2013新课标I卷高考理科数学解答题—概率统计

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2013新课标I卷高考理科数学解答题—概率统计

‎2013-2017年新课标I卷高考理科数学解答题 概率统计(随机变量及其分布列 本小题满分12分)‎ ‎(2017全国1.理数.19)(12分)‎ 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.‎ ‎(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望;‎ ‎(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.‎ ‎(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;‎ ‎(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得,,其中为抽取的第个零件的尺寸,.‎ 用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).‎ 附:若随机变量服从正态分布,则,‎ ‎,.‎ ‎【考点】:统计与概率。‎ ‎【思路】:(1)这是典型的二项分布,利用正态分布的性质计算即可。(2)考察正态分布,代入运算即可。‎ ‎【解析】:‎ ‎(1)‎ 由题意可得,X满足二项分布,‎ 因此可得 ‎(2)‎ 由(1)可得,属于小概率事件,故而如果出现 的零件,需要进行检查。‎ 由题意可得,故而在范围外存在9.22这一个数据,因此需要进行检查。此时:,‎ ‎。‎ ‎(2016全国1.理数.19)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎(I)求的分布列;‎ ‎(II)若要求,确定的最小值;‎ ‎(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个?‎ ‎【答案】(I)见解析(II)19(III)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(I)先确定X的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,,再用相互独立事件概率模型求概率,然后写出分布列;(II)通过频率大小进行比较;(III)分别求出n=9,n=20的期望,根据时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,应选.‎ 所以的分布列为 ‎[来源:学优高考网gkstk]‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,故的最小值为19.‎ ‎(Ⅲ)记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).‎ 当时,‎ ‎.‎ 当时,‎ ‎.‎ 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.‎ 考点:概率与统计、随机变量的分布列 ‎【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有一定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.‎ ‎(2015全国1.理数.19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费x1和年销售量y1(i=1,2,···,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。‎ ‎46.6‎ ‎56.3‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中w1 =1, , =‎ ‎(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;‎ ‎(Ⅲ)已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:‎ (i) 年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?‎ (ii) 年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?‎ 附:对于一组数据,,……,,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:‎ ‎,‎ ‎【答案】(Ⅰ)适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型(Ⅱ)(Ⅲ)46.24‎ ‎∴关于的回归方程为.……6分 考点:非线性拟合;线性回归方程求法;利用回归方程进行预报预测;应用意识 ‎(2014全国1.理数.18)(本小题满分12分)‎ ‎ 从某企业的某种产品中抽取件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 质量指标值 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (1)求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表);‎ ‎ (2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.‎ ‎ (i)利用该正态分布,求;‎ ‎ (ii)某用户从该企业购买了件这种产品,记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用(i)的结果,求.‎ 附:.‎ 若,则,.‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)因为服从正态分布,,,所以 ‎ 所以 ‎ 又 若~,则,‎ ‎ 所以 ‎ (ⅱ)因为表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,服从二项分布,即~,所以 ‎(2013全国1.理数. 19)(本小题满分12分)‎ 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.‎ 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.‎ ‎(1)求这批产品通过检验的概率;‎ ‎(2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.‎ ‎【解析】.设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥,‎ ‎∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.…6分 ‎(Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且 P(X=400)=1-=,P(X=500)=,P(X=800)==,‎ ‎∴X的分布列为 X ‎400‎ ‎500‎ ‎800‎ P ‎ ……10分 EX=400×+500×+800×=506.25 ……12分
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