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文档介绍
2012高考数学二轮专题综合训练圆锥曲线分专题含答案
圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程： 1、（1）已知双曲线与椭圆：有公共的焦点，并且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为，求双曲线的方程． （2）以抛物线上的点M与定点为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程． （1）解：的焦点坐标为由得设双曲线的方程为则 解得 双曲线的方程为 （2）解：设点，则，∴． 代入得：．此即为点P的轨迹方程． 2、（1）的底边，和两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．（2）△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程． 解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．设，，则． ①由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． （2）分析： 由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA ∴ 即 （*） ∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为 （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M（-4，1）分别射向直线y= -2上两点P（x1，y1）和Q（x2，y2）后，反射光线恰好通过椭圆C：（a>b>0）的两焦点，已知椭圆的离心率为，且x2-x1=，求椭圆C的方程. 解：设a=2k，c=k，k≠0，则b=k，其椭圆的方程为. 由题设条件得：， ① ， ② x2-x1=， ③ 由①、②、③解得：k=1，x1=，x2=-1，所求椭圆C的方程为. 4、在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程． ∴所求椭圆方程为 解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设． 则∴即∴得 5、已知点P是圆x2+y2=4上一个动点，定点Q的坐标为（4，0）． （1）求线段PQ的中点的轨迹方程；（2）设∠POQ的平分线交PQ于点R（O为原点），求点R的轨迹方程． 解：（1）设线段PQ的中点坐标为M（x，y），由Q（4，0）可得点P（2x-4，2y），代入圆的方程x2+y2=4可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求轨迹为（x-2）2+y2=1. （2）设点R（x，y），P（m，n），由已知|OP|=2，|OQ|=4，∴，由角平分线性质可得=，又∵点R在线段PQ上，∴|PR|=|RQ|，∴点R分有向线段PQ的比为，由定比分点坐标公式可得，即，∴点P的坐标为，代入圆的方程x2+y2=4可得， 即+y2=（y≠0）. ∴点R的轨迹方程为+y2=（y≠0）. 6、已知动圆过定点，且与直线相切.(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：， 即动点到定点与定直线 的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， ∴ 动点的轨迹方程为 （2）由题可设直线的方程为， 由得 △， 设，，则， 由，即 ，，于是， 即，， ，解得或（舍去）， 又， ∴ 直线存在，其方程为 7、设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.（I）求此双曲线的渐近线的方程；（II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 解：（I） ，渐近线方程为 4分 （II）设，AB的中点 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分） （III）假设存在满足条件的直线 设 由（i）（ii）得 ∴k不存在，即不存在满足条件的直线. 8、设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程． 解：设点的坐标 则……1分 ………3分 由（1）－（2）可得…6分又MN⊥MQ，所以直线QN的方程为，又直线PT的方程为从而得所以 代入（1）可得此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程． 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法．设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0). 设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（），B/（）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x. 10、已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（Ⅰ）设为点P的横坐标，证明；（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）证法一：设点P的坐标为 由P在椭圆上，得 由，所以 ………………………3分 证法二：设点P的坐标为记 则 由 证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即 由，所以…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得. 又，所以T为线段F2Q的中点. 在△QF1F2中，，所以有 综上所述，点T的轨迹C的方程是…………………………7分 解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得. 又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得 综上所述，点T的轨迹C的方程是……………………7分 ③ ④ （Ⅲ）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由③得，由④得 所以，当时，存在点M，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 当时，， 由， ， ，得 解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 ③ ④ 由④得 上式代入③得 于是，当时，存在点M，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.………………………11分 当时，记， 由知，所以…………14分 11、设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求△APB的重心G的轨迹方程；（2）证明∠PFA=∠PFB. 解：（1）设切点A、B坐标分别为， ∴切线AP的方程为： 切线BP的方程为： 解得P点的坐标为： 所以△APB的重心G的坐标为 ， 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为 由于P点在抛物线外，则 ∴ 同理有 ∴∠AFP=∠PFB. 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为： 即 所以P点到直线BF的距离为： 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB. ②当时，直线AF的方程： 直线BF的方程： 所以P点到直线AF的距离为： ，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 二、中点弦问题： 12、已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程． 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法． 解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则 ①－②得． 由题意知，则上式两端同除以，有， 将③④代入得．⑤ （1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为： ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求． （2）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分） （3）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分） （4）由①＋②得 ： ， ⑦， 将③④平方并整理得 ， ⑧， ， ⑨ 将⑧⑨代入⑦得： ， ⑩ 再将代入⑩式得： ， 即 ． 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决． 13、椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程. 解法一：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3. 在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=, 从而b2=a2－c2=4,所以椭圆C的方程为＝1. (Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0. 因为A，B关于点M对称.所以 解得，所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意) 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 ① ② ①-②得 ③ 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得＝，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意. 14、已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为.（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被点 平分，求直线l 的方程. 解：（1）由得 即椭圆的方程为 （2）易知直线l的斜率一定存在，设l： 设M（x1, y1），N（x2, y2），由 得 ∵x1、x2为上述方程的两根，则 ① ∴ ∵MN的中点为，∴ ∴ ∴，解得k=3. 代入①中， ∴直线l：y=3x+3符合要求. 15、设分别是椭圆C：的左右焦点，(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程；(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为 试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论. 解：（1）由于点在椭圆上，2=4, 椭圆C的方程为 焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0） （2）设的中点为B（x, y）则点 把K的坐标代入椭圆中得线段的中点B的轨迹方程为 （3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 设，得 == 故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关 16、已知椭圆的一个焦点为 ，对应的准线为，离心率满足成等比数列．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点，且线段恰好被直线平分？若存在，求出直线的倾斜角的取值范围；若不存在，说明理由． 解 ： (Ⅰ)由题意知，，所以． 设椭圆上任意一点的坐标为，则由椭圆的第二定义得， ，化简得，故所求椭圆方程为． （Ⅱ）设，中点，依题意有 ，可得． 若直线存在，则点必在椭圆内，故，解得． 将代入椭圆方程，有 得，， 故， 所以， 则有， 解得， 故存在直线满足条件，其倾斜角． 三、定义与最值： 17、已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点． （1）求的最小值，并求点P的坐标；（2）求的最大值和最小值． 解:(1)由椭圆的第二定义转化知的最小值是，此时P； (2)依题意，由椭圆的第二定义知 ∵∴ ∴ 18、设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点， （Ⅰ）求的最大值和最小值;（Ⅱ）求的最大值和最小值． 解：易知，所以 设P（x, y），则 因为，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2. 当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1. 19、若双曲线过点，其渐近线方程为.（I）求双曲线的方程; （II）已知，,在双曲线上求一点,使的值最小． 解：（Ⅰ）（II）,最小值为 20、以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程． 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决． 解：如图所示，椭圆的焦点为，． 点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为． 解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小． 所求椭圆的长轴：，∴，又， ∴．因此，所求椭圆的方程为． 21、已知动点P与双曲线－=1的两个焦点F1、F2的距离之和为6． （Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若•=3，求⊿PF1F2的面积； （Ⅲ）若已知D(0,3)，M、N在轨迹C上且=l，求实数l的取值范围． 解：①+=1；②2；③[,5] 22、 、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点.（1）当时，求的面积；（2）当时，求的大小；（3）求的最大值． 解：（1） （2）因， 则 （3）设 ， 当时， 23、已知定点、、，动点满足：.（1）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当时，求 的最大值和最小值． 解：(1)设动点的坐标为， 则，，. ∵，∴， 即 . 若，则方程为，表示过点且平行于轴的直线. 若，则方程为， 表示以为圆心，以为半径的圆. (2)当时，方程化为. ∴. 又∵， ∴ 令，则 ∴当时，的最大值为，当时，最小值为. 24、点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方， （1）求椭圆C的的方程；（2）求点P的坐标；（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值． 解（1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1=， ∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴=， ∴所求的椭圆方程为 （2）由已知,，设点P的坐标为，则 由已知得 则，解之得， 由于y>0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为9分 （3）直线，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于是， 又∵点M在椭圆的长轴上，即 ∴当时，椭圆上的点到的距离 又 ∴当时，d取最小值 25、已知在平面直角坐标系中，向量，且 .（I）设的取值范围；（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程. 解：（1）由， 得…………………………………………………………………3分 ∴夹角的取值范围是（） ………………………………………………………………6分 （2） …………………………………………………………………………………………8分 ………………10分 ∴当且仅当 或 …………12分 椭圆长轴 或 故所求椭圆方程为.或 …………14分 26、已知点，一动圆过点且与圆内切． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；（Ⅲ）在的条件下，设△的面积为（是坐标原点，是曲线上横坐标为的点），以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由． 解（Ⅰ）设动圆圆心为，半径为，已知圆圆心为， 由题意知，，于是， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为． （Ⅱ）设，则 ，令，，所以， 当，即时在上是减函数，； 当，即时，在上是增函数，在上是减函数，则； 当，即时，在上是增函数，． 所以， ． （Ⅲ）当时,,于是,,（12分） 若正数满足条件，则，即， ，令，设，则，， 于是， 所以，当，即时，， 即，．所以，存在最小值． 27、已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=2. 记动点P的轨迹为W. （1）求W的方程；（2）若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值． （1）由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=. 又半焦距c=2，故虚半轴长b= 所以W的方程为，x≥. （2）设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）. 当AB⊥x轴时，x1=x2，y1=y2，从而·=x1x2+y1y2= 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得 （1-k2）x2-2kmx-m2-2=0， 故x1+x2=，x1x2=， 所以·=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2 = 又因为x1x2>0，所以k2-1>0，从而·>2. 综上，当AB⊥x轴时，·取得最小值2. 28、一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．（Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；（Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；（Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点 为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标． 解：（Ⅰ）设的坐标为，则且．……2分 解得， 因此，点 的坐标为． …………………4分 （Ⅱ），根据椭圆定义， 得，……………5分 ，． ∴所求椭圆方程为． ………………………………7分 （Ⅲ），椭圆的准线方程为． …………………………8分 设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离． 则，． ， ……………………………10分 令，则在时取得最小值． ………………………………13分 因此，最小值＝，此时点的坐标为．…………14分 注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得． 29、设F是椭圆的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知：（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM=∠BFN；（3） 求三角形ABF面积的最大值． 解（1） ………………………（文6分，理4分） （2）当AB的斜率为0时，显然满足题意 当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程 整理得 则 综上可知：恒有.………………………………（9分） （3） 当且仅当（此时适合△＞0的条件）取得等号. 三角形ABF面积的最大值是………………………………（13分） 四、弦长及面积： 30、已知双曲线的方程为，设F1、F2分别是其左、右焦点．(1)若斜率为1且过F1 的直线交双曲线于A、B两点，求线段AB的长；(2)若P是该双曲线左支上的一点，且，求的面积S． 解：（1）AB：，代入并整理得 设则 （2）设，则2 在中，由余弦定理有 31、已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ， 即．，解得． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，． 根据弦长公式得 ：．解得．方程为． 32、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长． 分析：可以利用弦长公式求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解． ．因为，，所以 ．因为焦点在轴上， 所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为． 由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，， 从而． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解． 由题意可知椭圆方程为，设，，则，． 在中，，即； 所以．同理在中，用余弦定理得，所以． (法3)利用焦半径求解． 先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标． 再根据焦半径，，从而求出． 33、设双曲线方程的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为．（1）求双曲线的离心率；（2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程． 解：（1） ………………………2分 直线的方程为，即，由原点到直线的距离为得 ，即，…………………………………4分 两边同时除以得，整理得，解得…5分 又，故双曲线的离心率为 ……………………………………………6分 （2）由（1）知道即，所以设双曲线的方程为 又由题意得直线方程为，代入双曲线方程得 ……………………7分 ，整理得…………………………………8分 记直线与双曲线的交点为，则有 …9分 ………………………………………………………………………………11分 所求双曲线方程为…………………………………………………12分 34、已知的顶点在椭圆上，在直线上，且． （Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积； （Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程． 解：（Ⅰ）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为． 设两点坐标分别为． 由得．所以． 又因为边上的高等于原点到直线的距离．所以，． （Ⅱ）设所在直线的方程为，由得． 因为在椭圆上，所以． 设两点坐标分别为，则，， 所以．又因为的长等于点到直线的距离，即．． 所以当时，边最长，（这时） 此时所在直线的方程为． P D C B M N A x y O 35、梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点.（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；（Ⅲ）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，求面积的最大值． 解：（Ⅰ）设点M的坐标为M(x, y)(x≠0)，则 又由AC⊥BD有，即， ∴x2+y2=1（x≠0）. ………………………（4分） （Ⅱ）设P（x, y），则，代入M的轨迹方程有 即，∴P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）. 要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故. ∴ 从而所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x≠0). ………………………9分 （Ⅲ）易知l的斜率存在，设方程为 联立9x2+y2=1，有 设P(x1, y1), Q(x2, y2)，则 令，则且 ， 所以当，即也即时，面积取最大值，最大值为．…… 14分 五、范围问题: 36、直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A、B两点．(1) 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？ 解： 消去y (1) 联立 (3－a2)x2－2ax－2＝0 ① 显然a2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点． 若交点A、B在双曲线同支上，则方程①满足： a∈(－，－)∪(，) 若A、B分别在双曲线的两支上，则有： a∈(－，) (2) 若以AB为直径的圆过点O，则OA⊥OB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1＋x2＝，x1x2＝． ∴y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a(x1＋x2)＋a2x1x2＋1 ＝a2·＋a·＋1＝1 ∵OA⊥OB ∴x1x2＋y1y2＝0 ∴＋1a＝±1 此时△＞0，符合要求． 37、已知圆C：（x-1）2+y2=r2 （r>1），设M为圆C与x轴负半轴的交点，过M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上． （1）当r=2时，求满足条件的P点的坐标；（2）当r∈（1，+∞）时，求点N的轨迹G的方程；（3）过点P（0，2）的直线l与（2）中轨迹G相交于两个不同的点E、F，若·>0，求直线l的斜率的取值范围． 解：(1)由已知得，r=2时，可求得M点的坐标为M（-1，0）. 设P（0，b），则由kCP·kMP=-1（或用勾股定理）得：b2=1. ∴b=±1即点P坐标为（0，±1）. （2）设N坐标为（x，y），由已知得，在圆方程中令y=0，求得M点的坐标为（1-r，0）. 设P（0，b），则由kCP·kMP=-1（或用勾股定理）得：r=b2+1. ∵点P为线段MN的中点，∴x=r-1=b2，y=2b，又r>1.∴点N的轨迹方程为y2=4x（x>0）. （3）由题意知直线l的斜率存在且不等于0. 设直线l的方程为y=kx+2，E（x1，y1），F（x2，y2）， x1>0， x2>0. 由， 得k2x2+（4k-4）x+4=0，由=-32k+16>0，得k<且k≠0. x1+x2=>0，x1x2=>0，得k<1. ∵·>0，∴（x1-1）（x2-1）+y1y2>0. ∴（k2+1） x1x2+（2k-1）（x1+x2）+5>0.得k2+12k>0. ∴k>0或k<-12. ∴0查看更多