三道高考解析几何题的评析

三道高考解析几何题的评析

三道高考解析几何题的评析·解法·反思 摘要：文章对2005全国大纲II卷文22题理21题，2007全国大纲I卷文22题理21题及2013全国课标II卷理20题三道高考试题进行简单评析，并进行求解.同时对2005全国大纲II卷文22题理21题，2007全国大纲I卷文22题理21题进行了一般性探究.‎ 关键词：椭圆; 直线;面积;最大值；最小值 一、试题再现 试题一（2005全国大纲II卷文22理21）四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点.已知与共线，与共线，且.求四边形面积的最大值和最小值.‎ 试题二（2007全国大纲I卷文22理21）已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为.‎ ‎(I)设点的坐标为。证明；‎ ‎（Ⅱ）求四边形面积的最小值.‎ 试题三（2013全国课标II卷理20）平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为.‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.‎ 二、试题评析 试题一以及试题二和试题三的第二小题，主要考查椭圆和直线的方程与性质，弦长公式，不等式的性质等基本知识以及综合分析问题的能力；同时考查数形结合思想、分类讨类思想以及运算能力.试题一以向量形式给出椭圆上两点与焦点三点共线及过两焦点的两直线垂直，求两直线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积的最大值和最小值，结合考察了向量内容；试题二直接给出过两焦点的直线互相垂直，求两直线与椭圆的四个交点为顶点的四边形的面积的最小值.总体上两题变化不大.试题三 与前两题有较大变化，互相垂直的两直线中，一条是过椭圆一焦点的已知直线，而另一条是与椭圆相交的任意直线，但这种改变，其解法思路与试题一及试题二的并无多大变化.‎ 三道试题都是求对角线互相垂直的四边形的面积.因为当四边形的对角线互相垂直时，其面积可用两条对角线乘积的一半来计算，所以三道试题的解答的关键就是如何表示出两条对角线的长度.‎ 通过分析，可以按以下步骤求解：‎ 第一步 选参数.试题一和试题二中选两对角线中的一条的斜率为参数；试题三中两对角线中的斜率已知，可选动直线在轴上的截距为参数.‎ 第二步 求对角线长.利用“设而不求”及弦长公式等将两对角线的长求出或用，表示出来.‎ 第三步 求四边形面积.将所求四边形的面积表示为参数，的函数形式，或然后求解.‎ 具体解题过程中，试题一和试题二还要对两对角线的斜率进行分类讨论，当两直线斜率都存在时，按以上步骤求解.由求函数的最值时，可运用均值不等式和不等式的性质求解，也可用导数知识解答；试题三要求出的取值范围，由求函数的最值时用二次函数知识求解.‎ 回顾三题，从题型上看，它们“同出一脉”，是同一类型问题；三道题具有入口宽，综合性强，解题思路清晰等特点；在解答过程中蕴含着分类讨论思想（试题一、二），数形结合思想及函数不等式思想;同时运用参数法等数学方法，是不可多得的好题.正因为如此，试题在2005年全国大纲II卷中考查后，时隔一年，再次考查；经过多年，在2013年的课标全国卷中，作适当改变后又一次出现.‎ 三、 试题解答 试题一解答：由与共线和与共线知，弦是焦点弦.因，于是：‎ 当直线的斜率存在且不为零时，设.将代入消去，得：.‎ 设，则：.‎ 所以 ‎ ‎ .‎ 又，所以.‎ 所以四边形面积 ‎（当且仅当时，等号成立）.即.‎ 当直线的斜率为零时，，此时，‎ 所以四边形面积 ;‎ 当直线的斜率不存在时，，，‎ 所以四边形面积 .‎ 综上述四边形面积的最小值是，最大值是.‎ 试题二解答：（Ⅰ）证明：因为，所以。又，垂足为，所以在以为直径的圆上，所以，所以 ‎（Ⅱ） 当直线的斜率存在且不为零时，设.将 代入消去，得：‎ ‎.‎ 设，则：.‎ 所以 ‎ ‎ .‎ 又，所以.‎ 所以四边形面积 ‎（当且仅当时，等号成立）.‎ 当直线的斜率为零时，，此时，‎ 所以四边形面积 ;‎ 当直线的斜率不存在时，，，‎ 所以四边形面积 .‎ 综上述四边形面积的最小值是.‎ 试题二解答：（Ⅰ）：设，则：  ‎ ‎ ‚ 由-‚得：，‎ 所以，‎ 所以.‎ 又由题知，.所以.‎ 所以.‎ 又直线过点，所以，即.‎ 所以.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由得：.将代入消去，得：‎ ‎.‎ 则：，‎ 所以.‎ 设.将代入消去，得：.‎ 设，则：.‎ 所以 ‎ ‎.‎ 又因，‎ 所以四边形面积 .‎ 由得：，所以当时 有最大值.‎ 即四边形的面积的最大值为.‎ 四、 一般性探究 ‎ 对试题一、试题二进一步探究，有以下一般性结论：‎ ‎ 平面直角坐标系中，过椭圆左焦点和右焦点的直线分别交椭圆于两点和两点，且.则四边形面积的取值范围是.‎ 证明 当直线的斜率存在且不为零时，设.将 代入消去，得：‎ ‎.‎ 设，则：.‎ 所以 ‎.‎ ‎ 当直线的斜率存在且不为零时，设.将 代入消去，得：‎ ‎.‎ 设，则：.‎ 所以 ‎ ‎.‎ 又因，所以,所以.‎ 所以四边形面积 ‎ ‎（当且仅当时，等号成立）.‎ 当直线的斜率为零时，，此时，‎ 所以四边形面积 ;‎ 当直线的斜率不存在时，，，‎ 所以四边形面积 .‎ 所以四边形面积的取值范围是.‎ 上述结论，对于， 经过同一焦点时也一样；同时 在椭圆中同样成立.‎ 五、 试题反思 通过对三道试题的评析及解法探讨，有以下几点值得思考：‎ 首先，在教学过程要注重培养学生综合运用知识解决问题的能力；要加强学生运算、转化能力的强化训练；要注意解析几何问题的求解中，分类讨论思想，数形结合 思想，函数不等式思想，参数法等数学思想方法的渗透。其次,在备考过程中,要重视历年高考试题的研究,特别是对一些优秀试题,要潜心研究,不但要探讨其解法，而且要尝试对其进行改编、整合，并及时将信息反馈给学生.‎ 参考文献 ‎[1]教育部考试中心.2007年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（文科）[M].北京：高等教育出版社2007（1）226-227‎