2015广东高考数学理科试题及答案解析版

2015广东高考数学理科试题及答案解析版

绝密★启用前 试卷类型：A ‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。‎ ‎1.若集合，则 ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎ ‎ ‎2.若复数（是虚数单位），则 ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ‎【答案】D ‎【解析】A和C选项为偶函数，B选项为奇函数， D选项为非奇非偶函数 ‎4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 11‎ ‎5. 平行于直线且与圆相切的直线的方程是 ‎【答案】A ‎【解析】设所求直线为，因为圆心坐标为（0，0），则由直线与圆相切可得 ，解得，所求直线方程为 ‎6. 若变量满足约束条件，则的最小值为 ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标 函数，则当目标函数过点（1，），‎ 取最小值为 ‎7. 已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为 ‎【答案】C ‎【解析】由双曲线右焦点为，则c=5，‎ ‎ ，所以双曲线方程为 ‎8. 若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，正三角形的三个顶点符合条件；当时，正四面体的四个顶点符合条件 故可排除A，C，D四个选项，故答案选B 二、填空题：本大题 共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.‎ ‎（一）必做题（9-13题）‎ ‎9. 在的展开式中，的系数为 .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】，则当时，的系数为 ‎10. 在等差数列中，若，则 .‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由等差数列性质得，，解得，所以 ‎11. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则b= .‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】，又，故，所以 ‎ ‎ 由正弦定理得，，所以 ‎12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答）‎ ‎【答案】1560‎ ‎13. 已知随机变量X服从二项分布，，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，解得 ‎（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题），‎ ‎14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为 .‎ 11‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 即直线的直角坐标方程为，点A的直角坐标为（2，-2）‎ A到直线的距离为 ‎15. (几何证明选讲选做题)如图1，已知是圆的直径，,是圆的切线，切点为，，过圆心作的平行线，分别交和于点和点，则= .‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 图1‎ 如图所示，连结O，C两点，则,‎ ‎,‎ 则，所以,所以 三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，已知向量m=（，-），n=（，），x（0，）.‎ ‎（1）若m⊥n，求的值；‎ ‎（2）若m与n的夹角为，求的值.‎ ‎【解析】‎ 11‎ ‎ ‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 某工厂36名工人的年龄数据如下表：‎ 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 工人编号年龄 1 ‎40‎ 2 ‎44‎ 3 ‎40‎ 4 ‎41‎ 5 ‎33‎ 6 ‎40‎ 7 ‎45‎ 8 ‎42‎ 9 ‎43‎ 10 ‎36‎ 11 ‎44‎ 12 ‎38‎ 13 ‎39‎ 14 ‎33‎ 15 ‎45‎ 16 ‎39‎ 17 ‎38‎ 18 ‎36‎ 19 ‎27‎ 20 ‎43‎ 21 ‎41‎ 22 ‎37‎ 23 ‎34‎ 24 ‎42‎ 25 ‎37‎ 26 ‎44‎ 27 ‎42‎ 28 ‎34‎ 29 ‎39‎ 30 ‎43‎ 31 ‎38‎ 32 ‎42‎ 33 ‎53‎ 34 ‎37‎ 35 ‎49‎ 36 ‎39‎ ‎（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；‎ ‎（2）计算（1）中样本的均值和方差；‎ ‎（3）36名工人中年龄在与之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？‎ ‎【解析】‎ （1） 由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年龄数据为样本。‎ 则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37‎ 11‎ （1） 由（1）中的样本年龄数据可得，‎ 则有 = ‎ （2） 由题意知年龄在之间，即年龄在之间，‎ 由（1）中容量为9的样本中年龄在之间的有5人，‎ 所以在36人中年龄在之间的有（人），‎ 则所占百分比为 ‎18.（本小题满分14分）‎ ‎　　如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB＝6，‎ BC=3，点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB，‎ ‎　（1）证明：PE⊥FG；‎ ‎ （2）求二面角P-AD-C的正切值；‎ ‎ （3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明： ‎ ‎ 为边的中点，所以，‎ ‎ ，，且 ‎ ∴‎ ‎ ，‎ ‎（2） 由长方形知，‎ ‎ ，，且 ‎ ‎ ‎ ，‎ 11‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由长方形得，为边的中点，则 ‎ ‎ ‎ 即二面角的正切值为 ‎（3） 如图，连结A,C ‎，‎ 为直线PA与直线FG所成角.‎ 由长方形中得 由（2）知， ‎ 由题意知 所以，直线PA与直线FG所成角的余弦值为 ‎19.（本小题满分14分）‎ 设，函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）证明：在上仅有一个零点；‎ ‎（3）若曲线在点P处的切线与轴平行，且在点 11‎ 的切线与直线OP平行（O是坐标原点），证明：‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ ‎（2）由（1）可知在R上为单调递增函数 ‎（3）令点P为 11‎ 命题得证.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点A，B.‎ ‎（1）求圆的圆心坐标；‎ ‎（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；‎ ‎（3）是否存在实数，使得直线与曲线C只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意知：圆方程为：‎ ‎ ∴圆的圆心坐标为（3,0）‎ ‎（2）由图可知，令 ‎∵直线L与圆交于A、B两点 ‎∴直线L与圆的距离：‎ ‎（3）∵直线L：‎ 联立方程：‎ 得：，‎ 11‎ 此时，，仅有一个交点，符合题意。‎ ‎ ‎ 则有：‎ 解得：‎ ‎∴的取值范围为：或 ‎21.（本小题满分14分）‎ 数列满足：.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的前项和；‎ ‎（3）令，证明：数列的前项和满足.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意知：‎ ‎（2）‎ 11‎ ‎∴是首相为1，公比为的等边数列 ‎∴‎ ‎（3）由（2）得：‎ 已知不等式：‎ 设 11‎