高考一轮复习空间点直线平面之间的位置关系

高考一轮复习空间点直线平面之间的位置关系

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎【2015年高考会这样考】‎ ‎1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．‎ ‎2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．‎ ‎3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．‎ ‎【复习指导】‎ ‎1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．‎ ‎2．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键．‎ 基础梳理 ‎1．平面的基本性质 ‎(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．‎ ‎(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．‎ ‎(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．‎ 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．‎ 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．‎ 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．‎ ‎2．直线与直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：.‎ ‎3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．‎ ‎4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ ‎5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ ‎6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ 两种方法 异面直线的判定方法：‎ ‎(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．‎ ‎(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．‎ 三个作用 ‎(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．‎ ‎(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．‎ ‎(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．‎ 双基自测 ‎1．(人教A版教材习题改编)下列命题是真命题的是(　　)．‎ A．空间中不同三点确定一个平面 B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点能确定一个平面 D．梯形一定是平面图形 解析　空间中不共线的三点确定一个平面，A错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C错；故D正确．‎ 答案　D ‎2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)．‎ A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 解析　由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾. ‎ 答案　C ‎3．(2011·浙江)下列命题中错误的是(　　)．‎ A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析　对于D, 若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，甚至可能平行于平面β，其余选项均是正确的．‎ 答案　D ‎4．(2011·武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线(　　)．‎ A．12对 B．24对 C．36对 D．48对 解析　‎ 如图所示，与AB异面的直线有B1C1；CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线＝24(对)．‎ 答案　B ‎5．两个不重合的平面可以把空间分成________部分．‎ 答案　3或4‎ ‎　　‎ 考向一　平面的基本性质 ‎【例1】►正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是(　　)．‎ A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 ‎[审题视点] 过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线．‎ 解析　‎ 如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．‎ 同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.‎ ‎∴截面为六边形PQFGRE.‎ 答案　D ‎ 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定．作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置．‎ ‎【训练1】 下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．‎ 解析　‎ 在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S 四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．‎ 答案　①②③‎ 考向二　异面直线 ‎【例2】►如图所示，‎ 正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：‎ ‎(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；‎ ‎(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．‎ ‎[审题视点] 第(1)问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法．‎ 解　‎ ‎(1)不是异面直线．理由如下：‎ 连接MN、A1C1、AC.‎ ‎∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，‎ ‎∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C，‎ ‎∴A1ACC1为平行四边形，‎ ‎∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，‎ ‎∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．‎ ‎(2)是异面直线．证明如下：‎ ‎∵ABCDA1B1C1D1是正方体，‎ ‎∴B、C、C1、D1不共面．‎ 假设D1B与CC1不是异面直线，‎ 则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，‎ ‎∴D1，B、C、C1∈α，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾．‎ ‎∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．‎ ‎ 证明两直线为异面直线的方法 ‎(1)定义法(不易操作)．‎ ‎(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．‎ ‎【训练2】 在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．‎ 解析　如题干图(1)中，直线GH∥MN；‎ 图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；‎ 图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；‎ 图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，‎ ‎∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．‎ 答案　(2)(4)‎ 考向三　异面直线所成的角 ‎【例3】►(2011·宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中．‎ ‎(1)求AC与A1D所成角的大小；‎ ‎(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A‎1C1与EF所成角的大小．‎ ‎[审题视点] (1)平移A1D到B‎1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．(2)可证A‎1C1与EF垂直．‎ 解　‎ ‎(1)如图所示，连接AB1，B‎1C，由ABCDA1B‎1C1D1是正方体，‎ 易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．‎ ‎∵AB1＝AC＝B1C，‎ ‎∴∠B1CA＝60°.‎ 即A1D与AC所成的角为60°.‎ ‎(2)如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，‎ AC⊥BD，AC∥A‎1C1，‎ ‎∵E、F分别为AB、AD的中点，‎ ‎∴EF∥BD，∴EF⊥AC.‎ ‎∴EF⊥A1C1.‎ 即A1C1与EF所成的角为90°.‎ ‎ 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．‎ ‎【训练3】 A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．‎ ‎(1)求证：直线EF与BD是异面直线；‎ ‎(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．‎ ‎(1)证明　假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．‎ ‎(2)解　‎ 如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．‎ 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ 考向四　点共线、点共面、线共点的证明 ‎【例4】►正方体 ABCDA1B‎1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：‎ ‎(1)E、C、D1、F四点共面；‎ ‎(2)CE、D‎1F、DA三线共点．‎ ‎[审题视点] (1)由EF∥CD1可得；‎ ‎(2)先证CE与D‎1F相交于P，再证P∈AD.‎ 证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.‎ ‎∵E、F分别是AB、AA1的中点，‎ ‎∴EF∥BA1.‎ 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，‎ ‎∴E、C、D1、F四点共面．‎ ‎(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，‎ ‎∴CE与D1F必相交，设交点为P，‎ 则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，‎ 得P∈平面ABCD.‎ 同理P∈平面ADD1A1.‎ 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，‎ ‎∴P∈直线DA，∴CE、D1F、DA三线共点．‎ ‎ 要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．‎ ‎【训练4】 如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．‎ 证明　∵E、H分别为边AB、AD的中点，‎ ‎∴EH綉BD，而＝＝，‎ ‎∴＝，且FG∥BD.‎ ‎∴四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.‎ ‎∵P∈直线EF，EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.‎ 同理，P∈平面ADC.‎ ‎∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点．　‎ 阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误 ‎【问题诊断】 ‎ 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．‎ ‎【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析．‎ ‎【示例】►(2011·四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ‎(　　)．‎ A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面 错因　受平面几何知识限制，未能全面考虑空间中的情况．‎ 实录　甲同学：A　乙同学：C 丙同学：D.‎ 正解　在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直 线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．‎ 答案　B ‎【试一试】 (2010·江西)‎ 过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　　)．‎ A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 ‎[尝试解答]　如图，连结体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的 其他体对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，‎ ‎∵BB1∥AA1，BC∥AD，‎ ‎∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．‎ 答案　D