三角函数与解三角形中的高考热点问题

三角函数与解三角形中的高考热点问题

热点探究课(二)　三角函数与解三角形中的高考热点问题 ‎[命题解读]　从近五年浙江卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式，并注重转化思想与数形结合思想的应用．‎ 热点1　三角函数的图象与性质(答题模板)‎ 要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．‎ ‎　(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值. 【导学号：51062131】‎ ‎[思路点拨]　(1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f(x)化为正弦型函数，然后求其周期．‎ ‎(2)先利用平移变换求出g(x)的解析式，再求其在给定区间上的最值．‎ ‎[规范解答]　(1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)3分 ‎＝cos x＋sin x＝2sin，5分 于是T＝＝2π.6分 ‎(2)由已知得g(x)＝f＝2sin.8分 ‎∵x∈[0，π]，∴x＋∈，‎ ‎∴sin∈，10分 ‎∴g(x)＝2sin∈[－1,2].13分 故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.14分 ‎[答题模板]　解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为：‎ 第一步(化简)：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式．‎ 第二步(用辅助角公式)：构造f(x)＝·.‎ 第三步(求性质)：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质．‎ 第四步(反思)：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．‎ ‎[温馨提示]　1.在第(1)问的解法中，使用辅助角公式asin α＋bcos α＝ sin (α＋φ)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注. ‎ ‎2．求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解．‎ ‎[对点训练1]　(2017·石家庄模拟)已知函数f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A，B，ω是常数，ω>0)的最小正周期为2，并且当x＝时，f(x)max＝2.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期为2，知＝2，ω＝π.2分 又因为当x＝时，f(x)max＝2，知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，φ＝2kπ＋(k∈Z)，4分 所以f(x)＝2sin＝2sin(k∈Z)．‎ 故f(x)的解析式为f(x)＝2sin.6分 ‎(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z).9分 由≤k＋≤，解得≤k≤，11分 又k∈Z，知k＝5，13分 由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.14分 热点2　解三角形 从近几年全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值．‎ ‎　△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．‎ ‎[解]　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，‎ S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.2分 因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.‎ 由正弦定理，得＝＝.6分 ‎(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.8分 在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，‎ AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.12分 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.‎ 由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1.14分 ‎[规律方法]　解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式，要适时、适度进行“角化边”或“边化角”，要抓住能用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则两个定理都有可能用到．‎ ‎[对点训练2]　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝bsin A.‎ ‎(1)求B；‎ ‎(2)若cos A＝，求sin C的值．‎ ‎[解]　(1)在△ABC中，由＝，‎ 可得asin B＝bsin A．2分 又由asin 2B＝bsin A，得 ‎2asin Bcos B＝bsin A＝asin B，‎ 所以cos B＝，得B＝.6分 ‎(2)由cos A＝，可得sin A＝，则 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin ‎＝sin A＋cos A＝.14分 热点3　三角恒等变换与解三角形的综合问题 以三角形为载体，三角恒等变换与解三角形交汇命题，是近几年高考试题的一大亮点，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用，求解的关键是根据题目提供的信息，恰当地实施边角互化．‎ ‎　(2017·浙江高考冲刺卷(二))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A－cos A＝－，cos B＝.‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)若△ABC的面积为2，求a的值. 【导学号：51062132】‎ ‎[解]　(1)∵sin A－cos A＝－，‎ ‎∴1－2sin Acos A＝，2分 ‎∴2sin Acos A＝，∴A为锐角．‎ ‎∴sin A＋cos A＝＝.3分 由得 ‎∵cos B＝，∴B为锐角，∴sin B＝＝.‎ 则cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－，‎ 而0

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