高三数学—不等式1基本不等式例题高考真题剖析解析版

高三数学—不等式1基本不等式例题高考真题剖析解析版

必修五：基本不等式 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 ‎（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋ 解：(1)y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）‎ ‎(2)当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；‎ 当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2‎ ‎∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）‎ l 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知，求函数的最大值。‎ ‎ 解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。‎ 技巧二：凑系数 例： 当时，求的最大值。‎ 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。‎ 当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。‎ 变式：设，求函数的最大值。‎ 解：∵∴∴‎ 当且仅当即时等号成立。‎ 技巧三： 分离、换元 例：求的值域。‎ 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。‎ 当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。‎ 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。‎ 当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。‎ 技巧四：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。‎ 例：求函数的值域。‎ 解：令，则 因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。‎ 因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。‎ 所以，所求函数的值域为。‎ 技巧五：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。‎ 例：已知，且，求的最小值错解：，且， 故 。‎ 错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。‎ 正解：，‎ 当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。‎ 技巧六 例：已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.‎ 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。‎ 同时还应化简中y2前面的系数为 ， x＝x ＝x· 下面将x，分别看成两个因式：‎ x·≤＝＝ 即x＝·x ≤ 技巧七：‎ 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.‎ 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。‎ 法一：a＝， ab＝·b＝ 由a＞0得，0＜b＜15‎ 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8‎ ‎∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。‎ 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2 令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3 ‎∴≤3，ab≤18，∴y≥ 点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.‎ 技巧八、取平方 例: 求函数的最大值。‎ 解析：注意到与的和为定值。‎ 又，所以 当且仅当=，即时取等号。 故。‎ 应用二：利用均值不等式证明不等式 例：已知a、b、c，且。求证：‎ 分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。‎ 解：a、b、c，。。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 ‎。当且仅当时取等号。‎ 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。‎ 解：令，‎ ‎ 。 ，‎ 应用四：均值定理在比较大小中的应用：‎ 例：若，则的大小关系是 .‎ 分析：∵ ∴‎ ‎（‎ ‎ ∴R>Q>P。‎ ‎【高考真题训练】‎ ‎1.(2010·山东)已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为__3___.‎ ‎2.(2011·陕西)设00，v>0，所以当l＝6.05时，‎ F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝11时，取等号．‎ ‎(2)当l＝5时，‎ F＝＝≤2000，‎ 当且仅当v＝10时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．‎ ‎7．[2014·福建卷] 要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)‎ A．80元 B．120元 ‎ C．160元 D．240元 C　[解析] 设底面矩形的一边长为x.由容器的容积为4 m3，高为1 m．得另一边长为 m.‎ 记容器的总造价为y元，则 y＝4×20＋2×1×10‎ ‎＝80＋20 ‎≥80＋20×2 ‎＝160，‎ 当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．‎ 因此，当x＝2时，y取得最小值160，即容器的最低总造价为160元，故选C.‎ ‎8.[2014·辽宁卷] 对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值为________．‎ ‎－1　[解析] 因为4a2－2ab＋b2－c＝0，所以(2a＋b)2－c＝6ab＝3×2ab≤3×，所以(2a＋b)2≤4c，当且仅当b＝2a，c＝4a2时，|2a＋b|取得最大值．故＋＋＝＋＝－1，其最小值为－1.‎ ‎9．[2014·浙江卷] 已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．‎ 　[解析] 方法一：令b＝x，c＝y，则x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2，此时直线x＋y＝－a与圆x2＋y2＝1－a2有交点，则圆心到直线的距离d＝≤，解得a2≤，所以a的最大值为.‎ 方法二：将c＝－(a＋b)代入a2＋b2＋c2＝1得2b2＋2ab＋2a2－1＝0，此关于b的方程有实数解，则Δ＝(2a)2－8(2a2－1)≥0，整理得到a2≤，所以a的最大值为.‎ ‎10.[2014·江苏卷] 若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是______．‎ 　[解析] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则由正弦定理得a＋b＝2c.故 cos C＝＝＝＝－≥－＝，‎ 当且仅当3a2＝2b2，即＝时等号成立．‎