高考数学考前归纳总结复习题导数中的求参数取值范围问题

高考数学考前归纳总结复习题导数中的求参数取值范围问题

导数中的求参数取值范围问题 一、 常见基本题型：‎ ‎ （1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数增区间，则在此区间上导函数，如已知函数减区间，则在此区间上导函数。‎ ‎ （2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。‎ 例1.已知R，函数.（R，e为自然对数的底数）‎ ‎ （1）若函数内单调递减，求a的取值范围；‎ ‎（2）函数是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由.‎ ‎ 解： （1）‎ ‎ =. ‎ ‎ 上单调递减， 则 对 都成立，‎ ‎ 对都成立. ‎ ‎ 令，则 , . ‎ ‎ （2）①若函数在R上单调递减，则 对R 都成立， 即 对R都成立. ‎ ‎ 对R都成立，令，‎ ‎ 图象开口向上 不可能对R都成立 ‎ ‎ ②若函数在R上单调递减，则 对R 都成立，即 对R都成立，‎ ‎ 对R都成立.‎ ‎，故函数不可能在R上单调递增.‎ 综上可知，函数不可能是R上的单调函数 ‎ 例2：已知函数,若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，对于任意，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；‎ ‎ 解： ‎ ‎ ‎ ‎ 令得，‎ ‎ 故两个根一正一负，即有且只有一个正根 ‎ ‎ 函数在区间上总不是单调函数 ‎ 在上有且只有实数根 ‎ 故，‎ ‎ 而单调减， ，综合得 ‎ 例3.已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎ 解：（I）的定义域是 ‎ ‎ 由及 得；由及得，‎ ‎ 故函数的单调递增区间是；单调递减区间是 ‎ ‎（II）若对任意，，不等式恒成立，‎ ‎ 问题等价于， ‎ 由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点，故也是最小值点，所以； ‎ 当时，；当时，；当时，； ‎ 问题等价于 或 或 ，解得 或 或 ‎ 即，所以实数的取值范围是。 ‎ 例4．设函数,‎ ‎ (1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎ (2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)由a＝0，f(x)≥h(x)，可得－mlnx≥－x，x∈(1，＋∞)，即m≤.‎ 记φ(x)＝，则f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min.，求得φ′(x)＝ 当x∈(1，e)，φ′(x)＜0；当x∈(e，＋∞)时，φ′(x)＞0.故φ(x)在x＝e处取得极小值，也是最小值，‎ 即φ(x)min＝φ(e)＝e，故m≤e.‎ (2) 函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x－2lnx＝a，‎ ‎ 在[1,3]上恰有两个相异实根．‎ ‎ 令g(x)＝x－2ln，则g′(x)＜1－.‎ 当x∈[1,2)时，g′(x)＜0；‎ 当x∈(2,3]时，g′(x)＞0.‎ ‎∴g(x)在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．‎ 故g(x)min＝g(2)＝2－2ln2.‎ 又g(1)＝1，g(3)＝3－2ln3，‎ ‎∵g(1)＞g(3)，∴只需g(2)＜a≤g(3)．‎ 故a的取值范围是(2－ln2,3－2ln3]. ‎ 二、针对性练习 ‎ 1.已知函数若函数在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围。‎ ‎ 解：由，得． ‎ ‎ 又函数为[1，4]上的单调减函数。‎ ‎ 则在[1，4]上恒成立，． ‎ ‎ 所以不等式在[1，4]上恒成立．‎ ‎ 即在[1，4]上恒成立。 ‎ ‎ 设，显然在[1，4]上为减函数， ‎ ‎ 所以的最小值为 ‎ ‎ 的取值范围是 ‎ ‎2.已知函数 ‎ （1）若存在，使成立，求的取值范围；‎ ‎ （2）当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎ 解:（1）即 ‎ 令 ‎ 时，时，‎ ‎ 在上减，在上增.‎ ‎ 又时，的最大值在区间端点处取到.‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 在上最大值为 ‎ 故的取值范围是， ‎ ‎ （3）由已知得时，恒成立，‎ 设 由（2）知当且仅当时等号成立，‎ 故，从而当 即时，为增函数，又 于是当时，即，时符合题意. ‎ 由可得从而当时，‎ 故当时，为减函数，又 于是当时，即 ‎ 故不符合题意.综上可得的取值范围为 ‎ ‎3.已知函数，设在（0，2）上有极值，求a的取值范围.‎ ‎ 解：由可得，‎ ‎ ‎