无锡慧源高复学校高考数学模拟

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无锡慧源高复 数学模拟试卷8‎ ‎ (考试时间：120分钟 总分：160分)‎ 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．‎ 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）‎ ‎1．已知集合，集合，则 ▲ ．‎ ‎（第2题）‎ ‎2．如图，在复平面内，点对应的复数为，若（为虚数单位），‎ 则 ▲ ．‎ ‎3．在平面直角坐标系中，双曲线的实轴长为 ‎（第5题）‎ ‎ ▲ ．‎ ‎4．某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方 法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男学生中抽取的人数为100‎ 人，那么 ▲ ．‎ ‎5．执行如图所示的伪代码，当输入的值分别为时，最后输出的 的值为 ▲ ．‎ ‎6．甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为，甲乙下成和棋的概率为，则乙不输棋的概率为 ▲ ．‎ ‎7．已知直线与圆相交于两点，若，‎ 则 ▲ ．‎ ‎8．若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎9．‎（第9题）‎ 如图，长方体中，为的中点，三棱锥 的体积为，四棱锥的体积为，则 的值为 ▲ ． ‎ ‎10．已知公差为的等差数列及公比为的等比数列满足，‎ 则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎11．设是上的奇函数，当时，，记，则数列 的前项和为 ▲ ． ‎ ‎12．在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点 ‎，则的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎13．若正实数满足，则的最大值为 ▲ ．‎ ‎14．已知函数（其中为常数，），若实数满足：①，②，③，则的值为 ▲ ．‎ 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） ‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 在中，角的对边分别为，向量．‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）若,，求的值．‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 如图，在三棱锥中，，，点，分别为，的中点．‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求证：．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ ‎ 一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成，米，如图所示．小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后，经弹射器以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内，落点记为．设弧度，小球从到所需时间为．‎ ‎（1）试将表示为的函数，并写出定义域；‎ ‎（2）求时间最短时的值． ‎ ‎18．（本题满分16分）‎ ‎ 已知数列满足，其中是数列的前项和． ‎ ‎（1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，求数列的通项公式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设，求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．‎ ‎19．（本题满分16分）‎ ‎ 如图，在平面直角坐标系中， 已知圆，椭圆， 为椭圆右顶点．过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中．设直线的斜率分别为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）求证：直线必过点．‎ ‎20．（本题满分16分）‎ ‎ 已知函数，，．‎ （1） 若，求证：‎ ‎（ⅰ）在的单调减区间上也单调递减；‎ ‎（ⅱ）在上恰有两个零点；‎ （2） 若，记的两个零点为，求证：．‎ 数学试题（附加题）‎ ‎21.【选做题】请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答.如果多做，按所做的前两题记分.‎ A．（几何证明选讲，本题满分10分）‎ ‎ 如图,圆是的外接圆,点是劣弧的中点,连结并延长,与以为切点的切线交于点,求证:.‎ B．（矩阵与变换，本题满分10分）‎ 已知矩阵的一个特征值为,求.‎ C．（坐标系与参数方程，本题满分10分）‎ ‎ 在平面直角坐标系中,已知直线与椭圆 的一条准线的交点位于轴上,求实数的值.‎ D．（不等式选讲，本题满分10分）‎ ‎ 已知正实数满足，求证：.‎ ‎22．【必做题】（本题满分10分）‎ 如图，在直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA1 = 4．‎ ‎ （1）设，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求的值；‎ ‎（2）若点D是AB的中点，求二面角D—CB1—B的余弦值．‎ ‎23. 【必做题】（本题满分10分）‎ ‎ 已知，若存在互不相等的正整数…，使得…同时小于，则记为满足条件的的最大值．‎ （１） 求的值；‎ （２） 对于给定的正整数，‎ ‎（ⅰ）当时，求的解析式；‎ ‎（ⅱ）当时，求的解析式．‎ 高三数学参考答案 一、填空题 ‎1．； 2．； 3．； 4．； 5．； ‎ ‎6．； 7．； 8．； 9．； 10．； ‎ ‎11．； 12．； 13． ； 14．. ‎ 二、解答题 ‎15. 证明：（1）因为，‎ 所以，所以. ……………7分 ‎（2）因为，所以，即，‎ 因为，所以，又，所以，则，…12分 所以. ……………14分 ‎16. 证明（1）∵点，分别为，的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，平面，‎ ‎∴直线平面． ……………6分 ‎ ‎（２）∵，‎ ‎∴，，‎ 又∵，在平面内，‎ ‎∴平面， ……………8分 ‎∵平面，∴，‎ ‎∵，为的中点，∴，‎ ‎∵，，，在平面内，‎ ‎∴平面， ……………12分 ‎∵平面，∴． ……………14分 ‎17. 解：（1）过作于，则，‎ ‎，，，‎ 所以，．……7分 ‎（写错定义域扣1分）‎ ‎（2），‎ ‎，…………9分 记，，‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 故当时，时间最短． …………14分 ‎18. 解：（1）因为，‎ ‎ ， …………2分 所以． …………4分 ‎（2）若，则，∴，‎ 两式相减得，即，‎ 当时，，‎ 两式相减得，即， …………8分 又由，得，，‎ 所以数列是首项为，公差为的等差数列， ‎ 故数列的通项公式是． …………10分 ‎（3）由（2）得 ，‎ 对于给定的，若存在，使得，‎ 只需， ‎ ‎ 即，即，则， …………12分 取，则， ‎ ‎∴对数列中的任意一项，都存在和使得． …………16分 ‎19．解：（1）设，则，‎ 所以． …………4分 ‎（2）联立得，‎ 解得，‎ 联立得，‎ 解得， …………8分 所以，，‎ 所以，故存在常数，使得． …………10分 ‎（3）当直线与轴垂直时，，‎ 则，所以直线必过点．‎ 当直线与轴不垂直时，直线方程为：，‎ 联立，解得，‎ 所以，故直线必过点． …………16 分 ‎（不考虑直线与轴垂直情形扣1分）‎ ‎20. 证：（1）因为，所以，‎ 由得的递减区间为， …………2 分 当时，，‎ 所以在的递减区间上也递减． …………4 分 ‎（2）解1：，‎ 因为，由得，‎ 令，则，‎ 因为，且，所以必有两个异号的零点，记正零点为，则时，，单调递减；时，，单调递增，若在上恰有两个零点，则， …………7 分 由得，‎ 所以，又因为对称轴为所以，‎ 所以，所以，‎ 又，‎ 设中的较大数为，则， ‎ 故在上恰有两个零点． …………10 分 解2：，‎ 因为，由得，‎ 令，‎ 若在上恰有两个零点，则在上恰有两个零点，‎ 当时， 由得，此时在上只有一个零点，不合题意；‎ 当时，由得， …………7 分 令，‎ 则，‎ 当时，单调递增，且由值域知 值域为；当时，单调递增，且，由 值域知值域为；‎ 因为，所以，而与有两个交点，所以在上恰有两个零点． …………10 分 ‎（3）解1：由（2）知，对于在上恰有两个零点，‎ 不妨设，又因为，，所以，……12 分 又因为，，所以，‎ 所以． …………16 分 解2：由（2）知，‎ 因为时，单调递增，，，‎ 所以， …………12 分 当时，单调递增，，，‎ 所以，‎ 所以． …………16 分 附加题参考答案 ‎21.A．证明：连结，因为为圆的切线，‎ 所以, ‎ 又是公共角，所以～， ……………5分 所以 ,‎ ‎ 因为点是劣弧的中点,所以,即. ……………10分 ‎21.B. 解：代入，得 ‎ 矩阵 ……………5分 ‎ ∴ ……………10分 ‎21.C. 解：直线：， ‎ 椭圆:， …………………………5分 准线：‎ ‎ 由得， …………………………10分 ‎21.D.证明：因为正实数满足，‎ ‎ 所以，即， …………………………5分 ‎ 所以 因此， ……………………10分 ‎22. 解：（１）由AC = 3，BC = 4，AB = 5得　　　……………１分 以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则Ａ(3,0,0)，(0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x,y,z)，则由得，而，‎ ‎　　根据解得，或　　……………５分 ‎（２），可取平面的一个法向量为；‎ ‎…………………………７分 而平面的一个法向量为，并且与二面角D—CB1—B相等，‎ ‎　　所以二面角D—CB1—B的余弦值为．　………１０分 ‎（第（１）题中少一解扣１分；没有交代建立直角坐标系过程扣1分．第（２）题如果结果相差符号扣１分．）‎ ‎23. 解：（1）由题意，取，，满足题意，‎ 若，则必有，不满足题意，‎ 综上所述：的最大值为，即．　　　　　　　　 　………………4分 ‎（２）由题意，当时，‎ 设…，…，‎ 显然，时，满足，‎ ‎∴从集合中选出的至多个， ‎ 时，，‎ ‎∴从集合中选出的必不相邻，‎ 又∵从集合中选出的至多个，‎ ‎∴从集合中选出的至多个，放置于从集合中选出的之间，‎ ‎∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　………………6分 ‎（ⅰ）当时，‎ 取一串数为：…，‎ 或写成，（），‎ 此时，(),，满足题意，‎ ‎∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………8分 ‎（ⅱ）当时，‎ 从中选出的个：…，考虑数的两侧的空位，填入集合的两个数，不妨设，则，与题意不符，‎ ‎∴，‎ 取一串数为：…‎ 或写成，（），‎ 此时，（），，满足题意，‎ ‎∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………10分 ‎（写出（ⅰ）、（ⅱ）题的结论但没有证明各给１分．）‎