高三数学—不等式1基本不等式例题高考真题剖析解析版

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高三数学—不等式1基本不等式例题高考真题剖析解析版

必修五:基本不等式 应用一:求最值 例:求下列函数的值域 ‎(1)y=3x 2+ (2)y=x+ 解:(1)y=3x 2+≥2= ∴值域为[,+∞)‎ ‎(2)当x>0时,y=x+≥2=2;‎ 当x<0时, y=x+= -(- x-)≤-2=-2‎ ‎∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)‎ l 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知,求函数的最大值。‎ ‎ 解:因,所以首先要“调整”符号,又不是常数,所以对要进行拆、凑项,‎ ‎,‎ 当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。‎ 技巧二:凑系数 例: 当时,求的最大值。‎ 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。‎ 当,即x=2时取等号 当x=2时,的最大值为8。‎ 变式:设,求函数的最大值。‎ 解:∵∴∴‎ 当且仅当即时等号成立。‎ 技巧三: 分离、换元 例:求的值域。‎ 解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。‎ 当,即时,(当且仅当x=1时取“=”号)。‎ 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。‎ 当,即t=时,(当t=2即x=1时取“=”号)。‎ 技巧四:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数的单调性。‎ 例:求函数的值域。‎ 解:令,则 因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。‎ 因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。‎ 所以,所求函数的值域为。‎ 技巧五:整体代换 多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。‎ 例:已知,且,求的最小值错解:,且, 故 。‎ 错因:解法中两次连用均值不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。‎ 正解:,‎ 当且仅当时,上式等号成立,又,可得时, 。‎ 技巧六 例:已知x,y为正实数,且x 2+=1,求x的最大值.‎ 分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤。‎ 同时还应化简中y2前面的系数为 , x=x =x· 下面将x,分别看成两个因式:‎ x·≤== 即x=·x ≤ 技巧七:‎ 已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=的最小值.‎ 分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的;二是直接用基本不等式,对本题来说,因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行。‎ 法一:a=, ab=·b= 由a>0得,0<b<15‎ 令t=b+1,1<t<16,ab==-2(t+)+34∵t+≥2=8‎ ‎∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t=4,即b=3,a=6时,等号成立。‎ 法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2  ∴ 30-ab≥2 令u= 则u2+2u-30≤0, -5≤u≤3 ‎∴≤3,ab≤18,∴y≥ 点评:①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力;②如何由已知不等式出发求得的范围,关键是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将已知条件转换为含的不等式,进而解得的范围.‎ 技巧八、取平方 例: 求函数的最大值。‎ 解析:注意到与的和为定值。‎ 又,所以 当且仅当=,即时取等号。 故。‎ 应用二:利用均值不等式证明不等式 例:已知a、b、c,且。求证:‎ 分析:不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘,又,可由此变形入手。‎ 解:a、b、c,。。同理,。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得 ‎。当且仅当时取等号。‎ 应用三:均值不等式与恒成立问题 例:已知且,求使不等式恒成立的实数的取值范围。‎ 解:令,‎ ‎ 。 ,‎ 应用四:均值定理在比较大小中的应用:‎ 例:若,则的大小关系是 .‎ 分析:∵ ∴‎ ‎(‎ ‎ ∴R>Q>P。‎ ‎【高考真题训练】‎ ‎1.(2010·山东)已知x,y∈R+,且满足+=1,则xy的最大值为__3___.‎ ‎2.(2011·陕西)设00,v>0,所以当l=6.05时,‎ F==≤=1900,当且仅当v=11时,取等号.‎ ‎(2)当l=5时,‎ F==≤2000,‎ 当且仅当v=10时,取等号,此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.‎ ‎7.[2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(  )‎ A.80元 B.120元 ‎ C.160元 D.240元 C [解析] 设底面矩形的一边长为x.由容器的容积为4 m3,高为1 m.得另一边长为 m.‎ 记容器的总造价为y元,则 y=4×20+2×1×10‎ ‎=80+20 ‎≥80+20×2 ‎=160,‎ 当且仅当x=,即x=2时等号成立.‎ 因此,当x=2时,y取得最小值160,即容器的最低总造价为160元,故选C.‎ ‎8.[2014·辽宁卷] 对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+b2-c=0且使|2a+b|最大时,++的最小值为________.‎ ‎-1 [解析] 因为4a2-2ab+b2-c=0,所以(2a+b)2-c=6ab=3×2ab≤3×,所以(2a+b)2≤4c,当且仅当b=2a,c=4a2时,|2a+b|取得最大值.故++=+=-1,其最小值为-1.‎ ‎9.[2014·浙江卷] 已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是________.‎  [解析] 方法一:令b=x,c=y,则x+y=-a,x2+y2=1-a2,此时直线x+y=-a与圆x2+y2=1-a2有交点,则圆心到直线的距离d=≤,解得a2≤,所以a的最大值为.‎ 方法二:将c=-(a+b)代入a2+b2+c2=1得2b2+2ab+2a2-1=0,此关于b的方程有实数解,则Δ=(2a)2-8(2a2-1)≥0,整理得到a2≤,所以a的最大值为.‎ ‎10.[2014·江苏卷] 若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是______.‎  [解析] 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则由正弦定理得a+b=2c.故 cos C====-≥-=,‎ 当且仅当3a2=2b2,即=时等号成立.‎
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