方向的夹角)。
位移x＝v0t，y＝gt2，s＝，tan α＝(α为合位移与水平方向的夹角)。
可见tan θ＝2tan α。
2.变加速曲线运动——F合是变量
(1)圆周运动
①匀速圆周运动
动力学特征：F向＝ma向＝m＝mω2r＝mr。
②变速圆周运动
F合
(2)竖直平面内的圆周运动(绳、杆模型)
关键：“两点一过程”
“两点”―→最高点和最低点。
“一过程”―→从最高点到最低点(或从最低点到最高点)。
(3)天体运动的两条基本思路
①F引＝F向，即G＝m＝mω2r＝mr。
②在忽略自转时，万有引力近似等于物体的重力，即＝mg，
可得GM＝gR2(黄金代换式)。
(3)解决天体运动问题的“万能关系式”
,
备考策略
1.必须领会的“4种物理思想和3种常用方法”
(1)分解思想、临界极值的思想、估算的思想、模型化思想；
(2)假设法、合成法、正交分解法。
2.要灵活掌握常见的曲线运动模型
平抛运动及类平抛运动，竖直平面内的圆周运动及圆周运动的临界条件。
3.必须辨明的“4个易错易混点”
(1)两个直线运动的合运动不一定是直线运动；
(2)小船渡河时，最短位移不一定等于河的宽度；
(3)做平抛运动的物体，速度方向与位移方向不相同；
(4)注意区分“绳模型”和“杆模型”。
4.注意天体运动的三个区别
(1)中心天体和环绕天体的区别；
(2)自转周期和公转周期的区别；
(3)星球半径和轨道半径的区别。
运动的合成与分解及平抛运动
【真题示例1】 (2017·全国卷Ⅰ，15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是( )
A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
解析 由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据h＝gt2及v＝2gh可知，乒乓球的运动时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平速度大小无关，故选项A、B、D均错误；由发出点到球网的水平位移相同时，速度较大的球运动时间短，在竖直方向下落的距离较小，可以越过球网，故C正确。
答案 C
【真题示例2】 (2017·全国卷Ⅱ，17)如图1，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)( )
图1
A. B.
C. D.
解析 物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得mv2＝2mgr＋mv，
物块做平抛运动时，落地点到轨道下端的距离x＝v1t，
t＝，联立解得，x＝，由数学知识可知，当4r＝时，x最大，即r＝，故选项B正确。
答案 B
真题感悟
1.高考考查特点
以物体的某种运动形式或运动项目为背景，考查对分运动、合运动的理解及合成与分解方法的应用。
2.常见误区及临考提醒
(1)不能正确理解合运动、分运动具有等时性、独立性的特点。
(2)具体问题中分不清合运动、分运动，要牢记观察到的物体实际运动为合运动。
(3)平抛运动对两个分运动理解不透，很容易出错，如2017年全国卷Ⅰ第15题。
(4)实际问题中对平抛运动情景临界点的分析不正确。
预测1
运动的合成与分解
预测2
平抛规律的应用
预测3
“平抛运动＋斜面”模型
1.2016年9月24日，中华龙舟大赛(昆明·滇池站)开赛，吸引上万名市民来到滇池边观战。如图2所示，假设某龙舟队要渡过宽288 m、两岸平直的河，河中水流的速度恒为v水＝5.0 m/s。龙舟队从M处开出后实际沿直线MN到达对岸，若直线MN与河岸成53°角，龙舟在静水中的速度大小也为5.0 m/s，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，龙舟可看作质点。则龙舟在水中的合速度大小v和龙舟从M点沿直线MN到达对岸所经历的时间t分别为( )
图2
A.v＝6.0 m/s，t＝60 s B.v＝6.0 m/s，t＝72 s
C.v＝5.0 m/s，t＝72 s D.v＝5.0 m/s，t＝60 s
解析 设龙舟头与航线MN之间的夹角为α，船速、水速与龙舟在水中的合速度如图所示，由几何知识得α＝53°，龙舟在水中的合速度大小v＝6.0 m/s。航线MN的长度为L＝＝360 m，故龙舟从M点沿直线MN到达对岸所经历的时间为t＝60 s。
答案 A
2.如图3所示，A、B两球用两段不可伸长的细绳连接于悬点O，两段细绳的长度之比为1∶2，现让两球同时从悬点O附近以一定的初速度分别向左、向右水平抛出，至连接两球的细绳伸直所用时间之比为1∶，若两球的初速度之比为k，则k值应满足的条件是( )
图3
A.k＝ B.k>
C.k＝ D.k>
解析 设连接A球的绳长为L，A球以速度vA水平抛出，水平方向的位移x＝vAt，竖直方向的位移y＝gt2，则x2＋y2＝L2，可得vA＝；同理得B球的速度为vB＝，因此有＝k＝，选项A正确。
答案 A
3.(2017·广东华南三校联考)横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图4所示。它们的竖直边长都是底边长的一半，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a、b、c。下列判断正确的是( )
图4
A.图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最短
B.图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最大
C.图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快
D.无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直
解析 图中三个小球均做平抛运动，可以看出a、b和c三个小球下落的高度关系为ha>hb>hc，由t＝，得ta>tb>tc，又Δv＝gt，则知Δva>Δvb>Δvc，A、B项错误；速度变化快慢由加速度决定，因为aa＝ab＝ac＝g，则知三个小球飞行过程中速度变化快慢相同，C项错误；由题给条件可以确定小球落在左边斜面上的瞬时速度不可能垂直于左边斜面，而对右边斜面可假设小球初速度为v0时，其落到斜面上的瞬时速度v与斜面垂直，将v沿水平方向和竖直方向分解，则vx＝v0，vy＝gt，且满足＝＝tan θ(θ为右侧斜面倾角)，由几何关系可知tan θ＝，则v0＝gt，而竖直位移y＝gt2，水平位移x＝v0t＝gt2，可以看出x＝y，而由题图可知这一关系不可能存在，则假设不能成立，D项正确。
答案 D
归纳总结
处理平抛运动问题的五个关键点
(1)平抛运动(或类平抛运动)，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成法则求合运动。
(2)对于从斜面上平抛又落到斜面上的问题，竖直位移与水平位移的比值等于斜面倾角的正切值。
(3)若平抛的物体垂直打在斜面上，打在斜面上的水平速度与竖直速度的比值等于斜面倾角的正切值。
(4)做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同。
(5)抓住两个三角形：速度三角形和位移三角形，结合题目呈现的角度或函数方程找到解决问题的突破口。
圆周运动问题
【真题示例】 (2016·全国卷Ⅱ，16)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图5所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点( )
图5
A.P球的速度一定大于Q球的速度
B.P球的动能一定小于Q球的动能
C.P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
解析 小球从水平位置摆动至最低点，由动能定理得，mgL＝mv2，解得v＝，因LP
mQ，则两小球的动能大小无法比较，选项B错误；对小球在最低点受力分析得，FT－mg＝m，可得FT＝3mg，选项C正确；由a＝＝2g可知，两球的向心加速度相等，选项D错误。
答案 C
真题感悟
1.高考考查特点
(1)2017年高考弱化了圆周运动的考查，只是在卷Ⅰ中第16题、卷Ⅱ中第14题有所涉及。
(2)本考点命题热点集中在物体的受力分析、圆周运动的基本概念、动力学知识及功能关系。
(3)理解圆周运动的相关物理量，向心力的来源分析、计算及应用牛顿运动定律研究圆周运动的方法是关键。
2.常见误区及临考提醒
(1)描述圆周运动的物理量的理解要准确。
(2)向心力是效果力，是由物体受到的力提供，画受力图时，只画出物体实际受到的力，不画向心力。
(3)共轴转动的物体各点具有相同的角速度，皮带传动或齿轮传动中轮子边缘具有相同的线速度。
(4)临界问题的处理要正确把握临界条件。
预测1
水平面内的圆周运动
预测2
竖直面内的圆周运动
预测3
与平抛运动相结合的综合模型
1.(多选)(2017·洛阳市高三统考)如图6所示，处于竖直平面内的光滑细金属圆环半径为R，质量均为m的带孔小球A、B穿于环上，两根长为R的细绳一端分别系于A、B球上，另一端分别系于圆环的最高点和最低点，现让圆环绕竖直直径转动，当角速度缓慢增大到某一值时，连接B球的绳子恰好拉直，转动过程中绳不会断，则下列说法正确的是( )
图6
A.连接B球的绳子恰好拉直时，转动的角速度为
B.连接B球的绳子恰好拉直时，金属圆环对A球的作用力为零
C.继续增大转动的角速度，金属环对B球的作用力可能为零
D.继续增大转动的角速度，A球可能会沿金属环向上移动
解析 当连接B球的绳刚好拉直时，mgtan 60°＝mRsin 60°ω2，求得ω＝，A项正确；连接B球的绳子恰好拉直时，A球与B球转速相同，A球所受合力也为mgtan 60°，又小球A所受重力为mg，可判断出A球所受绳的拉力为2mg，A球不受金属圆环的作用力，B项正确；继续增大转动的角速度，连接B球的绳上会有拉力，要维持B球竖直方向所受外力的合力为零，环对B球必定有弹力，C项错误；当转动的角速度增大，环对B球的弹力不为零，根据竖直方向上A球和B球所受外力的合力都为零，可知绳对A球的拉力增大，绳应张得更紧，因此A球不可能沿环向上移动，D项错误。
答案 AB
2.(多选)(2017·广东深圳高三调研)如图7甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是( )
图7
A.图象的函数表达式为F＝m＋mg
B.重力加速度g＝
C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D.绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变
解析 小球在最高点时，根据牛顿第二定律有F＋mg＝m，得F＝m－mg，故A错误；当F＝0时，根据表达式有mg＝m，得g＝＝，故B正确；根据F＝m－mg知，图线的斜率k＝，绳长不变，用质量较小的球做实验，斜率更小，故C错误；当F＝0时，g＝，可知b
点的位置与小球的质量无关，绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变，故D正确。
答案 BD
3.嘉年华上有一种回力球游戏，如图8所示，A、B分别为一固定在竖直平面内的光滑半圆形轨道的最高点和最低点，B点距水平地面的高度为h，某人在水平地面C点处以某一初速度抛出一个质量为m的小球，小球恰好水平进入半圆轨道内侧的最低点B，并恰好能过最高点A后水平抛出，又恰好回到C点抛球人手中。若不计空气阻力，已知当地重力加速度为g，求：
图8
(1)小球刚进入半圆形轨道最低点B时轨道对小球的支持力；
(2)半圆形轨道的半径；
(3)小球抛出时的初速度大小。
解析 (1)设半圆形轨道的半径为R，小球经过A点时的速度为vA，小球经过B点时的速度为vB，小球经过B点时轨道对小球的支持力为N。
在A点有mg＝m，得vA＝。
从B点到A点的过程中，根据动能定理有
－mg(2R)＝mv－mv，
得vB＝。
在B点有N－mg＝m，
得N＝6mg，方向竖直向上。
(2)由h＝gt，h＋2R＝gt，vBtBC＝vAtAC，
得R＝2h。
(3)设小球抛出时的初速度为v0，从C到B的过程根据动能定理有－mgh＝mv－mv，得v0＝2。
答案 (1)6mg，方向竖直向上 (2)2h (3)2
归纳总结
1.水平面内圆周运动的分析方法
(1)运动实例：圆锥摆、火车转弯、水平转台等。
(2)特点分析：
①运动轨迹是圆且在水平面内；
②向心力的方向水平，竖直方向的合力为零。
(3)解题方法
受力分析―→确定向心力的来源―→确定圆心和半径―→应用相应规律列方程求解。
2.求解竖直平面内圆周运动问题的思路
万有引力定律与天体的运动
【真题示例1】 (2017·全国卷Ⅲ，14)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A.周期变大 B.速率变大
C.动能变大 D.向心加速度变大
解析 根据组合体受到的万有引力提供向心力可得，＝ mr ＝m＝ma，解得T＝，v＝，a＝，由于轨道半径不变，所以周期、速率、加速度均不变，选项A、B、D错误；组合体比天宫二号质量大，动能Ek＝mv2变大，选项C正确。
答案 C
【真题示例2】 (多选)(2017·全国卷Ⅱ，19)如图9，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中( )
图9
A.从P到M所用的时间等于
B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C. 从P到Q阶段，速率逐渐变小
D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
解析 由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。
答案 CD
真题感悟
1.高考考查特点
(1)本考点高考命题角度
①万有引力定律与牛顿运动定律的综合应用。
②人造卫星的运行参数，卫星的变轨及变轨前后的速度、能量变化。
(2)解此类题的关键是掌握卫星的运动模型，离心(向心)运动的原因及万有引力做功的特点。
2.常见误区及临考提醒
(1)对宇宙速度特别是第一宇宙速度不理解。
(2)对公式v＝不理解，误认为阻力做功，速度减小，半径增大。
(3)误认为宇宙飞船处于完全失重状态时不受重力作用。
(4)只能估算中心天体的质量和密度，不能估算环绕天体的质量和密度。
预测1
天体质量和密度的估算
预测2
行星、卫星的运动问题
预测3
航天器的变轨与对接问题
预测4
双星、多星的运动问题
1.(2017·四川省重点中学高三第二次评估检测)如图10所示，A为地球赤道表面的物体，B为环绕地球运行的卫星，此卫星在距离地球表面的高度处做匀速圆周运动，且向心加速度的大小为a，已知地球同步卫星的轨道半径为6.6R，R为地球的半径，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
图10
A.地球两极的重力加速度大小为a
B.物体A的线速度比卫星B的线速度大
C.地球的质量为
D.地球的第一宇宙速度大小为
解析 卫星B绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有G＝mBa＝mB，又r0＝R，对于地球两极的物体有G＝m′g，解得M＝，g＝a，vB＝，A、C错误；物体A与地球同步卫星的角速度相等，根据v＝ωr知，同步卫星的线速度大于物体A的线速度，又由G＝m可知，同步卫星的线速度小于卫星B的线速度，故物体A的线速度小于卫星B的线速度，B错误；由＝m0，并结合GM＝gR2，可得地球的第一宇宙速度为v1＝＝，D正确。
答案 D
2.(2017·黑龙江五校高三下学期4月联考)如图11所示，A为近地气象卫星，B为远地通讯卫星，假设它们都绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R，卫星A距地面高度可忽略不计，卫星B距地面高度为h，不计卫星间的相互作用力。则下列说法正确的是( )
图11
A.若两卫星质量相等，发射卫星B需要的能量少
B.卫星A与卫星B运行周期之比为
C.卫星A与卫星B运行的加速度大小之比为
D.卫星A与卫星B运行速度大小之比为
解析 虽然卫星B的速度小于卫星A的速度，但卫星B的轨道比卫星A的高，所具有的引力势能大，所以发射卫星B需要的能量大，A错误；根据开普勒第三
定律可知，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即卫星A与卫星B运行周期之比为，则B错误；由＝ma，则a＝，所以卫星A与卫星B运行的加速度大小之比为，C错误；由＝，得v＝，卫星A与卫星B运行速度大小之比为，所以D正确。
答案 D
3.2016年10月17日，“神舟十一号”载人飞船发射升空，运送两名宇航员前往在2016年9月15日发射的“天宫二号”空间实验室，宇航员计划在“天宫二号”驻留30天进行科学实验。“神舟十一号”与“天宫二号”的对接变轨过程如图12所示，AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴。“神舟十一号”从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ，再变轨到圆轨道Ⅲ，与在圆轨道Ⅲ运行的“天宫二号”实施对接。下列描述正确的是( )
图12
A.“神舟十一号”在变轨过程中机械能不变
B.可让“神舟十一号”先进入圆轨道Ⅲ，然后加速追赶“天宫二号”实现对接
C.“神舟十一号”从A到C的平均速率比“天宫二号”从B到C的平均速率大
D.“神舟十一号”在椭圆轨道上运动的周期与“天宫二号”运行周期相等
解析 “神舟十一号”飞船变轨过程中轨道升高，机械能增加，A选项错误；若飞船在进入圆轨道Ⅲ后再加速，则将进入更高的轨道飞行，不能实现对接，选项B错误；飞船轨道越低，速率越大，轨道Ⅱ比轨道Ⅲ的平均高度低，因此平均速率要大，选项C正确；由开普勒第三定律可知，椭圆轨道Ⅱ上的运行周期比圆轨道Ⅲ上的运行周期要小，D项错误。
答案 C
4.(2017·深圳高级中学月考)2016年2月11日，美国自然科学基金召开新闻发布会宣布，人类首次探测到了引力波。
2月16日，中国科学院公布了一项新的探测引力波的“空间太极计划”。由中山大学发起的空间引力波探测工程“天琴计划”于2015年7月正式启动。计划从2016年到2035年分四阶段进行，将向太空发射三颗卫星探测引力波。在目前讨论的初步概念中，天琴将采用三颗全同的卫星(SC1、SC2、SC3)构成一个等边三角形阵列，地球恰处于三角形中心，卫星将在以地球为中心、高度约10万公里的轨道上运行，针对确定的引力波源进行探测，这三颗卫星在太空中的分列图类似乐器竖琴，故命名为“天琴计划”。则下列有关三颗卫星的运动描述正确的是( )
图13
A.三颗卫星一定是地球同步卫星
B.三颗卫星具有相同大小的加速度
C.三颗卫星的线速度比月球绕地球运动的线速度大且大于第一宇宙速度
D.若知道引力常量G及三颗卫星绕地球运转周期T可估算出地球的密度
解析 三颗卫星高度远大于地球同步卫星的高度，一定不是地球同步卫星，选项A错误；根据牛顿第二定律可得三颗卫星的加速度大小均为a＝，选项B正确；根据v＝可知三颗卫星的线速度比月球绕地球运动的线速度大但小于第一宇宙速度，所以选项C错误；若知道引力常量G及三颗卫星绕地球运转周期T，由＝mr，可估算出地球的质量，但不知地球的半径R，所以不能求出地球的密度，选项D错误。
答案 B
归纳总结
1.人造卫星运动规律分析“一、二、三”
2.分析卫星变轨应注意的3个问题
(1)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定的新轨道上的运行速度变化由v＝判断。
(2)同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
