2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章2-5指数与指数函数
第5讲 指数与指数函数
最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数模型．
知 识 梳 理
1．根式
(1)概念：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数．
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
3．指数函数的图像与性质
a>1
0
0时，y>1；
当x<0时，01；
当x>0时，01)的值域是(0，＋∞)．( )
解析 (1)由于＝＝4，故(1)错．
(2)(－1)＝＝1，故(2)错．
(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错．
(4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错．
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2．(教材改编)化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( )
A．－9 B．7
C．－10 D．9
解析 原式＝(26)－1＝8－1＝7.
答案 B
3．函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图像可能是( )
解析 函数y＝ax－是由函数y＝ax的图像向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当01，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.
答案 D
4．(2015·山东卷)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a1，∴b0，b>0)；
(2)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0.
解 (1)原式＝＝ab－1.
(2)原式＝＋－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【训练1】 化简求值：
(1)0＋2－2·－(0.01)0.5；
解 (1)原式＝1＋×－
＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝
考点二 指数函数的图像及应用
【例2】 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图像大致是( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
解析
(1)f(x)＝1－e|x|是偶函数，图像关于y轴对称，又e|x|≥1，
∴f(x)的值域为(－∞，0]，
因此排除B、C、D，只有A满足．
(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图像如图所示，由图像可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
答案 (1)A (2)[－1,1]
规律方法 (1)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．
【训练2】 (1)(2017·陕西五校联考)定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图像是( )
(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．
解析 (1)因为当x≤0时，2x≤1；当x>0时，2x>1.
则f(x)＝1⊕2x＝图像A满足．
(2)
方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．
由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
答案 (1)A (2)1
考点三 指数函数的性质及应用(易错警示)
【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5>1.73 B．0.6－1>0.62
C．0.8－0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1
(2)已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
①若a＝－1，求f(x)的单调区间；
②若f(x)有最大值3，求a的值；
③若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
(1)解析 A中，
∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3，
∴1.72.5<1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2，
∴0.6－1>0.62，正确；
C中，∵(0.8)－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2，
∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1，
∴1.70.3>0.93.1，错误．故选B.
答案 B
(2)解 ①当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令u＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7.
在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝u在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x
)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．
②令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
③由f(x)的值域是(0，＋∞)知，ax2－4x＋3的值域为R，则必有a＝0.
规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论．
【训练3】 (1)(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a0时，f(x)为增函数，
log0.53＝－log23，所以log25>|－log23|>0，
所以b＝f(log25)>a＝f(log0.53)>c＝f(2m)＝f(0)，
故b＞a＞c，选B.
(2)当x≥8时，f(x)＝≤3，
∴x≤27，即8≤x≤27；
当x<8时，f(x)＝2ex－8≤3恒成立，故x<8.
综上，x∈(－∞，27]．
答案 (1)B (2)(－∞，27]
[思想方法]
1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
2．判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
3．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分01两种情况分类讨论．
[易错防范]
1．对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．
2．对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2017·衡水中学模拟)若a＝x，b＝x2，c＝x，则当x>1时，a，b，c的大小关系是( )
A．c1时，01，c＝x<0，所以c1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0，∴b，
∴a>c，∴b0，且a≠1)，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( )
A．1 B．a C．2 D．a2
解析 ∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0.又∵f(x)＝ax，∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1.
答案 A
5．(2017·西安调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
答案 B
二、填空题
6.×0＋8×－＝________.
解析 原式＝×1＋2×2－＝2.
答案 2
7．(2015·江苏卷)不等式2x2－x<4的解集为________．
解析 ∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，
∴x2－x<2，即x2－x－2<0，解得－1e，
因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e.
答案 e
三、解答题
9．已知f(x)＝x3(a>0，且a≠1)．
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
解 (1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3
＝(－x)3
＝x3＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x>0时的情况，
当x>0时，要使f(x)>0，即x3>0，
即＋>0，即>0，则ax>1.
又∵x>0，∴a>1.因此a>1时，f(x)>0.
10．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
解 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．
又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．
因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，
即3t2－2t－1>0，解不等式可得t＞1或t＜－，
故原不等式的解集为.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析 因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得a>x－x，令f(x)＝x－x，则函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(0)＝0－0＝－1，
所以a>－1.
答案 D
12．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c D．2a＋2c<2
解析
作出函数f(x)＝|2x－1|的图像如图中实线所示，
∵af(c)>f(b)，结合图像知a<0,0f(c)，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.
答案 D
13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图像如图所示，那么g(x)＝________.
解析 依题意，f(1)＝，∴a＝，
∴f(x)＝x，x>0.当x<0时，－x>0.
∴g(x)＝－f(－x)＝－－x＝－2x.
答案 －2x(x<0)
14．(2017·合肥期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
解 (1)∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex＋x，
∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，∴f(x)在R上是增函数．又∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，
⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，
⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立，
⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝2≤0，
又2≥0，∴2＝0，∴t＝－.
∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立.
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