高考数学天津文试题及解析

高考数学天津文试题及解析

‎2017年天津文 ‎1.(2017年天津文)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4}，则(A∪B)∩C= ( )‎ A.{2} B.{1，2，4} C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，6}‎ ‎1.B 【解析】由题意可得A∪B ={1，2，4，6}，所以(A∪B)∩C={1，2，4}．故选B．‎ ‎2. (2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　由2－x≥0，得x≤2，‎ 由|x－1|≤1，得0≤x≤2.‎ ‎∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2，‎ 故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．‎ ‎3. (2017年天津文)有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎3. C 【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率P==．故选C．‎ ‎4. (2017·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选C　第一次循环，24能被3整除，N＝＝8>3；第二次循环，8不能被3整除，N＝8－1＝7>3；‎ 第三次循环，7不能被3整除，N＝7－1＝6>3；‎ 第四次循环，6能被3整除，N＝＝2<3，结束循环，‎ 故输出N的值为2.‎ ‎5. (2017年天津文)已知双曲线-=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（ ）‎ A. -=1 B. -=1 C. -y2=1 D.x2-=1 ‎ ‎5. D 【解析】由题意可得解得a2=1,b2=3，故双曲线方程为x2-=1．故选D．‎ ‎6. (2017年天津文)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a=-f(log2),b=f(log24.1),c=f(20.8)，则a,b,c的大小关系为( )‎ A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.c＜a＜b ‎6. C 【解析】由题意可得a=f（log2）=f（log25），且f（log25）＞log24.1＞2，1＜20.8＜2，所以log25＞log24.1＞20.8，结合函数的单调性可得f（log25）＞f（log24.1）＞f（20.8），即a＞b＞c，即c＜b＜a.故选C.‎ ‎7. (2017年天津文)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f()=2，f()=0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )‎ A. ω=，φ= B. ω=，φ=- C. ω=，φ=- D. ω=，φ= ‎7. A 【解析】由题意得其中k1，k2∈Z，所以ω=（k2-2k1）-，又T=＞2π，所以0＜ω＜1，所以ω=，，由|φ|＜π得φ=，故选A．‎ ‎8. (2017·天津高考)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－2,2] B．[－2，2]‎ C．[－2,2 ] D．[－2，2 ]‎ ‎[解析]　选A　法一：作出f(x)的图象如图所示．‎ 当y＝的图象经过点(0,2)时，可知a＝±2.‎ 当y＝＋a的图象与y＝x＋的图象相切时，‎ 由＋a＝x＋，得x2－2ax＋4＝0，由Δ＝0，‎ 并结合图象可得a＝2.‎ 要使f(x)≥恒成立，‎ 当a≤0时，需满足－a≤2，即－2≤a≤0，‎ 当a＞0时，需满足a≤2，即0＜a≤2，‎ 综上可知，－2≤a≤2.‎ 法二：∵f(x)≥在R上恒成立，‎ ‎∴－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立．‎ ‎①令g(x)＝－f(x)－.‎ 当0≤x＜1时，f(x)＝x＋2，‎ g(x)＝－x－2－＝－x－2≤－2，‎ 即g(x)max＝－2.‎ 当x＜0时，f(x)＝－x＋2，g(x)＝x－2－＝－2，‎ 即g(x)＜－2.‎ 当x≥1时，‎ f(x)＝x＋，g(x)＝－x－－＝－x－≤－2，‎ 即g(x)max＝－2.‎ ‎∴a≥－2.‎ ‎②令h(x)＝f(x)－.‎ 当0≤x＜1时，‎ f(x)＝x＋2，h(x)＝x＋2－＝＋2≥2，‎ 即h(x)min＝2.‎ 当x＜0时，‎ f(x)＝－x＋2，h(x)＝－x＋2－＝－x＋2＞2，‎ 即h(x)＞2.‎ 当x≥1时，‎ f(x)＝x＋，h(x)＝x＋－＝＋≥2，‎ 即h(x)min＝2.‎ ‎∴a≤2.‎ 综上可知，－2≤a≤2.‎ 法三：若a＝2，则当x＝0时，f(0)＝2，‎ 而＝2，不等式不成立，故排除选项C，D.‎ 若a＝－2，则当x＝0时，f(0)＝2，而＝2，不等式不成立，故排除选项B.故选A.‎ 此题直接求解难度较大，但也有一定的技巧可取，通过比较四个选项，只需判断a＝2，－2是否满足条件即可，这种策略在做选择题时经常用到．‎ ‎9. (2017年天津文)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为___________．‎ ‎9. -2 【解析】===-i为实数，则=0,a=-2．‎ ‎10. (2017年天津)已知a∈R,设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y 轴上的截距为_________.‎ 解析:由题可得f(1)＝a,则切点为(1,a).因为f′(x)＝a－,所以切线l的斜率为f′(1)＝a－1,切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1),令x＝0可得y＝1,故l在y轴上的截距为1.‎ ‎11. (2017年天津文)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．‎ ‎11. 【解析】设正方体的边长为a，则6a2=18a=，其外接球直径为2R=a=3，故这个球的体积V=πR3=π×=．‎ ‎12. (2017年天津文)设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC=120°，则圆的方程为___________．‎ ‎12.（x+1）2+（y-）2=1 【解析】由题可设圆心坐标为C（-1，m），则A（0，m），焦点F（1，0），=（-1，0），=（1，-m），cos∠CAF===-，解得m=±，由于圆C与y轴的正半轴相切，则m=，所求圆的圆心为（-1，），半径为1，所求圆的方程为（x+1）2+（y-）2=1.‎ ‎13. (2017年天津文)若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为___________．‎ ‎13. 4 【解析】≥=4ab+≥2=4，前一个等号成立的条件是a2=2b2，后一个等号成立的条件是ab=，两个等号可以同时成立，当且仅当a2=，b2=时取等号．‎ ‎14. (2017年天津文)在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ-（λ∈R），且·=-4，则λ的值为___________．‎ ‎14. 【解析】由题可得·=3×2×cos 60°=3，=+，则·=（+）（λ-）=×3+×4-×9-×3=-4λ=．‎ ‎15. (2017年天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A＝4bsin B,ac＝(a2－b2－c2).‎ ‎（1）求cos A的值；‎ ‎（2）求sin(2B－A)的值.‎ ‎【解析】（1）由asin A＝4bsin B及正弦定理,得a＝2b.‎ 由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理,得cos A＝＝＝－.‎ ‎（2）由（1）可得sin A＝,代入asin A＝4bsin B,得sin B＝＝.‎ 由（1）知A为钝角,所以cos B＝＝.‎ 于是sin 2B＝2sin Bcos B＝,cos 2B＝1－2sin2B＝,‎ 故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A＝×－×＝－.‎ ‎16. (2017年天津)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：‎ 连续剧播放时长(分钟)‎ 广告播放时长(分钟)‎ 收视人次(万)‎ 甲 ‎70‎ ‎5‎ ‎60‎ 乙 ‎60‎ ‎5‎ ‎25‎ 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.‎ ‎（1）用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域；‎ ‎（2）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？‎ ‎【分析】（1）由甲、乙连续剧总的播放时间不多于600分钟、广告时间不少于30分钟、甲连续播放的次数不多于乙连续播放的次数的2倍分别列出x,y满足的不等式,结合x,y为自然数建立不等式组,再画出平面区域.（2）列出目标函数,根据目标函数的几何意义求出最值.‎ 解：（1）由已知x,y满足的数学关系式为即 该不等式组所表示的平面区域为图1中阴影部分内的整点(包括边界).‎ ‎（2）设总收视人次为z万,则目标函数为z＝60x＋25y.‎ 由z＝60x＋25y,得y＝－x＋.‎ 当取得最大值时,z的值最大.‎ 由图2可知当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时,最大,即z最大.‎ 联立解得M(6,3),‎ 所以电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.‎ ‎17. (2017年天津)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD＝1,BC＝3,CD＝4,PD＝2.‎ ‎（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；‎ ‎（2）求证：PD⊥平面PBC；‎ ‎（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【解析】（1）如图,由已知AD∥BC,‎ ‎∴∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.‎ ‎∵AD⊥平面PDC,∴AD⊥PD.‎ 在Rt△PDA中,由已知得AP＝＝,‎ ‎∴cos∠DAP=＝.‎ ‎∴异面直线AP与BC所成角的余弦值为.‎ ‎（2）∵AD⊥平面PDC,直线PD⊂平面PDC,∴AD⊥PD.‎ 又∵BC//AD,∴PD⊥BC.‎ 又PD⊥PB,∴PD⊥平面PBC.‎ ‎（3）过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,‎ 则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.‎ ‎∵PD⊥平面PBC,∴PF为DF在平面PBC上的射影,‎ ‎∴∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.‎ ‎∵AD∥BC,DF∥AB,∴BF＝AD＝1.‎ 由已知得CF＝BC－BF＝2.‎ 又AD⊥DC,∴BC⊥DC.‎ 在Rt△DCF中,DF＝＝2.‎ 在Rt△DPF中,sin∠DFP＝＝.‎ ‎∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.‎ ‎18. (2017年天津文)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4．‎ ‎（1）求{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．‎ ‎18.解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．‎ 由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q2+q-6=0．‎ 又因为q＞0，解得q=2，所以bn=2n．‎ 由b3=a4-2a1，可得3d-a1=8①；由S11=11b4，可得a1+5d=16②，‎ 联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n-2．‎ 所以，{an}的通项公式为an=3n-2，{bn}的通项公式为bn=2n．‎ ‎（2）设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n=6n-2，有 Tn=4×2+10×22+16×23+…+（6n-2）×2n，‎ ‎2Tn=4×22+10×23+16×24+…+（6n-8）×2n+（6n-2）×2n+1，‎ 上述两式相减，得-Tn=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-（6n-2）×2n+1=-4-（6n-2）×2n+1=-（3n-4）2n+2-16，得Tn=（3n-4）2n+2+16.‎ 所以，数列{a2nbn}的前n项和为（3n-4）2n+2+16.‎ ‎19.4．(2017·天津高考)设a，b∈R，|a|≤1.已知函数f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，g(x)＝exf(x)．‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)已知函数y＝g(x)和y＝ex的图象在公共点(x0，y0)处有相同的切线，‎ ‎①求证：f(x)在x＝x0处的导数等于0；‎ ‎②若关于x的不等式g(x)≤ex在区间[x0－1，x0＋1]上恒成立，求b的取值范围．‎ 解：(1)由f(x)＝x3－6x2－3a(a－4)x＋b，‎ 可得f′(x)＝3x2－12x－3a(a－4)＝3(x－a)[x－(4－a)]．‎ 令f′(x)＝0，解得x＝a，或x＝4－a.‎ 由|a|≤1，得a＜4－a.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，a)‎ ‎(a,4－a)‎ ‎(4－a，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎＋‎ f(x)‎    所以f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(4－a，＋∞)，单调递减区间为(a,4－a)．‎ ‎(2)①证明：因为g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]，‎ 由题意知 所以 解得 所以f(x)在x＝x0处的导数等于0.‎ ‎②因为g(x)≤ex，x∈[x0－1，x0＋1]，‎ 由ex＞0，可得f(x)≤1.‎ 又因为f(x0)＝1，f′(x0)＝0，‎ 所以x0为f(x)的极大值点，结合(1)知x0＝a.‎ 另一方面，由于|a|≤1，故a＋1＜4－a，‎ 由(1)知f(x)在(a－1，a)内单调递增，在(a，a＋1)内单调递减，‎ 故当x0＝a时，f(x)≤f(a)＝1在[a－1，a＋1]上恒成立，从而g(x)≤ex在[x0－1，x0＋1]上恒成立．‎ 由f(a)＝a3－6a2－3a(a－4)a＋b＝1，‎ 得b＝2a3－6a2＋1，－1≤a≤1.‎ 令t(x)＝2x3－6x2＋1，x∈[－1,1]，‎ 所以t′(x)＝6x2－12x，令t′(x)＝0，‎ 解得x＝2(舍去)或x＝0.‎ 因为t(－1)＝－7，t(1)＝－3，t(0)＝1，‎ 因此t(x)的值域为[－7,1]．‎ 所以b的取值范围是[－7,1]．‎ ‎20. (2017年天津文)已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设点Q在线段AE上，|FQ|=c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．‎ ‎（i）求直线EP的斜率；‎ ‎（ii）求椭圆的方程．‎ ‎20.解：（1）设椭圆的离心率为e．由已知，可得（c+a）c=．‎ 又由b2=a2-c2，可得2c2+ac-a2=0，即2e2+e-1=0．又因为0＜e＜1，解得e=．‎ 所以，椭圆的离心率为．‎ ‎（2）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x=my-c（m＞0），则直线FP的斜率为．‎ 由（1）知a=2c，可得直线AE的方程为+=1，即x+2y-2c=0，‎ 与直线FP的方程联立，可解得x=，y=，即点Q的坐标为（，）．‎ 由已知|FQ|=，有[+c]2+()2=()2，整理得3m2-4m=0，所以m=-，故直线FP的斜率为．‎ ‎(ii)由a=2c，可得b=c，故椭圆方程可以表示为+=1.‎ 由（i）得直线FP的方程为3x-4y+3c=0，与椭圆方程联立 消去y，整理得7x2+6cx-13c2=0，解得x=-（舍去）或x=c.‎ 因此可得点P（c，），进而可得|FP|==，‎ 所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c．‎ 由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，‎ 故直线PM和QN都垂直于直线FP．‎ 因为QN⊥FP，所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=，‎ 所以△FQN的面积为|FQ||QN|=，同理△EPM的面积等于，‎ 由四边形PQNM的面积为3c，得-=3c，整理得c2=2c，又由c＞0，得c=2．‎ 所以，椭圆的方程为+=1．‎