【物理】2019届二轮复习力的运算——合成与分解学案（全国通用）
专题九 力的运算——合成与分解（精讲）
一、力的合成
1．合力与分力定义
（1）共点力：几个力如果都作用在物体的同一点，或者几个力作用在物体上的不同点，但这几个力的作用线延长后相交于同一点，这几个力就叫共点力，所以，共点力不一定作用在同一点上，如第三图所示的三个力F1、F2、G就为共点力。
（2）合力和分力
①定义：当一个物体受到几个力的共同作用时，我们可以找到这样一个力，这个力产生的效果，跟原来几个力共同作用产生的效果相同，则这个力叫那几个力的合力，那几个力是这一个力的分力。
②注意：合力与分力是等效替代关系，并不同时作用于物体上，因此不能把合力和分力同时当成物体受的力。
2．力的合成定则
（1）力的合成定义
（1）力的合成：求几个力的合力的过程叫力的合成。
（2）特性：
①力的合成是唯一的。
②只有同一物体所受的力才可合成。
③不同性质的力也可以合成。
（2）力的合成定则
①平行四边形定则：求两个互成角度的力的合力，可以用表示这两个力的线段作邻边，作平行四边形，夹在两分力之间的对角线就表示合力的大小和方向。这叫做力的平行四边形定则。
应用范围：ⅰ．定则是一切矢量的运算法则，不仅适用于力的合成，也适用于速度、加速度等矢量合成。
ⅱ．定则只能计算几个共点力合力，对于非共点力，合力没有意义。
②三角形定则：平行四边形定则可简化为三角形定则。若从O点出发先作出表示力F2的有向线段，再从F2端点出发作表示力F1的有向线段，连接F2的始端和F1的末端，则该有向线段即表示合力F
的大小和方向。或求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的有向线段首尾依次相接地画出，从F1的起点到F2的终点作有向线段，则此有向线段表示合力的大小和方向，如图乙所示。
不在同一直线上的两个分力与其合力，一定围成一个封闭的三角形。类推，不在同一直线上的n个力与其合力，一定围成一个封闭的（n+1）边形。
3．共点力合成的方法
（1）作图法（图解法）。作图时要先确定力的标度，同一图上的各个力必须采用同一标度。表示分力和合力有向线段共点且要画成实线，与分力平行对边要画成虚线，力线段上要画上刻度和箭头。
从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向，如图所示。
（2）计算法：先根据力的平行四边形定则作出力的合成示意图，然后运用数学知识求合力大小和方向。
（3）求解合力的两种方法的比较
①作图法求合力，须严格用同一标度作出力的图示，作出规范的平行四边形，才能较精确的求出合力的大小和方向．
②计算法求合力，只需作出力的示意图，对平行四边形的作图要求也不太严格，重点是利用数学方法求解，往往适用于两力的夹角是特殊角的情况
【题1】如图所示，一个物体由绕过定滑轮的绳拉着，分别用图中所示的三种情况拉住物体静止不动。在这三种情况下，若绳的张力分别为FT1、FT2、FT3，定滑轮对轴心的作用力分别为FN1、FN2、FN3，滑轮的摩擦、质量均不计，则
A．FT1＝FT2＝FT3， FN1>FN2>FN3
B．FT1>FT2>FT3，FN1＝FN2＝FN3
C．FT1＝FT2＝FT3，FN1＝FN2＝FN3
D．FT1
F时，有唯一解，如图丁所示。
【题11】把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是
A．F B．F C．F D．F
【答案】D
【解析】如图所示，过F点作F1的垂线FA，则＝Fsin30°＝。
3．按力的实际情况分解的方法
（1）力的效果分解法
①通常根据力的作用效果分解力才有实际意义。
②思路：效果分解法：按力的作用效果分解（思路图）
实际问题→根据力的作用效果→确定两个实际分力的方向→再根据两个实际分力方向（平行四边形定则）→作出平行四边形→把对力的计算转化为边角的计算→由三角形知识或数学知识求出两分力的大小。
4．常见实例分析
（1）拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1（F1＝Fcosα）和竖直向上的力F2（F2＝Fsinα）。
（2）物体的重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1；二是使物体压紧斜面的分力F2，F1＝mgsinα，F2＝mgcosα。
（3）球的重力产生两个效果：一是使球压紧板的分力F1；二是使球压紧斜面的分力F2。F1＝mgtanα，F2＝。
（4）球的重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；二是使球拉紧悬线的分力F2。F1＝mgtanα，F2＝。
（5）物体的重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1；二是使物体拉紧BO线的分力F2。F1＝F2＝。
（6）质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1；二是压缩BC的分力F2。F1＝mgtanα，F2＝。
【特别提醒】按力的作用效果分解时，准确确定两个分力的方向是关键，作出平行四边形后常用三角函数、相似三角形求解。把一个力分解成两个分力，仅是一种等效替代的关系，不能认为在这两个分力方向上有两个施力体（或受力体），如物体沿斜面下滑时，重力分解为沿斜面下滑的力G1＝Gsinθ，和压向斜面的力G2=Gc osθ，这两个力都是物体受到的，施力体只有一个――地球。也不能错误地认为G2就是对斜面的压力，因为G2不是斜面受到的力，且性质也与压力不同，仅在数值上等于物体对斜面的压力。
【题12】如图所示，电灯的重力G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角为45°，BO绳水平，试求AO绳和BO绳拉力的大小？
【答案】AO绳和BO绳拉力的大小分别为10 N、10 N
法1：力的作用效果分解法
结点O和灯的重力产生了两个效果，一是沿OA向下的拉紧AO的分力F1，二是沿BO向左的拉紧BO绳的分力F2，画出平行四边形如图甲所示，因此，由几何关系得
F1＝＝10 N． F2＝＝10 N。
法2：正交分解法
结点O与灯受到三个力作用FA、FB、G，如图乙所示。
由水平方向和竖直方向，列方程得
FAsin45°＝G，FAcos45°＝FB
解得FA＝10 N，FB＝10 N。
【题13】如下图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直斜面，则两挡板受到小球压力大小之比为 ，斜面受到的两个小球压力的大小之比为 。
【答案】
对球1所受重力来说，其效果有二：第一，使物体欲沿水平方向推开挡板；第二，使物体压紧斜面。因此，其力的分解如图甲所示，由此得两个分力，大小分别为：F1＝Gtanθ，F2＝G/cosθ。
对球2所受重力G来说，其效果有二：第一，使物体垂直挤压挡板；第二，使物体压紧斜面。因此，其力的分解如上图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为：F3＝Gsinθ F4＝Gcosθ
所以挡板A、B所受压力之比为：＝ 斜面所受两个小球压力之比为：＝
三、正交分解法
1．定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
2．建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则（即尽量多的力在坐标轴上）；在动力学中，以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
3．方法：物体受到多个力作用F1、F2、F3…，求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解，即由不在坐标轴上的每个力的末端分别向x轴、y轴作垂线，坐标轴原点到垂足间的部分就为该力在该坐标轴上的分力。
x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…。
合力大小：F＝ 合力方向：与x轴夹角为θ，则tan θ＝。
4．正交分解法的适用原则
正交分解法是分析力或其他矢量问题的常用方法，往往适用于下列情况：
（1）)物体受到三个以上的力的情况.
（2）物体受到三个力的作用，其中有两个力互相垂直的情况.
（3）只分析物体某一方向的运动情况时，需要把不沿该方向的力正交分解，然后分析该方向上的受力情况.
【题14】如图所示，某人用轻绳牵住一只质量m＝0.6kg的氢气球，因受水平风力的作用，系氢气球的轻绳与水平方向成37°角。已知空气对气球的浮力为15N，人的质量M＝50kg，且人受的浮力忽略不计（g取10N/kg，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。求：
（1）水平风力的大小；
（2）人对地面的压力大小；
（3）若水平风力增强，人对地面的压力如何变化？（要求说明理由）
【答案】（1）12N （2）491N （3）见解析。
（2）对人进行受力分析，并分解如图：
由平衡条件列式：竖直方向：FN＝Mg－Tsin37°＝500－15×0.6＝491N；
（3）若风力增强，只改变了水平方向的力，视气球及人为一整体可知，竖直方向上的受力情况没改变，人对地面的压力不变。
【题15】减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全。当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是
【答案】B
拓展点 一个结论的应用
结论：把一合力对称分解为两大小相等的分力，两分力夹角越大，两分力越大。
【题16】家中厨房中用的菜刀、木工用的斧头等，其横截面可简化为一个等腰三角形，如图所示，在物理中称为劈，设劈顶角∠ACB＝2θ，劈的重力不计，当垂直劈背加上压力F后，两侧劈面对物体的作用力为多少？顶角的大小会产生什么影响？
【答案】 劈的顶角2θ较小时，θ角较小，sin θ较小，加上同样的压力F后，两侧面推开物体的力较大，反之，劈的顶角较大时，在同样的压力下两侧面推开物体的力较小。
【解析】劈背上加压力F后，产生的效果是沿垂直AC、BC两侧面方向把物体推开，因此将F沿这两个方向分解，画出力分解的平行四边形，如图所示，由sin θ＝，得两侧面推开物体的力F1＝F2＝。劈的顶角2θ较小时，θ角较小，sin θ较小，加上同样的压力F后，两侧面推开物体的力较大，反之，劈的顶角较大时，在同样的压力下两侧面推开物体的力较小。因此锋利的刀具，其刀口必定做得很簿，但刀口较薄时，强度就差了，使用中容易“卷刃”，所以应用中要兼顾这两个方面。
【题17】（多选）如图所示，吊车用两根等长的绳子OA和OB将质量分布均匀的铁板匀速吊离地面，下列说法中正确的是
A．绳越长，每根绳对铁板拉力越小
B．绳越长，两根绳对铁板拉力的合力越小
C．两根绳子对铁板拉力的合力竖直向上
D．两根绳子对铁板的拉力和铁板的重力是共点力
【答案】ACD
四、对称法解决非共面力问题
在力的合成与分解的实际问题中，经常遇到物体受多个非共面力作用处于平衡状态的情况，解决此类问题时要注意图形结构的对称性特点，结构的对称性往往对应着物体受力的对称性，即某些力大小相等，方向特点相同等。
【题18】（多选）如图所示，三条绳子的一端都系在细直杆顶端，另一端都固定在水平地面上，将杆竖直紧压在地面上，若三条绳长度不同。下列说法正确的有
A．三条绳中的张力都相等
B．杆对地面的压力大于自身重力
C．绳子对杆的拉力在水平方向的合力为零
D．绳子拉力的合力与杆的重力是一对平衡力
【答案】BC
