湖北高考理科数学试卷及答案详解 WORD版 答案超级详细

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‎ 2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)‎ 数学（理工农医类）‎ 本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ ‎1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。‎ ‎3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。‎ ‎4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。‎ ‎1.i为虚数单位，则 ‎ (A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i 解析：选B。 ，故 ‎2. 已知，则 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 解析：选D ‎ ‎，，‎ 故 ，即为 ‎3.已知函数，若，则x的取值范围为 ‎ (A) ‎ ‎ (B) ‎ ‎ (C)‎ ‎ (D) ‎ 解析：选A.，令得：，于是，解之即得A。‎ ‎4.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n，则 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 解析：选C.当抛物线上的两点关于x轴对称时，显然可能和焦点组成正三角形，这样的三角形有2个，当抛物线的一点为原点时，取原点与焦点的中垂线与抛物线相交得到两点，因，故此时不能得到正三角形，于是一共有2个满足条件的正三角形。‎ ‎5.已知随机变量服从正态分布，且，则 ‎ (A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.6‎ 解析：选B。由服从正态分布，得，故 ‎6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则 ‎ (A) (B) 2 (C) (D) ‎ 解析：选C。，代入，得：，又，故 ‎，于是，故 ‎7.如图，用K、三类不同的原件连接成一个系统，当K正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ‎ (A)0.960 (B) 0.864 (C) 0.720 (D) 0.576‎ 解析：选B。 分两种情况：①K正常且中一个正常，②全部正常。‎ 故 ‎8.已知向量，若x，y满足不等式，则z的取值范围为：‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ 解析：选A。由得：，即，易知所表示的区域如图所示：故易得在上 分别取最小值-3和最大值3。‎ ‎9.若实数a，b满足，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的 ‎ (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ ‎ (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎ 解析：选C。，故至少有一个为0，不妨设，由，于是，同理可证：，故互补；反之若互补，由，不妨设则，即。综上。是a与b互补的充要条件。‎ ‎10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(太贝克/年)与时间t(单位：年)满足函数关系：‎ ‎，其中M0为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率为-10ln2(太贝克/年)，则M（60）=‎ ‎ (A) 5太贝克 (B) 75ln2太贝克 (C) 150ln2太贝克 (D) 150太贝克 解析：选A。，因为t=30时，铯137含量的变化率为-10ln2，所以，故。‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.‎ ‎11.的展开式中，含的项的系数为 17 .（结果用数值表示）‎ 解析：的通项为：，的指数为，令，故的项的系数为 ‎12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为.（结果用最简分数表示）‎ 解析：。‎ ‎13.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.‎ 解析：设九节竹子的容积分别为：，由题意：，，解得：，，于是 ‎14.如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系（其中轴与y轴重合）所在的平面，‎ ‎（Ⅰ）已知平面内有一点，则点在平面内的射影P的坐标为（Ⅱ）已知平面内的曲线C/的方程是，则曲线C/在平面内的射影C的方程是 ‎ 解析：设平面内的点在平面内的射影为，则，故在平面内的射影P的坐标为；另：由得，即 ‎15.给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 21 种.，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 43 种。（结果用数值表示）‎ 解析：由图：设黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，则，于是这个数列满足，所以。至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16.（本小题满分10分）‎ 设的内角A、B、C所对的边分别是，已知，‎ ‎ （Ⅰ）求的周长 ‎ （Ⅱ）求的值。‎ 解析：（Ⅰ），‎ 故的周长为。‎ ‎ （Ⅱ），‎ ‎，故A为锐角，‎ 17. ‎（本小题满分12分）‎ 提高过江大桥的车辆通行能力可改变整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0,，当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数。‎ ‎ （Ⅰ）当，求函数的表达式；‎ ‎ （Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）‎ 解析：（Ⅰ）由题意：当时，=60，当时，设。再由已知得：解得：‎ 故函数的表达式为 ‎ （Ⅱ）由题意及（Ⅰ）可得：‎ 当时，为增函数，故当时，其最大值为；‎ 当时，，‎ 当且仅当时，等号成立。‎ 所以，当时，在区间上取得最大值。‎ 综上，，当时，在区间上取得最大值，‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。‎ 17. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，已知正三棱柱的各棱长是4，E是BC的中点，动点F在侧棱上，且不与点C重合 ‎ （Ⅰ）当CF=1时，求证：;‎ ‎ （Ⅱ）设二面角C-AF-E的大小为，求的最小值。‎ 解析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则有已知可得,,,,,‎ 于是，，则，故 ‎ （Ⅱ）设,平面AEF的一个法向量为，则由（Ⅰ）得：‎ ‎，,,于是由,可得,即，取 又由直三棱柱的性质可取侧面的一个法向量为，于是又由为锐角可得：‎ ‎，，所以。‎ 由，得，即 故当时，即点F与点重合时，取得最小值 17. ‎（本小题满分13分）‎ 已知数列的前n项和为，且满足：‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式 ‎ （Ⅱ）若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论。‎ 解析：（Ⅰ）由已知可得，两式相减可得，即，又，‎ 所以当r=0时，数列为a,0,0……,0，……；‎ 当时，由已知，所以,‎ 于是由，可得，所以成等比数列，‎ 当时，。‎ 综上，数列的通项公式为：‎ ‎（Ⅱ）对于任意的，且，是否成等差数列，证明如下：‎ 当r=0时，由（Ⅰ），知，‎ 故对于任意的，且，7成等差数列；‎ 当时，，。‎ 若存在，使得成等差数列，则，‎ ‎，即，‎ 由（Ⅰ），知的公比，‎ 于是对于任意的，且，，从而，‎ ‎，即成等差数列。‎ 综上，对于任意的，且，成等差数列。‎ 17. ‎（本小题满分14分）‎ 平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的m的点的轨迹，加上两点所成的曲线C可以是圆、椭圆、或双曲线。‎ ‎ （Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；‎ ‎ （Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为。设是的两个焦点。试问：在上是否存在点N,使得的面积。若存在，求的值，若不存在，请说明理由。‎ 解析：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为，当时，由条件可得：，即，‎ 又的坐标满足，‎ 故依题意：曲线C的方程为 当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线；‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，曲线的方程为，‎ 当时，的两个焦点分别为 对于给定的，‎ 上存在点，使得的充要条件是 由①的，由②得，，‎ 当，即或时，‎ 存在点N使得，；‎ 当，即或时，‎ 由，‎ 可得 令，，‎ 则由可得，‎ 从而，于是由 可得：，即 综上可得：当时，在上，存在点N,使得的面积，且 当时，在上，存在点N,使得的面积，且 当时，在上，不存在满足条件的点N。‎ 17. ‎（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）已知函数求函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设均为正数，证明：‎ ‎（1）若，则 ‎（2）若，则。‎ 解析：（Ⅰ）的定义域为，令 ‎，解得 当时，，在上是增函数；‎ 当时，，在上是减函数；‎ 故函数在x=1处取得最大值 ‎（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当，有，即，‎ ‎，从而有，得。‎ 求和得：‎ ‎，，即 ‎ （2）①先证：。‎ 令，则，于是 由（1）得，即 ‎，。‎ ‎②再证 记,令，则，‎ 于是由（1）得，即 ‎，‎ 综合①②，（2）得证。‎