2013新课标I卷高考理科数学解答题—概率统计

2013新课标I卷高考理科数学解答题—概率统计

‎2013-2017年新课标I卷高考理科数学解答题 概率统计(随机变量及其分布列 本小题满分12分)‎ ‎（2017全国1.理数.19）（12分）‎ 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．‎ ‎（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；‎ ‎（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．‎ 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，‎ ‎，．‎ ‎【考点】：统计与概率。‎ ‎【思路】：（1）这是典型的二项分布，利用正态分布的性质计算即可。（2）考察正态分布，代入运算即可。‎ ‎【解析】：‎ ‎（1）‎ 由题意可得，X满足二项分布，‎ 因此可得 ‎（2）‎ 由（1）可得，属于小概率事件，故而如果出现 的零件，需要进行检查。‎ 由题意可得，故而在范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。此时：，‎ ‎。‎ ‎（2016全国1.理数.19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎（I）求的分布列；‎ ‎（II）若要求,确定的最小值；‎ ‎（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？‎ ‎【答案】（I）见解析（II）19（III）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先确定X的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列；（II）通过频率大小进行比较；（III）分别求出n=9,n=20的期望,根据时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,应选.‎ 所以的分布列为 ‎[来源:学优高考网gkstk]‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故的最小值为19.‎ ‎（Ⅲ）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.‎ 当时,‎ ‎.‎ 当时,‎ ‎.‎ 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.‎ 考点：概率与统计、随机变量的分布列 ‎【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.‎ ‎（2015全国1.理数.19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x1和年销售量y1（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。‎ ‎46.6‎ ‎56.3‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中w1 =1, ， =‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ （i） 年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ （ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？‎ 附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：‎ ‎，‎ ‎【答案】（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型（Ⅱ）（Ⅲ）46.24‎ ‎∴关于的回归方程为.……6分 考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 ‎（2014全国1.理数.18）（本小题满分12分）‎ ‎ 从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 质量指标值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （1）求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；‎ ‎ （2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.‎ ‎ （i）利用该正态分布，求；‎ ‎ （ii）某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求.‎ 附：.‎ 若，则，.‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）因为服从正态分布，，，所以 ‎ 所以 ‎ 又 若～，则，‎ ‎ 所以 ‎ （ⅱ）因为表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，服从二项分布，即～，所以 ‎（2013全国1.理数. 19）（本小题满分12分）‎ 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.‎ 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立.‎ ‎（1）求这批产品通过检验的概率；‎ ‎（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.‎ ‎【解析】．设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥，‎ ‎∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.…6分 ‎（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800，并且 P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，‎ ‎∴X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P ‎ ……10分 EX=400×+500×+800×=506.25 ……12分