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文档介绍
2020年全国Ⅰ卷高考文数真题试卷(含答案)
2020 年全国Ⅰ卷高考文数真题试卷(含答案) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合 2{|340},{4,1,3,5}AxxxB ,则 AB A. { 4 ,1} B. {1,5} C. {3,5} D. {1,3} 2.若 31 2 i iz ,则 | | =z A.0 B.1 C. 2 D.2 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方 形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A. 51 4 B. 51 2 C. 51 4 D. 51 2 4.设 O 为正方形 ABCD 的中心,在 O,A,B,C,D 中任取 3 点,则取到的 3 点共线的概率为 A. 1 5 B. 2 5 C. 1 2 D. 4 5 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x(单位:℃)的关系,在 20 个不同的温 度条件下进行种子发芽实验,由实验数据( , )( 1,2, ,20)iix y i 得到下面的散点图: 由此散点图,在 10℃至 40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类 型的是 A. y a b x B. 2y a bx C. e xy a b D. lny a b x 6.已知圆 2260x y x ,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.设函数 π()cos() 6fxx 在[−π,π]的图像大致如下图,则 f(x)的最小正周期为 A.10π 9 B. 7π 6 C. 4 π 3 D. 3 π 2 8.设 3log 4 2a ,则 4 a A. 1 16 B. 1 9 C. 1 8 D. 1 6 9.执行下面的程序框图,则输出的 n= A.17 B.19 C.21 D.23 10.设 {}na 是等比数列,且 123 1a a a, 234 +2a a a,则 678a a a A.12 B.24 C.30 D.32 11.设 12,FF是双曲线 2 2:13 yCx的两个焦点,O 为坐标原点,点 P 在 C 上且 | | 2OP ,则 12P F F△ 的 面积为 A. 7 2 B.3 C. 5 2 D.2 12.已知 ,,A B C 为球O 的球面上的三个点,⊙ 1O 为 ABC△ 的外接圆,若⊙ 的面积为 4 π , 1ABBCACOO ,则球 的表面积为 A. 64 π B. 48 π C. 36 π D. 32 π 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若 x,y 满足约束条件 220, 10, 10, xy xy y 则 z=x+7y 的最大值为 . 14.设向量 (1, 1), ( 1,2 4)mm ab ,若 ab,则 m . 15.曲线 ln 1y x x 的一条切线的斜率为 2,则该切线的方程为 . 16.数列{}na 满足 2 ( 1) 3 1n nna a n ,前 16 项和为 540,则 1a . 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分) 某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为 A,B,C,D 四个等级.加工业务约 定:对于 A 级品、B 级品、C 级品,厂家每件分别收取加工费 90 元,50 元,20 元;对于 D 级品,厂 家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件, 乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了 100 件这 种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下: 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率; (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂 承接加工业务? 18.(12 分) ABC△ 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 B=150°. (1)若 a= 3 c,b=2 7 ,求 的面积; (2)若 sinA+ sinC= 2 2 ,求 C. 19.(12 分) 如图, D 为圆锥的顶点, O 是圆锥底面的圆心, 是底面的内接正三角形, P 为 DO 上一点, ∠APC=90°. (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAC; (2)设 DO= 2 ,圆锥的侧面积为 3π ,求三棱锥 P−ABC 的体积. 20.(12 分) 已知函数 ()e(2) xfxax . (1)当 1a 时,讨论 ()fx的单调性; (2)若 有两个零点,求 a 的取值范围. 21.(12 分) 已知 A、B 分别为椭圆 E: 2 2 2 1x ya (a>1)的左、右顶点,G 为 E 的上顶点, 8AGGB,P 为直 线 x=6 上的动点,PA 与 E 的另一交点为 C,PB 与 E 的另一交点为 D. (1)求 E 的方程; (2)证明:直线 CD 过定点. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为 cos , sin k k xt yt (t 为参数 ) .以坐标原点为极点, x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程为 4 cos 16 sin 3 0 . (1)当 1k 时, 是什么曲线? (2)当 4k 时,求 与 的公共点的直角坐标. 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知函数 ( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x . (1)画出 ()y f x 的图像; (2)求不等式 ( ) ( 1 )f x f x 的解集. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案(A 卷) 选择题答案 一、选择题 1.D 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 9.C 10.D 11.B 12.A 非选择题答案 二、填空题 13.1 14.5 15.y=2x 16.7 三、解答题 17.解:(1)由试加工产品等级的频数分布表知, 甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 40 0.4100 ; 乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 28 0.28100 . (2)由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润 65 25 −5 −75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 654025205207520 15100 . 由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润 70 30 0 −70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 70 28 30 17 0 34 70 21 10100 . 比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务. 18.解:(1)由题设及余弦定理得 2 2 228 3 2 3 cos150c c c , 解得 2c (舍去), 2c ,从而 23a . ABC△ 的面积为 1 232sin15032 . (2)在 中, 18030ABCC ,所以 sin3sinsin(30)3sinsin(30)ACCCC , 故 2sin(30) 2C . 而 0 3 0 C ,所以 3 0 4 5 C ,故 15C . 19.解:(1)由题设可知,PA=PB= PC. 由于△ABC 是正三角形,故可得△PAC≌△PAB. △PAC≌△PBC. 又∠APC =90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°. 从而 PB⊥PA,PB⊥PC,故 PB⊥平面 PAC,所以平面 PAB⊥平面 PAC. (2)设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l. 由题设可得 rl= 3 , 222lr. 解得 r=1,l= , 从而 3AB .由(1)可得 222PAPBAB,故 6 2PAPBPC . 所以三棱锥 P-ABC 的体积为 3111166 ()323228PAPBPC . 20.解:(1)当a=1时,f(x)=ex–x–2,则 fx( )=ex–1. 当x<0时, <0;当x>0时, >0. 所以f(x)在(–∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2) =ex–a. 当a≤0时, fx( )>0,所以f(x)在(–∞,+∞)单调递增, 故f(x)至多存在1个零点,不合题意. 当a>0时,由 =0可得x=lna. 当x∈(–∞,lna)时, <0; 当x∈(lna,+∞)时, >0.所以f(x)在(–∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增,故当 x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=–a(1+lna). (i)若0≤a≤ 1 e ,则f(lna)≥0,f(x)在(–∞,+∞)至多存在1个零点,不合题意. (ii)若a> ,则f(lna)<0. 由于f(–2)=e–2>0,所以f(x)在(–∞,lna)存在唯一零点. 由(1)知,当x>2时,ex–x–2>0,所以当x>4且x>2ln(2a)时, ln(2 )22()ee(2)e(2)(2)20 2 xx a xfxa xa xa . 故f(x)在(lna,+∞)存在唯一零点,从而f(x)在(–∞,+∞)有两个零点. 综上,a的取值范围是( 1 e ,+∞). 21.解:(1)由题设得 (,0),(,0),(0,1)AaBaG . 则 (,1)AGa , (,1)GBa.由 8AGGB得 2 18a ,即 3a . 所以 E 的方程为 2 2 19 x y. (2)设 1122(,),(,),(6,)CxyD xyPt . 若 0t ,设直线 CD 的方程为 xmyn,由题意可知 33n . 由于直线 PA 的方程为 (3)9 tyx,所以 11(3)9 tyx. 直线 PB 的方程为 (3)3 tyx,所以 22(3)3 tyx. 可得 12213(3)(3)y xyx . 由于 2 22 2 19 x y,故 2 22 2 ( 3)( 3) 9 xxy ,可得 1 2 1 227 ( 3)( 3)y y x x , 即 22 1 2 1 2(27 ) ( 3)( ) ( 3) 0m y y m n y y n .① 将 代入 得 2 2 2( 9) 2 9 0m y mny n . 所以 2 1212 22 29,99 mnnyyyy mm . 代入①式得 2222(27)(9)2(3)(3)(9)0mnm nmnnm . 解得 3n (舍去), 3 2n . 故直线 CD 的方程为 3 2x my,即直线 过定点 3( ,0)2 . 若 0t ,则直线CD 的方程为 0y ,过点 . 综上,直线 过定点 . 22.解:当 k=1 时, 1 c o s ,: s i n , xtC yt 消去参数 t 得 221xy,故曲线 1C 是圆心为坐标原点,半径为 1 的圆. (2)当 k=4 时, 4 1 4 cos ,: sin , xtC yt 消去参数 t 得 的直角坐标方程为 1xy. 2C 的直角坐标方程为 4 16 3 0xy . 由 1, 41630 xy xy 解得 1 4 1 4 x y . 故 与 的公共点的直角坐标为 11( , )44 . 23.解:(1)由题设知 13,, 3 1()51,1, 3 3,1. xx fxxx xx ()y f x 的图像如图所示. (2)函数 ()y f x 的图像向左平移 1 个单位长度后得到函数 ( 1 )y f x的图像. 的图像与 的图像的交点坐标为 7 1 1( , ) 66 . 由图像可知当且仅当 7 6x 时, 的图像在 的图像上方, 故不等式 ( ) ( 1 )f x f x 的解集为 7( , ) 6 .查看更多