高考数学12道压轴题必做

高考数学12道压轴题必做

高考数学压轴题精编精解 精选 10 题，精心解答 {完整版} 1．已知函数    ,023 23 2  acxxaxaxg （I）当 1a 时，若函数  xg 在区间 1,1 上是增函数，求实数 c的取值范围； （II）当 2 1a 时，（1）求证：对任意的  1,0x ，   1/ xg 的充要条件是 4 3c ； （2）若关于 x 的实系数方程   0/ xg 有两个实根 , ，求证： ,1 且 1 的充要条件是 .4 1 2 aac  2、已知抛物线 2: axyC  ，点 P（1，－1）在抛物线 C 上，过点 P 作斜率为 k1、k2 的两条直线，分别交 抛物线 C 于异于点 P 的两点 A（x1，y1），B（x2，y2），且满足 k1+k2=0. （I）求抛物线 C 的焦点坐标； （II）若点 M 满足 MABM  ，求点 M 的轨迹方程. 3．已知函数 f(x)=x3－3ax(a∈R)． (I)当 a=l 时，求 f(x)的极小值； (Ⅱ)若直线菇 x+y+m=0 对任意的 m∈R 都不是曲线 y=f(x)的切线，求 a 的取值 范围； (Ⅲ)设 g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求 g(x)的最大值 F(a)的解析式． 4.已知函数 1163)( 23  axxaxxf ， 1263)( 2  xxxg ，和直线 9:  kxym ，又 0)1( f ． （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）是否存在 k 的值，使直线 m 既是曲线 )(xfy  的切线，又是 )(xgy  的切线；如果存在，求出 k 的值；如果不存在,说明理由． （Ⅲ）如果对于所有 2x 的 x ,都有 )(9)( xgkxxf  成立，求 k 的取值范围． 5．已知二次函数 ),,(,)( 2 Rcbacbxaxxf  满足：对任意实数 x，都有 xxf )( ，且当 x （1，3） 时，有 2)2(8 1)(  xxf 成立。 （1）证明： 2)2( f 。 （2）若 )(,0)2( xff  的表达式。 （3）设 xmxfxg 2)()(  ),0[ x ，若 )(xg 图上的点都位于直线 4 1y 的上方，求实数 m 的取 值范围。 6、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，并且满足 a1＝2,nan＋1＝Sn＋n(n＋1). （1）求数列 nn aa 的通项公式}{ ； （2）设 .,} 2 { nn n n TnaT 求项和的前为数列 7.如图， ( , 3 )A m m 和 ( , 3 )B n n 两点分别在射线 OS、OT 上移动， 且 1 2OA OB    ，O 为坐标原点，动点 P 满足OP OA OB    . （Ⅰ）求 m n 的值； （Ⅱ）求 P 点的轨迹 C 的方程，并说明它表示怎样 的曲线？ （Ⅲ）若直线 l 过点 E（2，0）交（Ⅱ）中曲线 C 于 M、N 两 点，且 3ME EN  ，求 l 的方程. 8. 设 )(xf 是 定 义 在  1,1 上 的 奇 函 数 ， 且 当 01  x 时 ， 23 52)( axxxf  bxa  24 ． (Ⅰ)求函数 )(xf 的解析式； (Ⅱ) 当 31  a 时，求函数 )(xf 在  1,0 上的最大值 )(ag ； (Ⅲ)如果对满足 31  a 的一切实数 a ，函数 )(xf 在  1,0 上恒有 0)( xf ，求实数b 的取值范围． 9.设数列   nn ba , 满足 3,4,6 332211  bababa ，且数列     Nnaa nn 1 是等差数列， 数列   Nnbn 2 是等比数列。 （I）求数列 na 和 nb 的通项公式； （II）是否存在  Nk ，使      2 1,0kk ba ，若存在，求出 k ，若不存在，说明理由。 10、已知等差数列 na 的前三项为 1,4,2 ,a a 记前 n 项和为 nS ． (Ⅰ)设 2550kS  ，求 a 和 k 的值； O A P B x y (Ⅱ)设 n n Sb n  ，求 3 7 11 4 1nb b b b    的值． 11.设函数 ))(,(),1(,1(),(3 1)( 23 mfmBfAcbacxbxaxxf 其图象在点 处的切线的斜率分别 为 0，－a. （1）求证： 10  a b ； （2）若函数 f（x）的递增区间为[s，t]，求|s－t|的取值范围. （3）若当 x≥k 时，（k 是 a，b，c 无关的常数），恒有 0)('  axf ，试求 k 的最小值 12. 在平面直角坐标系内有两个定点 1 2F F、 和动点 P， 1 2F F、 坐标分别为 )0,1(1 F 、 )0,1(F2 ，动点 P 满 足 2 2 |PF| |PF| 2 1  ，动点 P 的轨迹为曲 线 C ，曲线 C 关于直线 y x 的对称曲线 为曲线 'C ，直线 3 mxy 与曲线 'C 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为 7 ， （1）求曲线 C 的方程； （2）求 m 的值。 14、已知数列｛ na ｝中， 1 1 1 ,22 n na n a a ,点（ ）在直线 y=x 上，其中 n=1,2,3…. （1）令 1 1n n nb a a ,   求证数列 nb 是等比数列; （2）求数列 的通项；na ⑶ 设 分别为数列、 nn TS  、na  nb 的前 n 项和,是否存在实数  ，使得数列 n nS T n     为等差数列？ 若存在，试求出  .若不存在,则说明理由。 2011 年高考数学压轴题汇总详细解答 1. (本小题满分 16 分 （1）当 1a 时， cxxxxg  23 2 1 3 1)( ， cxxxg  2)( ………………1 分 )(xg 在（—1，1）上为单调递增函数， 0)(  xg 在（—1，1）上恒成立…………2 分 02  cxx 在（—1，1）上恒成立……………………3 分 2c ………………………………………………………4 分 （2）设 )()( xfxg  ，则 2、解：（I）将 P（1，－1）代入抛物线 C 的方程 2axy  得 a=－1， ∴抛物线 C 的方程为 2xy  ，即 .2 yx  焦点坐标为 F（0，－ 4 1 ）.……………………………………4 分 （II）设直线 PA 的方程为 )1(1 1  xky ， 联立方程      . ),1(1 2 1 xy xky 消去 y 得 ,0111 2  kxkx 则 .1,11 1111  kxkx 即 由 .2,0)2()1(4 1 2 11 2 1  kkkk 得 ………………7 分 同理直线 PB 的方程为 ),1(1 2  xky 联立方程      . ),1(1 2 2 xy xky 消去 y 得 ,0122 2  kxkx 则 .2.1,11 22222  kkxkx 且即 又 .2,0 121  kkk …………………………9 分 设点 M 的坐标为（x，y），由 .2, 21 xxxMABM  则 .2 )(2 2 11 2121 kkkkx  又 .1,021  xkk …………………………………………11 分 .5,2 ,1)1( 2 )1()1( 2 )1()1( 22 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 121    yk k kkkkxxyyy 又 ∴所求 M 的轨迹方程为： ).51(1  yyx 且 3．（1）∵当 a=1 时   23 3f x x   ，令  f x =0，得 x=0 或 x=1………………………2 分 当  0,1x 时   0f x  ，当    ,0 1,x   时   0f x  ∴  f x 在  0,1 上单调递减，在    ,0 1,  上单调递增， ∴  f x 的极小值为  1f =-2.………………………………………………………………4 分 （2）∵   23 3f x x a   3a  ………………………………………………………………6 分 ∴要使直线 x y m  =0 对任意的 m R 总不是曲线 y  ( )f x 的切线，当且仅当-1<-3a, ∴ 1 3a  .…………………………………………………………………………………………8 分 (3)因     3 3g x f x x ax   在[-1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值，…………9 分 ① 当 0a  时，  f x 0 ，  f x 在 0,1 上单调递增且  0 0f  , ∴      g x f x f x  ，∴    1 1 3F a f a   .…………………………………………10 分 ② 当 0a  时     23 3 3f x x a x a x a      i . 当 1a  ， 即 1a  时      g x f x f x   ，  f x 在  0,1 上 单 调 递 增 ， 此 时    1 3 1F a f a    ……………………………………………………………………12 分 ii. 当 0 1a  ，即 0 1a  时，    g x f x 在 0, a   上单调递减，在 ,1a   上单调递增. 10 当  1 1 3 0f a   即 1 13 a  时，      g x f x f x   在 0, a   上单调递增，在 ,1a   上单调 递减，故     2F a f a a a   .……………………………………14 分 20 当  1 1 3 0f a   即 10 3a  时， （ⅰ）当    1 1 3f a f a    即 10 4a  时，    1 1 3F a f a   （ⅱ） 当    1 1 3f a f a    即 1 1 4 3a  时，     2F a f a a a   综上   11 3 , ( ),4 12 , ( 1),4 3 1,[1, ). a a F a a a a a            ………………………………………………16 分 4．解：（Ⅰ）因为 axaxxf 663)( 2  ,所以 0)1( f 即 0663  aa ,所以 a=－2. (Ⅱ)因为直线 m 恒过点（0，9）. 先求直线 m 是 y=g(x) 的切线.设切点为 )1263,( 0 2 00  xxx ,因为 66)( 00  xxg . 所以切线方程为 ))(66()1263( 000 2 0 xxxxxy  ,将点（0，9）代入得 10 x . 当 10 x 时，切线方程为 y=9, 当 10 x 时，切线方程为 y=12x+9. 由 0)(/ xf 得 01266 2  xx ，即有 2,1  xx 当 1x 时， )(xfy  的切线 18y ， 当 2x 时， )(xfy  的切线方程为 9y  9y 是公切线， 又由 12)(/ xf 得 121266 2  xx  0x 或 1x ， 当 0x 时 )(xfy  的切线为 1112  xy ， 当 1x 时 )(xfy  的切线为 1012  xy ， 912  xy ，不是公切线 综上所述 0k 时 9y 是两曲线的公切线 (Ⅲ).（1） )(9 xgkx  得 363 2  xxkx ，当 0x ，不等式恒成立， Rk  . 当 02  x 时，不等式为 6)1(3  xxk ， 而 6])( 1)[(36)1(3  xxxx 0623  0k 当 0x 时，不等式为 6)1(3  xxk ， 126)1(3  xx  12k 当 2x 时, )(9 xgkx  恒成立，则 120  k （2）由 9)(  kxxf 得 1112329 23  xxxkx 当 0x 时， 119  恒成立， Rk  ，当 02  x 时有 xxxk 201232 2  设 xxxxh 201232)( 2  = xx 20 8 105)4 3(2 2  ， 当 02  x 时 8 105)4 3(2 2  x 为增函数， x 20 也为增函数 8)2()(  hxh 要使 9)(  kxxf 在 02  x 上恒成立，则 8k 由上述过程只要考虑 80  k ， 则当 0x 时 12166)( 2/  xxxf = )2)(1(6  xx 在 ]2,0(x 时 0)(/ xf ，在 ),2(  时 0)(/ xf  )(xf 在 2x 时有极大值即 )(xf 在 ),0(  上的 最大值，又 9)2( f ，即 9)( xf 而当 0x , 0k 时 99 kx ， 9)(  kxxf 一定成立 综上所述 80  k . 5．解：（1）由条件知 224)2(  cbaf 恒成立 又∵取 x=2 时， 2)22(8 124)2( 2  cbaf 与恒成立 ∴ 2)2( f …………4 分 （2）∵      024 224 cba cba ∴ ,124  bca ∴ acb 41,2 1  ……2 分 又 xxf )( 恒成立，即 0)1(2  cxbax 恒成立 ∴ 0)41(4)12 1(,0 2  aaa ， …………2 分 解出： 2 1,2 1,8 1  cba ∴ 2 1 2 1 8 1)( 2  xxxf …………2 分 （3）由分析条件知道，只要 )(xf 图象（在 y 轴右侧）总在直线 4 1 2  xmy 上方即可，也就是直线 的斜率 2 m 小于直线与抛物线相切时的斜率位置，于是：        4 1 2 2 1 2 1 8 1 2 xmy xxy 利用相切时△=0，解出 2 21m …………4 分 ∴ )2 21,( m …………2 分 解法 2： ),0[4 1 2 1)22 1(8 1)( 2  xxmxxg 在 必须恒成立 即 ),0[02)1(42  xxmx 在 恒成立 ①△<0，即 [4(1－m)]2－8<0，解得： 2 212 21  m ……2 分 ②       02)0( 0)1(2 0 f m 解出： 2 21m …………2 分 总之， )2 21,( m 6、解：（1） )2(2,2)1( 11   naanaanna nnnnn naaaasaa nn 2}{,2,2,2 12121  等差所以 （2） 121 22 3 2 21, 22 2 2   nnnnn n nTnna  1 12 2 24, 2 1)2(22 1 22 1 2 2 2 1 2 1     nnnn nnn nTnT nnT  7 解：（Ⅰ）由已知得 ( , 3 ) ( , 3 ) 1 1 2 2 OA OB m m n n mn           分 1 4m n   …………4 分 （Ⅱ）设 P 点坐标为（x，y）（x＞0），由OP OA OB    得 ( , ) ( , 3 ) ( , 3 )x y m m n n   ， ( , 3( ))m n m n   …………5 分 ∴ 3( ) x m n y m n     消去 m，n 可得 2 2 43 yx mn  ，又因 1 4mn  8 分 ∴ P 点的轨迹方程为 2 2 1 ( 0)3 yx x   它表示以坐标原点为中心，焦点在 x 轴上，且实轴长为 2，焦距为 4 的双曲线 2 2 13 yx   的右支 …………9 分 （Ⅲ）设直线 l 的方程为 2x ty  ，将其代入 C 的方程得 2 23( 2) 3ty y   即 2 2(3 1) 12 9 0t y ty    易知 2(3 1) 0t   （否则，直线 l 的斜率为 3 ，它与渐近线平行，不符合题意） 又 2 2 2144 36(3 1) 36( 1) 0t t t       设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ，则 1 2 1 22 2 12 9,3 1 3 1 ty y y yt t     ∵ l 与 C 的两个交点 ,M N 在 y 轴的右侧 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 ( 2)( 2) 2 ( ) 4 9 122 43 1 3 1 3 4 03 1 x x ty ty t y y t y y tt tt t t t                 ∴ 23 1 0t   ，即 2 10 3t  又由 1 2 0x x  同理可得 2 10 3t  …………11 分 由 3ME EN  得 1 1 2 2(2 , ) 3(2 , )x y x y    ，∴ 1 2 1 2 2 3(2 ) 3 x x y y       由 1 2 2 2 2 2 123 2 3 1 ty y y y y t          得 2 2 6 3 1 ty t   由 2 1 2 2 2 2 2 9( 3 ) 3 3 1y y y y y t       得 2 2 2 3 3 1y t    消去 2y 得 2 2 2 2 36 3 (3 1) 3 1 t t t    ，解之得： 2 1 15t  ，满足 2 10 3t  …………13 分 故所求直线 l 存在，其方程为： 15 2 5 0x y   或 15 2 5 0x y   …………14 分 8 解: (Ⅰ)当 10  x 时， 01  x ，则  )()( xfxf bxaaxx  223 452 ． ……………………………2 分 当 0x 时， )0()0(  ff 0)0(  f ． ……………………………3 分        ).10(,452 ),0( ,0 ),01(,452 )( 223 223 xbxaaxx x xbxaaxx xf …………………………4 分 (Ⅱ)当 10  x 时， 22 4106)( aaxxxf  ))(23(2 axax  ))(3 2(6 axax  ． ………5 分 (1)当 13 2 3 2  a ，即 2 31  a 时， 当      3 2,0 ax 时， 0)(  xf ， 当     1,3 2ax 时， 0)(  xf ， )(xf 在      3 2,0 a 单调递增，在     1,3 2a 上单调递减， baafag  3 27 28)3 2()( ． ……………………………7 分 (2)当 23 21  a ，即 32 3  a 时， 0)(  xf ， )(xf 在  1,0 单调递增． baafag  254)1()( 2 ， ……………………………9 分         ).32 3(,254 ),2 31(,27 28 )( 2 3 abaa aba ag ……………………………10 分 (Ⅲ) 要使函数 )(xf 在  1,0 上恒有 0)( xf ，必须使 )(xf 在  1,0 上的最大值 0)( ag ． 也即是对满足 31  a 的实数 a ， )(ag 的最大值要小于或等于 0 ． ………………11 分 （1）当 2 31  a 时， 09 28)( 2  aag ，此时 )(ag 在 )2 3,1( 上是增函数， 则 )(ag b     3 2 3 27 28 b 2 7 ． 02 7  b ，解得 2 7b ． ………① ………………12 分 （2）当 32 3  a 时， 058)(  aag ，此时， )(ag 在     3,2 3 上是增函数， )(ag 的最大值是 bg  23)3( ． 023  b ，解得 23b ．………② ……………………………13 分 由①、②得实数b 的取值范围是 23b ． ……………………………14 分 9（1）由已知 212  aa ， 123  aa 公差   121 d ………1 分 31)1()( 121   nnaaaa nn ………2 分 )()()( 113121  nnn aaaaaaaa  )4(0)1()2(6  n   2 )1()4()2(6  nn ＝ 2 1872  nn ………4 分 由已知 22,42 21  bb ………5 分 所以公比 2 1q ，   11 1 2 142 122           nn n bb ………6 分 n nb      2 182 ………7 分 （2）设 kk bakf )( k 21 7 19 2 82 2 2k k                    2 k1 7 49 18 72 2 4 2k                    …8 分 所以当 4k 时， )(kf 是增函数。………10 分 又 2 1)4( f ，所以当 2k 时 2 1)( kf ，………12 分 又 0)3()2()1(  fff ，………13 分 所以不存在 k ，使      2 1,0)(kf 。………14 分 10、解：(Ⅰ)由已知得 1 2 31, 4, 2a a a a a    ，又 1 3 22a a a  ， ( 1) 2 8,a a    即 3a  ． …………………………（2 分） 1 2a  ，公差 2 1 2d a a   ． 由 1 ( 1) 2k k kS ka d  ，得 …………………………（4 分） ( 1)2 2 25502 k kk    即 2 2550 0k k   ．解得 50k  或 51k   (舍去)． 3, 50a k   ． …………………………（6 分） (Ⅱ)由 1 ( 1) ,2n n nS na d  得 2( 1)2 2 .2n n nS n n n     …………………………（8 分） 1n n Sb nn     …………………………（9 分）  nb 是等差数列． 则 3 7 11 4 1 (3 1) (7 1) (11 1) (4 1 1)nb b b b n               (4 4 ) 2 n n ………………………(11 分) 2 3 7 11 4 1 2 2nb b b b n n       ……………………(12 分) 11．（1） ,2)( 2' cbxaxxf  由题意及导数的几何意义得 02)1('  cbaf ① acbmammf  2)( 2' ② 又 0,0,404,424,  cacaccbaacba 故即可得 由①得 13 1,0,2  a bacbabac 得再由，代入 ③ 将 c=－a－2b 代入②得 022022 22  bbxaxbbmam 即方程 有实根， 故判别式 0,2,0)(2)(,084 22  a b a b a b a babb 或得得 ④ 由③、④得 10  a b （2）由 0442)( 2'2'  acbcbxaxxf 的判别式 知方程 (*)02)( 2'  cbxaxxf 有两个不等实根，设为 x1，x2， 又由 为方程知， 102)1( 1 '  xcbaf （*）的一个实根， 则由根与系数的关系得 1221 012,2 xa bxa bxx  当 x＜x2，或 x＞x1 时， 0)(,0)( ' 12 '  xfxxxxf 时当 故函数 f（x）的递增区间为[x2，x1]，由题设知[x2，x1]=[s，t]， 因此 )42[||101,22|||| 21 ，的取值范围为得）知由（ ts a b a bxxts  （3）由 02202,0)( 22'  bbxaxcabxaxaxf 即即 因此 a＜0，得 0)22(,022 22  xa bxa b x bx 整理得 设 a bxa bxa bg 可以看作是关于,)22()( 2 的一次函数，由题意， 100)(  a b a bg 对于 恒成立故 1313 0 022 0)0( 0)1( 2 2            xx x xx g g 或得即 由题意 13,13),13[)13,(),[  的最小值为因此，故 kkk 12、解：（1）设 P 点坐标为 )y,x( ，则 2 2 y)1x( y)1x( 22 22    ，化简得 8y)3x( 22  ， 所以曲线 C 的方程为 8y)3x( 22  ； （2）曲线 C 是以 )0,3( 为圆心， 22 为半径的圆 ，曲线 'C 也应该是一个半径为 22 的圆，点 )0,3( 关 于直线 xy  的对称点的坐标为 )3,0(  ，所以曲线 'C 的方程为 8)3y(x 22  ， 该圆的圆心 )3,0(  到直线 3mxy  的距离 d 为 2 |m| )1(1 |3m)3(0|d 22    ， 72)28(822 1|AB|d2 1S 22 2 ABO  mmdd△ 12 2  m ，或 72 2 m ，所以， 2m ，或 14m 。 100、解：（I）由已知得 1 1 1 ,2 ,2 n na a a n   2 2 1 3 3 1 3, 1 1 ,4 4 2 4a a a        又 1 1,n n nb a a   1 2 1 1,n n nb a a     1 1 1 1 2 1 1 1 ( 1) 1 1 12 2 2 .1 1 1 2 n n n n n n n n n n n n n n a n a n a a b a a b a a a a a a                        { }nb 是以 3 4  为首项，以 1 2 为公比的等比数列. （II）由（I）知， 13 1 3 1( ) ,4 2 2 2 n n nb       1 3 11 ,2 2n n na a      2 1 3 11 ,2 2a a      3 2 2 3 11 ,2 2a a      1 1 3 11 ,2 2n n na a        将以上各式相加得： 1 2 1 3 1 1 1( 1) ( ),2 2 2 2n na a n         1 1 1 1 1(1 )3 1 3 1 32 21 ( 1) (1 ) 2.12 2 2 2 21 2 n n n na a n n n                   3 2.2n na n    （III）解法一： 存在 2  ，使数列{ }n nS T n  是等差数列. 1 2 1 2 1 1 13( ) (1 2 ) 22 2 2n n nS a a a n n          1 1(1 ) ( 1)2 23 21 21 2 n n n n       2 21 3 3 33(1 ) 3.2 2 2 2n n n n n n        1 2 1 3 1(1 ) 3 1 3 34 2 (1 ) .1 2 2 2 21 2 n n n n nT b b b               数列{ }n nS T n  是等差数列的充要条件是 ,(n nS T An B An    、 B 是常数 ) 即 2 ,n nS T An Bn   又 2 1 3 3 3 33 ( )2 2 2 2n n n n n nS T           2 3 13(1 )(1 )2 2 2n n n     当且仅当1 02   ，即 2  时，数列{ }n nS T n  为等差数列. 解法二： 存在 2  ，使数列{ }n nS T n  是等差数列. 由（I）、（II）知， 2 2n na b n   ( 1)2 22n n nS T n    ( 1) 2 22 n n n n n n n T TS T n n       3 2 2 n n Tn    又 1 2 1 3 1(1 ) 3 1 3 34 2 (1 )1 2 2 2 21 2 n n n n nT b b b               1 3 2 3 3( )2 2 2 n n n S T n n n          当且仅当 2  时，数列{ }n nS T n  是等差数列.