2008-2013高考全国卷2理科数学含解析
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2008 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页．第Ⅱ卷 3 至 10 页．考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．
3．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件 A B， 互斥，那么 球的表面积公式
( ) ( ) ( )P A B P A P B 24πS R
如果事件 A B， 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径
( ) ( ) ( )P A B P A P B 球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 34 π3V R
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径
( ) (1 ) ( 01 2 )k k n k
k nP k C p p k n ，，， ，
一、选择题
1．设集合 { | 3 2}M m m Z ， { | 1 3}N n n M N Z 则，≤ ≤ （ ）
A． 01， B． 1 01 ，， C． 01 2，， D． 1 01 2 ，，，
【答案】B
【解析】 1,0,1,2 M ， 3,2,1,0,1N ，∴ 1,0,1NM
【高考考点】集合的运算，整数集的符号识别。
【评注】历年来高考数学第一个小题一般都是集合问题，都超简单。其实集合问题是可以出难题的，但
高考中的集合问题比较简单。需要注意的是：很多复习书都把集合作为高考数学复习的起点，我认为这
是不妥当的，高中的集合问题涉及到的集合知识并不多（就是一种表达方式），其难度主要体现在知识
的综合性上，学生应当先学习其他知识，再在集合中综合。建议把“数学的基本运算”作为高考数学复
习的起点，学生花 1 个月的时间温习、强化初等数学的基本运算是必要的，重要的，也是值得的。数学
的基本运算具体包括的内容可以参考本人编写的《高考数学复习专用教材》
2．设 a bR， 且 0b ，若复数 3( )a bi 是实数，则（ ）
A． 2 23b a B． 2 23a b C． 2 29b a D． 2 29a b
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【答案】A
【解析】 ibbaabaibabbiaabia )3()3(33)( 322332233 ，因是实数且
0b ，所以 2232 303 abbba
【高考考点】复数的基本概念、基本运算，立方和公式（基本运算）
【 评 注 】 很 多 学 生 没 有 学 习 过 立 方 和 公 式 ， 不 会 用 立 方 和 公 式 一 步 到 位 地 展 开 ， 有 人 按
3 2( ) ( ) ( )a bi a bi a bi 进行展开，也有人按
3( ) ( )( )( )a bi a bi a bi a bi 进行展开，还有人
用二项式定理进行展开，这都是可行的思路。但是，学生就此产生浮躁、急躁情绪。这才第二题，就要
如此大动干戈？！建议：
（一）数学复习一定要塌实，该硬的硬，例如：对数指数运算是否过关，是否能熟练运用杨辉三角
进行二项式展开，这都是基本的硬工夫。复习时，要把练就硬功夫放在第一位。技巧也要学，但那是第
二位的东西。
（二）数学复习不要老盯着高考，高考指定要考的当然要学习，高考没有指明要考的，也要适当学
习。这就是老师的任务啦。作为学生要听话。
（三）要注意提高心理素质。要能憋得住。要有韧性。从这个角度讲，本题有考察学生心理素质的
意图。
3．函数 1( )f x xx
的图像关于（ ）
A． y 轴对称 B． 直线 xy 对称
C． 坐标原点对称 D． 直线 xy 对称
【答案】C
【解析】 1( )f x xx
是奇函数，所以图象关于原点对称
【高考考点】函数奇偶性的性质、对称
【评注】对常见函数的图象、奇偶性、单调性等主要性质一定要了如指掌，做到脱口而出。本题可以取
点进行排除。取（1，0）点，而（0，1）点无意义，有（-1，0）点，于是排除 B、D，再取 1 3( , )2 2
，
有点 1 3( , )2 2
排除 A，确定 C 是正确的。这样的方法也能体现出学生的基本能力，有些学生取点进
行验证都出错，都心慌，说明平时的学习是何等的被动、漂浮啊。
对称问题也是初等数学中的基本问题，本人编写的《高考数学复习专用教材》列有专讲。对称也是高
考数学热点、重点之一。此题并没有什么新奇之处。和第二题相比，本题要简单点。本卷在题目难度的
安排上已经有点不按规则出牌了。
但我觉得和外国的高考试题相比，中国的高考试题更具体，抽象感和理论感明显逊色。这道题目也
暴露出我国学生抽象思维能力不足的弱点，这道题还不算太抽象呢！
4．若 1 3( 1) ln 2ln lnx e a x b x c x ，， ， ， ，则（ ）
A． a
6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。
(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老
年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，
再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．
（20.）解：
（I）由椭圆定义知 2 2 4AF BF AB a ，又 2 22 AB AF BF ，
得 4
3AB a
l 的方程为 y x c ，其中 2 2c a b 。
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则 A、B 两点坐标满足方程组
2 2
2 2 1
y x c
x y
a b
化简的 2 2 2 2 2 2 22 0a b x a cx a c b
则 2 2 22
1 2 1 22 2 2 2
2 ,
a c ba cx x x xa b a b
因为直线 AB 斜率为 1，所以 AB 2
2 1 1 2 1 22 2 4x x x x x x
得
2
2 2
4 4 ,3
aba a b
故 2 22a b
所以 E 的离心率
2 2 2
2
c a be a a
（II）设 AB 的中点为 0 0,N x y ，由（I）知
2
1 2
0 2 2
2
2 3
x x a cx ca b
， 0 0 3
cy x c 。
由 PA PB ，得 1PNk ，
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即 0
0
1 1y
x
得 3c ，从而 3 2, 3a b
故椭圆 E 的方程为
2 2
118 9
x y 。
（21）解：
（1） 0a 时， ( ) 1xf x e x ， '( ) 1xf x e .
当 ( ,0)x 时， '( ) 0f x ；当 (0, )x 时， '( ) 0f x .故 ( )f x 在 ( ,0) 单调减少，在 (0, )
单调增加
（II） '( ) 1 2xf x e ax
由（I）知 1xe x ，当且仅当 0x 时等号成立.故
'( ) 2 (1 2 )f x x ax a x ，
从而当1 2 0a ，即 1
2a 时， '( ) 0 ( 0)f x x ，而 (0) 0f ，
于是当 0x 时， ( ) 0f x .
由 1 ( 0)xe x x 可得 1 ( 0)xe x x .从而当 1
2a 时，
'( ) 1 2 ( 1) ( 1)( 2 )x x x x xf x e a e e e e a ，
故当 (0,ln 2 )x a 时， '( ) 0f x ，而 (0) 0f ，于是当 (0,ln 2 )x a 时， ( ) 0f x .
综合得 a 的取值范围为 1( , ]2
.
（22）解：
（I）因为 AC BC ,
所以 BCD ABC .
又因为 EC 与圆相切于点C ，故 ACE ABC ，
所以 ACE BCD .
（II）因为 ,ECB CDB EBC BCD ,
所以 BDC ∽ ECB ，故 BC CD
BE BC
，
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即 2BC BE CD .
(23)解：
（Ⅰ）当 3
时， 1C 的普通方程为 3( 1)y x ， 2C 的普通方程为 2 2 1x y 。联立方程组
2 2
3( 1)
1
y x
x y
，解得 1C 与 2C 的交点为（1,0） 1 3
2 2
， 。
（Ⅱ） 1C 的普通方程为 sin cos sin 0x y 。
A 点坐标为 2sin cos sin ，
故当 变化时，P 点轨迹的参数方程为：
21 sin2
1 sin cos2
x
y
为参数
P 点轨迹的普通方程为
2
21 1
4 16x y 。
故 P 点轨迹是圆心为 1 04
， ，半径为 1
4
的圆。
（24） 解：
（Ⅰ）由于
2 5 2( ) 2 3
x xf x x
，
，x 2 则函数 ( )y f x 的图像如图所示。
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（Ⅱ）由函数 ( )y f x 与函数 y ax 的图像可知，当且仅当
1
2a
或 2a 时，函数 ( )y f x 与函
数 y ax 的图像有交点。故不等式 ( )f x ax 的解集非空时， a 的取值范围为
12 2
， ，
。
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2011 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
(1)复数 2
1 2
i
i
的共轭复数是
（A） 3
5 i （B） 3
5 i （C） i （D）i
解析： 2
1 2
i
i
= (2 )(1 2 ) ,5
i i i 共轭复数为 C
（2）下列函数中，既是偶函数又在 +（0， ）单调递增的函数是
（A） 3y x (B) 1y x （C） 2 1y x (D) 2 xy
解析:由图像知选 B
（3）执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是
（A）120
（B）720
（C）1440
（D）5040
解析：框图表示 1n na n a ，且 1 1a 所求 6a 720
选 B
（4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个 小组，
每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
（A） 1
3
（B） 1
2
（C） 2
3
（D） 3
4
解析;每个同学参加的情形都有 3 种，故两个同学参加一组的情形有 9 种，而参加同一组的情形只有
3 种，所求的概率为 p= 3 1
9 3
选 A
（5）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 2y x 上，则 cos2 =
解析：由题知 tan 2 ,
2 2 2
2 2 2
cos sin 1 tan 3cos2 cos sin 1 tan 5
选 B
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（A） 4
5
（B） 3
5
（C） 3
5
（D） 4
5
（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，
则相应的侧视图可以为
解析：条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为
半径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选 D
（7）设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点，
AB 为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为
（A） 2 （B） 3 （C）2 （D）3
解析：通径|AB|=
22 2b aa
得 2 2 2 2 22 2b a a c a ，选 B
（8）
512ax xx x
的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为
（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40
解 析 1. 令 x=1 得 a=1. 故 原 式 = 51 1( )(2 )x xx x
。 51 1( )(2 )x xx x
的 通 项
5 2 1 5 5 2
1 5 5(2 ) ( ) ( 1) 2r r r r r r r
rT C x x C x
，由 5-2r=1 得 r=2,对应的常数项=80，由 5-2r=-1
得 r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为 40 ，选 D
解析 2.用组合提取法,把原式看做 6 个因式相乘，若第 1 个括号提出 x,从余下的 5 个
括号中选 2 个提出 x，选 3 个提出 1
x
；若第 1 个括号提出 1
x
，从余下的括号中选 2 个提出 1
x
，
选 3 个提出 x.
故常数项= 2 2 3 3 2 2 3 3
5 3 5 3
1 1 1(2 ) ( ) ( ) (2 )X C X C C C XX X X
=-40+80=40
（9）由曲线 y x ，直线 2y x 及 y 轴所围成的图形的面积为
（A）10
3
（B）4 （C）16
3
（D）6
解析;用定积分求解
4 3
2 42
0
0
2 1 16( 2) ( 2 ) |3 2 3s x x dx x x x ，选 C
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（10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为 ，有下列四个命题
1
2: 1 0, 3P a b 2
2: 1 ,3P a b
3 : 1 0, 3P a b 4 : 1 ,3P a b
其中的真命题是
（A） 1 4,P P （B） 1 3,P P （C） 2 3,P P （D） 2 4,P P
解析： 2 2 2 cos 2 2cos 1a b a b ab 得， 1cos 2
，
20, 3
。由 2 2 2 cos 2 2cos 1a b a b ab 得 1cos 2
,3
。 选 A
（ 11 ） 设 函 数 ( ) sin( ) cos( )( 0, )2f x x x 的 最 小 正 周 期 为 ， 且
( ) ( )f x f x ，则
（A） ( )f x 在 0, 2
单调递减 （B） ( )f x 在 3,4 4
单调递减
（C） ( )f x 在 0, 2
单调递增 （D） ( )f x 在 3,4 4
单调递增
解 析 ： ( ) 2 sin( )4f x x ， 所 以 2 ， 又 f(x) 为 偶 函 数 ，
,4 2 4k k k z ， ( ) 2 sin(2 ) 2 cos22f x x x ，选 A
(12)函数 1
1y x
的图像与函数 2sin ( 2 4)y x x 的图像所有交点的横坐标之和等于
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
解析：图像法求解。 1
1y x
的对称中心是（1,0）也是 2sin ( 2 4)y x x 的中心，
2 4x 他们的图像在 x=1 的左侧有 4 个交点，则 x=1 右侧必有 4 个交点。不妨把他们的
横坐标由小到大设为 1, 2 3 4 5 6 7 8, , , , , ,x x x x x x x x ，则 1 8 2 7 3 6 4 5 2x x x x x x x x ，所以
选 D
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
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（13）若变量 ,x y 满足约束条件 3 2 9,
6 9,
x y
x y
则 2z x y 的最小值为 。
解析：画出区域图知，
当直线 2z x y 过 2 3
9
x y
x y
的交点(4,-5)时， min 6z
（14）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点 1 2,F F 在 x 轴上，离心
率为 2
2
。过 1F 的直线 L 交 C 于 ,A B 两点，且 2ABFV 的周长为 16，那么C 的方程为 。
解析：由
2
2
4 16
c
a
a
得 a=4.c=2 2 ,从而 b=8,
2 2
116 8
x y 为所求。
（15）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球O 的球面上，且 6, 2 3AB BC ,则棱锥
O ABCD 的体积为 。
解析：设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M,则 AM= 2 21 (2 3) 6 2 32
,
OM= 2 24 (2 3) 2 ， 1 6 2 3 2 8 33O ABCDV .
（16）在 ABCV 中， 60 , 3B AC ，则 2AB BC 的最大值为 。
解析： 0 0120 120A C C A , 0(0,120 )A , 2 2sinsin sin
BC AC BC AA B
02 2sin 2sin(120 ) 3cos sinsin sin
AB AC AB C A A AC B
；
2AB BC 3cos 5sin 28sin( ) 2 7 sin( )A A A A ，故最大值是 2 7
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分 12 分）
等比数列 na 的各项均为正数，且 2
1 2 3 2 62 3 1, 9 .a a a a a
（Ⅰ)求数列 na 的通项公式；
（Ⅱ）设 3 1 3 2 3log log ...... log ,n nb a a a 求数列 1
nb
的前 n 项和.
解析：（Ⅰ）设数列{an}的公比为 q，由 2
3 2 69a a a 得 3 2
3 49a a 所以 2 1
9q 。
由条件可知 a>0,故 1
3q 。
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由 1 22 3 1a a 得 1 22 3 1a a q ，所以 1
1
3a 。
故数列{an}的通项式为 an= 1
3n 。
（Ⅱ ） 3 1 3 2 3 nlog log ... lognb a a a
(1 2 ... )
( 1)
2
n
n n
故 1 2 1 12( )( 1) 1nb n n n n
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2... 2((1 ) ( ) ... ( ))2 2 3 1 1n
n
b b b n n n
所以数列 1{ }
nb
的前 n 项和为 2
1
n
n
(18)(本小题满分 12 分)
如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四
边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。
解析 1：（Ⅰ）因为 60 , 2DAB AB AD , 由余弦定理得 3BD AD
从而 BD2+AD2= AB2，故 BD AD;又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD
所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD
（Ⅱ）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系
D- xyz ，则
1,0,0A , 0 3,0B ， , 1, 3,0C , 0,0,1P 。
( 1, 3,0), (0, 3, 1), ( 1,0,0)AB PB BC uuuv uuv uuuv
设平面 PAB 的法向量为 n=（x,y,z），则 0
0
n AB
n PB
,
即 3 0
3 0
x y
y z
因此可取 n=( 3,1, 3)
z
x
P
C
BA
D
y
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设平面 PBC 的法向量为 m，则 0
0
m PB
m BC
可取 m=（0，-1， 3 ） 4 2 7cos , 72 7
m n
故二面角 A-PB-C 的余弦值为 2 7
7
（19）（本小题满分 12 分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于
102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，
并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
（Ⅰ）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位：元)与其质量指标值 t 的关系式为
从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期望.（以试
验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
解析：（Ⅰ）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为 22 8 =0.3100
，所以用 A 配方生产
的产品的优质品率的估计值为 0.3。
由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 32 10 0.42100
，所以用 B 配方生产的产
品的优质品率的估计值为 0.42
（Ⅱ）用 B 配方生产的 100 件产品中，其质量指标值落入区间 90,94 , 94,102 , 102,110 的频率
分别为 0.04，,054,0.42，因此 X 的可能值为-2,2,4
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P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,
即 X 的分布列为
X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
（20）（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满足 / /MB OA
uuur uur ，
MA AB MB BA
uuur uuur uuur uur ，M 点的轨迹为曲线 C。
（Ⅰ）求 C 的方程；
（Ⅱ）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
解析; (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).
所以 MA
uuur
=（-x,-1-y）, MB
uuur
=(0,-3-y), AB
uuur
=(x,-2).
再由题意可知（ MA
uuur
+ MB
uuur
）• AB
uuur
=0, 即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.
所以曲线 C 的方程式为 y= 1
4
x 2 -2.
(Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C：y= 1
4
x 2 -2 上一点，因为 y ' = 1
2
x,所以 l 的斜率为 1
2
x 0
因此直线 l 的方程为 0 0 0
1 ( )2y y x x x ，即 2
0 0 02 2 0x x y y x 。
则 o 点到 l 的距离
2
0 0
2
0
| 2 |
4
y xd
x
.又 2
0 0
1 24y x ，所以
2
0 2
02 2
0 0
1 4 1 42 ( 4 ) 2,24 4
x
d x
x x
当 2
0x =0 时取等号，所以 o 点到 l 距离的最小值为 2.
（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 ln( ) 1
a x bf x x x
，曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 2 3 0x y 。
（Ⅰ）求 a 、 b 的值；
（Ⅱ）如果当 0x ，且 1x 时， ln( ) 1
x kf x x x
，求 k 的取值范围。
X -2 2 4
P 0.04 0.54 0.42
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解析：（Ⅰ） 2 2
1( ln )
'( ) ( 1)
x x bxf x x x
由于直线 2 3 0x y 的斜率为 1
2
，且过点 (1,1) ，故
(1) 1,
1'(1) ,2
f
f
即
1,
1 ,2 2
b
a b
解得 1a ， 1b 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ln 1f ( ) 1
xx x x
，所以
2
2
ln 1 ( 1)( 1)( ) ( ) (2ln )1 1
x k k xf x xx x x x
。
考虑函数 ( ) 2lnh x x
2( 1)( 1)k x
x
( 0)x ，则
2
2
( 1)( 1) 2'( ) k x xh x x
。
(i)设 0k ，由
2 2
2
( 1) ( 1)'( ) k x xh x x
知，当 1x 时， '( ) 0h x ，h(x)递减。而 (1) 0h 故当
(0,1)x 时， ( ) 0h x ，可得 2
1 ( ) 01 h xx
；
当 x（1，+ ）时，h（x）<0，可得 21
1
x
h（x）>0
从而当 x>0,且 x 1 时，f（x）-（
1
ln
x
x +
x
k ）>0，即 f（x）>
1
ln
x
x +
x
k .
（ ii ） 设 00,故 'h (x）>0,
而 h（1）=0，故当 x（1，
k1
1 ）时，h（x）>0，可得 21
1
x
h（x） <0, 与 题 设
矛盾。
（iii）设 k 1.此时 2 1 2x x ， 2( 1)( 1) 2 0k x x 'h（x）>0,而 h（1）=0，故当 x（1，
+ ）时，h（x）>0，可得 21
1
x
h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k 的取值范围为（- ，0]
点评;求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解。若求导后不易得到极值点，可二次
求导，还不行时，就要使用参数讨论法了。即以参数为分类标准，看是否符合题意。求的答案。此题用
的便是后者。
第 48 页 共 73 页
请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题
号。
（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分 别
为 ABC 的边 AB ， AC 上的点，且不与 ABC 的顶点重合。已 知
AE 的长为 m ，AC 的长为 n, AD ， AB 的长是关于 x 的方程
2 14 0x x mn 的两个根。
（Ⅰ）证明：C ， B ， D ， E 四点共圆；
（Ⅱ）若 90A ，且 4, 6m n ，求C ， B ， D ， E 所在圆的半径。
解析：（I）连接 DE，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD AB mn AE AC
即
AB
AE
AC
AD .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB
所以 C,B,D,E 四点共圆。
（Ⅱ）m=4, n=6 时，方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2，
AB=12.
取 CE 的中点 G,DB 的中点 F，分别过 G,F 作 AC，AB 的垂 线，两垂线相
交于 H 点，连接 DH.因为 C，B，D，E 四点共圆，所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H，半径为 DH.
由于∠A=900，故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF=
2
1 (12-2)=5.
故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2
(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
2cos
2 2sin
x
y
（ 为参数）
M 是 C1 上的动点，P 点满足 2OP OMuuuv uuuv ,P 点的轨迹为曲线 C2
(Ⅰ)求 C2 的方程
(Ⅱ)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
3
与 C1 的异于极点的交点为 A，
与 C2 的异于极点的交点为 B，求 AB .
解析; （I）设 P(x,y),则由条件知 M( ,2 2
x y ).由于 M 点在 C1 上，所以
第 49 页 共 73 页
2cos ,2
2 2sin2
x
y
即 4cos
4 4sin
x
y
从而 2C 的参数方程为
4cos
4 4sin
x
y
（ 为参数）
（Ⅱ）曲线 1C 的极坐标方程为 4sin ，曲线 2C 的极坐标方程为 8sin 。
射线
3
与 1C 的交点 A 的极径为 1 4sin 3
，
射线
3
与 2C 的交点 B 的极径为 2 8sin 3
。
所以 2 1| | | | 2 3AB .
(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
设函数 ( ) 3f x x a x ,其中 0a 。
（Ⅰ）当 1a 时，求不等式 ( ) 3 2f x x 的解集；
（Ⅱ）若不等式 ( ) 0f x 的解集为 | 1x x ，求 a 的值。
解析：（Ⅰ）当 1a 时， ( ) 3 2f x x 可化为| 1| 2x 。
由此可得 3x 或 1x 。
故不等式 ( ) 3 2f x x 的解集为{ | 3x x 或 1}x 。
( Ⅱ) 由 ( ) 0f x 得 3 0x a x
此不等式化为不等式组
3 0
x a
x a x
或
3 0
x a
a x x
即
4
x a
ax
或
2
x a
ax
因为 0a ，所以不等式组的解集为 | 2
ax x
由题设可得
2
a = 1 ，故 2a
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2012 年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是
符合题目要求的。
1、已知集合 A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则 B 中所含元
素的个数为
（A）3 （B）6 （C）8 （D）10
2、将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个
小组有 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有
（A）12 种 （B）10 种 （C）9 种 （D）8 种
3、下面是关于复数 z= 2
1 i
的四个命题
P1： z =2 P2: 2z =2i
P3:z 的共轭复数为 1+i P4 ：z 的虚部为-1
其中真命题为
（A）. P2 ,P3 （B） P1 ,P2 （C）P2,P4 （D）P3,P4
4、设 F1，F2 是椭圆 E:
2
2
x
a +
2
2
y
b =1 (a＞b＞0)的左、右焦点 ，P 为直线
3
2ax 上的一点，
12PFF△ 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为
（A） 1
2
（B） 2
3
（C） 3
4
（D） 4
5
5、已知{ na }为等比数列， 214 aa ， 865 aa ，则 101 aa
（A）7 （B）5 （C）-5 （D）-7
6、如果执行右边的程序图，输入正整数 )2( NN 和
实数 naaa ,, 21 ，输入 A，B，则
（A）A+B 为的 naaa ,, 21 和
（B）
2
A B 为 naaa ,, 21 的算式平均数
第 51 页 共 73 页
（C）A 和 B 分别是 naaa ,, 21 中最大的数和最 小
的数
（D）A 和 B 分别是 naaa ,, 21 中最小的数和最 大
的数
7、如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出 的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（A）6 （B）9 （C）12
（D）18
8、等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与 抛
物线 xy 162 的准线交于 A ， B 两点， 34AB ， 则
C 的实轴长为
（A） 2 （B） 2 2 （C） 4
（D）8
9、已知 w＞0，函数 )4sin()( xxf 在 ),2( 单调递减，则 的取值范围是
（A） ]4
5,2
1[ （B） ]4
3,2
1[ （C） ]2
1,0( （D）(0,2]
10、已知函数
xxxf
)1ln(
1)( ，则 )(xfy 的图像大致为
O O
1
1
1
1 x
y
x
y
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11、已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，
△
ABC 是边长为 1 的正三角形，
SC 为 O 的直径，且 SC=2，则此棱锥的体积为
（A） 2
6
（B） 3
6
（C） 2
3
（D） 2
2
12、设点 P 在曲线 xey 2
1 上，点 Q 在曲线 )2ln( xy 上，则|PQ|的最小值为
（A） 2ln1 （B） )2ln1(2 （C） 2ln1 （D） )2ln1(2
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须
作答。第 22 题~第 24 题为选考题，考试依据要求作答。
二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
13、已知向量a ，b 夹角为 45°，且 1a ， 102 ba ，则 b =____________.
第 53 页 共 73 页
14、设 x，y 满足约束条件
0
0
3
1
y
x
yx
yx
则 yxz 2 的取值范围为__________.
15、某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3
正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布
N（1000, 250 ），且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小
时的概率为_________________.
16、数列 na 满足 12)1(1 naa n
n
n ，则 na 的前 60 项和为________。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分 12 分）已知 a，b，c 分别为
△
ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，
0sin3cos cbCaCa 。
（Ⅰ）求 A；
（Ⅱ）若 2a ， ABC△ 的面积为 3 ，求b ，c 。
18、（本小题满分 12 分）
某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售。
如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
元件 1
元件 3
元件 2
第 54 页 共 73 页
（Ⅰ）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 n（单
位：枝， Nn ）的函数解析式。
（Ⅱ）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（ⅰ）若花店一天购进 16 枝玫瑰花， x 表示当天的利润（单位：元），求 x 的分布列、数
学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明
理由。
19、（本小题满分 12 分）
如图，直三棱柱 111 CBAABC 中， 12
1 AABCAC ， D 是棱 1AA 的中点， BDDC 1 。
（1） 证明： BCDC 1 ；
（2） 求二面角 1 CBDA 1 的大小。
20、（本小题满分 12 分）
设抛物线C ： )0(22 ppyx 的焦点为 F ，准线为 l，A 为C 上一点，已知以 F 为圆心，FA
为半径的圆 F 交 l 于 B ， D 两点。
（1） 若∠BFD=90°， ABD△ 的面积为 4 2 ，求 p 的值及圆 F 的方程；
（2） 若 FBA ,, 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与C 之有一个公共点，求坐
标原点到 m ， n 距离的比值。
21、（本小题满分 12 分）
已知函数 )(xf 满足 21
2
1)0()1(')( xxfefxf x
（1） 求 )(xf 的解析式及单调区间；
（2） 若 baxxxf 2
2
1)( ，求 ba )1( 的最大值。
日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
A
BC
D
1A
1B1C
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请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时
请写清题号。
22、（本小题满分 10 分）选修 4—1；几何证明选讲
如图，D，E 分别为
△
ＡＢＣ边ＡＢ，ＡＣ的中点，直线ＤＥ交
△
ABC 的外接圆于 F，G 两
点，若 CF∥AB，证明：
（Ⅰ）CD=BC；
（Ⅱ） GBDBCD ∽△△ 。
23、（本小题满分 10 分）选修 4—4；坐标系与参数方程
已知曲线 1C 的参数方程式
sin3
cos2
y
x （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程式 2 。正方形 A B C D 的顶点都在 2C 上，且 A ，
B ，C ， D 依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为 )2,2( 。
B C
D
A
E FG
第 56 页 共 73 页
（Ⅰ）求点 A ， B ，C ， D 的直角坐标；
（Ⅱ）设 P 为 1C 上任意一点，求 2222 PDPCPBPA 的取值范围。
24、（本小题满分 10 分）选修 4—5；不等式选讲
已知函数 2)( xaxxf
（Ⅰ）当 3a 时，求不等式 3x 的解集；
（2）若 4 xxf 的解集包含 ]2,1[ ，求 a 的取值范围。
答案
一、选择：
1 2 3 4 5 6
D A C C D C
7 8 9 10 11 12
B C A B A B
二、填空：
13、3 2 14.、[-3,3]
15、 3
8 16、1830
三、解答：
17、（1）由正弦定理得：
cos 3 sin 0 sin cos 3sin sin sin sina C a C b c A C A C B C
第 57 页 共 73 页
sin cos 3sin sin sin( ) sin
13sin cos 1 sin( 30 ) 2
30 30 60
A C A C a C C
A A A
A A
（2） 1 sin 3 42S bc A bc
2 2 2 2 cos 4a b c bc A b c
2b c
18、（1）当 16n 时， 16 (10 5) 80y
当 15n 时， 5 5(16 ) 10 80y n n n
得： 10 80( 15) ( )80 ( 16)
n ny n Nn
（2）（i） X 可取 60 ， 70 ，80
( 60) 0.1, ( 70) 0.2, ( 80) 0.7P X P X P X
X 的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
60 0.1 70 0.2 80 0.7 76EX
2 2 216 0.1 6 0.2 4 0.7 44DX
（ii）购进 17 枝时，当天的利润为
(14 5 3 5) 0.1 (15 5 2 5) 0.2 (16 5 1 5) 0.16 17 5 0.54 76 .4y
76.4 76 得：应购进 17 枝
19、（1）在 Rt DAC 中， AD AC
得： 45ADC
同理： 1 1 145 90A DC CDC
得： 1 1 1,DC DC DC BD DC 面 1BCD DC BC
（2） 1 1,DC BC CC BC BC 面 1 1ACC A BC AC
取 1 1A B 的中点O ，过点O 作OH BD 于点 H ，连接 1 1,C O C H
1 1 1 1 1 1 1AC B C C O A B ，面 1 1 1A B C 面 1A BD 1C O 面 1A BD
第 58 页 共 73 页
1OH BD C H BD 得：点 H 与点 D 重合
且 1C DO 是二面角 11 CBDA 的平面角
设 AC a ，则 1
2
2
aC O ， 1 1 12 2 30C D a C O C DO
既二面角 11 CBDA 的大小为30
20、（1）由对称性知： BFD 是等腰直角 ，斜边 2BD p
点 A 到准线l 的距离 2d FA FB p
14 2 4 2 22ABDS BD d p
圆 F 的方程为 2 2( 1) 8x y
（2）由对称性设
2
0
0 0( , )( 0)2
xA x xp
，则 (0, )2
pF
点 ,A B 关于点 F 对称得：
2 2
2 20 0
0 0( , ) 32 2 2
x x pB x p p x pp p
得： 3( 3 , )2
pA p ，直线
3
32 2: 3 02 23
p p
p pm y x x y
p
2
2 3 32 2 3 3
x xx py y y x pp p
切点 3( , )3 6
p pP
直线 3 3 3: ( ) 3 06 3 3 6
p pn y x x y p
坐标原点到 ,m n 距离的比值为 3 3: 32 6
p p 。
21、（1） 1 2 11( ) (1) (0) ( ) (1) (0)2
x xf x f e f x x f x f e f x
令 1x 得： (0) 1f
1 2 11( ) (1) (0) (1) 1 (1)2
xf x f e x x f f e f e
得： 21( ) ( ) ( ) 12
x xf x e x x g x f x e x
第 59 页 共 73 页
( ) 1 0 ( )xg x e y g x 在 x R 上单调递增
( ) 0 (0) 0, ( ) 0 (0) 0f x f x f x f x
得： ( )f x 的解析式为 21( ) 2
xf x e x x
且单调递增区间为 (0, ) ，单调递减区间为 ( ,0)
（2） 21( ) ( ) ( 1) 02
xf x x ax b h x e a x b 得 ( ) ( 1)xh x e a
①当 1 0a 时， ( ) 0 ( )h x y h x 在 x R 上单调递增
x 时， ( )h x 与 ( ) 0h x 矛盾
②当 1 0a 时， ( ) 0 ln( 1), ( ) 0 ln( 1)h x x a h x x a
得：当 ln( 1)x a 时， min( ) ( 1) ( 1)ln( 1) 0h x a a a b
2 2( 1) ( 1) ( 1) ln( 1)( 1 0)a b a a a a
令 2 2( ) ln ( 0)F x x x x x ；则 ( ) (1 2ln )F x x x
( ) 0 0 , ( ) 0F x x e F x x e
当 x e 时， max( ) 2
eF x
当 1,a e b e 时， ( 1)a b 的最大值为
2
e
22、（1） / /CF AB ， / / / / / /DF BC CF BD AD CD BF
/ /CF AB AF BC BC CD
（2） / /BC GF BG FC BD
/ /BC GF GDE BGD DBC BDC BCD GBD
24、（1）点 , , ,A B C D 的极坐标为 5 4 11(2, ),(2, ),(2, ),(2, )3 6 3 6
点 , , ,A B C D 的直角坐标为 (1, 3),( 3,1),( 1, 3),( 3, 1)
（2）设 0 0( , )P x y ；则 0
0
2cos ( )3sin
x
y
为参数
2 2 2 2 2 24 4 40t PA PB PC PD x y
256 20sin [56,76]
23、（1）当 3a 时， ( ) 3 3 2 3f x x x
第 60 页 共 73 页
2
3 2 3
x
x x
或 2 3
3 2 3
x
x x
或 3
3 2 3
x
x x
1x 或 4x
（2）原命题 ( ) 4f x x 在[1,2] 上恒成立
2 4x a x x 在[1,2] 上恒成立
2 2x a x 在[1,2] 上恒成立
3 0a
第 61 页 共 73 页
2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷 II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．(2013 课标全国Ⅱ，理 1)已知集合 M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则 M∩N＝( )．
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
2．(2013 课标全国Ⅱ，理 2)设复数 z 满足(1－i)z＝2i，则 z＝( )．
A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i
3．(2013 课标全国Ⅱ，理 3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3＝a2＋10a1，a5＝9，则 a1＝( )．
A．
1
3 B．
1
3
C．
1
9 D．
1
9
4．(2013 课标全国Ⅱ，理 4)已知 m，n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线 l 满足 l⊥m，l⊥n，
l α，l β，则( )．
A．α∥β且 l∥α B．α⊥β且 l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于 l D．α与β相交，且交线平行于 l
5．(2013 课标全国Ⅱ，理 5)已知(1＋ax)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a＝( )．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
6．(2013 课标全国Ⅱ，理 6)执行下面的程序框图，如果输入的 N＝10，那么输出的 S
＝( )．
A．
1 1 11+ 2 3 10
B．
1 1 11+ 2! 3! 10!
C．
1 1 11+ 2 3 11
D．
1 1 11+ 2! 3! 11!
7．(2013 课标全国Ⅱ，理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O－xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，
(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视
图可以为( )．
8．(2013 课标全国Ⅱ，理 8)设 a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
9．(2013 课标全国Ⅱ，理 9)已知 a＞0，x，y 满足约束条件
1,
3,
3 .
x
x y
y a x
若 z＝2x＋y 的最小值为 1，
则 a＝( )．
A．
1
4 B．
1
2 C．1 D．2
第 62 页 共 73 页
10．(2013 课标全国Ⅱ，理 10)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．
A． x0∈R，f(x0)＝0
B．函数 y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若 x0 是 f(x)的极值点，则 f′(x0)＝0
11．(2013 课标全国Ⅱ，理 11)设抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5，若以 MF
为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为( )．
A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x
C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x
12．(2013 课标全国Ⅱ，理 12)已知点 A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线 y＝ax＋b(a＞0)将△ABC 分割
为面积相等的两部分，则 b 的取值范围是( )．
A．(0,1) B．
2 11 ,2 2
C．
2 11 ,2 3
D．
1 1,3 2
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题～
第 24 题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．(2013 课标全国Ⅱ，理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 AE BD ＝__________.
14．(2013 课标全国Ⅱ，理 14)从 n 个正整数 1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数
之和等于 5 的概率为 1
14
，则 n＝__________.
15．(2013 课标全国Ⅱ，理 15)设θ为第二象限角，若 π 1tan 4 2
，则 sin θ＋cos θ＝
__________.
16．(2013 课标全国Ⅱ，理 16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S10＝0，S15＝25，则 nSn 的最小
值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013 课标全国Ⅱ，理 17)(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
a＝bcos C＋csin B.
(1)求 B；
(2)若 b＝2，求△ABC 面积的最大值．
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18．(2013 课标全国Ⅱ，理 18)(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1
的中点，AA1＝AC＝CB＝ 2
2 AB .
(1)证明：BC1∥平面 A1CD；
(2)求二面角 D－A1C－E 的正弦值．
19．(2013 课标全国Ⅱ，理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出
1 t 该产品获利润 500 元，未售出的产品，每 1 t 亏损 300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需
求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品．以 X(单位：
t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产
品的利润．
(1)将 T 表示为 X 的函数；
(2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率
作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量 X∈[100,110)，则取 X＝105，且 X＝105 的概率等
于需求量落入[100,110)的频率)，求 T 的数学期望．
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20．(2013 课标全国Ⅱ，理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：
2 2
2 2 =1x y
a b
(a
＞b＞0)右焦点的直线 3 0x y 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 1
2
.
(1)求 M 的方程；
(2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，求四边形 ACBD 面积的最大值．
21．(2013 课标全国Ⅱ，理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ex－ln(x＋m)．
(1)设 x＝0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；
(2)当 m≤2 时，证明 f(x)＞0.
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请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．(2013 课标全国Ⅱ，理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1：几何证明选讲
如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线 CD 于点 D，E，F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点，且
BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C 四点共圆．
(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；
(2)若 DB＝BE＝EA，求过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．
23．(2013 课标全国Ⅱ，理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
已知动点 P，Q 都在曲线 C： 2cos ,
2sin
x t
y t
(t 为参数)上，对应参数分别为 t＝α与 t＝2α(0＜α＜2π)，
M 为 PQ 的中点．
(1)求 M 的轨迹的参数方程；
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为α的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点．
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24．(2013 课标全国Ⅱ，理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲
设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，证明：
(1)ab＋bc＋ac≤ 1
3
；
(2)
2 2 2
1a b c
b c a
.
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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷 II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．
答案：A
解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即 M＝{x|－1＜x＜3}．而 N＝{－1,0,1,2,3}，所以 M∩N
＝{0,1,2}，故选 A.
2．
答案：A
解析： 2i 2i 1 i=1 i 1 i 1 iz
＝ 2 2i
2
＝－1＋i.
3．
答案：C
解析：设数列{an}的公比为 q，若 q＝1，则由 a5＝9，得 a1＝9，此时 S3＝27，而 a2＋10a1＝99，不满足
题意，因此 q≠1.
∵q≠1 时，S3＝
3
1(1 )
1
a q
q
＝a1·q＋10a1，
∴
31
1
q
q
＝q＋10，整理得 q2＝9.
∵a5＝a1·q4＝9，即 81a1＝9，∴a1＝ 1
9
.
4．
答案：D
解析：因为 m⊥α，l⊥m，l α，所以 l∥α.同理可得 l∥β.
又因为 m，n 为异面直线，所以α与β相交，且 l 平行于它们的交线．故选 D.
5．
答案：D
解析：因为(1＋x)5 的二项展开式的通项为 5Cr rx (0≤r≤5，r∈Z)，则含 x2 的项为 2 2
5C x ＋ax· 1
5C x ＝(10
＋5a)x2，所以 10＋5a＝5，a＝－1.
6．
答案：B
解析：由程序框图知，当 k＝1，S＝0，T＝1 时，T＝1，S＝1；
当 k＝2 时， 1
2T ， 1=1+ 2S ；
当 k＝3 时， 1
2 3T
， 1 11+ 2 2 3S
；
当 k＝4 时， 1
2 3 4T
， 1 1 11+ 2 2 3 2 3 4S
；…；
当 k＝10 时， 1
2 3 4 10T
， 1 1 11+ 2! 3! 10!S ，k 增加 1 变为 11，满足 k＞N，输出 S，
所以 B 正确．
7．
答案：A
解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系 O－xyz 的图像为下图：
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则它在平面 zOx 上的投影即正视图为 ，故选 A.
8．
答案：D
解析：根据公式变形， lg6 lg 21lg3 lg3a ， lg10 lg 21lg5 lg5b ， lg14 lg 21lg7 lg7c ，因为 lg 7＞lg
5＞lg 3，所以 lg 2 lg 2 lg 2
lg7 lg5 lg3
，即 c＜b＜a.故选 D.
9．
答案：B
解析：由题意作出 1,
3
x
x y
所表示的区域如图阴影部分所示，
作直线 2x＋y＝1，因为直线 2x＋y＝1 与直线 x＝1 的交点坐标为
(1，－1)，结合题意知直线 y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得
1
2a ，所以 1
2a .
10．
答案：C
解析：∵x0 是 f(x)的极小值点，则 y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在
(－∞，x0)上不单调，故 C 不正确．
11．
答案：C
解析：设点 M 的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋
2
p ＝5，
则 x0＝5－
2
p .
又点 F 的坐标为 ,02
p
，所以以 MF 为直径的圆的方程为(x－x0)
2
px
＋(y－y0)y＝0.
将 x＝0，y＝2 代入得 px0＋8－4y0＝0，即
2
0
2
y －4y0＋8＝0，所以 y0＝4.
由 2
0y ＝2px0，得16 2 5 2
pp
，解之得 p＝2，或 p＝8.
所以 C 的方程为 y2＝4x 或 y2＝16x.故选 C.
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12．
答案：B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题～
第 24 题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．答案：2
解析：以 AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则点 A 的坐标为(0,0)，点 B 的坐标为(2,0)，点 D 的坐标为
(0,2)，点 E 的坐标为(1,2)，则 AE
＝(1,2)， BD
＝(－2,2)，所以
2AE BD .
14．答案：8
解析：从 1,2，…，n 中任取两个不同的数共有 2Cn 种取法，两数之和为 5
的有(1,4)，(2,3)2 种，所以 2
2 1
C 14n
，即 2 4 1
1 1 14
2
n n n n
，解得 n＝8.
15．答案： 10
5
解析：由 π 1 tan 1tan 4 1 tan 2
，得 tan θ＝ 1
3
，即 sin θ＝ 1
3
cos θ.
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 210 cos 19
.
因为θ为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10
10
，sin θ＝ 10
10
，sin θ＋cos θ＝ 10
5
.
16．答案：－49
解析：设数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则 S10＝ 1
10 910 2a d＋ ＝10a1＋45d＝0，①
S15＝ 1
15 1415 2a d ＝15a1＋105d＝25.②
联立①②，得 a1＝－3， 2
3d ，
所以 Sn＝ 2( 1) 2 1 103 2 3 3 3
n nn n n .
令 f(n)＝nSn，则 3 21 10( ) 3 3f n n n ， 2 20'( ) 3f n n n .
令 f′(n)＝0，得 n＝0 或 20
3n .
当 20
3n 时，f′(n)＞0, 200< < 3n 时，f′(n)＜0，所以当 20
3n 时，f(n)取最小值，而 n∈N＋，则
f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当 n＝7 时，f(n)取最小值－49.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)由已知及正弦定理得
sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①
又 A＝π－(B＋C)，故
sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②
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由①，②和 C∈(0，π)得 sin B＝cos B，
又 B∈(0，π)，所以 π
4B .
(2)△ABC 的面积 1 2sin 2 4S ac B ac .
由已知及余弦定理得 4＝a2＋c2－ π2 cos 4ac .
又 a2＋c2≥2ac，故 4
2 2
ac
，当且仅当 a＝c 时，等号成立．
因此△ABC 面积的最大值为 2+1.
18．
解：(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 中点．
又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1∥DF.
因为 DF⊂平面 A1CD，BC1 平面 A1CD，
所以 BC1∥平面 A1CD.
(2)由 AC＝CB＝ 2
2 AB 得，AC⊥BC.
以 C 为坐标原点，CA
的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz.
设 CA＝2，则 D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD
＝(1,1,0)，CE
＝(0,2,1)， 1CA
＝(2,0,2)．
设 n＝(x1，y1，z1)是平面 A1CD 的法向量，
则
1
0,
0,
CD
CA
n
n
即 1 1
1 1
0,
2 2 0.
x y
x z
可取 n＝(1，－1，－1)．
同理，设 m 是平面 A1CE 的法向量，
则
1
0,
0,
CE
CA
m
m
可取 m＝(2,1，－2)．
从而 cos〈n，m〉＝ 3
| || | 3
·n m
n m
，
故 sin〈n，m〉＝ 6
3
.
即二面角 D－A1C－E 的正弦值为 6
3
.
19．
解：(1)当 X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000，
当 X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.
所以 800 39000,100 130,
65000,130 150.
X XT X
(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150.
由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7，所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概
率的估计值为 0.7.
(3)依题意可得 T 的分布列为
T 45 000 53 000 61 000 65 000
P 0.1 0.2 0.3 0.4
所以 ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
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20．
解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则
2 2
1 1
2 2 =1x y
a b
，
2 2
2 2
2 2 =1x y
a b
， 2 1
2 1
= 1y y
x x
，
由此可得
2
2 1 2 1
2
2 1 2 1
=1b x x y y
a y y x x
.
因为 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， 0
0
1
2
y
x
，
所以 a2＝2b2.
又由题意知，M 的右焦点为( 3 ，0)，故 a2－b2＝3.
因此 a2＝6，b2＝3.
所以 M 的方程为
2 2
=16 3
x y .
(2)由 2 2
3 0,
1,6 3
x y
x y
解得
4 3 ,3
3 ,3
x
y
或 0,
3.
x
y
因此|AB|＝ 4 6
3
.
由题意可设直线 CD 的方程为
y＝ 5 3 33x n n
，
设 C(x3，y3)，D(x4，y4)．
由 2 2
,
16 3
y x n
x y
得 3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是 x3,4＝
22 2 9
3
n n .
因为直线 CD 的斜率为 1，
所以|CD|＝ 2
4 3
42 | | 93x x n .
由已知，四边形 ACBD 的面积 21 8 6| | | | 92 9S CD AB n .
当 n＝0 时，S 取得最大值，最大值为 8 6
3
.
所以四边形 ACBD 面积的最大值为 8 6
3
.
21．
解：(1)f′(x)＝ 1ex
x m
.
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由 x＝0 是 f(x)的极值点得 f′(0)＝0，所以 m＝1.
于是 f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ 1e 1
x
x
.
函数 f′(x)＝ 1e 1
x
x
在(－1，＋∞)单调递增，且 f′(0)＝0.
因此当 x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；
当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
所以 f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)当 m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当 m＝2 时，f(x)＞0.
当 m＝2 时，函数 f′(x)＝ 1e 2
x
x
在(－2，＋∞)单调递增．
又 f′(－1)＜0，f′(0)＞0，
故 f′(x)＝0 在(－2，＋∞)有唯一实根 x0，且 x0∈(－1,0)．
当 x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；
当 x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当 x＝x0 时，f(x)取得最小值．
由 f′(x0)＝0 得 0ex ＝
0
1
2x
，ln(x0＋2)＝－x0，
故 f(x)≥f(x0)＝
0
1
2x
＋x0＝
2
0
0
1
2
x
x
＞0.
综上，当 m≤2 时，f(x)＞0.
请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．
解：(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线，
所以∠DCB＝∠A，由题设知 BC DC
FA EA
，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因为 B，E，F，C 四点共圆，
所以∠CFE＝∠DBC，
故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝90°，因此 CA 是△ABC 外接圆的直径．
(2)连结 CE，因为∠CBE＝90°，所以过 B，E，F，C 四点的圆的直径为 CE，由 DB＝BE，有 CE＝DC，又
BC2＝DB·BA＝2DB2，所以 CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而 DC2＝DB·DA＝3DB2，故过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为 1
2
.
23．
解：(1)依题意有 P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M 的轨迹的参数方程为 cos cos2 ,
sin sin 2
x
y
(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M 点到坐标原点的距离
2 2 2 2cosd x y (0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故 M 的轨迹过坐标原点．
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24．
解：(1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤ 1
3
.
(2)因为
2
2a b ab
，
2
2b c bc
，
2
2c a ca
，
故
2 2 2
( )a b c a b cb c a
≥2(a＋b＋c)，
即
2 2 2a b c
b c a
≥a＋b＋c.
所以
2 2 2a b c
b c a
≥1.
